高考数学创新题型专练2.函数与导数(含精析)

高考数学创新题型专练 2.函数与导数（含精析）

一、选择题。

1．设函数()y f x =在区间(),a b 上的导函数为()f x '，()f x '在区间(),a b 上的导函数为()f x ''，若区间(),a b 上()0f x ''>，则称函数()f x 在区间(),a b 上为“凹函数”

，已知()5411

2012

f x x mx =

- 22x -在()1,3上为“凹函数”，则实数m 的取值范围是（ ）

A ．31(,

)9-∞ B ．31

[,5]9

C ．(,3]-∞

D ．(),5-∞ 2．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数1,()0,R x Q

f x x Q

∈⎧=⎨

∈⎩ð

被称为狄利克雷函数，其中R 为实数集,Q 为有理数集，则关于函数()f x 有如下四个命题： ①

()()0

f f x =； ②函数

()

f x 是偶函数；

③任取一个不为零的有理数T ,

()()

f x T f x +=对任意的x ∈R 恒成立；

④存在三个点()()()112233,(),,(),,()A x f x B x f x C x f x ，使得ABC ∆为等边三角形. 其中真命题的个数是（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

3．设函数()x f 的定义域为D ,若函数()x f 满足条件：存在[]D b a ⊆,,使()x f 在[]b a ,上

的值域是⎥⎦

⎤⎢⎣⎡2,2b a 则称()x f 为“倍缩函数”，若函数()()

t x f x

+=2log 2为“倍缩函数”，则的范围是（ ） A.⎪⎭⎫

⎝⎛+∞,41 B.()10， ⎥⎦

⎤ ⎝⎛210.，C D. ⎪⎭⎫ ⎝⎛410， 4．函数(),0

,ln 20

,322

⎪⎩⎪⎨⎧>-≤+--=x x x x x x f 直线m y =与函数()x f 的图像相交于四个不同的点，

从小到大，交点横坐标依次记为d c b a ,,,，有以下四个结论

①[)4,3∈m ②[

)

4

,0e abcd ∈ ③5

62112,2a b c d e e e e ⎡⎫+++∈+

-+-⎪⎢⎣

⎭

④若关于x 的方程()m x x f =+恰有三个不同实根，则m 取值唯一. 则其中正确的结论是（ ）

A. ①②③

B. ①②④

C. ①③④

D. ②③④

5．)(x f 是定义在D 上的函数, 若存在区间D n m ⊆],[， 使函数)(x f 在],[n m 上的值域恰为],[kn km ，则称函数)(x f 是k 型函数．给出下列说法:

①x x f 4

3)(-

=不可能是k 型函数； ②若函数x x y +-=2

2

1是3型函数, 则4-=m ，0=n ；

③设函数)0(2)(2

3

≤++=x x x x x f 是k 型函数, 则k 的最小值为

9

4； ④若函数)

0(1

)(22≠-+=a x

a x a a y 是1型函数, 则m n -的最大值为332． 下列选项正确的是（ ）

A ．①③

B ．②③

C ．②④

D ．①④

6．已知函数()121f x x =--，[0,1]x ∈.定义：1()()f x f x =，21()(())f x f f x =，……，

1()(())n n f x f f x -=，2,3,4,n =L 满足()n f x x =的点[0,1]x ∈称为()f x 的n 阶不动点.

则()f x 的n 阶不动点的个数是（ ）

A.2n 个

B.2

2n 个 C.2(21)n -个 D.2n 个

二、填空题。

7．若函数()x f 同时满足：①对于定义域上的任意x ，恒有()()0=-+x f x f ②对于定义域上的任意21,x x ，当21x x ≠时，恒有

()()02

121<--x x x f x f ，

则称函数()x f 为“理想函数”。

给出下列四个函数中：⑴ ()x

x f 1= ⑵

()2

x x f = ⑶ ()1212+-=x x x f ， ⑷

()⎩⎨⎧<≥-=0

2

2

x x

x x x f ，能被称为“理想函数”的有_ _ （填相应的序号） 。 8．以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数()x ϕ组成的集合：对于函数()x ϕ，存在一个正数M ，使得函数()x ϕ的值域包含于区间[],M M -.例如，当

()()()()31212,sin x x x x x A x B ϕϕϕϕ==∈∈时，，.现有如下命题：

①设函数()f x 的定义域为D ，则“()f x A ∈”的充要条件是“(),,b R a D f a b ∀∈∃∈=”； ②函数()f x B ∈的充要条件是()f x 有最大值和最小值；

③若函数()f x ，()g x 的定义域相同，且()()()(),f x A g x B f x g x B ∈∈+∉，则 ④若函数()()()2ln 22,1

x

f x a x x a R x =++

>-∈+有最大值，则()f x B ∈. 其中的真命题有_____________.（写出所有真命题的序号）

9．如图，在第一象限内，矩形ABCD 的三个顶点A ，B ，C 分别在函数

y=lo 1

2

23,,x

g x y x y ⎛⎫

== ⎪ ⎪⎝⎭，的图像上，且矩形的边分别平行两坐标轴，若A 点的纵坐

标是2，则D 点的坐标是 。

10．若函数f （x ）为定义域D 上的单调函数,且存在区间D b a ⊆],[（其中a

)(是)0,(-∞上的正函数，则实数k 的取值范围是

三、解答题。