2018年高考数学总复习 随机变量及其分布

第二节 随机变量及其分布

考纲解读

1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性。

2.理解超几何分布及其推导过程，并能进行简单的应用。

3.了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解n 次独立重复实验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题。

4.理解取有限个值的离散型变量均值，方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题。

5.利用实际问题的频率分布直方图，了解正态分布密度曲线的特点及曲线所表示的意义。

命题趋势探究

1.高考命题中，该部分命题形式有选择题、填空题，但更多的是解答题。

2.主要以离散型随机变量分布列为主体命题，计算离散型随机变量的期望和方差，其中二项分布与超几何分布为重要考点，难度中等以下。

3.有关正态分布的考题多为一道小题。

知识点精讲

一、条件概率与独立事件

（1）在事件A 发生的条件下，时间B 发生的概率叫做A 发生时B 发生的条件概率，记作

()P B A ，条件概率公式为()=

P B A ()()

P AB P A 。

（2）若()=P B A P

B （），即()=()()P AB P A P B ,称A 与B 为相互独立事件。 A 与B 相互独立，即A 发生与否对B 的发生与否无影响，反之亦然。即,A B 相互独立，则有公式

()=()()P AB P A P B 。

（3）在n 次独立重复实验中，事件A 发生k ()0k n ≤≤次的概率记作()n P k ，记A 在其

中一次实验中发生的概率为()P A p = ，则()()

1n k

k k

n n P k C p p -=- .

二、离散型随机变量分布列、期望、方差及其性质 （1）离散型随机变量ξ的分布列（如表13-1所示）.

表13-1

ξ

1ξ 2ξ

3ξ

… n ξ

P

1p

2p

3p

n p

①()11,i p i n i N θ*≤≤≤≤∈ ; ②121n p p p ++

= .

（2）E ξ表示ξ的期望：1122=+n n p p p E ξξξξ++…，反应随机变量的平均水平，若随机变量ξη，满足=a b ηξ+，则E aE b ηξ=+. （3）D ξ表示ξ的方差：()

()()2

22

1122=---n n E p E p E p D ξξ

ξξξξξ++

+，反映随机变量

ξ取值的波动性。D ξ越小表明随机变量越稳定，反之越不稳定。若随机变量ξη，满足

=a b ηξ+，则2=D a D ηξ。

三、几种特殊的分布列、期望、方差 （1）两点分布（又称0，1分布）

E ξ=p ，D ξ=()1p p - .

件发生的概率为p ()01p <<，则

（2）二项分布：若在一次实验中事

在n 次独立重复实验中恰好发生k 次概率()=p k ξ= ()1n k

k k

n C p p --()0,1,2,,k n =⋯，

称ξ服从参数为,n p 的二项分布，记作ξ ~(),B n p ，E ξ=np ，D ξ=()1p p -. （3）几何分布：若在一次实验中事件发生的概率为()01p p << ，则在n 次独立重复实验中，在第k 次首次发生的概率为()()

1

1k p k p p -=- ，1,2,k =⋯， 1=

E p

ξ。 （4）超几何分布：总数为N 的两类物品，其中一类为M 件，从N 中取n 件恰含M 中的m

件，0,1,2,m k =⋯ ，其中k 为M 与n 的较小者，()=P m ξ=m n m

M N M

n

N

C C C --，称ξ 服从参数为,,N M n 的超几何分布，记作ξ ~(),,H N M n ，此时有公式=E nM

N

ξ。

四、正态分布

（1）若X 是正态随机变量，其概率密度曲线的函数表达式为()()2

2

21e

2x f x μσπσ

--

=

⋅ ，

x R ∈ （其中,μσ是参数，且0σ>，μ-∞<<+∞）。

ξ 0 1

P

1-p

p

其图像如图13-7所示，有以下性质：

①曲线在x 轴上方，并且关于直线x μ=对称；

②曲线在x μ=处处于最高点，并且此处向左右两边延伸时，逐渐降低，呈现“中间高，两边低”的形状；

③曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“高瘦”； ④()f x 图像与x 轴之间的面积为1.

（2）E ξ=μ ，D ξ=2

σ ，记作ξ ~()

2,N μσ.

当0,1μσ==时， ξ服从标准正态分布，记作ξ ~()0,1N .

（3）ξ ~()

2

,N μσ，则ξ在(),μσμσ-+，

()2,2μσμσ-+，()3,3μσμσ-+上

取值的概率分别为68.3%，95.4%，99.7%，这叫做正态分布的3σ原则。

题型归纳及思路提示

题型178 概率的计算

思路提示

要分析题中事件是独立事件、互斥事件还是对立事件，然后考虑用相应的概率公式计算，若A ，B 为独立事件，则有()()()P A B P A P B =

，

若A,B 为互斥事件，则

()()()P A B P A P B ⋃=+ ，若A ，B 为对立事件，则()()1P A P B += ，如果为条件概

率，则需选用条件概率公式()

=

P B A ()()

P AB P A 计算（其中A ，B 为两个事件，()

P B A 表示在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率）。

例13.7 甲乙两人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立。已知前2局中，甲乙各胜1局。

（1）求再赛2局结束这次比赛的概率； （2）求甲获得这次比赛胜利的概率。