【高中数学】秒杀秘诀MS03椭圆的弦长公式与中点弦问题

椭圆的弦长公式与中点弦问题
1.k 为何值时,直线y=kx+2和曲线2x +3y =6有两个公共点?有一个公共点?没有公共点?
秒杀秘籍：椭圆的弦长公式与面积（不过焦点的弦）
椭圆()22
2210,0x y a b a b
+=>>与直线l ：y kx m =+相交于AB 两点，求AB 的弦长。

设：()()1122,,,A x y B x y 则()()
()
2
2
2
2
21211212
14AB x x y y k x x x x =
-+-=++-将y kx m =+代入22221x y a b +=得：()222222222
20b k a x a km x a m a b +++-=()2122
22222122222a km
x x b k a a m b x x b k a ⎧-+=⎪+⎪∴⎨
-⎪
⋅=⎪+⎩
()2222
22222211212222
21141ab b k a m AB k x x k x x x x k
b k a +-∴=+-=++-=++例1：已知椭圆方程为1222=+y x 与直线方程2
1
:+=x y l 相交于A、B 两点，求AB 的弦长
解：设：()()1122,,,A x y B x y 则()()
()
2
2
2
2
21211212
14AB x x y y k x x x x =
-+-=++-将12y x =+代入2212x y +=得：2
33202x x +-=1212231
2
x x x x ⎧
+=-⎪⎪∴⎨
⎪⋅=-⎪⎩222121113AB k x x ∴=+-=椭圆与直线交点的判别式：()222222
4a b b k a m ∆=+-用来判断是否有交点问题。

面积问题：椭圆与直线m kx y l +=:相交与两点，()00,y x C 为AB 外任意一点，求ABC S ∆。

设C 到l 的距离为d ，则22220000222211
221
ABC
kx y m kx y m ab b k a m S AB d AB b k a k ∆-+-+⋅+-===
++例2：已知椭圆C :22221x y a b +=22221(0)x y a b a b
+=>>A B 、的一个顶点为(2,0)A ,离心率为
2
2.直线(1y k x =-）与椭圆C 交于不同的两点M 、N .(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)当△AMN 得面积为10
3
时,求k 的值.解：(Ⅰ)2
2;2,22
c a e c b a ==
=⇒==；故椭圆方程为22142
x y +=；(Ⅱ)1
2AMN S MN d ∆=，
设()()1122,,,M x y N x y 则()()
()
2
2
2
2
2121121214MN x x y y k x x x x =
-+-=++-；将y kx k
=-代入22142x y +=得：()2222428480k x k x k +---=2
1222
12284248
42k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+∴⎨--⎪⋅=⎪+⎩
；222011k k k d k k --==++；2242
2222411072502243
AMN k k k S MN d k k k ∆⋅⋅+-===⇒--=+，即()()2275101k k k +-=⇒=±。

2.无论k 为何值,直线y=kx+2和曲线22
194
x y +=交点情况满足(
)
A.没有公共点
B.一个公共点
C.两个公共点
D.有公共点
3.直线y =x +m 与椭圆3
2x +y 2
=1交于A 、B 两点，则|AB |的最大值是
.
4.设斜率为1的直线l 与椭圆22
:142
x y C +=相交于不同的两点A 、B ,则使||AB 为整数的直线l 共有(
)
A.4条
B.5条
C.6条
D.7条
5.若直线y =x +t 与椭圆22
4
y x +=1相交于A 、B 两点，当t 变化时，|AB |的最大值为()A.2 B.554 C.5104D .
5
10
86.已知直线13+=x y 与椭圆15
102
2=+y x 相交于A 、B 两点，则｜AB ｜＝_______．
7.直线220x y -+=与椭圆2
2
44x y +=相交于A,B 两点,则AB =___________________.8.椭圆x 2＋4y 2=16被直线y=x ＋1截得的弦长为
．
9.直线1+=kx y ，当k 变化时，直线被椭圆1422
=+y x 截得的最大弦长是（
）A ．4B ．2C ．3
3
4D ．不能确定
10.已知椭圆C :()222210x y
a b a b +=>>的离心率为63
3.(Ⅰ)求椭圆C 的
方程;(Ⅱ)设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 32
AOB 面积的最大值.
11.已知椭圆22:14
x G y +=.过点（m ,0）作圆22
1x y +=的切线l 交椭圆G 于A 、B 两点.（I ）求椭圆G 的
焦点坐标和离心率；（II ）将AB 表示为m 的函数，并求AB 的最大值.
12.设椭圆M :22221y x a b +=(a >b >0)的离心率为22
,且内切于圆42
2=+y x .(Ⅰ)求椭圆M 的方程;(Ⅱ)若直线
2y m =+交椭圆于,A B 两点,椭圆上一点(1,2)P ,求△PAB 面积的最大值.
例2：已知焦点为)50,0(F 的椭圆被直线23:-=x y l 截得的弦的中点的横坐标为2
1
，求椭圆的方程。

解：设()()112211,,,,,22A x y B x y M ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
，（中间步骤省略）；()()2
222122202221023350751257550a x a x y k a a a y b a ==-=-=-=⇒+=--即例3：斜率为),0(11≠k k 直线l 与椭圆12
22=+y x 交于1P 、2P 两点，线段21P P 的中点为P ，直线OP 斜率为2k ，则12k k ⋅的值等于__________.
解：22001222001
2
x b y b k k y a x a ⋅=-=-=-
13.如果椭圆22
1369
x y +=的弦被点(4,2)平分,则这条弦所在的直线方程是
()
A.20
x y -= B.240x y +-= C.23120x y +-= D.280
x y +-=14.已知一直线与椭圆4x 2＋9y 2=36相交于两点A 、B ，弦AB 的中点坐标是(1，1)，则直线AB 的方程是__________。

秒杀秘籍：圆锥曲线中点弦问题（弦中点坐标()00,M x y 与k 值存在着一
一对应的关系）
点差法求弦中点和直线斜率之间的关系：
设椭圆22
221x y a b +=的弦AB 的中点为()00,M x y ，则202
0x b k y a =-
证：设()()()112200,,,,,A x y B x y M x y ，则
()()()()
()22
1111222
222122
212
30212402
21521x y a b x y a
b x x x y y y y y k x x ⎧⎪+=⎪⎪⎪+=⎪⎪+⎪=⎨⎪+
⎪=⎪⎪-⎪=-⎪⎪⎩
(2)-(1),()()()()
()()22222121022
21212121
22
22210210
=2
2
21
00212200
022x x y y a b x x x x y y y y a b x x x y y y
a b y y y
x x x a b x ky a b --+=-+-++--+--=+=
+=即2
02
0x b k y a =-
例1：椭圆E ：2
2
1259
x y
+=，求此椭圆被点M 53(,)22所平分弦所在的直线方程。

解：设()()112253,,,,,22A x y B x y M ⎛⎫
⎪⎝⎭，则
()()()()()22
111125922
22122595
1232231242221521x y x y x x y y y y
k x x ⎧⎪+=⎪⎪⎪+=⎪⎪+⎪=⎨⎪+⎪=⎪⎪-⎪=-⎪⎪⎩
(2)-
(1),()()()()
()()
22222121
0259
21212121
259
532121
=259
1530
x x y y x x x x y y y y x x y y
k --+=-+-++--+=+=即3335525235150
k y x x y ⎛⎫
=-
-=-- ⎪⎝⎭
+-=即或推论：设椭圆22
221x y b a +=的弦AB 的中点为()00,M x y ，则202
0x a k y b =-；
设椭圆22
1mx ny +=的弦AB 的中点为()00,M x y ，则00
mx k ny =-；
15.直线1+=x y 被椭圆12
42
2=+y x 所截得的弦的中点坐标是（
）A ．32(,)34B ．34(,)37C ．32(-,31D ．34(-,)
3
1-16.椭圆mx 2＋ny 2＝1与直线y ＝1－x 交于M 、N 两点，过原点O 与线段MN 中点的直线的斜率为2
2，则
n
m 的值是（）A ．
2
2B ．
3
32C ．
2
29D ．
27
3217.直线x y -=1交椭圆12
2
=+ny mx 于M 、N 两点，弦MN 的中点为P ，若2
2
=OP k ，则m 、n 之间的关系是__________
18.设椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>过点(0,4),离心率为35；(Ⅰ)求C 的方程;(Ⅱ)求过点(3,0)且斜率为45的直
线被C 所截线段的中点坐标.
19.椭圆12222=+b
y a x )0(>>b a 的一个顶点为A )3,0(,离心率54
=e ；(1)求椭圆方程;(2)若直线
3-=kx y ： 与椭圆交于不同的两点N M ,,且满足PN MP =,0=⋅MN AP ,求直线 的方程.
20.椭圆C:()22
2210x y a b a b
+=>>的两个焦点为12,F F ,点P 在椭圆C 上,且12414
,
33
PF PF ==
,112PF F F ⊥,.(1)求椭圆C 的方程;(2)若直线l 过点M (-2,1),交椭圆C 与A 、B 两点,且点M 恰为弦AB 的中点,求直线l 的方程.。