概率论与数理统计课程第二章练习题及解答

概率论与数理统计课程第二章练习题及解答

一、判断题（在每题后的括号中 对的打“√”错的打“×” ）

1、连续型随机变量X 的概率密度函数)(x f 也一定是连续函数 （×）

2、随机变量X 是定义在样本空间S 上的实值单值函数 （√）

3、取值是有限个或可列无限多个的随机变量为离散随机变量 （√）

4、离散型随机变量X 的分布律就是X 的取值和X 取值的概率 （√）

5、随机变量X 的分布函数()F x 表示随机变量X 取值不超过x 的累积概率（√）

6、一个随机变量，如果它不是离散型的那一定是连续型的 （×）

7、我们将随机变量分成离散型和连续型两类 （×）

8、若()()()()P ABC P A P B P C =成立，则,,A B C 相互独立 （×）

9、若,,A B C 相互独立，则必有()()()()P ABC P A P B P C = （√） 二、单选题

1、设123,,X X X 是随机变量，且22123~(0,1),~(0,2),~(5,3),X N X N X N

{22)(1,2,3)i i P P X i =-≤≤=，则（ A ）

A ．123P P P >> B. 213P P P >> C. 321P P P >> D. 132P P P >>

2、设随机变量~(0,1)X N ，其分布函数为()x Φ，则随机变量min{,0}Y X =的分布函数()F y 为（ D ）

A 、1,

()(),0y F y y y >⎧=⎨

Φ≤⎩ B 、1,

()(),0y F y y y ≥⎧=⎨

Φ<⎩

C 、0,

()(),

y F y y y ≤⎧=⎨

Φ>⎩ D 、0,

()(),

y F y y y <⎧=⎨

Φ≥⎩ 3、设随机变量X 的密度函数为()x ϕ，且()()x x ϕϕ-=，()F x 是X 的分布函数，则对任意实数a ，有（ B ）

A 、0()1()a

F a x dx ϕ-=-⎰

B 、0

1

()()2a F a x dx ϕ-=-⎰

C 、()()F a F a -=

D 、()2()1F a F a -=-

分析 ()()()()a a a

F a x dx x t

t dt x dx ϕϕϕ-+∞

-∞

+∞

-==--=⎰⎰⎰令

1()()()()()2()a

a a a

a

x dx x dx x dx x dx x dx

Fa a x dx

ϕϕϕϕϕϕ+∞

-+∞

-∞

-∞

-==+++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰（-）+2

1

()()2a F a x dx ϕ-=-⎰，选B

4、设1F x （）与2F x （）分别为随机变量1X 与2X 的分布函数，为使12F x aF x bF x

（）=（）-（）是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取（ A ）

A 、32

55

a b ==-，

B 、22

33

a b ==，

C 、1322a b =-=，

D 、13

22

a b ==-，

分析 根据分布函数的性质lim 1x F x →+∞

=（），

即121lim x F x F aF bF a b →+∞

=∞∞∞（）=（+）=（+）-（+）=-

在给的四个选项中只有A 满足1a b =-，选A

5、设1X 和2X 是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为

1f x （）和2f x （），分布函数分别为1F x

（）和2F x （），则（ D ） A 、12f x f x （）+（）必为某一随机变量的概率密度 B 、12f x f x （）（）必为某一随机变量的概率密度

C 、12F x F x

（）+（）必为某一随机变量的分布密度 D 、12F x F x

（）（）必为某一随机变量的分布密度 分析 首先可否定选项A 与C ，

因为1212[]21f x f x

dx f x

dx f x

dx +∞

+∞+∞

-∞-∞

-∞

=+=≠⎰⎰⎰（）+（）（）（）

12F F ∞∞≠（+）+（+）=1+1=21

对于选项B ，若112x f x -⎧⎨⎩，〈〈-1（）=0，其它，2

10x f x ⎧⎨⎩，〈〈1（）=0，其它

，则对任何 1212(,),

0,

01x f x f x f x

f x dx +∞

-∞

∈-∞+∞≡=≠⎰

（）（）（）（），也应否定C 。选D 进一步分析可知，若令12(,)X max X X =，而1,2i

i X f x i =（）,，则X 的

分布函数F x （）恰是12F x F x

（）（），因为 12121221{}{(,)}{,}

{}{}F x P X x P max X X x P X x X x P X x P X x F x F x

≤=≤=≤≤=≤≤=（）=（）（）

6、设随机变量X 与Y 均服从正态分布22(,4),(,5)X

N Y

N μμ，记

12{4},

{5}p P X p P Y μμ=≤-=≥+，则（ A ）

A 、对任何实数μ都有12p p =

B 、对任何实数μ都有12p p <

C 、只有μ的个别值，才有12p p =

D 、对任何实数μ都有12p p >

分析 14{4}{

}(1),44X p P X P μμμμφ---=≤-=≤=- 25{5}{}1(1)(1)55

Y p P Y P μμμ

μφφ-+-=≥+=≥=-=-

因此，对任何实数μ都有12p p =。选A 7、设随机变量X 服从正态分布2(,)X N μσ，则随σ的增大，概率{}

P X μσ-<（ C ）

A 、单调增大

B 、单调减少

C 、保持不变

D 、增减不定

分析 由于2(,)X

N μσ，故

(0,1)X N μ

σ

-，{}{

1}(1)X P X P μ

μσφσ

--<=<=

计算看出概率{}P X μσ-<的值与σ的大小无关。选C 8、设随机变量X 服从正态分布(0,1)X

N ，对给定的(01)αα<<，数z α满足

{}P X z αα>=。若{}P X x α<=，则x 等于（ C ）

A 、2

z α B 、12

z

α-

C 、12

z α-

D 、1z α-