十一章动量定理

xc yc 2 [ ] [ ]2 1 2(m1 m2 )l /(2m1 m2 ) m1l /(2m1 m2 )
系统动量沿x, y轴的投影为:
C 2(m1 m2 )l sin t p x mvCx mx
C m1l cos t p y mvCy my
G
0 0 G(t1 t0 ) FNt0
代入已知数据可解得：
t1 FN G ( 1) 1656kN t0
FN
h
例11.6 质量为 mA的物块A在重力作用下沿质量为 mB的 大物块B的斜面滑下，斜面倾角为α，若系统初始处于静 止，各接触面均光滑. 求：物块A沿斜面滑下 l 时物块B移动的距离。
2
力偶怎 么求？
附加动约束力
例11.5 锤的质量m =3000kg,从高度h=1.5m处自由下落到受锻 压的工件上，工件发生变形，历时t0=0.01s，求：锤对工件的平 均压力。 y 解：取锤为研究对象，则锤的运动可分为自由落体过程 和锻压过程，第一过程受重力作用，第二过程受重力和 m 平均约束力作用。对整个过程用冲量定理。 锤自由落体过程经历的时间 t1 2h t1 g 锤的初速度及末速度均为0. 由质点的动量定理得：
系统动量的大小为:
2 2 px py l 4(m1 m2 ) 2 sin 2 t m12 cos 2 t
p
系统动量的方向为:
p x 2(m1 m2 ) tan tan t py m1
2．冲量 物体在力的作用下运动发生变化，不仅与力 的大小有关，还与力的作用时间长短有关。 常力的冲量：作用力与作用时间的乘积。
2 2
dp dm (v2 v1 )=qm (v2 v1 ) 同除以 t ，并取极限： dt dt
由动量定理得：
qm (v2 - v1 ) = F =F1 + F2 + FN +W
பைடு நூலகம்
' '' 管壁对流体的约束力： FN = FN + FN
静约束力
动约束力
根据静力平衡分析：
qm (v2 v1 ) Q (v2 v1 ) 动约束力： FN
Fx 384 N
Fy 159 N
液体对叶板动压力与上述 结果大小相等，方向相反。
10.3 质心运动定理
d 速度 p Fi ( e ) 1. 由质点系的动量定理： dt (e) 其中 p mi vi Mvc MaC Fi
质心加

－质心运动定理 质点系的质量与质心加速度的乘积等于作用于质点系外力
mA cos vB vr mA mB
滑块B的位移:
(mA+mB)g mA
mB
mA cos 0 vr dt mA mB l
t
mA cos d vB dt 0 mA mB
t
FN
4.动量定理在流体中的应用
理想流体的假设 :
（1）流动是稳定（定常）的，即各点 的速度、压强不随时间而变化 。 （2）流体是不可压缩的，即流量是常数。 则有连续流方程：
xC mx m
i i i
y

2ml cos 0.5ml cos ml cos 4m
7 px mi xc lm sin 2 7 同理得 p y l m cos 2
ω O
φ
A
x
p
7 2 p p lm 2
2 x 2 y
例11.3 已知: 为常量,均质杆OA = AB =l ,两杆质量为 m1 ，滑块 B 质量为 m2 .OA与x轴夹角 t 。
(e) (i) d( m v ) F d t F 质点系: i i i i dt
内力性质:
(i ) Fi 0
(i ) Fi dt 0
p mi vi
e d mi vi Fi dt
dp Fi (e) dt
质点系动量对时间的导数等于作用于质点 系的外力系的主矢，称为质点系的动量定理。
p2 p1 I i(e)
i 1
冲量定理
－质点系动量定理的积分形式
即某一时间间隔内质点系动量的改变量等于在这 段时间内作用于质点系外力冲量的矢量和.
(e) p2 z p1z I z(e) p2 x p1x I x(e) p2 y p1 y I y
－质点系动量定理积分形式的投影式
解： 1. 运动分析 动点－小三角块A 动系－大三角块B
mA mB
va ve vr
上矢量式投影于x轴:
ve
mA
x vr
vax vr cos vB
va
2.动力学分析 系统在水平方向受力为零，因此质 点系在水平方向满足动量守恒.
mAvax mB vB 0
vax vr cos vB
M
dvc v Ft ( e ) , M c Fn( e ) , 0 Fb( e ) dt
2.质心运动守恒定律
(e) （1）当外力系的主矢 Fi 0 ，则 vC 常矢量，
即质心作惯性运动，系统动量守恒：
mv mv
2
1
常矢量
(e) （2）当外力系的主矢在某一轴上的投影等于零，如 Fix 0
d(mv ) F dt
mv2 mv1 Fdt I
t1
t2
－质点动量定理的积分形式
即质点动量在某一时间间隔内的变化, 等于作用于质点
的力在此段时间内的冲量.
2.质点系的动量定理 外力: Fi (e) ，内力: Fi (i)
(e) (i) d( m v ) F d t F 质点: i i i i dt
dm A1v1 A2v2 qm dt
即流入边界和流出边界的质量流量相等。
v1、v2－流入和流出的速度 A1、A2－入口和出口处的横截面积
－密度
qm －质量流量
考察截面1-2间流体:
1-2： t 瞬时流体所在位置 1'-2' ： t + t 瞬时流体所在位置 外力 : 体积力 W 面积力
也可写成：
dp Fi (e) dt dIi(e)
*
dpz Fz(e) dt
－质点系动量定理的微分形式 即质点系动量的增量等于作用于质点系的外力元冲量的 矢量和。
dpx Fx(e) dt
dp y
dt －质点系动量定理微分形式的投影式
n
F
(e) y
对*式两端积分：
如(b)图所示：用Fx和Fy表示其合力分量。
如忽略损耗，流出截面B的速度： v2 v1 F q ( v 由 N m 2 v1 ) ，取图中坐标系，有：
Fx Q(v2 cos135 v1 ) Fy Q(v2 sin 135 0)
3 代入水的密度 1000kg / m ，得：
的矢量和，即等于外力的主矢.
问题：内力是否影响质心的运动？（实例？）
质心运动定理与动力学基本方程有何不同？ （1）质心运动定理在直角坐标轴上的投影式为:
Macx Fx( e ) , Macy Fy( e ) , Macz Fz( e )
（2）质心运动定理在自然轴上的投影式为:
求:质心运动方程、轨迹及系统动量.
解:质心运动方程为:
l 3l m1 m1 2m2l 2 xC 2 cos t 2m1 m2 2(m1 m2 ) l cos t 2m1 m2
消去t 得轨迹方程：
l 2m1 m1 2 sin t yC l sin t 2m1 m2 2m1 m2
3．质点系动量守恒定律
若作用在质点系上的外力系的主矢等于零，该质点系的动
量保持不变。即 p2 p1 常矢量
若作用在质点系上的外力系的主矢在某轴上的投影等于零，
该质点系的动量在该轴上的投影保持不变。 即 p2 x p1x 常量
例11.4 电动机外壳固定在水平基础上,定子和外壳的质量为 m1 ,转子质量为 m 2.定子和机壳质心 O1 ,转子质心 O2 ,O1O2 e ,
解： 圆盘的动量:
p m vc
O
1
2
圆盘作平面运动，取圆盘上与杆接触点 B为基点，采用基点法求C点速度。
B
vB 1 OB 100 3mm/s
其他方 法求vC？
vCB (2 1 ) R 300mm/s
O
2
1
B
C
vB
A
vC
vC v v
i 1 n
px mi vix ,
i 1
n
p y mi viy ,
i 1
n
pz mi viz
i 1
n
mx 物体系统质心坐标公式： x
c
i i
ri 表示各质点的位 以 rc 表示质点系质心的矢径，
置矢径，则有
rc xc i yc j zc k m r ii
2 B
2 CB
200 3mm/s
p 6.93N s
vCB
A
p mvC
vB
例11.2 椭圆规机构中，OD＝AD＝DB＝l；滑块A和B的 质量均为m，曲柄OD和连杆AB的质量均为m ；曲柄以 等角速度ω绕O轴旋转；图示位置时，角度φ为任意值。 求：图示位置时，系统的总动量。 解：建立坐标系，设系统质心坐标为（xc,yc) B
动力学
东南大学土木学院工程力学系
第十一章 动量定理
11.1 动量与冲量
1．动量
质点的动量:质点的质量与速度的乘积。 p mv
矢量：方向与速度方向相同。单位：kg m s 质点的动量是度量质点运动强弱的基本特征量之一。 质点系的动量:质点内各质点动量的矢量和。 p mi vi
FN、F1、F2
t 内动量的改变量 :
p ( mi vi mi vi)-( mi vi mi vi )
1 2 2 2 11 1 2
由于流动是稳定的：
1 2
m v = m v
i i 1 2
11
i i
p mi vi- mi vi mv2 mv1 m(v2 v1 )
流体的流量 流体密度
' F1 + F2 + FN +W = 0
例11.7 一喷射水流以速度 v1 4.5 m s 沿水平方向射入一光滑 3 固定叶板（如图(a)所示）。设水流的体积流量 Q 0.05 m s ， 离开叶板的折射角为 135 。 求：流体作用于叶板的动压力。 解：截取AB段流体为研究质点系。 流体对于叶板的动压力可以通过叶板 对流体的动约束力求得。
角速度
解:
为常量.求：基础的水平及铅直约束力. 转子动量： p m 2 e
p x m2 e cos t
p y m2 e sin t
由
dpx Fx dt dp y Fy m1 g m2 g dt
得
Fx m2 e 2 sin t
Fy (m1 m2 ) g m2 e cos t
则质心速度在该轴上的投影保持不变，即
mv
I Ft
矢量：方向与力方向一致。单位：N s 元冲量：微小时间间隔dt内，变力F的冲量。
dI Fdt
变力在作用时间 t1～
t 2内的冲量： I Fdt
t1
t2
10.2 动量定理
1.质点的动量定理
或 d(mv ) Fdt －质点动量定理的微分形式 即质点动量的增量等于作用于质点上的力的元冲量. 在 t1 ~ t 2 内, 速度由 v1 ~ v2 ，有
M
, yc
my
i
i
M
, zc
mz M
i i
M 上式两边同乘以系统总质量M，对时间求一阶导数：
M vc mi vi p mi vi M vc
质点系的动量等于质点系质心速度与其全部 质量的乘积。可应用于刚体和刚体系统。
例11.1 已知：均质圆盘在OA杆上纯滚动，m＝20kg， R＝100mm，OA杆的角速度为 1 1rad/s ，圆盘相对 于OA杆转动的角速度为 2 4rad/s ， OB 100 3mm。 求：此时圆盘的动量。