导数与不等式证明(绝对精华)

二轮专题 （十一） 导数与不等式证明

【学习目标】

1. 会利用导数证明不等式.

2. 掌握常用的证明方法.

【知识回顾】

一级排查：应知应会

1.利用导数证明不等式要考虑构造新的函数，利用新函数的单调性或最值解决不等式的证明问题．比如要证明对任意∈x [b a ,]都有)()(x g x f ≤，可设)()()(x g x f x h -=，只要利用导数说明)(x h 在[b a ,]上的最小值为0即可．

二级排查：知识积累

利用导数证明不等式，解题技巧总结如下：

（1）利用给定函数的某些性质（一般第一问先让解决出来），如函数的单调性、最值等，服务于第二问要证明的不等式.

（2）多用分析法思考.

（3）对于给出的不等式直接证明无法下手，可考虑对不等式进行必要的等价变形后，再去证明.例如采用两边取对数（指数），移项通分等等.要注意变形的方向：因为要利用函数的性质，力求变形后不等式一边需要出现函数关系式.

（4）常用方法还有隔离函数法，max min )()(x g x f ≥，放缩法（常与数列和基本不等式一起考查），换元法，主元法，消元法，数学归纳法等等，但无论何种方法，问题的精髓还是构造辅助函数，将不等式问题转化为利用导数研究函数的单调性和最值问题.

（5）建议有能力同学可以了解一下罗必塔法则和泰勒展开式，有许多题都是利用泰勒展开式放缩得来.

三极排查：易错易混

用导数证明数列时注意定义域.

【课堂探究】

一、作差（商）法

例1、证明下列不等式：

①1+≥x e x ②1ln -≤x x ③x x 1-1ln ≥

④1x 1)-2(x ln +≥

x )1(≥x ⑤)2

,0(,2sin ππ∈>x x x

二、利用max min )()(x g x f ≥证明不等式

例2、已知函数.2

2)(),,(,ln )1(1)(e x e x g R b a x a b x ax x f +-=∈+-+-= （1）若函数2)(=x x f 在处取得极小值0，求b a ,的值；

（2）在（1）的条件下，求证：对任意的],[,221e e x x ∈，总有)()(21x g x f >.

变式：证明：对一切),0(+∞∈x ，都有ex e

x x 21ln ->

成立.

三、构造辅助函数或利用主元法 例3、已知n m ,为正整数，且,1n m <<求证：m n n m )1()1(+>+.

变式：设函数x x f ln )(=，22)(-=x x g （1≥x ）.

(1)试判断)()()1()(2x g x f x x F -+=在定义域上的单调性；

（2）当b a <<0时，求证22)(2)()(b

a a

b a a f b f +->

-.

四、分析法证明不等式

例4、设1>a ，函数a e x x f x -+=)1()(2.若曲线()y f x 在点P 处的切线与x 轴平行， 且在点(,)M m n 处的切线与直线OP 平行（O 是坐标原点）,证明：123--

≤e a m .

变式：已知函数x x x f ln )(2=．

（Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；

（Ⅱ）证明：对任意的0>t ，存在唯一的s ，使)(s f t =．

（Ⅲ）设（Ⅱ）中所确定的s 关于t 的函数为)(t g s =，证明：当2e t >时，有21ln )(ln 52<

五、隔离函数

例5、已知函数)ln()(m x e x f x +-=.

（Ⅰ）设0=x 是)(x f 的极值点，求m 并讨论)(x f 的单调性； （Ⅱ）当2≤m 时，证明:)(x f 0>.

变式：已知函数,,)(R x x nx x f n ∈-=其中*∈N n ，且2≥n .

（1）讨论)(x f 的单调性；

（2）设曲线)(x f y =与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为)(x g y =，求证：对于任意的正实数x ，都有)()(x g x f ≤；

（3）若关于x 的方程)()(为实数a a x f =有两个正实数根21,x x ，求证：.2112+-<-n

a x x

六、与数列结合

例6、已知函数3ln )(--=ax x a x f )(R a ∈.

（1）求函数)(x f 的单调区间；

（2）求证：

)2(1ln 44ln .33ln .22ln ≥*∈

n n ，

变式：（1）已知),0(+∞∈x ，求证：x

x x x 11ln 11<+<+； （2）求证：)2(1131211ln 1413121≥*∈-++++<<++++n N n n n n ， .

【巩固训练】

1. 已知函数,ln 21)(2x x x f +=

求证：在区间),1(+∞上，函数)(x f 的图像在函数33

2)(x x g =的图像的下方.

2.已知函数()1ln 1x f x x +=-． （Ⅰ）求曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线方程；

（Ⅱ）求证：当()01x ∈，时，()323x f x x ⎛⎫>+ ⎪⎝

⎭； （Ⅲ）设实数k 使得()33x f x k x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭

对()01x ∈，恒成立，求k 的最大值．

3.已知210x x <<，求证：n

n n x x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+>+222121.

4. 设函数)0()

1ln()(>+=x x x x f .

（1）判断)(x f 的单调性；

（2）证明：e n n <+)1

1((e 为自然对数，

*N n ∈).