第22章量子力学基础

电子被镍晶体衍射实验
例3： 如两不同质量的粒子，其德布罗意波长相同， ： 如两不同质量的粒子，其德布罗意波长相同， 则这两种粒子的 (A) (A)动量相同 (B)能量相同 (C)速度相同 (D)动能相同 动量相同 能量相同 速度相同 动能相同 的电子， 例4：如图，一束动量为 P 的电子，通过宽为 a 的狭 ：如图， 处放置一荧光屏， 缝，在距狭缝 R 处放置一荧光屏，屏上衍射图样中央 最大宽度 d 等于: 等于:
2 k
2
− m 0c 2 ,
∴λ ≈
2
h , 2m 0 E k
c E + 2 E k m0c ∴v = E k + m0 c 2
2
E k >> m 0 c 时 ,
∴λ ≈
hc Ek
例4.写出实物粒子德布罗波长与粒子动能 Ek、静止 写出实物粒子德布罗波长与粒子动能 质量 m0 的关系，并证明： 的关系，并证明： 1/ 2 2时， λ ≈ h / ( 2m E ) ; Ek<<m0c 0 k
1 2 2 PBaidu Nhomakorabea − E0 , E c hc h = λ= 2 2 E − E0 P
∴λ ≈
2
h , 2m 0 E k
E k >> m 0 c 时 ,
∴λ ≈
hc Ek
2222-3 不确定关系
经典物理：由t=0时 粒子坐标、动量 经典物理： =0时 粒子坐标、 ⇒ 任意t 时 粒子坐标、动量 ⇒ 粒子的轨道 最初人们很自然地用描写宏观粒子的方法(坐标、 最初人们很自然地用描写宏观粒子的方法 坐标、 坐标 动量)去描述微观粒子 去描述微观粒子。 动量 去描述微观粒子。 x 但波动性使微观粒子的坐 标和动量(或时间和能量 或时间和能量) 标和动量 或时间和能量 不能 同时取确定值。 同时取确定值。 如：电子经过缝时 位置不确定 位置不确定
∆x∆p x ≥ h
这是由于微观粒子具有波粒二象性的缘故。 这是由于微观粒子具有波粒二象性的缘故。
22-2 22-
波函数
一、对物质波的理解----概率波的概念 对物质波的理解----概率波的概念 ---怎样理解物质波（德布罗意波） 怎样理解物质波（德布罗意波）? 观察一个一个电子依次入射双缝的衍射实验： 观察一个一个电子依次入射双缝的衍射实验： 底片上出现一个 个的点子→ 个的点子→电子 具有粒子性 粒子性。 具有粒子性。随 着电子增多， 着电子增多，逐 渐形成衍射图样 来源于电子所 → 来源于电子所 具有的波动性， 具有的波动性，
b p=h λ
ϕ
y
o
∆x = b
电子的单缝衍射实验
方向动量 动量也不确定 经过缝后 x 方向动量也不确定
∆p x = p sin ϕ
海森伯于 1927 年提出不确定原理 对于微观粒子不 同时用确定的位置和确定的 对于微观粒子不能同时用确定的位置和确定的 动量来描述 . ∆ x∆ px ≥ h ∆ y∆ p y ≥ h 不确定关系 ∆ z∆ p z ≥ h h h= 2π ∆ x∆ px ≥ h = 1.055×10−34 J ⋅ s ∆ y∆ p y ≥ h 或
= 7.63 × 10 − 24 kg ⋅ m / s
三、 德布罗意波的实验证明 2. G . P . 汤姆孙电子 1. 戴维孙 — 革末电子 衍射实验 ( 1927年 ) 年 衍射实验（ 衍射实验（1927年） 年
电子束透过多晶铝箔的衍射
U
K
电子枪
检测器
K
U
D
P
M
电子束
M
θ
散 射 线
G
双缝衍射图
三. 波函数的性质
根据波函数的统计解释，它应有以下性质： 根据波函数的统计解释，它应有以下性质： 1）有限性；单值性；连续性。 ）有限性；单值性；连续性。 2）归一性： 在空间各点的概率总和必须为 。 ）归一性： 在空间各点的概率总和必须为1。 归一化条件： 归一化条件：
∫
V
| ψ |2 dV ≡ 1
2
Ψ 给出粒子概率密度分布 r Ψ ( r , t ) : 也称为概率幅 也称为概率幅
概率波波函数和经典波函数的区别
经典波函数: 经典波函数: 可测， (1) Ψ 可测，有直接物理意义 (2) Ψ 和 cΨ 不同 不可测，无直接物理意义， (1)Ψ 不可测，无直接物理意义， 概率波波函数： 概率波波函数： 才可测； |Ψ|2才可测； (2)Ψ 和cΨ 描述相同的概率分布 (c是常数 是常数) (c是常数)。
x
(A) 2a2 / R; p; (C) 2ha / RP; / aP.
(B) 2ha /
a
P
ϕ
o
R
d
(D) 2Rh [ D ]
例4.写出实物粒子德布罗波长与粒子动能 Ek、静止 写出实物粒子德布罗波长与粒子动能 质量 m0 的关系，并证明： 的关系，并证明： 1/ 2 2时， λ ≈ h / ( 2m E ) ; Ek<<m0c 0 k
−1
动量的不确定范围 ∆ p = 0.01 % × p = 2 × 10 −4 kg ⋅ m ⋅ s −1 位置的不确定量范围
h 6.63 × 10 −34 −30 ∆x ≥ = m = 3.3 × 10 m −4 ∆p 2 × 10
宏观现象中，不确定关系的影响可以忽略。 宏观现象中，不确定关系的影响可以忽略。
二. 波函数的物理意义
实物粒子的波函数在给定时刻， 实物粒子的波函数在给定时刻，在空间某点的模的 的乘积， 平方 |Ψ |2 与该点邻近体积元 dV 的乘积，正比于该时 刻在该体积元内发现该粒子的概率 P
P ∝ | ψ | dV = ψψ * dV
2
ψ
*
是
ψ
的共轭复数。 的共轭复数。
2
不同于经典波的波函数，它无直接的物理意义， Ψ 不同于经典波的波函数，它无直接的物理意义， 有意义的是 Ψ
7个电子 个电子
20000
100个电子 个电子
70000 3000
尽管单个电子的去向是概率性的， 尽管单个电子的去向是概率性的，但其概率在一 定条件下（如双缝），还是有确定的规律的。 ），还是有确定的规律的 定条件下（如双缝），还是有确定的规律的。 玻恩： 德布罗意波并不像经典波那样是代表实在物 玻恩： 德布罗意波并不像经典波那样是代表实在物 理量的波动， 理量的波动，而是描述粒子在空间的概率分 布的“概率波”。 布的“概率波” 二、波函数 要具体的应用物质波的概念， 要具体的应用物质波的概念，就要有物质波的波 函数。 函数。 平面简谐波函数 y(x, t) = Acos2π (νt-x/λ) π ν λ 复数表示式
1） 微观粒子同一方向上的坐标与动量不可同时准 ） 微观粒子同一方向上的坐标与动量不可同时 同一方向上的坐标与动量不可同时准 确测量,它们的精度存在一个终极的不可逾越的限制 确测量 它们的精度存在一个终极的不可逾越的限制 . 2）不确定的根源是“波粒二象性”这是自然界的根 ）不确定的根源是“波粒二象性” 本属性 . 3）对宏观粒子，因 h 很小，所以 ∆x∆px → 0可视 粒子， 很小， ） 宏观粒子 为位置和动量能同时准确测量------宏观现象中，不 能同时准确测量 宏观现象中， 为位置和动量能同时准确测量 宏观现象中 确定关系的影响可以忽略。 确定关系的影响可以忽略。 4 ) 对能量和时间，同样有 对能量和时间，
E k >> m0 c 2时，
λ ≈ hc / E k。
h
= hc E k + 2m 0 c E k
2 2
解： E k = mc − m0 c
2
2
λ=
E k + m0 c 2 ∴m = c2
2 Qc P2 = E2 − E0 , 2
2 c m 2 − m0
2 Ek<<m0c2时， E k << 2m0 c 2 E k
二、德布罗意假设
一个能量为E、 实物粒子 粒子， 一个能量为 、动量为 p 的实物粒子，同时也具 波动性 有波动性，它的波长λ、频率ν 和 E、p的关系与光 的关系与光 子一样： 子一样： E m 2 c E = hν ν = = 爱因斯坦 — h h h h h 德布罗意关系式 p= λ= = λ p mv 与粒子相联系的波称为物质波, 德布罗意波， 与粒子相联系的波称为物质波,或德布罗意波， 物质波
∆ z∆ p z ≥ h
存在不确定关系的一对物理量互称共轭物理量。 存在不确定关系的一对物理量互称共轭物理量。 共轭物理量 不确定关系是由微观粒子的固有属性决定的，与 不确定关系是由微观粒子的固有属性决定的， 仪器精度和测量方法的缺陷无关。 仪器精度和测量方法的缺陷无关。
不确定关系 物理意义
∆ x∆ px ≥ h ∆ y∆ p y ≥ h ∆ z∆ p z ≥ h
E k >> m0 c 2时，
λ ≈ hc / E k。
解： E k = mc 2 − m0 c 2
E k + m0c 2 ∴m = c2
hc h h = λ= = 2 2 P mv E k + 2m 0 c E k
2 Ek<<m0c2时， E k << 2m0 c 2 E k
Q Ek =
m 0c 2 v 1− 2 c
∆ E∆ t ≥ h
一颗质量为10 的子弹，具有200 m•s-1 的速率 . 例 1 一颗质量为 g 的子弹，具有 若其动量的不确定范围为动量的 0.01% (这在宏观范围 这在宏观范围 是十分精确的 ) , 则该子弹位置的不确定量范围为多大? 则该子弹位置的不确定量范围为多大 解 子弹的动量
p = mv = 2kg ⋅ m ⋅ s
λ — 德布罗意波长
例1 m = 0.01kg，v = 300 m/s 的子弹 ， 波长
h h 6.63 × 10−34 λ= = = = 2.21 × 10− 34 m p mv 0.01 × 300
h极小 → 宏观物体的波长小得实验难以测量 极小 宏观物体只表现出粒子性” → “宏观物体只表现出粒子性” 宏观物体只表现出粒子性 在一束电子中，电子的动能为200eV，求此电子 例2: 在一束电子中，电子的动能为 ， 的德布罗意波长 λ ？ h 6.63 × 10 −34 解: Q v << c
y ( x , t ) = Ae
− i 2π ( ν t − x / λ )
一维 （ 物质波函数： 物质波函数： Ψ x,t) ， ψ ( x , t ) = ψ 0 e 2π r ( Et − px ) −i h 三维 Ψ ( r , t ) = ψ 0e
− i 2π ( ν t − x / λ )
p = 2m 0 E k
∴λ =
p 1 2 ∴ Ek = m0 v = 2 2m0
2
p
=
7.63 × 10 − 24
= 8 .69 × 10 − 11 m = 8 .69 × 10 − 2 nm
= 2 × 9.1 × 10 −31 × 200 × 1.6 × 10 −19
此波长的数量级与 X射 射 线波长的数量级相当. 线波长的数量级相当
四. 对波粒二象性的理解
粒 子 性 波 动 性 原子性” 整体性” ◆“原子性”或“整体性” 原子性 具有集中的 集中的能量 ◆ 具有集中的能量
试证： 试证：若一个作一维运动的粒子的位置不确定量等于 则同时测定它的速度时， 它的的德布罗意波长 λ ，则同时测定它的速度时，其 不确定量最小值等于该粒子的速度。 不确定量最小值等于该粒子的速度。
证明： 证明： x = λ , ∆
由 : ∆x ⋅ ∆p ≥ h,
h h = ∆p ≥ λ ∆x
∆p = m ∆v
第 22 章 量子力学基础
K
D
P
M
U
22-1 22光的干涉和衍射
粒子的波动性
光具有波动性 光具有粒子性
一、光的波粒二象性
光电效应； 光电效应；康普顿散射 光具有波粒二象性 光子的能量、 光子的能量、 动量 描述光的 粒子性
E = hν
p = h
描述光的 波动性
λ
从自然界的对称性出发，认为既然光( 从自然界的对称性出发，认为既然光(波)具有粒子 那么实物粒子也应具有波动性。 性，那么实物粒子也应具有波动性。
h ∆p 则： ∆ v = ≥ m mλ p =v = m
因为
p = mv
∴ ∆vmin = v
问题: 用经典力学的物理量（例如坐标、动量等） 问题 用经典力学的物理量（例如坐标、动量等） 描述微观粒子运动时，存在什么问题？为什么？ 描述微观粒子运动时，存在什么问题？为什么？ 答：用经典力学的物理量（例如坐标、动量等）只 用经典力学的物理量（例如坐标、动量等） 能在一定程度内近似地描述微观粒子的运动， 能在一定程度内近似地描述微观粒子的运动，坐标 x 和动量 Px 存在不确定量 △x 和 △Px ，它们之间必须 满足不确定性关系式： 满足不确定性关系式：