非线性水波的边界元方法
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参考文献 1 T. Nakayama , K. Washizu , Int . J . Num. Met hs. Eng 1981 ,17 :1631 - 1646 2 T. Nakayama , Tnt . J . Num. Met hs. Eng 1983 ,19 :953 - 970 3 陈耀松 ,杨德全 ,马瑜 1ACTA A EROD YNAMICA SIN ICA. 1986 ,4 (2) :212 - 217 4 赵忠生 ,杨德全 1 边界元方法的原理方法及应用 1 内大出版社 ,1994
和 Q 都是边界上的点 。
把边界 S 划分为 N 个单元 ,于是边界积分方程 (4) 可变为离散化形式 :
6 6 6 Cφi i +
S A～ Tφ～ -
S1 ～B T 55～φn +
S2
～B
T
dxp dt
=0
(5)
( i = 1 ,2 , …N )
这里联系边界节点上 φi 和 ( 55φn) i 值的代数方程组 。
(赤峰师专) (物理系)
摘 要 本文采用边界元方法 ,研究了二维非线性水波问题 ,给出了波面的边界元数值计算公式 , 通过算例 ,得到了较好结果 。 关键词 边界元方法 ;非线性水波
1 前言
研究波浪问题 ,有重要的科学价值 。海洋工程 、船泊航行 、水下兵器都要受到波浪的作用 。 因此研究波浪的变化规律问题 ,特别受到人们的重视 。文〔1 —3〕中用不同的方法对二维非线性 波进行了研究 ,得到些有意义的结果 。在文〔1 —2〕中将自由表面的运动学条件和动力学条件合 在一个方程中 ,加入误差修正后再用有限元处理 , 当引入速度势增量 △φ和波面增量 △η时 , 用迭代方法求得下一时刻的速度势 φ 和波高η, 这种做法可以得到波高的解 , 但时间步长较 小 ,所以计算起来很费机时 。文〔3〕采取了对水下物体 , 用物面布置偶木亟子的方法 , 计算了水波 的瞬态过程 ,得到了较好的结果 。本文采用边界元方法〔4〕处理了非线性水波问题 , 在一定范
第 1 期 范体贵等 :非线性水波的边界元方法 3 9
5φ 5n
S2
=-
dπp
dt
5φ 5n
S3
=
0
(3)
s1 为自由表面 , s2 为已知运动规律的边界 , s3 为固壁边界 。
其中 η为超出静水面的波高 ,β为波面外法线与 y 方向的夹角 , 55φn 和55φs 为波面上法向和 切向速度 , x p 为 s1 的位移 。
hod. The numerical calculation formulas of wave plane are given. The result s obtained are very
usef ull. Key words boundary element met hod ;honlinear water wave
The Boundary Element Method of Nonlinear Water Waves
Fan Ti gui Zhan g Guoyou Y ang Dequan
Abstract Two dimensional nonlinear water waves are st udied by using Boundary Element Med2
2φ = 0 (Ω)
(1)
式中 φ为速度势 。
边界条件为 (包括运动学条件和动力学条件)
5η 5t
S1
=
co1sβ 55φn
5φ 5n
S1
=
-
〔1 2
( 55φt ) 2
+
1 2
( 55φs ) 2
+ η〕
(2)
Ξ 内蒙古自然科学基金资助课题 收稿日期 :1998 —09 —15 © 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net
40 内 蒙 古 民 族 师 院 学 报 1999 年
4 算例及结论
我们用上述方法进行了数值试验 ,为了与文〔2〕比较 ,在计算中采用了文〔2〕中的参数 , A /
h = 0. 2 , xo =
4 3
A
A +
h
,ω =
3 4
A h
(1
+
A) h
,
to
= 610 , 自由面长
l
= 18 ,
S1
的水平位移公式
为 : x p = xo tan h〔ω( t - to) 〕。
图 1 波形图 计算时将 S 分为 60 个单元 ,即自由面 30 个单元 ,底面边界 24 个单元 , 两侧各 3 个单元 。 对于 Dt = 012 的不同时刻计算结果如图 1 所示 , 此结果与文〔2〕中计算结果十分相近 。并且 在计算时 ,对 Dt 取得大些对结果影响不大 (如 Dt = 014 结果仍收敛) 。这样可以节省计算机 时 ,可见本文方法对于非线性水波问题的计算是有效的 。
第 14 卷第 1 期 1999 年 5 月
内蒙古民族师院学报 (自然科学版) Journal of Inner Mongolia Teacher’s College for the Nationalities
Vol. 14 No. 1 May. 1999
非线性水波的边界元方法 Ξ
范体贵 张国有 杨德全
〔责任编辑 肖景林〕
© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net
3 边界积分方程及波面的计算
用方程 (1) 的基本解把控制方程及边界条件化为联系 φ和55φn和边界积分方程 :
∫ ∫ Cpφp +
φ
s
55φn (l
n
1 r
)
ds
-
S1
55φn (ln
1) r
Hale Waihona Puke Baidu
ds
∫ +
d x p (ln 1 ) ds = 0
S2 dt
r
(4)
式中 s = s1 + s2 + s3 , Cp 是 p 点相邻的内角 ,φp 是边界上 P 点的值 , r 是 P 点到 Q 点的距离 , P
围内 ,只要选用适当时间步长 (其步长可以比〔2〕大) ,对所得的边界离散化方程进行迭代计算 ,
计算结果较好 ,这样可以减少内存和节省机时 ,从而提高了工作效率 ,并且适应性较强 。
2 控制方程和边界条件
研究的流体可做为不可压理想流体处理 ,并且是二维无旋的 。在其流动区域 Ω 内控制方
程的无量纲形式为 :
∫ 式中 ～A T =
1
oN～ T
5 5n
(l
n
1) r
ds
∫ ～B T =
1
oN～ T (ln
1) r
ds
～N T = 1r〔1 - S , S 〕
φT
～
=〔φj
,φj
+ 1〕
( 55～φn) T =〔( 55φn) j , ( 55ψn) j + 1〕
当边界形状确定时 ,这些系数值都是可以算出的 。
ηn = ηn - 1 + Dt ( co1sβ 55φn ) n - 1
φn = φn - 1 -
D t〔12
( 55φn ) 2
+
1 2
( 55φn) 2
+ η〕n - 1
(6)
© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net
在实际计算中 ,给定初始条件η(
x
, 0)
= 0 ,φ(
x
, 0)
=0,(
dx) dt
o
已知 , 用 (5) 可求得 ( 55φn )
o,
设时间步长为 Dt ,用时间前差代替 (2) 中的时间导数 , 逐步计算出下一时刻的波形和边界条
件 。用下式 (6) 经过 n 次迭代 ,并重复用 (5) 式 ,可求得 ηnφn1
和 Q 都是边界上的点 。
把边界 S 划分为 N 个单元 ,于是边界积分方程 (4) 可变为离散化形式 :
6 6 6 Cφi i +
S A～ Tφ～ -
S1 ～B T 55～φn +
S2
～B
T
dxp dt
=0
(5)
( i = 1 ,2 , …N )
这里联系边界节点上 φi 和 ( 55φn) i 值的代数方程组 。
(赤峰师专) (物理系)
摘 要 本文采用边界元方法 ,研究了二维非线性水波问题 ,给出了波面的边界元数值计算公式 , 通过算例 ,得到了较好结果 。 关键词 边界元方法 ;非线性水波
1 前言
研究波浪问题 ,有重要的科学价值 。海洋工程 、船泊航行 、水下兵器都要受到波浪的作用 。 因此研究波浪的变化规律问题 ,特别受到人们的重视 。文〔1 —3〕中用不同的方法对二维非线性 波进行了研究 ,得到些有意义的结果 。在文〔1 —2〕中将自由表面的运动学条件和动力学条件合 在一个方程中 ,加入误差修正后再用有限元处理 , 当引入速度势增量 △φ和波面增量 △η时 , 用迭代方法求得下一时刻的速度势 φ 和波高η, 这种做法可以得到波高的解 , 但时间步长较 小 ,所以计算起来很费机时 。文〔3〕采取了对水下物体 , 用物面布置偶木亟子的方法 , 计算了水波 的瞬态过程 ,得到了较好的结果 。本文采用边界元方法〔4〕处理了非线性水波问题 , 在一定范
第 1 期 范体贵等 :非线性水波的边界元方法 3 9
5φ 5n
S2
=-
dπp
dt
5φ 5n
S3
=
0
(3)
s1 为自由表面 , s2 为已知运动规律的边界 , s3 为固壁边界 。
其中 η为超出静水面的波高 ,β为波面外法线与 y 方向的夹角 , 55φn 和55φs 为波面上法向和 切向速度 , x p 为 s1 的位移 。
hod. The numerical calculation formulas of wave plane are given. The result s obtained are very
usef ull. Key words boundary element met hod ;honlinear water wave
The Boundary Element Method of Nonlinear Water Waves
Fan Ti gui Zhan g Guoyou Y ang Dequan
Abstract Two dimensional nonlinear water waves are st udied by using Boundary Element Med2
2φ = 0 (Ω)
(1)
式中 φ为速度势 。
边界条件为 (包括运动学条件和动力学条件)
5η 5t
S1
=
co1sβ 55φn
5φ 5n
S1
=
-
〔1 2
( 55φt ) 2
+
1 2
( 55φs ) 2
+ η〕
(2)
Ξ 内蒙古自然科学基金资助课题 收稿日期 :1998 —09 —15 © 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net
40 内 蒙 古 民 族 师 院 学 报 1999 年
4 算例及结论
我们用上述方法进行了数值试验 ,为了与文〔2〕比较 ,在计算中采用了文〔2〕中的参数 , A /
h = 0. 2 , xo =
4 3
A
A +
h
,ω =
3 4
A h
(1
+
A) h
,
to
= 610 , 自由面长
l
= 18 ,
S1
的水平位移公式
为 : x p = xo tan h〔ω( t - to) 〕。
图 1 波形图 计算时将 S 分为 60 个单元 ,即自由面 30 个单元 ,底面边界 24 个单元 , 两侧各 3 个单元 。 对于 Dt = 012 的不同时刻计算结果如图 1 所示 , 此结果与文〔2〕中计算结果十分相近 。并且 在计算时 ,对 Dt 取得大些对结果影响不大 (如 Dt = 014 结果仍收敛) 。这样可以节省计算机 时 ,可见本文方法对于非线性水波问题的计算是有效的 。
第 14 卷第 1 期 1999 年 5 月
内蒙古民族师院学报 (自然科学版) Journal of Inner Mongolia Teacher’s College for the Nationalities
Vol. 14 No. 1 May. 1999
非线性水波的边界元方法 Ξ
范体贵 张国有 杨德全
〔责任编辑 肖景林〕
© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net
3 边界积分方程及波面的计算
用方程 (1) 的基本解把控制方程及边界条件化为联系 φ和55φn和边界积分方程 :
∫ ∫ Cpφp +
φ
s
55φn (l
n
1 r
)
ds
-
S1
55φn (ln
1) r
Hale Waihona Puke Baidu
ds
∫ +
d x p (ln 1 ) ds = 0
S2 dt
r
(4)
式中 s = s1 + s2 + s3 , Cp 是 p 点相邻的内角 ,φp 是边界上 P 点的值 , r 是 P 点到 Q 点的距离 , P
围内 ,只要选用适当时间步长 (其步长可以比〔2〕大) ,对所得的边界离散化方程进行迭代计算 ,
计算结果较好 ,这样可以减少内存和节省机时 ,从而提高了工作效率 ,并且适应性较强 。
2 控制方程和边界条件
研究的流体可做为不可压理想流体处理 ,并且是二维无旋的 。在其流动区域 Ω 内控制方
程的无量纲形式为 :
∫ 式中 ～A T =
1
oN～ T
5 5n
(l
n
1) r
ds
∫ ～B T =
1
oN～ T (ln
1) r
ds
～N T = 1r〔1 - S , S 〕
φT
～
=〔φj
,φj
+ 1〕
( 55～φn) T =〔( 55φn) j , ( 55ψn) j + 1〕
当边界形状确定时 ,这些系数值都是可以算出的 。
ηn = ηn - 1 + Dt ( co1sβ 55φn ) n - 1
φn = φn - 1 -
D t〔12
( 55φn ) 2
+
1 2
( 55φn) 2
+ η〕n - 1
(6)
© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net
在实际计算中 ,给定初始条件η(
x
, 0)
= 0 ,φ(
x
, 0)
=0,(
dx) dt
o
已知 , 用 (5) 可求得 ( 55φn )
o,
设时间步长为 Dt ,用时间前差代替 (2) 中的时间导数 , 逐步计算出下一时刻的波形和边界条
件 。用下式 (6) 经过 n 次迭代 ,并重复用 (5) 式 ,可求得 ηnφn1