正弦定理及其应用

a bsin A asin B 即 a b
sin A sin B
同理： a c sin A sin C
a b c sin A sin B sin C
由以上三种情况的讨论可得：
正弦定理： 在一个三角形中，各边的长和 它所对角的正弦的比相等，即
abc sin A sin B sin C
定理结构特征: 含三角形的三边及三内角,由己知二角一
边或二边一角可表示其它的边和角
剖析定理、加深理解
正弦定理：
a sin
A

b sin B

c sin C
1、A+B+C=π 2、大角对大边，大边对大角
剖析定理、加深理解
正弦定理：
a sin
A

b sin
B

c sin
C
3、正弦定理可以解决三角形中的问题：
（2） b＝20，A＝60°，a＝10√3 ;
（3） b＝20，A＝60°，a＝15. C
b
A 60°
B
（1） b＝20，A＝60°，a＝20√3
sinB＝
b
sinA a
＝
1 2
，
B＝30°或150°，
C
2060° 20√3
A
B
∵ 150°＋60°> 180°，
∴ B＝150°应舍去.
（2） b＝20，A＝60°，a＝10√3 C
sin Acos C 3 sin Acos C
( 3 sin A cos A) sin C sin C Q sin C 0 3 sin A cos A 1即sin( A 30o) 1 .
2 又Q 30o A 30o 210o A 30o 150o A 120o.
解：S 1 (b2 c2 ) 1 bc sin A
4
2
1 (b c)2 1 bc(1 sin A) 0
4
2
1 (b c)2 0, 1 bc(1 sin A) 0
4
2

b c 1 sin
A
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0
A


2
且b

c
A B C为等腰直角三角形.
正弦定理 在一个三角形中，各边和它所 对角的正弦的比相等，即
a b c sin A sin B sin C
变形：a : b : c sin A: sin B : sin C
定理的应用举例 例1
在ABC中，已知A 32.00 , B 81.80 , a 42.9cm, 解三角形
小结：知道三角形的两个内角和任何一边，利 用正弦定理可以求出三角形中的其它元素。
例 2、 在三角形ABC中，已知a=20cm，b=28cm， A=40° ，解三角形（角度精确到1°边长 精确到1cm）
已知两边和其中一边 的对角,求其他边和角
在例 2 中，将已知条件改为以下几种 情况，结果如何？
（1） b＝20，A＝60°，a＝20√3 ;
B
a b 一解
C
a
b
C
a
b
A
B
a<b 无解
C
b
A
B
a=b 无解
a
A
B
a>b 一解
判断 ABC解的个数：
1a 5,b 4, A 120o ，求B； 2a 5,b 4, A 90o ，求B；
3 a 5,b 10 3 , A 90o ，求B；
3
4a 20,b 28, A 40o ，求B；
Q sin C 1
a b c sin A sin B sin C
思考：对于一般三角形，上述结论是否成立
在锐角三角形中，
作CD AB于点D
CD sin A,即CD bsin A b CD sin B,即CD a sin B a
bsin A asin B
即a b
sinB＝
b
sinA a
＝1 ，
20
B＝90°.
60°
A
B
（3） b＝20，A＝60°，a＝15.
sinB＝
b
sinA a
＝
2√3
3
，
C
∵
2√3
3
> 1，
20
∴ 无解.
60° A
已知边a,b和角Ａ，求其他边和角．
Ａ为锐角
Ｃ
b
a
Ｃ ba
Ｃ
b
a
Ａ
Ａ
Ｂ Ａ Ｂ２ Ｂ１ Ａ
a<bsinA a=bsinA bsinA<a<b
B
ha
Da
同理
∴ SABC
S1CA∴a而BbC sSihna12ACBbCcAs1Di12nbcaAscicnsinAsiBn
2
2
B bsinC
1 absinC 2
1 ac sin B 2
abc a b c 2SABC sin A sin B sin C
c 2R sin C
c A
同理 a 2R, b 2R sin A sin B
a b c 2R sin A sin B sin C
B
a
O
C
b
C/
1.1.1 正弦定理
正弦定理 在一个三角形中，各边和它所 对角的正弦的比相等，即
a b c sin A sin B sinC
思考：用“向量”的方法如何证明“正弦定理
uuur 向量i是与向量 AB垂直的单位向量
uuur uuur uuur
Q i AB BC i AC uuur uuur
i BC i AC

a
cos


2

B


b
cos


2

A

或a
cos

B可以为锐角也可以为钝角，cosB 5 . 13
(1) cosB 5 时，sin C sin(A B) 63 .
13
65
(2) cosB 5 时，sin C sin(A B) 33 .
13
65
sin C 63 或 33 . 65 65
已知ABC的面积S 1 (b2 c2 )，试确定ABC的形状. 4
① 已知两边和其中一边的对角，求另一边 的对角，进而可求其他的边和角
② 已知两角和一边，求其他角和边
剖析定理、加深理解
正弦定理：
a sin
A

b sin B

c sin C
4、一般地，把三角形的三个角A，B，C 和它们的对边a，b，c叫做三角形的元 素。已知三角形的几个元素求其他元素 的过程叫解三角形
Ｃ b
a≥b
无解
一解
两解
一解
Ａ为直角或钝角
Ｃ a
b
Ａ
Ｂ
a>b
一解
Ｃ a
b
Ａ
a≤b 无解
a Ｂ
求证： a b c 2R sin A sin B sin C
（2R为△ABC外接圆直径）
证明：作外接圆O, 过B作直径BC ' ,
连AC'
BAC 90,C C '
sinC sinC' c 2R
剖析定理、加深理解
正弦定理：
a sin
A

b sin B

c sin C
5、正弦定理的变形形式
6、正弦定理，可以用来判断三角形的 形状，其主要功能是实现三角形边角关 系的转化
a
C
a b
A a<bsinA 无解
C a
b
A
B a=bsinA
一解
C a
b
A
B1
B2
bsinA< a < b 两解
C
b
a
A
一解 一解 一解 两解
在ABC中，已知sin A 3，cos B 5 ,
5
13
求sin C. 解： cosB 5 , B (0, ),sin B 12 .
13
13
又sin A 3 ,sin A sin B 5
由正弦定理 a b 可知a b sin A sin B
同理： a c
sin A sin B
sin A sin C
a b c sin A sin B sin C
在钝角三角形中，
作CD AB交AB的延长线于点D
CD sin A,即CD bsin A b
CD sin 180o B sin B,即CD a sin B
B


2


b
cos

A


2

asin B bsin A 即 a b 同理： a c
sin A sin B
sin A sin C
a b c 思考：用“三角形面积公式” sin A sin B sin C 如何证明“正弦定理”
A
1
c
b
∵ SABC 2 aha
A B, A只能为锐角，cos A 4 . 5
sin C sin(A B) 63 . 65
变式：在ABC中，已知cos A 4 ,sin B 12 ,求sin C.
5
13
解： cos A 4 , A (0, )sin A 3
5
5
又 sin B 12 ,sin A sin B,a b A B 13
在ABC中，设A, B, C所对的边分别为 a,b, c，若b c 2a cos(60o C)，求A.
解：由正弦定理得 sin B sin C 2sin A(cos 60o cos C sin 60o sin C) Q sin B sin( A C) sin Acos C cos Asin C sin C
第一章:解三角形
1.问题的引入:
某游客在爬上山顶后，在休息时看到对面的 山顶. 想：这离对面有多远的距离呢？请同学 们帮帮这位游客。（工具是测角仪和皮尺）
思考：在直角三角形中，“边”与“角”的关系
Rt ABC 中 a2 b2 c2
a c sin A,b c sin B
ab sin A sin B