高一数学指数方程和对数方程(教师版)

10、当且仅当 时，方程有唯一实数解
【课后练习】
1、方程 的解是___________
2、方程 的解是___________________
3、方程 的解是_________________
4、方程 的解集是________________
5、方程组 的解集是______________________
（3）对数方程常常归结为对一元二次方程根的讨论，而讨论的方法，一般有如下三种：利用求根公式，韦达定理及运用二次函数的图像等。
【课堂小练】
1、方程是 的解集是_________________
2、方程 的解集是_________________
3、方程 的解集是_______________
1、 2、 3、
【正解】设 ，则元方程变形为
由公式法知 ，即
又
4.8
例5、解下列方程：
（1）
（2）
【解】（1）
整理得： （舍去）
所以
经检验， 是原方程的根
（2）两边取以为底的对数，得
整理得，
即
所以
经检验 都是方程的根
变式练习：解方程
【解】原方程可以化为
即 ，整理得， （舍去）
经检验 是原方程的根
例6、已知关于 的方程 有且只有一个实数解，求实数 的取值范围。
【解】显然 需满足
（1）若上述方程有两个相等实根，则必有
若 ，则实根 （舍去）；若 ，则实根为 符合题意
（2）若上述方程有两个不等实根 ，则必有
考虑函数 ，只需
综上所述，实数 的取值范围是
【点拨】此类对数方程形式简单，但综合性很强，往往要归纳为对一元二次方程根的讨论，解题时需注意如下三点：
（1）根据对数函数的定义域，列出条件方程，一般总可以省略其中的一个条件
换元法：令 ，解方程：
注意：须验根：
（4）
解方程：
（5）精确度要求不高时，可采用图像法
二、对数方程
1、定义
在对数符号后面含有未知数的方程叫做对数方程
2、对数方程的解法
（1） 型
化为指数式：
（2） 型
比较真数，解混合组：
特例： 型 ，解方程：
（3） 型
换元法：设 ，解方程：
特例பைடு நூலகம் ，
设 ，解方程：
3、验根
A 3 B 2 C 1 D 0
8、关于 的方程 ， 的根分别为 ，则 等于（）
A 6 B 5 C 4 D 3
9、关于 的方程： 在区间 内有解，则实数 的取值范围是_____________________
10、关于 的方程 有实数解，求实数 的取值范围，并求出方程的解。
答案：5、3 6、
7、B 8、D 9、
在解对数方程的过程中，常将方程化简为 的形式，再解 ，在此过程中，有可能出现增根，因为在解 时，允许
或 了，所以，必须代入到原方程检验
【典型例题分析】
例1、解下列方程：
（1） ；（2） =5；（3） 。
解法指导：解指数方程和对数方程主要是利用“化归”把它化为代数方程。
解：（1）
所以 或 。
经检验： 是原方程的根。
解：由 ，得 ，因为方程在 上有解，所以 在函数 的值内取值即可，不难求得其值域为 ，
所以 。
变式练习：已知 ，求使方程 有解的 的取值范围
答案：
例3、解方程2log16x+logx16=3.
[分析]:log16x与logx16互为倒数，可考虑换元法.
解:定义域为{x|x>0且x≠1}，设log16x=y，
11、已知 ，求 的值
12、已知关于 的方程 有一个实数根为2，求实数 的值和方程其余的根。
13、方程 的解是__________________
14、方程 的实数根的个数是_________________
15、若关于 的方程 有两个实数解，则 的取值范围是______________
16、已知 ，且满足 ，则 与 的大小关系是______________
则logx16= ， 2y+ =3， 2y2-3y+1=0， y1= ， y2=1.
当y= 时，log16x= ， x=4.
当y=1时，log16x=1， x=16.
∴x1=4， x2=16.
变式练习：(1) (2)
(3)
例4、解方程：
【错解】设 ，则元方程变形为
由公式法知 ，即
【错解分析】 ，故错
21、函数 的图像与 轴有交点时， 的取值范围是 （ ）
A B C D
22、若关于 的指数方程是 有实数解，求实数 的取值范围。
23、求证：对任意实数 ，函数 的图像与函数 的图像最多只有一个公共点。
24、实数 为何值时，关于 的方程 有一解，两解，无解？
答案：1、 2、4 3、25或 4、
5、 6、C 7、D 8、C 9、C 10、
11、 12、当 时， ；当 时，
13、 14、4个 15、 16、
17、2 18、2.5 19、D 20、D 21、D 22、
23、略
24、当 时，两解；当 时，一解；当 时，无解
4、（1）阅读不等式 的解法：
设 ，则 是R上的减函数，因为 ，所以当 时，
；当 时， 。因为 ，所以不等式 的解集为
试利用上面的解法解不等式
（2）证明： 有且只有一个实数解
答案：（1） （2）略
5、若 ，则 __________
6、方程 的解是____________________
7、方程 实数解的个数是（）
（2）两边取对数：得 或 ，
所以 或 。经检验 与 均为原方程的根。
（3） 。
变式练习1：解方程:4x+6x=2·9x
[分析]:两边除以9x后，出现了( )x和( )x，而( )x与( )x可以化为同底.
解:∵9x>0，
∴两边除以9x得:( )x+( )x=2，[( )x]2+( )x=2， 令( )x=y， y2+y-2=0，
学科教师辅导讲义
年级：高一辅导科目：数学课时数：
课题
指数方程和对数方程
教学目的
1、掌握简单指数方程的解法；
2、掌握简单对数方程的解法。
教学内容
【知识梳理】
一、指数方程
1、定义
指数里含有未知数的方程叫做指数方程
2、指数方程的解法
（1） 型
化为对数式：
（2） 型
比较指数，解方程：
特例： 型
解方程：
（3） 型
17、设方程 的根为 ，则与 最接近的整数为___________
18、方程 的正实数根 ________（结果精确到0.1）
19、设非零实常 满足 同号， 异号，则关于 的方程 （ ）
A 无实根 B 有两个共轭的虚根 C 有两个异号的实根 D 仅有一个实根
20、函数 与 图像的交点个数是 （ ）
A 0 B 1 C 2 D 3
（2）如果转化为一元一次方程，问题比较简单，只要将所得到的 满足取值范围即可；如果转化为一元二次方程，那么：
若 ，方程无解；
若 ，所得到的 如在取值范围内，则有一解，如不在取值范围内，则无解；
若 ，所得到的两个值 如均在取值范围内，则有两解；如恰有一个在取值范围内，则有一解；如均不在取值范围内，则无解；
6、若 ，则 的值为 （ ）
A 5 B 1 C 5或1 D 以上都不存在
7、若 同时满足 和 ，则 的值为 （ ）
A 18 B 24 C 21 D 27
8、满足方程 的实数有 （ ）
A 0个 B 1个 C 2个 D 3个
9、方程 的实数的个数是 （ ）
A 0个 B 1个 C 2个 D 大于2个
10、解方程
y1=2， y2=1.当y=-2时，( )x=-2，此方程无实根，当y=1时，( )x=1， x=0.∴x=0.
变式练习2：．解关于 的方程 。
解：原方程可化为 ，设
则
（1）当 时， ；
（2）当 时， ；
（3）当 时， 。
例2、关于 的方程 在区间 上有解，求 的取值范围。
解法指导：有关方程的有解与无解的问题以及方程的解的个数问题，可转化为函数类的问题。本题可利用分离参数，数形结合求解。