高等数学的矩阵在实际生活中的应用
高考数学矩阵的应用及实例分析
高考数学矩阵的应用及实例分析高考数学是所有文理科生必备的重要课程，而矩阵则是其中必不可少的基础知识点之一。
然而，在实际应用中，矩阵的作用远不止于此，尤其是在计算机领域的广泛应用。
本文将就高考数学矩阵的应用及实例展开阐述和分析。
矩阵的基本定义矩阵是数学中经常用到的对象，其由数或其他数或向量组成的矩形阵列所构成。
例如，一个行列均为m的矩阵记作A=[a_{ij}]，其中i表示行，j表示列，a_{ij}表示A的第i行第j列的元素。
在矩阵中，元素之间的顺序是有意义的，这也是矩阵与普通数组不同的地方。
矩阵的加法和乘法矩阵的加法和乘法是矩阵计算中最基础的两个操作，其定义如下：1.矩阵加法设A=[a_{ij}]，B=[b_{ij}]均为m行n列的矩阵，令C=A+B，且C=[c_{ij}]，则矩阵C的第i行第j列的元素c_{ij}为a_{ij}+b_{ij}。
2.矩阵乘法设A=[a_{ij}]是m行n列的矩阵，B=[b_{ij}]是n行k列的矩阵，令C=A*B，且C=[c_{ij}]，则矩阵C的第i行第j列的元素c_{ij}为c_{ij}=a_{i1}*b_{1j}+a_{i2}*b_{2j}+...+a_{in}*b_{nj}矩阵的应用矩阵的应用不仅局限于高考数学的范畴，其在计算机领域中也有着广泛的应用。
1.图像处理在图像处理中，矩阵被广泛应用于图像滤波和处理算法中。
比如，利用矩阵卷积的方法对图像进行模糊和锐化处理等。
2.数据分析在机器学习和数据分析领域中，矩阵被广泛用于特征向量和特征值计算、预处理和数据降维等方面。
其中，主成分分析（PCA）就是一种常用的算法，它通过矩阵的特征向量和特征值来实现降维和特征提取。
3.计算机图形学在计算机图形学领域中，矩阵被广泛应用于更加复杂的三维图形的建模和变换中。
其中，矩阵变换（旋转、平移等）是基本操作之一，而矩阵在计算机图形学中的应用更加广泛，包括贝塞尔曲线、NURBS曲线等都离不开矩阵的支持。
矩阵在现实中的应用
矩阵在现实中的应用一、矩阵的概念矩阵不仅是数学中的一个重要的内容，也是经济研究工作中处理线性模型的重要工具。
在数学中为了方便于处理数据，我们经常把一些具有类似性质的数据排成m行n列的矩形阵列。
这种列阵在经济领域也是常常会碰到的，这种矩形的阵列称为矩阵。
二、矩阵的分类1、元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵。
2、所以元素均为0的矩阵，称为零矩阵，记做Q 。
3、只有一行的矩阵称为行矩阵，只有一列的矩阵称为列矩阵。
4、如果矩阵A的行数与列数都等于n，则称A为n阶矩阵，也叫n阶方阵。
5、当两个矩阵的行数与列数分别相同时，称它们为同型炬阵。
6、特殊矩阵：三角矩阵、对角矩阵、单位矩阵、对称与反对称矩阵。
三、矩阵图法的涵义矩阵图法就是从多维问题的事件中，找出成对的因素，排列成矩阵图，然后根据矩阵图来分析问题，确定关键点的方法，它是一种通过多因素综合思考，探索问题的好方法。
在复杂的质量、数量问题中，往往存在许多成对的质量或数量因素．将这些成对因素找出来，分别排列成行和列，其交点就是其相互关联的程度，在此基础上再找出存在的问题及问题的形态，从而找到解决问题的思路。
短阵图的形式如图所示，A 为某一个因素群，a1、a2、a3、a4、…是属于A这个因素群的具体因素，将它们排列成行；B为另一个因素群，b1、b2、b3、b4、…为属于B这个因素群的具体因素，将它们排列成列；行和列的交点表示A 和B各因素之间的关系。
按照交点上行和列因素是否相关联及其关联程度的大小，可以探索问题的所在和问题的形态，也可以从中得到解决问题的启示等。
质量和数量管理中所使用的矩阵图，其成对因素往往是要着重分析的质量、数量问题的两个侧面，如生产过程中出现了不合格品时，着重需要分析不合格的现象和不合格的原因之间的关系，为此，需要把所有缺陷形式和造成这些缺陷的原因都罗列出来，逐一分析具体现象与具体原因之间的关系，这些具体现象和具体原因分别构成矩阵图中的行元素和列元素。
高等数学的矩阵在实际生活中的应用修订稿
高等数学的矩阵在实际生活中的应用内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128）矩阵在实际生活中的应用一．【摘要】随着科学技术的发展，数学的应用越来越广泛，可以说和我们的生活息息相关。
而高等数学中的线性代数，也同样有着广泛的应用。
本篇论文中，我们就对线性代数中的矩阵在生产成本、人口流动、加密解密、计算机图形变换等方面的应用进行研究。
【关键词】高等数学矩阵实际应用二．应用举例1.生产成本计算：在社会生产管理中经常要对生产过程中产生的很多数据进行统计、处理、分析，以此来对生产过程进行了解和监控，进而对生产进行管理和调控，保证正常平稳的生产以达到最好的经济收益。
但是得到的原始数据往往纷繁复杂，这就需要用一些方法对数据进行处理，生成直接明了的结果。
在计算中引入矩阵可以对数据进行大量的处理，这种方法比较简单快捷。
例1.某工厂生产三种产品A、B、C。
每种产品的原料费、支付员工工资、管理费和其他费用等见表1，每季度生产每种产品的数量见表2。
财务人员需要用表格形势直观地向部门经理展示以下数据：每一季度中每一类成本的数量、每一季度三类成本的总数量、四个季度每类成本的总数量。
表1.生产单位产品的成本（元）表2.每种产品各季度产量（件）解 我们用矩阵的方法考虑这个问题。
两张表格的数据都可以表示成一个矩阵。
如下所示： 通过矩阵的乘法运算得到MN 的第一行元素表示了四个季度中每个季度的原料总成本； MN 的第二行元素表示了四个季度中每个季度的支付工资总成本；MN 的第三行元素表示了四个季度中每个季度的管理及其他总成本。
MN 的第一列表示了春季生产三种产品的总成本； MN 的第二列表示了夏季生产三种产品的总成本； MN 的第三列表示了秋季生产三种产品的总成本； MN 的第四列表示了冬季生产三种产品的总成本。
对总成本进行汇总，每一类成本的年度总成本由矩阵的每一行元素相加得到，每一季度的总成本可由每一列相加得到。
线性代数的应用研究——矩阵在实际生活中的应用
线性代数的应用研究——矩阵在实际生活中的应用一、可逆矩阵在保密通信中的应用随着计算机与网络技术的迅猛发展，通信技术中的保密工作显得尤为重要，怎样确保通信过程中信息的安全变得至关重要，因此大量各具特色的密码体系不断涌现。
矩阵作为线性代数的重要组成部分，其应用领域也从传统的物理领域迅速扩展到非物理领域，尤其是在保密通信中发挥着重要作用。
（一）可逆矩阵 1、矩阵矩阵的定义：m 行n 列的矩形数表称为m 行n 列矩阵，简称m ×n 矩阵，矩阵用大写黑体字母A ，B ，C ，…表示。
如：A=[a 11 a 12 … a 1na 21 a 22 … a 2n … … … …a m1 a m2 … a mn ] 这m ×n 个数称为矩阵A 的元素， a ij 称为矩阵A 的第i 行第j 列元素，一个m ×n 矩阵A 也可简记为A =(a ij ) m×n 或 A m×n 。
矩阵加法：设有两个m ×n 矩阵A =(a ij ) ，B =(b ij )，矩阵A 与B 的和记作A +B ，规定为A +B =（a ij +b ij ）m×n。
矩阵乘法：设A =(a ij ) m×n ，B =(b ij ) m×n 。
矩阵A 与矩阵B 的乘积记作AB ，规定为AB =(c ij ) m×n 其中c ij =a i1b 1j +a i2b 2j +⋯+a is b sj =∑a ik b kj s k=1 (i=1，2，…，m ；j=1，2，…，n)。
2、矩阵的逆于n 阶矩阵A ，如果存在一个n 阶矩阵B ，使得AB=BA=1，则称矩阵A 为可逆矩阵，而矩阵B称为A的逆矩阵。
记作A-1，即A-1=B。
（二）保密通信1、背景自从人类有了文字书写之后，就考虑使用一些手段来保障通信的机密，防止被获取甚至被篡改。
早期的古典密码，如人类最早由记载的棋盘密码、恺撒密码、维吉尼亚密码等，相对比较简单。
矩阵的实际应用
【假设】（ 1）假定26个英文字母与数字之间有以 下的一一对应关系：
（2）假设将单词中从左到右 ，每3个字母分为一组， 并将对应的3个整数排成3维的行向量 ，加密后仍为3 维的行向量 ，其分量仍为整数。
在【假设】 中 ， 也可将单词中从左到右 ，每4个字母分位 一组 ， 并将对应的4个整数排成4维的列向量 ，加密后仍为4维 的列向量 ，其分量仍为整数 ， 最后不足4个字母时用空格上。
信息action ，使用上述代码 ，则此信息的编码是： 1 ，3， 20 ，9 ， 15 ， 14．可以写成两个向量
②密匙矩阵要求3阶及以上.
每一类成本的年度总成本由矩阵的每一行元素相加得到 每一季度的总成本可由每一列相加得到
表3汇总了总成本
应用2 人口迁徙模型
设在一个大城市中的总人口是固定的。 人口的分布则因居民在市区和郊区之间 迁徙而变化 。每年有6%的市区居民搬 到郊区去住 ，而有2%的郊区居民搬到 市区 。假如开始时有30%的居民住在市 区，70%的居民住在郊区， 问10年后市 区和郊区的居民人口比例是多少？30年、 50年后又如何？
矩阵的实际应用
线性代数研究最多最基本的便是矩阵 。矩阵是线 性代数最基本的概念 ，矩阵的运算是线性代数的基本 内容 。矩阵就是一个数表 ，而这个数表可以进行变换， 以形成新的数表 。如果你了解原始数表的含义 ，而且 你可以从中抽象出某种变化规律 ，你就可以用线性代 数的理论对你研究的数表进行变换 ， 并得出你想要的 一些结论 。这些结论就可以直观的 、简洁的数表形式 展现在你眼前 。在日常生活中 ，矩阵无时无刻不出现 在我们的身边 ，例如生产管理中的生产成本问题 、人 口的流动和迁徙 、密码学 、图论 、生态统计学 、 以及 在化工 、医药 、 日常膳食等方面都经常涉及到的配方 问题 、超市物品配送路径等都和矩阵息息相关。
矩阵的应用及案例
矩阵的应用及案例矩阵是数学中的一种重要工具，它在各个领域都有广泛的应用。
本文将从不同领域的案例出发，介绍矩阵的应用。
1. 图像处理在图像处理中，矩阵被广泛应用。
例如，我们可以将一张图片表示为一个矩阵，每个像素点对应矩阵中的一个元素。
通过对矩阵进行变换，可以实现图像的旋转、缩放、平移等操作。
此外，矩阵还可以用于图像的压缩和去噪等处理。
2. 机器学习在机器学习中，矩阵也是一个重要的工具。
例如，我们可以将一组数据表示为一个矩阵，每行对应一个样本，每列对应一个特征。
通过对矩阵进行运算，可以实现分类、聚类等任务。
此外，矩阵还可以用于神经网络的训练和优化。
3. 量子计算在量子计算中，矩阵也是一个重要的工具。
例如，我们可以将一个量子态表示为一个矩阵，通过对矩阵进行运算，可以实现量子门的操作。
此外，矩阵还可以用于量子算法的设计和优化。
4. 金融风险管理在金融风险管理中，矩阵也是一个重要的工具。
例如，我们可以将一组金融数据表示为一个矩阵，每行对应一个时间点，每列对应一个资产。
通过对矩阵进行运算，可以实现风险分析和投资组合优化。
5. 信号处理在信号处理中，矩阵也是一个重要的工具。
例如，我们可以将一个信号表示为一个矩阵，通过对矩阵进行变换，可以实现信号的滤波、降噪等处理。
此外，矩阵还可以用于音频和视频的压缩和编码。
6. 网络分析在网络分析中，矩阵也是一个重要的工具。
例如，我们可以将一个网络表示为一个矩阵，每行和每列对应一个节点，矩阵中的元素表示节点之间的连接关系。
通过对矩阵进行运算，可以实现网络的聚类、社区发现等任务。
7. 人脸识别在人脸识别中，矩阵也是一个重要的工具。
例如，我们可以将一组人脸图像表示为一个矩阵，每行对应一个图像，每列对应一个像素。
通过对矩阵进行运算，可以实现人脸识别和人脸比对等任务。
8. 自然语言处理在自然语言处理中，矩阵也是一个重要的工具。
例如，我们可以将一组文本表示为一个矩阵，每行对应一个文档，每列对应一个词汇。
矩阵在生活中的应用
矩阵在生活中的应用
矩阵是数学中一个重要的概念，它在生活中有着广泛的应用。
从科学到工程，
从经济到医学，矩阵都扮演着重要的角色。
在科学领域，矩阵被广泛应用于物理学、化学等学科中。
在物理学中，矩阵被
用来描述物体的运动和变形，例如在力学中，矩阵可以表示物体受力的情况，从而帮助科学家们分析物体的运动规律。
在化学中，矩阵被用来描述化学反应的过程，从而帮助化学家们预测反应的结果。
在工程领域，矩阵被广泛应用于控制系统、通信系统等领域。
在控制系统中，
矩阵被用来描述系统的状态和控制输入之间的关系，从而帮助工程师们设计出高效的控制系统。
在通信系统中，矩阵被用来描述信号的传输和处理过程，从而帮助工程师们设计出高效的通信系统。
在经济领域，矩阵被广泛应用于金融、市场分析等领域。
在金融中，矩阵被用
来描述资产的收益和风险之间的关系，从而帮助金融分析师们进行投资决策。
在市场分析中，矩阵被用来描述市场数据之间的关系，从而帮助市场分析师们预测市场走势。
在医学领域，矩阵被广泛应用于医学影像处理、生物信息学等领域。
在医学影
像处理中，矩阵被用来描述医学影像的特征，从而帮助医生们进行疾病诊断。
在生物信息学中，矩阵被用来描述生物数据之间的关系，从而帮助生物学家们研究生物信息。
总的来说，矩阵在生活中有着广泛的应用，它不仅帮助科学家们研究自然规律，还帮助工程师们设计出高效的系统，帮助金融分析师们进行投资决策，帮助医生们诊断疾病。
可以说，矩阵已经成为了现代社会不可或缺的数学工具之一。
矩阵的应用及案例
矩阵的应用及案例矩阵是数学中一种重要的数据结构，它的使用不仅可以方便我们分析和解决数学问题，而且在现实应用中也得到了广泛的应用。
本文将介绍矩阵的应用及其实际案例。
首先，我们来看一下矩阵的一般定义。
一个矩阵是由m行n列的实数组成的数学表示，用来表示常量或连续变量的特殊容器，可以用来描述数据的多维关系，也可以用来解决多元函数和多元方程组等数学问题。
矩阵在现实生活中，也有着广泛的应用。
比如，矩阵可以用来解决运输问题，它可以解决产品在运输过程中的最优选择问题；矩阵也可以用来求解复杂的统计问题，比如计算各类投资的最优组合，从而有效提高投资回报；矩阵还可以用来解决线路规划问题，比如求解最短路径、最优路线等。
此外，矩阵也可以应用于许多其它领域，比如机器学习中的支持向量机（SVM）、神经网络建模和图像处理等。
因此，我们可以看到矩阵在很多领域得到了广泛的应用。
让我们看看一些现实的案例，以更具体的方式来了解矩阵的应用。
比如，在金融领域，矩阵可以用来计算定价，比如期权定价和资产定价，也可以用来计算风险、收益投资组合等；在基因组学中，矩阵可以用来分析基因的表达模式、比较基因家族信息，以及追踪变异基因的演化轨迹等；在信息分析领域，矩阵可以用来提取特征、估计参数和建立模型，也可以用来进行文档类别划分等。
从以上的案例可以看出，矩阵可以用来解决很多现实问题，在许多领域得到了广泛的应用。
然而，在有些情况下，使用矩阵可能会遇到一些问题，比如矩阵求解非常耗费计算资源，或者在处理非线性函数和方程时，可能不能得到最优解等。
总之，矩阵在很多领域都有很多应用，可以解决很多实际问题，但也要考虑到它可能带来的一些问题，以便更好地应用它。
以上就是有关矩阵的应用及其实际的案例。
希望本文能够给读者介绍矩阵的应用及实际案例，从而使读者更加深入地了解矩阵的应用。
矩阵与向量在生活中的应用
｜科学之友｜83在我们的日常生活中，经常会用到矩阵和向量，比如进行一次乘法运算，向量就是在矩阵中一个一个地添加数字的过程。
在科学研究中，我们也经常用到矩阵，比如研究相对论的时候就需要用到一个一维的、实对称矩阵。
矩阵和向量不仅在数学中有重要的地位，在现实生活中也有广泛的应用。
矩阵与向量在生活中的应用交通规划交通规划是现代城市管理中非常重要的一部分，矩阵在交通规划中扮演着重要的角色。
矩阵可以被用来表示不同地点之间的距离或时间，通过对矩阵进行运算，可以计算出最短路径或最优路线，为人们的出行提供便利。
在交通规划中，首先需要建立一个交通网络矩阵，其中每个元素表示两个地点之间的距离或时间。
这些数据可以通过调查或传感器等手段收集得到。
然后，利用矩阵运算的方法，可以计算出任意两个地点之间的最短路径或最优路线。
最短路径算法是常用的矩阵运算方法之一。
其中，迪杰斯特拉算法和弗洛伊德算法是两种常见的最短路径算法。
迪杰斯特拉算法适用于求解单源最短路径问题，即从一个地点到其他所有地点的最短路径。
而弗洛伊德算法则适用于求解任意两个地点之间的最短路径。
交通规划中的最优路线问题也可以通过矩阵运算来解决。
例如，可以利用线性规划方法，将交通网络建模为一个优化问题，通过对矩阵进行运算，可以确定最优路线，以最大程度地满足各种交通需求和限制条件。
不仅如此，矩阵运算还可以用来进行交通流量预测和交通拥堵分析。
通过对交通网络矩阵进行统计分析和预测，可以帮助交通规划从业人员更好地应对交通拥堵问题，提出相应的解决方案。
图像处理图像处理是一项重要的技术领域，矩阵在图像处理中扮演着至关重要的角色。
在图像处理中，图像可以被表示为一个二维的像素矩阵，其中每个像素点的数值代表了图像在该位置的颜色或亮度信息。
通过对这个像素矩阵进行各种操作和运算，可以实现各种图像处理的功能。
图像缩放是其中一项常见的图像处理操作。
通过对图像的像素矩阵进行线性插值或降采样，可以将图像的大小调整为所需尺寸。
矩阵在生活中的应用
矩阵在生活中的应用矩阵是数学中的一种重要概念，它广泛应用于各个领域。
在生活中，我们可以发现，矩阵的应用十分广泛，它涉及到了商业、科技、医学等各个领域。
下面我们来详细介绍一下矩阵在生活中的应用。
1. 电视与电影电视与电影中所使用的图像、声音等信息都需要进行数字化处理和储存。
这种处理和储存过程就需要用到矩阵。
矩阵可以将数字信号储存为矩阵格式，然后再通过图像处理和数字信号处理等方法进行编码和解码，以达到更好的储存、传输和播放效果。
2. 医学医学中的计算机断层扫描（CT）和磁共振成像（MRI）等影像技术往往需要将影像数据转化为数字信号，然后进行数学分析，以便提取出医学上有用的信息。
在这个过程中，矩阵的应用尤为重要，因为矩阵可以将影像数据储存在矩阵中，然后通过与病灶对比分析等方法帮助医生做出更准确的诊断和判断。
3. 经济经济学中的多元统计分析、数据挖掘、金融风险管理等领域都需要应用矩阵。
例如，在股市中，股票价格变动的预测需要将历史价格数据转化为矩阵，然后用线性代数和数值分析等方法进行预测。
其他类似的应用还有投资组合分析、风险评估、市场营销等。
4. 汽车工业汽车工业中，矩阵广泛应用于设计和生产过程中的数学建模、仿真分析、控制系统设计等领域。
例如，对于汽车的动力系统，需要将其各个部分建模为矩阵，以便进行仿真和控制；对于汽车的制造过程，需要使用矩阵进行数据处理和优化，以便提高制造效率和质量。
5. 网络应用在互联网应用中，矩阵的应用十分广泛。
比如，图像识别、语音识别、自然语言处理、搜索引擎等领域都需要用到矩阵。
例如，在搜索引擎中，网页排名算法（如PageRank算法）就是通过矩阵计算机理实现的。
此外，还有社交网络分析、广告推荐、金融投资等领域的应用。
综上所述，矩阵在生活中的应用之广泛，是由于它具有很强的数据处理和分析能力。
因此，无论是在科技、商业、医学还是其他领域，我们都能看到矩阵的身影。
矩阵的应用在高考数学中的体现
矩阵的应用在高考数学中的体现矩阵，作为数学中一个重要的概念，被广泛应用于各个领域，其中就包括高考数学。
在考研、数学竞赛等方面，矩阵的应用更是不可或缺。
本文将以矩阵在高考数学中的应用为主题，探讨其在这一领域中的体现。
一、理解矩阵在探讨矩阵在高考数学中的应用之前，我们需要先了解什么是矩阵。
矩阵是由数个数排成的矩形，并且可以进行加、减、数乘、乘法等运算的一种数学工具。
常见的矩阵类型包括行矩阵、列矩阵、方阵、零矩阵等。
二、矩阵在高考数学中的应用1. 线性方程组的求解在高考数学中，线性方程组的求解是一个非常重要的内容。
其中，矩阵是求解线性方程组的有力工具之一。
利用矩阵，我们可以将线性方程组表示为矩阵乘法的形式，然后通过列主元消元法或高斯消元法等方法，求解出未知数的值。
例如，对于一个三元无系数线性方程组：$$\begin{cases}x+y+z=6 \\2x+3y+2z=13 \\4x+3y+z=13 \\\end{cases}$$可以表示为如下矩阵形式：$$\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\2 &3 & 2 \\4 & 3 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\y \\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6 \\13 \\13\end{pmatrix}$$然后，我们就可以通过高斯消元法等方法来求解未知数的值。
2. 向量的运算在高考数学中，向量的运算也是一项重要的内容。
矩阵可以被用来表示向量，从而方便向量的运算。
比如，我们可以把向量看作是一个一列数排成的矩阵，进而可以求解向量的点积、叉积等。
此外，矩阵还可以被用来表示变换矩阵，如旋转矩阵、缩放矩阵、平移矩阵等。
通过变换矩阵，我们可以实现向量的旋转、缩放、平移等变换。
3. 解析几何中的直线和平面在高中数学中，我们学习了解析几何中的直线和平面。
矩阵在生活中的应用
矩阵在生活中的应用
矩阵是数学中一个非常重要的概念，它在生活中有着广泛的应用。
从科学技术
到日常生活，矩阵都扮演着重要的角色。
在科学技术领域，矩阵被广泛应用于数据处理和分析。
例如，在计算机图形学中，矩阵被用来表示和处理图像数据，实现图像的变换、旋转和缩放等操作。
在人工智能和机器学习领域，矩阵被用来表示和处理大规模的数据集，进行数据的分析和模式识别。
此外，矩阵还被广泛应用于工程领域，如电路分析、信号处理和控制系统设计等方面。
在日常生活中，矩阵也有着许多实际的应用。
比如，我们经常在超市购物时会
遇到矩阵的应用。
超市的库存管理系统通常会使用矩阵来表示不同商品的库存量和销售情况，以便进行及时的补货和管理。
此外，矩阵还被用来表示家庭成员之间的关系、社交网络中的人际关系等，帮助我们更好地理解和分析人际关系。
总之，矩阵在生活中有着广泛的应用，它不仅在科学技术领域发挥着重要作用，也在日常生活中为我们提供了许多便利。
因此，了解和掌握矩阵的相关知识，对我们来说是非常重要的。
希望大家能够更加关注和重视矩阵在生活中的应用，从而更好地应用它们来解决实际问题，提高生活质量。
矩阵在生活中的意义
矩阵在生活中的意义
《矩阵在生活中的意义》
嘿，同学们！你们知道矩阵吗？是不是一听到这个词，脑袋里就冒出一堆问号啦？其实啊，矩阵可不像它的名字那么让人摸不着头脑，它在咱们的生活里到处都有，而且特别重要呢！
就拿咱们每天上学坐的公交车来说吧。
每一路公交车都有固定的站点和发车时间，这是不是就像一个矩阵呀？站点就是矩阵里的元素，时间就是排列的规则。
假如没有这样有序的安排，那公交车岂不是要乱套啦？大家都不知道什么时候能等到车，这得多糟糕啊！
再想想咱们玩的游戏，比如跳棋。
棋子在棋盘上一格一格地跳，棋盘不就像是一个矩阵吗？每个格子都有它的位置和作用。
如果棋盘没有规律，咱们还怎么玩得开心呢？
还有啊，咱们在学校里做操，大家一排排一列列站得整整齐齐。
这一排排一列列不也是一种矩阵吗？要是大家乱站，老师能看得清楚吗？
我跟爸爸妈妈去超市买东西的时候也能发现矩阵的影子。
货架上的商品摆放得整整齐齐，不同的区域放着不同类别的东西。
这难道不像一个大大的矩阵吗？要是东西随便乱放，找起来得多费劲呀！
咱们学数学的时候，老师在黑板上写的那些数字表格，那也是矩阵呢。
通过它们，我们能解决好多难题。
你看，矩阵是不是就在我们身边呀？它让我们的生活变得井井有条，方便又高效。
难道我们能说矩阵对我们的生活没有意义吗？当然不能！它就像一个神奇的魔法，虽然看不见摸不着，但是却让我们的世界变得更加有秩序，更加美好。
所以呀，我们可别小看了矩阵，说不定以后它还能帮我们解决更多更大的问题呢！。
【精品】高代论文--矩阵在实际中的应用
【精品】高代论文--矩阵在实际中的应用
矩阵是高等代数中的一个重要概念，它广泛应用于数学、物理、计算机科学等领域。
本文将介绍矩阵在实际中的应用，包括图像处理、网络分析、量子力学等方面。
一、图像处理
图像处理是指对数字图像进行各种操作和变换的技术，其中大量的图像处理算法都基于矩阵运算。
例如，将一个彩色图像转换为黑白图像就是通过对图像的RGB三个通道进行矩阵变换
得到的。
再例如，图像匹配、图像拼接、图像增强等操作也可以使用矩阵运算实现。
二、网络分析
网络分析是指对一个复杂的系统进行分析和建模的技术，它广泛应用于社交网络、物流网络、金融网络等领域。
网络分析通常使用矩阵表示网络结构和节点之间的关系，其中最常用的矩阵是邻接矩阵和拉普拉斯矩阵。
邻接矩阵记录了网络节点之间的连接关系，而拉普拉斯矩阵则反映了网络中节点之间的相似度和差异度。
三、量子力学
量子力学是研究原子和分子的运动和相互作用的科学，其中矩阵在表达量子力学中的物理概念时具有重要作用。
例如，哈密顿矩阵用于描述粒子的能量和运动状态，而密度矩阵则用于描
述量子系统的统计特性。
矩阵的形式与操作方式不仅简化了量子力学的计算和分析过程，同时也能够更加清晰地表达量子力学的概念和结论。
综上所述，矩阵在实际中的应用非常广泛，不仅是一种数学工具，更是一种解决实际问题的有力手段。
在不同应用领域中，矩阵的作用也各有侧重，相互之间相互关联，互为补充。
矩阵及其在现实生活中的应用
矩阵及其在现实生活中的应用摘 要：自19世纪矩阵概念被正式提出以来，矩阵理论已经成发展成为一门重要的经典数学理论，被广泛的应用于高等代数、最优化、统计分析等应用数学领域。
本文在分析矩阵定义、运算法则、特征值和特征向量求取等基础理论的前提下，讨论了矩阵理论在数值分析、运筹学、经济学、统计学、概率论、生物学、密码学、计算机等相关学科的应用场景，并给出了具体应用实例。
通过理论与实际相结合的研究，有助于加深对矩阵理论及运算法则的理解，熟练掌握矩阵应用内容和方法，找到理论与实际相结合的途径，提高利用矩阵理论解决实际问题的能力。
关键词：矩阵；运算法则；特征值；最优化；现实应用1 引言1.1 矩阵的重要性矩阵理论兴起于行列式的研究，已经发展成为一门经典数学理论，并广泛应用于生产生活和科学研究的方方面面。
在线性代数中，矩阵是最重要的概念之一，也是其主要的研究对象[1]。
运用矩阵的性质、运算法则、变换，能较为方便的解决线性方程组、描述线性空间变换、预测控制等经典问题，因此矩阵成为了应用数学领域必不可少的分析工具。
矩阵通过将现实问题转化为纵横排列的数表，能抽象简化问题，有利于找到问题的本质，将很好的适用于交叉学科问题的研究，如经济学中的资源配置规划模型、数理统计分析中的矛盾方程组问题、最优控制中的稳定性问题等[2]。
应用矩阵的运算性质、变换处理等，对简化抽象的现实问题进行研究，将极大地降低问题的求解复杂度，起到事半功倍的作用。
随着科学技术的不断发展，矩阵理论在现实应用中大显身手，并不断创新发展，理论愈发丰富，应用也更加成熟。
特别是，数学建模技术的兴起和矩阵实验室（MATLAB）等以矩阵为基本数据形式的科学计算和仿真软件的普及，为矩阵理论的应用拓展提供了平台和更有利的分析工具。
本文研究矩阵及其应用，主要是为了实现两方面的意义：一方面通过矩阵应用问题分析，能够更加直观加深对矩阵性质、方法、运算法则的理性认识；另一方面，熟练掌握矩阵知识在运筹学、经济学、统计学、概率论、生物学、密码学、计算机等相关学科应用场景、应用模式和应用特点，为今后解决跨学科的现实问题打下坚实基础。
高考数学中的矩阵应用
高考数学中的矩阵应用矩阵是现代数学中的一个重要概念，它不仅在数学理论中被广泛应用，而且在各个领域中都有着重要的实际应用。
在高考数学中，矩阵也是一个十分重要的知识点之一。
本文将结合高考数学的考点和矩阵应用的实际情况，从多个方面探讨矩阵在高考数学中的应用。
一、矩阵的定义矩阵是若干数排成的矩形阵列，通常用大写字母表示。
一个m 行n列的矩阵用如下表示：$$\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&...&a_{1,n}\\a_{2,1}&a_{2,2}&...&a_{2,n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m,1}&a_{m,2}&...&a_{m,n}\\\end{bmatrix}其中，$a_{i,j}(1\leq i \leq m,1 \leq j\leq n)$表示矩阵第i行第j 列的数。
二、矩阵的基本运算（1）矩阵的加法对于两个同阶矩阵$A=(a_{ij})_{m \times n}$和$B=(b_{ij})_{m \times n}$，它们之和为：$$A+B=\begin{bmatrix}a_{1,1}+b_{1,1}&a_{1,2}+b_{1,2}&...&a_{1,n}+b_{1,n}\\a_{2,1}+b_{2,1}&a_{2,2}+b_{2,2}&...&a_{2,n}+b_{2,n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m,1}+b_{m,1}&a_{m,2}+b_{m,2}&...&a_{m,n}+b_{m,n}\\ \end{bmatrix}矩阵加法具有交换律和结合律。
（2）矩阵的数乘对于一个m行n列的矩阵A和一个数k，它们的积为：$$kA=\begin{bmatrix}ka_{1,1}&ka_{1,2}&...&ka_{1,n}\\ka_{2,1}&ka_{2,2}&...&ka_{2,n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ka_{m,1}&ka_{m,2}&...&ka_{m,n}\\\end{bmatrix}$$（3）矩阵的乘法对于两个矩阵$A=(a_{ij})_{m \times k}$和$B=(b_{ij})_{k \times n}$，它们的积为：$$A\times B=\begin{bmatrix}\sum\limits_{i=1}^k{a_{1,i}b_{i,1}}&\sum\limits_{i=1}^k{a_{1,i }b_{i,2}}&...&\sum\limits_{i=1}^k{a_{1,i}b_{i,n}}\\\sum\limits_{i=1}^k{a_{2,i}b_{i,1}}&\sum\limits_{i=1}^k{a_{2,i }b_{i,2}}&...&\sum\limits_{i=1}^k{a_{2,i}b_{i,n}}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\\sum\limits_{i=1}^k{a_{m,i}b_{i,1}}&\sum\limits_{i=1}^k{a_{m ,i}b_{i,2}}&...&\sum\limits_{i=1}^k{a_{m,i}b_{i,n}}\\\end{bmatrix}$$在高考数学中，矩阵的基本运算基本上都在入门篇就学习了，因此，在这里不再具体阐述。
矩阵的应用举例
矩阵的应用举例矩阵是数学中的一个重要概念，广泛应用于各个领域。
下面列举了10个不同领域中矩阵的应用示例。
1. 电脑图形学：在电脑游戏、电影制作和虚拟现实等领域，矩阵被用来表示和变换三维空间中的物体。
通过矩阵的乘法和平移操作，可以实现物体的平移、旋转和缩放等效果。
2. 通信技术：矩阵在通信系统中用于信号的编码和解码。
例如，在有限域上的矩阵运算可以用来对数字信号进行纠错编码，提高信号传输的可靠性。
3. 金融风险管理：在金融领域，矩阵被用来表示不同资产之间的相关性。
通过计算相关系数矩阵，可以评估投资组合的风险和回报，并优化资产配置。
4. 数据分析：在大数据分析中，矩阵被广泛用于表示和处理数据。
例如，矩阵分解可以用来进行主成分分析和推荐系统，将复杂的数据集简化为更易理解和处理的形式。
5. 人工智能：在机器学习和深度学习中，矩阵被用来表示神经网络的权重和输入输出。
通过矩阵运算和反向传播算法，可以训练神经网络来进行图像识别、自然语言处理等任务。
6. 医学影像处理：在医学领域，矩阵被用于表示和处理医学影像数据。
通过矩阵运算，可以进行图像增强、目标检测和图像分割等操作，提高医学诊断的准确性。
7. 电力系统：在电力系统中，矩阵被用来表示电网的拓扑结构和电流分布。
通过矩阵分析方法，可以进行电力系统的稳定性分析和故障检测，保证电网的安全运行。
8. 物流管理：在供应链管理中，矩阵被用来表示物流网络的各个节点和路径。
通过矩阵运算，可以进行运输路径优化和库存管理，提高物流效率和降低成本。
9. 图像处理：在图像处理中，矩阵被用来表示图像的像素值。
通过矩阵运算，可以进行图像滤波、边缘检测和图像合成等操作，改善图像质量和实现特定的视觉效果。
10. 量子计算：在量子计算中，矩阵被用来表示量子比特之间的相互作用。
通过矩阵运算，可以模拟和优化量子算法，实现超越传统计算机的计算能力。
以上是在不同领域中矩阵的一些应用示例。
矩阵作为数学工具的重要组成部分，发挥着重要的作用，在各个领域都有广泛的应用。
矩阵乘法在生活中的应用实例
矩阵乘法在生活中的应用实例1. 应用背景矩阵乘法是线性代数中的重要概念之一，广泛应用于各个领域。
在生活中，矩阵乘法可以用来描述和解决各种实际问题，例如计算机图形学、电力系统分析、经济学模型等。
本文将介绍几个具体的应用实例，并详细描述其应用背景、应用过程和应用效果。
2. 应用实例2.1 计算机图形学中的3D变换计算机图形学是矩阵乘法的一个重要应用领域。
在3D图形渲染中，物体通常通过变换矩阵来进行平移、旋转和缩放等操作。
这些变换可以通过矩阵乘法来表示和计算。
应用背景在计算机图形学中，我们需要将3D物体投影到2D屏幕上进行显示。
为了实现这一目标，我们需要对物体进行一系列变换操作，包括平移、旋转和缩放等。
这些变换可以通过矩阵乘法来表示，并且可以通过矩阵乘法的组合来实现复杂的变换效果。
应用过程首先，我们需要定义一个物体的模型矩阵，该矩阵描述了物体相对于世界坐标系的位置、旋转和缩放等属性。
然后，我们将模型矩阵与一个视图矩阵相乘，该矩阵描述了摄像机相对于世界坐标系的位置和方向。
最后，将得到的结果与投影矩阵相乘，将3D物体投影到2D屏幕上进行显示。
具体而言，假设我们有一个模型矩阵 M、一个视图矩阵 V 和一个投影矩阵 P。
为了将一个顶点 v 从模型空间变换到裁剪空间（屏幕空间），我们可以使用以下公式：v' = P * V * M * v其中v’ 是变换后的顶点坐标。
应用效果通过使用矩阵乘法来进行3D变换，在计算机图形学中可以实现各种复杂的效果。
例如，通过平移变换可以改变物体在屏幕上的位置；通过旋转变换可以使物体绕某个轴旋转；通过缩放变换可以改变物体的大小等。
这些变换操作都是通过对模型、视图和投影矩阵进行乘法运算来实现的。
2.2 电力系统分析中的潮流计算电力系统分析是矩阵乘法在电力工程领域中的应用之一。
潮流计算是电力系统分析中的重要环节，用于确定电力系统中各个节点的电压和功率等参数。
应用背景在电力系统中，各个节点通过输电线路相互连接。
高等数学的矩阵在实际生活中的应用【最新资料】
矩阵在实际生活中的应用一．【摘要】随着科学技术的发展，数学的应用越来越广泛，可以说和我们的生活息息相关。
而高等数学中的线性代数，也同样有着广泛的应用。
本篇论文中，我们就对线性代数中的矩阵在生产成本、人口流动、加密解密、计算机图形变换等方面的应用进行研究。
【关键词】高等数学矩阵实际应用二．应用举例1.生产成本计算：在社会生产管理中经常要对生产过程中产生的很多数据进行统计、处理、分析，以此来对生产过程进行了解和监控，进而对生产进行管理和调控，保证正常平稳的生产以达到最好的经济收益。
但是得到的原始数据往往纷繁复杂，这就需要用一些方法对数据进行处理，生成直接明了的结果。
在计算中引入矩阵可以对数据进行大量的处理，这种方法比较简单快捷。
例1.某工厂生产三种产品A、B、C。
每种产品的原料费、支付员工工资、管理费和其他费用等见表1，每季度生产每种产品的数量见表2。
财务人员需要用表格形势直观地向部门经理展示以下数据：每一季度中每一类成本的数量、每一季度三类成本的总数量、四个季度每类成本的总数量。
表1.生产单位产品的成本（元）表2.每种产品各季度产量（件）解 我们用矩阵的方法考虑这个问题。
两张表格的数据都可以表示成一个矩阵。
如下所示：通过矩阵的乘法运算得到MN 的第一行元素表示了四个季度中每个季度的原料总成本； MN 的第二行元素表示了四个季度中每个季度的支付工资总成本； MN 的第三行元素表示了四个季度中每个季度的管理及其他总成本。
MN 的第一列表示了春季生产三种产品的总成本； MN 的第二列表示了夏季生产三种产品的总成本； MN 的第三列表示了秋季生产三种产品的总成本；⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=101510204030152010M ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=200040003500250030003700480028002000250030002000N ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=8500012050011000087000220000303000352000222000110000159000178500113500MNMN的第四列表示了冬季生产三种产品的总成本。
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矩阵在实际生活中的应用
一．【摘要】
随着科学技术的发展，数学的应用越来越广泛，可以说和我们的生活息息相关。
而高等数学中的线性代数，也同样有着广泛的应用。
本篇论文中，我们就对线性代数中的矩阵在生产成本、人口流动、加密解密、计算机图形变换等方面的应用进行研究。
【关键词】
高等数学矩阵实际应用
二．应用举例
1.生产成本计算：在社会生产管理中经常要对生产过程中产生的很多数据进行统计、处理、分析，以此来对生产过程进行了解和监控，进而对生产进行管理和调控，保证正常平稳的生产以达到最好的经济收益。
但是得到的原始数据往往纷繁复杂，这就需要用一些方法对数据进行处理，生成直接明了的结果。
在计算中引入矩阵可以对数据进行大量的处理，这种方法比较简单快捷。
例1.某工厂生产三种产品A、B、C。
每种产品的原料费、支付员工工资、管理费和其他费用等见表1，每季度生产每种产品的数量见表2。
财务人员需要用表格形势直观地向部门经理展示以下数据：每一季度中每一类成本的数量、每一季度三类成本的总数量、四个季度每类成本的总数量。
表1.生产单位产品的成本（元）表2.每种产品各季度产量（件）
解 我们用矩阵的方法考虑这个问题。
两张表格的数据都可以表示成一个矩阵。
如下所示： 通过矩阵的乘法运算得到
MN 的第一行元素表示了四个季
度中每个季度的原料总成本；
MN 的第二行元素表示了四个季度中每个季度的支付工资总成本；
MN 的第三行元素表示了四个季度中每个季度的管理及其他总成本。
MN 的第一列表示了春季生产三种产品的总成本； MN 的第二列表示了夏季生产三种产品的总成本； MN 的第三列表示了秋季生产三种产品的总成本； MN 的第四列表示了冬季生产三种产品的总成本。
对总成本进行汇总，每一类成本的年度总成本由矩阵的每一行元素相加得到，每一季度的总成本可由每一列相加得到。
如下表：
表3. 总成本汇总表
⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=200040003500250030003700480028002000250030002000N
这样，我们就利用矩阵的乘法把多个数据表汇总成一个数据表。
从而比较直观地反映了该工厂生产的成本。
2.人口流动问题
例2.假设某个中小城市及郊区乡镇共有40万人从事农、工、商工作，假定这个总人数在若干年内保持不变，而社会调查表明：
（1） 在这40万就业人员中，目前约有25万人从事农业，10万
人从事工业，5万人经商；
（2） 在务农人员中，每年约有10%改为务工，10%改为经商； （3） 在务工人员中，每年约有10%改为务农，20%改为经商； （4） 在经商人员中，每年约有10%改为务农，20%改为务工。
现欲预测一、二年后从事各业人员的人数，以及经过多年之后，从事各业人员总数之发展趋势。
解 若用三维向量(x i ,y i ,z i )T 表示第i 年后从事这三种职业的人员总数，则已知(x 0,y 0,z 0)T =(25，10，5)T 。
而欲求(x 1,y 1,z 1)T ，(x 2,y 2,z 2)T 并考察在n →∞时(x n ,y n ,z n )T 的发展趋势。
依题意，一年后，从事农、工、商的人员总数应为
即：
以(x 0,y 0,z 0)T =(25，10，5)T
代入上式，即得: 即一年业人员的人数分别为21.5万10.5万、8万人。
⎪⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0000001117.02.01.02.07.01.01.01.08.0z y x A z y x Z Y X
以及
即两年后从事各业人员的人数分别为19.05
万、11.1万、9.85万人。
进而推得：
即n 年之后从事各业人员的人数完全由 决定。
在这个问题的求解过程中，我们应用到矩阵的乘法、转置等，将一个实际问题数学化，进而解决了实际生活中的人口流动问题。
这个问题看似复杂，但通过对矩阵的正确应用，我们成功的将其解决。
不得不说，矩阵是我们解决实际问题的重要工具。
3. 应用矩阵编制Hill 密码
密码学在经济和军事方面都起着极其重要的作用。
在密码学中将信息代码称为密码，没有转换成密码的文字信息称为明文，把密码表示的信息称为密文。
从明文转换为密文的过程叫加密，反之则为解密。
现在密码学涉及很多高深的数学知识。
1929年，希尔（Hill ）通过矩阵理论对传输信息进行加密处理，提出了在密码学史上有重要地位的希尔加密算法。
下面我们介绍一下这种算法的基本思想。
假设我们要发出“attack ”这个消息。
首先把每个字母a ，b ，c ，d ……x ，y ，z 映射到数1，2，3，4……24，25，26。
例如1表示a ，3表示c ，20表示t ，11表示k ，另外用0表示空格，用27表示句号等。
于是可以用以下数集来表示消息“attack ”： 把这个消息按列写成矩阵的形式： 第一步：“加密”工作。
现在任选一个三阶的可逆矩阵，例如:
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛85.91.1105.190002
111222z y x A z y x A Z Y X ⎪
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---000111z y x A z y x A Z Y X n n n n n n n n A ⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛=210211321A
于是可以把将要发出的消息或者矩阵经过乘以A 变成“密码”（B ）后发出。
第二步：“解密”。
解密是加密的逆过程，这里要用到矩阵A 的逆矩
阵A -1
这个可逆矩阵称为解密的钥匙，或称为“密匙” 。
当然矩阵A 是通信双方都知道的。
即用
从密码中解出明码：
通过反查字母与数字的映射，即可得到消息“attack ”。
在实际应用中，可以选择不同的可逆矩阵，不同的映射关系，也可以把字母对应的数字进行不同的排列得到不同的矩阵，这样就有多种加密和解密的方式，从而保证了传递信息的秘密性。
上述例子是矩阵乘法与逆矩阵的应用，将高等代数与密码学紧密结合起来。
运用数学知识破译密码，进而运用到军事等方面。
可见矩阵的作用是何其强大。
4. 计算机图形变换
本学期我们学习了计算机图形学这门基础专业课程，其中接触到很多与矩阵变换有关的知识，这激发了我们的学习兴趣。
下面将简单列举矩阵在这门课中的重要作用。
在计算机中点的坐标用齐次向量坐标来表示，即用n+1维向量来表示n 维向量。
如点A （x,y,z ）用齐次向量坐标表示为A(x,y,z,1)。
例3：在二维直角坐标系中有三角形ABC ，坐标分别为（2，3），（3，1），（1，1），现将其向x 轴正方向平移2个单位，向y 轴正方向平移2个单位，求平移后各点对应的齐次坐标及相应的变换矩阵?
B
AM =⎪
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2560266140101112032011210211321⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-111122110
1
A
解：先写出ABC 三点所对应的齐次坐标，A （2，3,1）,B(3,1,1),C(1,1,1)
平移的矩阵变换式为
此处T x =2 T y =2,则变换矩阵为
经上述变换后，A 点齐次坐标为（4，5，1）B 点齐次坐标为(5,3,1) C 点齐次坐标为（3，3，1）。
可以看出图形的一种变换对应着一个矩阵运算，也就是说二维图形变换可以表示为图形点集的齐次坐标矩阵与某一变换矩阵相乘的形式。
我们可以定义以下二维变换矩阵：
这样，二维空间中的某点的二维变换可以表示成点的规范化齐次坐标矩阵与三维齐次坐标变换矩阵 相乘的形式，即 根据
在变换中的具体作用，进一步可以将 分成4个子矩阵。
矩阵 的作用是对点进行比例、对称、旋转和错切变换。
矩阵
的作用是对点进行平移变换。
矩阵 的作用是进行透视投影变换。
矩阵
的作用是产生整体比例变换。
三．结束语
通过这次论文的举例，加深了我对于矩阵的认识，深刻理解了矩阵在实际生活中的应用。
矩阵在实际生活中的应用还有很多，在此就不一一列举。
通过这次的学习也加深了我对于数学的浓厚兴趣。
参考文献
[][][]1101000111y x y x T y T x T T y x y x ++=⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪
⎪
⎭⎫ ⎝⎛=s m l q d c p b a T D 2D T 2D T 2D T 2[]s T =4⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=q p T 3[]m l T =2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=d c b a T 1
[1] 上海交通大学数学系. 线性代数（第二版）[M]. 北京：科学出
版社，2007.
[2] 陆枫，何云峰.计算机图形学基础[M]. 北京：电子工业出版社，
2008.
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[4] 林升旭，梅家斌. 线性代数教程（第二版）[M]. 华中科技大学出版社，2009.。