求导公式大全(汇总).ppt

[v( x)]2 c
5
推论
n
n
(1)[ fi ( x)] fi( x);
i 1
i 1
(2) [Cf ( x)] Cf ( x);
n
(3) [ fi ( x)] f1 ( x) f2( x)
i 1
f1( x) f2 ( x)
fn ( x) fn ( x)
f1( x) f2( x) fn( x)
c
10
三角函源自文库求导公式
sin x cos x cos x sin x
tan x sec2 x cot x csc2 x
sec x sec x tan x csc x csc x cot x
c
11
例5设f
(
x)
2( x
ln
1), x,
x1 x1
求f ( x)及f (1), f (2)
复习：导数概念
f
( x0 )
lim
x x0
f ( x) f ( x0 ) . x x0
几个初等函数的导数 lim f ( x0 x) f ( x0 )
1.常数的导数： c 0 x0
x
2.幂函数的导数：( x ) x 1
特殊： x 1 , ( x2 ) 2x
(
1 ) x
1 x2
,
(
(1) [u( x) v( x)] u( x) v( x);
(2) [u( x) v( x)] u( x)v( x) u( x)v( x);
(3)
[
u( v(
x)] x)
u(
x)v(
x) u( v2(x)
x)v(
x)
(v( x) 0).
c
3
证：(2) [u( x) v( x)] u( x)v( x) u( x)v( x);
（uv） lim (u u)(v v) uv
x 0
x
lim vu uv uv
x 0
x
u
v
u
v lim u lim lim v
x0 x
x0 x x0 x
= uv＋uv
c
4
证
(3)
[ u( x)] v( x)
u( x)v( x) u( x)v( x) v2(x)
(v( x) 0).
即 f ( x) 1 .
y
( y)
1
( y)
c
14
例7 y a x (a 0, a 1)，求y
解 x loga y 在(0,+∞)内单调连续, 值域(-∞,+∞)
且(loga
y)
1 y ln a
0，y (0, )
故其反函数 y a x 在(, ) 内可导，且
y (a x ) 1 (loga y)
n
n
fi( x) fk ( x);
i 1
k 1
ki
c
6
例1 解
求
y
y 2x2
4x
3ln
3
x cos
sin x
x＋sin
2
的导数
.
x
例2 求 y sin 2x ln x 的导数 .
解 y 2sin x cos x ln x
y 2cos x cos x ln x 2sin x ( sin x) ln x 2 sin x cos x 1 x
y x3 ln x cos x
y 3x2 ln x cos x x2 cos x x3 ln x sin x
c
8
例3 求 y tan x 的导数 .
解 y (tan x) (sin x )
cos x
(sin
x
)
cos x cos2
sin x
x(cos
x
)
cos2 x sin2 cos2 x
解 x 1时，f ( x) 2 ,
x 1时，f ( x) 1 x
x=1时:
f(1)
lim
x 1
f ( x) f (1)
2( x 1) ln1
lim
2
x1
x 1
x1
f(1)
lim
x 1
f ( x) f (1)
ln x ln1
lim
x1
x1 x 1
ln[1 ( x 1)]
x1
lim
lim 1
x 1
f (1)不存在
即f (x)在x=1不可导
f
x1
( x)
c
x 1
2, x 1
1 x
,
x
1
x1
f (1) 2
f (2) 12 1 2
二、反函数的求导法则
定理
如果函数
x ( y)在某区间
I
内单调、可导
y
且( y) 0 , 那末它的反函数 y f ( x)在对应区间
I
内也可导
x
,
且有
f ( x) 1
( y)
即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数.
c
13
证 任取x I x , 给x以增量x (x 0, x x I x )
由y f ( x)的单调性可知 y 0,
f ( x)连续, x 0 时 y 0
又知 ( y) 0
f ( x) lim y lim 1 x0 x y0 x
u( x) u u( x)
[ u( x)] lim v( x) v v( x)
v( x) x0
x
lim uv( x) u( x)v x0 (v( x) v)v( x)x
u v( x) u( x) v
lim x
x
x0 v( x x)v( x)
u( x)v( x) u( x)v( x)
x ) 1 2x
c
1
3.对数函数的导数
(log a
x)
1 x ln a
(ln x) 1 x
4.正、余弦函数的导数
(sin x) cos x
(cos x) sin x
c
2
3.2 求导法则 一、和、差、积、商的求导法则
定理 如果函数 u( x), v( x)在点 x处可导,则它 们的和、差、积、商 (分母不为零)在点 x处也 可导, 并且
y ln a a x ln a
即：(a x ) a x ln a (a 0, a 1)
特别地， (e x ) e x
c
15
(arcsin x) 1 , (arccos x) 1
2 cos 2x ln x 1 sin 2x. x
c
7
sin 1 cos , 求 d
2
d
4
d sin cos 1 sin 1 sin cos
d
2
2
d 2 2
d 4 8
4
y x3 3 x cos x
y
3x2
1
2
x3
sin
x
4 log2
4
x
sin
7
3
x ln 2
x
1 cos2
x
sec 2
x
即 (tan x) sec2 x.
同理可得 (cot x) csc2 x.
c
9
例4 求 y sec x 的导数 .
解
y (sec x) ( 1 ) cos x
(cos cos 2
x) x
sin x cos2 x
sec x tan x.
同理可得 (csc x) csc x cot x.