《3.2 复数的四则运算》教学案一

《3.2复数的四则运算》教学案(一)

教学目标

1、理解复数代数形式的四则运算法则。

2、能运用运算律进行复数的四则运算。

教学习重难点

重点：复数的加、减、乘法运算

难点：复数的加、减、乘法运算

教学过程：

一、复习回顾：

1.虚数单位i 的引入；

2.复数有关概念：

复数的代数形式： (,)z a bi a R b R =+∈∈

复数的实部a ，虚部b 。

实数： ()0;b a R =∈

虚数： ()0;b a R ≠∈

纯虚数： 00a b =⎧⎨≠⎩

复数相等a bi c di +=+⇔a c b d =⎧⎨=⎩

特别地，a+bi =0⇔a =b =0。

问题1：a =0是z =a +bi (a 、b ∈R )为纯虚数的必要不充分条件

问题2:一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大。思考:对于任意的两个复数到底能否比较大小？

当且仅当两个复数都是实数时，才能比较大小。虚数不可以比较大小。

二、问题引入：

我们知道实数有加、减、乘等运算，且有运算律：

a b b a +=+ ab ba =

()()a b c a b c ++=++ ()()ab c a bc = ()a b c ab ac +=+ 那么复数应怎样进行加、减、乘运算呢？你认为应怎样定义复数的加、减、乘运算呢？运算律仍成立吗？

注意到i =-21，虚数单位i 可以和实数进行运算且运算律仍成立，所以复数的加、减、

乘运算我们已经是自然而然地在进行着，只要把这些零散的操作整理成法则即可了！

三、知识新授：

1、复数加减法的运算法则：

(1) 运算法则：

设复数z 1=a +bi ，z 2=c +di ，那么：z 1+z 2=(a +c )+(b +d )i ； z 1-z 2=(a -c )+(b -d )i 。

即：两个复数相加(减)就是实部与实部，虚部与虚部分别相加(减)。

(2)复数的加法满足交换律、结合律

即对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有：z 1+z 2=z 2+z 1，(z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3)。

2、复数的乘法：

(1)复数乘法的法则

复数的乘法与多项式的乘法是类似的，但必须在所得的结果中把i 2换成-1，并且把

实部合并。即：(a +bi )(c +di )=ac +bci +adi +bdi 2=(ac -bd )+(bc +ad )i 。

(2)复数乘法的运算定理

复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律. 即对任何z 1，z 2，z 3有： z 1z 2=z 2z 1；(z 1z 2)z 3=z 1(z 2z 3)；z 1(z 2+z 3)=z 1z 2+z 1z 3。

3. 共轭复数的概念、性质：

(1)定义：实部相等，虚部互为相反数的两个复数互为共轭复数。复数z =a +bi 的共轭复数记作,=-z z a bi 即。

(2)共轭复数的性质：

思考：设z =a +bi (a ，b ∈R )，那么?+=z z ?-=z z 2-2.z z a z z bi +==； 另外不难证明: 12121212,z z z z z z z z +=+-=-

四、例题应用：

例1、计算 (56)(2)(34)i i i -+---+

解:(56)(2)(34)(523)(614)11i i i i i -+---+=--+---=-

例2、计算(1)()()a bi a bi +- (2)2()a bi +(3)(12)(34)(2)i i i -+-+

解:(1)()()a bi a bi +-222a abi abi b i =-+-22a b =+

(2)2222()2a bi a abi b i +=++222a b abi =-+

(3)(12)(34)(2)i i i -+-+(12)(34)(2)(112)(2)2015i i i i i i -+-+=--+=-+ 例3、求值：232009i i i i ++++

解:原式234567820052006200720082009...i i i i i i i i i i i i i =+++++++++++++（）（）（） 10i i =+=

例4、设12ω=-+，求证：⑴210ωω++=；⑵31ω=。 五、课堂小结：

1.复数加减法的运算法则：

(1)运算法则：设复数z 1=a +bi ，z 2=c +di ，那么：z 1+z 2=(a +c )+(b +d )i ；z 1-z 2=(a -c )+(b -d )i 。

(2)复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有： z 1+z 2=z 2+z 1，(z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3)。

2.复数的乘法：

(1)复数乘法的法则：(a +bi )(c +di )= ac +bci +adi +bdi 2=(ac -bd )+(bc +ad )i 。

(2)复数乘法的运算律：

复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律。即对任何z 1，z 2，z 3有： z 1z 2=z 2z 1；(z 1z 2)z 3=z 1(z 2z 3)；z 1(z 2+z 3) =z 1z 2+z 1z 3。

3. 共轭复数的概念、性质：

定义：实部相等，虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数。 复数z =a +bi 的共轭复数记作,=-z z a bi 即

设z =a +bi (a ，b ∈R )，那么2-2z z a z z bi +==；。12121212,z z z z z z z z +=+-=-

4. i 的指数变化规律：

4n i =1，41n i +=i ，42n i +=1-，43n i

+=i - 44142430,()n n n n i i i i n N ++++++=∈