最新-圆锥曲线高考题汇总-附答案

2013-2018年圆锥曲线高考题汇总

角度问题

1、（18文）设抛物线22C y x =：，点()20A ，，()20B -，，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点． （1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； （2）证明：ABM ABN =∠∠．

解：（1）当l 与x 轴垂直时，l 的方程为x =2，可得M 的坐标为（2，2）或（2，–2）． 所以直线BM 的方程为y =112x +或1

12

y x =--．

（2）当l 与x 轴垂直时，AB 为MN 的垂直平分线，所以∠ABM =∠ABN ．

当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为(2)(0)y k x k =-≠，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则x 1>0，x 2>0． 由2(2)2y k x y x

=-⎧⎨=⎩，得ky 2–2y –4k =0，可知y 1+y 2=2

k ，y 1y 2=–4．

直线BM ，BN 的斜率之和为 122112

1212122()

22(2)(2)

BM BN y y x y x y y y k k x x x x ++++=

+=++++．① 将112y x k =

+，222y

x k

=+及y 1+y 2，y 1y 2的表达式代入①式分子，可得 121221121224()88

2()0y y k y y x y x y y y k k

++-++++=

==．

所以k BM +k BN =0，可知BM ，BN 的倾斜角互补，所以∠ABM +∠ABN ． 综上，∠ABM =∠ABN ．

2、（18理）设椭圆2

2:12

x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 的坐标为(2,0). （1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程；

（2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠. 解：（1）由已知得(1,0)F ，l 的方程为x =1.

由已知可得，点A 的坐标为(1,

2或(1,2

-.

所以AM 的方程为2y x =-

+2

y x =. （2）当l 与x 轴重合时，0OMA OMB ∠=∠=︒.

当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以OMA OMB ∠=∠.

当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，1221(,),(,)A y x y x B ，

则12x x <

MA MB x x y y

k k +=

+--. 由1122,y k k x y k x k =-=-得

121212(23()42)(2)

MA MB x x x x k k x x k

k k -+++=

--.

将(1)y k x =-代入2

212

x y +=得 2222(21)4220k x k x k +-+-=.

所以，212

21222422

,2121

x x x k k k x k -+==++. 则3131322244128423()4021

k k k k k

k k k k x x x x --++-++=

=+. 从而0MA MB k k +=，故MA ，MB 的倾斜角互补，所以OMA OMB ∠=∠.

综上，OMA OMB ∠=∠.

3、（15理卷一）在直角坐标系xOy 中,曲线C:y=

与直线l:y=kx+a(a>0)交于M,N 两点. (Ⅰ)当k=0时,分别求C 在点M 和N 处的切线方程;

(Ⅱ)y 轴上是否存在点P,使得当k 变动时,总有∠OPM=∠OPN?说明理由. 解析 (Ⅰ)由题设可得M(2 ,a),N(-2 ,a)或M(-2 ,a),N(2 ,a).

又y'=

,故y=

在x=2 处的导数值为 ,C 在点(2 ,a)处的切线方程为y-a= (x-2 ),即 x-y-a=0.

y=

在x=-2 处的导数值为- ,C 在点(-2 ,a)处的切线方程为y-a=- (x+2 ),即 x+y+a=0. 故所求切线方程为 x-y-a=0和 x+y+a=0.(5分) (Ⅱ)存在符合题意的点,证明如下:

设P(0,b)为符合题意的点,M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),直线PM,PN 的斜率分别为k 1,k 2. 将y=kx+a 代入C 的方程得x 2-4kx-4a=0. 故x 1+x 2=4k,x 1x 2=-4a. 从而k 1+k 2=

-

+

-

=

=

.

当b=-a 时,有k 1+k 2=0,则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补,故∠OPM=∠OPN,所以点P(0,-a)符合题意.(12分)

定点问题

1、（17理卷2）已知椭圆C ：2222=1x y a b

+（a >b >0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1，2），P 4（1，2）

中恰有三点在椭圆C 上. （1）求C 的方程；

（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点.

由题设121k k +=-，故1212(21)(1)()0k x x m x x ++-+=.

即222448(21)(1)04141m km

k m k k --+⋅+-⋅=++.

解得1

2

m k +=-

. 当且仅当1m >-时，0∆>，欲使l ：12m y x m +=-+，即1

1(2)2

m y x ++=--，