2019-2020学年九年级数学下册 第二十七章 相似 27.2 相似三角形教学课件 (新版)新人教
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2019春九年级数学下册第二十七章相似27.2相似三角形27.2.2相似三角形的性质课件
12.如图,已知在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC 上,DE∥BC,AD∶BD=2∶1,点F在AC上,AF∶FC=1∶2,连接BF,交DE 于点G,那么DG∶GE等于( B ) A.1∶2 B.1∶3 C.2∶3 D.2∶5
14.( 金华中考 )如图,直线l1,l2,…,l6是一组等距离的平行线,过直线 l1上的点A作两条射线,分别与直线l3,l6相交于点B,E和C,F.若BC=2, 则EF的长是 5 .
2.如图,△ABC∽△BDC,E,F分别为AC,BC的中点,已知 AC=6,BC=4,BE=3,求DF的长.
解:∵△ABC∽△BDC,E 为 AC 的中点,F 为 BC 的中点,
∴������������ = ������������,即������������ = 4, ∴DF=2.
������������
1
( 1 )求证:AF=2FD; ( 2 )若△DEF的面积为2,求▱ABCD的面积.
解:( 1 )∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴AB∥CD,AD∥BC,AB=CD, ∴∠ABF=∠E,∠A=∠FDE,∴△ABF∽△DEF,
∴������������ = ������������.
1
������������
15.如图,在△ABC中,BC>AC,点D在BC上,且DC=AC,∠ACB的平分 线CF交AD于点F,E是AB的中点,连接EF.
( 1 )求证:EF∥BC; ( 2 )若△ABD的面积是6,求四边形BDFE的面积.
解:(
1
)∵DC=AC,
∴△ACD 为等腰三角形. 又∵CF 平分∠ACD,∴F 为 AD 的中点. 又∵E 为 AB 的中点,∴EF 为△ABD 的中位线,∴EF∥BC.
人教版九年级数学下册第二十七章《相似》27.2.2相似三角形的性质(教案)
4.探索并理解相似三角形性质在解决实际问题中的应用。
二、核心素养目标
1.培养学生运用数学语言描述相似三角形性质的能力，增强几何直观和逻辑推理素养。
2.提升学生通过观察、分析、归纳相似三角形性质的过程，培养数据分析与数学抽象素养。
3.引导学生运用相似三角形性质解决实际问题，提高数学建模与问题解决的核心素养。
-实际问题中相似三角形性质的应用。
举例解释：通过具体的图形示例，强调相似三角形性质的应用，如计算不规则图形的面积时，通过构造相似三角形来简化问题。
2.教学难点
-难点内容：相似三角形性质的深入理解和应用。
-难点突破：
-帮助学生理解相似三角形性质的本质，而不仅仅是记忆公式。
-指导学生如何在实际问题中发现并运用相似三角形的性质。
在实践活动方面，虽然大部分学生能够积极参与，但在操作过程中，我发现他们对几何工具的使用还不够熟练。针对这一问题，我计划在接下来的课程中，增加一些关于几何工具使用的练习，以提高学生们的实际操作能力。
在讲解相似三角形的性质时，我发现有些学生对于性质的理解仅停留在表面，未能深入理解其背后的原理。在今后的教学中，我需要通过更多的例子和练习，帮助学生深入理解相似三角形的性质，并能够灵活运用。
-对于相似比与周长比、面积比的关系，可以通过具体的数值例子进行说明，让学生通过计算加深理解。
-对于性质的证明，教师可以提供多种证明方法，如综合法、分析法等，帮助学生从不同角度理解和掌握证明过程。
四、ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《相似三角形的性质》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过形状相似但大小不同的物体？”（如两个不同大小的三角形玩具）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索相似三角形性质的奥秘。
二、核心素养目标
1.培养学生运用数学语言描述相似三角形性质的能力，增强几何直观和逻辑推理素养。
2.提升学生通过观察、分析、归纳相似三角形性质的过程，培养数据分析与数学抽象素养。
3.引导学生运用相似三角形性质解决实际问题，提高数学建模与问题解决的核心素养。
-实际问题中相似三角形性质的应用。
举例解释：通过具体的图形示例，强调相似三角形性质的应用，如计算不规则图形的面积时，通过构造相似三角形来简化问题。
2.教学难点
-难点内容：相似三角形性质的深入理解和应用。
-难点突破：
-帮助学生理解相似三角形性质的本质，而不仅仅是记忆公式。
-指导学生如何在实际问题中发现并运用相似三角形的性质。
在实践活动方面，虽然大部分学生能够积极参与，但在操作过程中，我发现他们对几何工具的使用还不够熟练。针对这一问题，我计划在接下来的课程中，增加一些关于几何工具使用的练习，以提高学生们的实际操作能力。
在讲解相似三角形的性质时，我发现有些学生对于性质的理解仅停留在表面，未能深入理解其背后的原理。在今后的教学中，我需要通过更多的例子和练习，帮助学生深入理解相似三角形的性质，并能够灵活运用。
-对于相似比与周长比、面积比的关系，可以通过具体的数值例子进行说明，让学生通过计算加深理解。
-对于性质的证明，教师可以提供多种证明方法，如综合法、分析法等，帮助学生从不同角度理解和掌握证明过程。
四、ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《相似三角形的性质》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过形状相似但大小不同的物体？”（如两个不同大小的三角形玩具）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索相似三角形性质的奥秘。
人教数学九年级下册第二十七章相似27.2相似三角形 教学课件
C′
想一想：如果对应相等的角不是两组对应边的夹角， 那么两个三角形是否相似呢？
D C
F
A
B
E
【跟踪训练】
下列各组条件中不一定使△ABC与△DEF相似的是（ D ） A.∠A=∠D=40° ∠B=∠E=60°AB=DE B.∠A=∠D=60° ∠B= 40° ∠E=80° C.∠A=∠D=50° AB=3 AC=5 DE=6 DF=10 D.∠B=∠E=70° AB：DE=AC：DF 注意：对应相等的角必须是两组对应边的夹角，如果不是夹 角，则它们不一定会相似．
设其他两边分别为x,y ①4:2=5:x=6:y ②4:x=5:2=6:y ③4:x=5:y=6:2
4
5
6 2
1.（泰州·中考）一个铝质三角形框架三条边长分别
为24cm，30cm，36cm，要做一个与它相似的铝质三角形
框架，现有长为27cm，45cm的两根铝材，要求以其中的
一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为
∵A′B′:AB=A′C′:AC
∴ AD:AB=AE:AC
D
∴DE∥BC
∴△ADE∽△ABC
∴△A′B′C′∽△ABC
A′
B′
C′
A
E
B
C
如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角 相等，那么这两个三角形相似 .
A
Q AB AC k
AB AC
B
C
A = A
A′
∴△ABC∽△ ABC.
B′
证明：∵
AB 6 1 , AB 18 3
BC 8 1 , BC 24 3
AC 10 1 , AC 30 3
∴
AB BC AC ,
2019-2020学年九年级数学下册 第27章 相似 27.2.3 相似三角形应用举例(2)课件
导入二: 如图所示,屋顶上有一只猫,院子里有一只小老鼠,若猫看见了小老鼠,则小老 鼠就会有危险,小老鼠在墙的哪部分活动是安全的?试画出小老鼠在墙的左 端的安全区.
观察者向上看的视线与水平线的夹角叫做俯角，观察者向下看的视线与水平线 的夹角叫做俯角，观察者观察不到的区域就叫盲区
h
3
活动二：例题讲解
(教材例6)如图(1)所示,左、右并排的两棵大树的高分别为AB=8 m和CD=12 m,两树底 部的距离BD=5 m,一个人估计自己眼睛距地面1.6 m. 她沿着正对这两棵树的一条水平
h
4
活动二：例题讲解
(教材例6)如图(1)所示,左、右并排的两棵大树的高分别为AB=8 m和CD=12 m,两树底 部的距离BD=5 m,一个人估计自己眼睛距地面1.6 m. 她沿着正对这两棵树的一条水平
直路l从知左向识右点前进,当她与左边较低的树的距离小于多少时,就看不到右边较高的树的
顶端C了?
27.2.3 相似三角形应用举例 （第2课时）
h
1
学习目 标
1.直观想象目标：根据实际问题中抽象出相似三角形，进 一步发展学生的抽象能力和几何直觉. 2.数学运算目标：能利用相似三角形判定和性质得到方程， 计算出物体的长度或高度，提高代数运算能力.（重点） 3.数学建模目标：经历从实际问题中建立数学模型的过程, 增强应用意识,提高实践能力.（难点）
直路l从知左向识右点前进,当她与左边较低的树的距离小于多少时,就看不到右边较高的树的
顶端C了?
h
6
活动三：类题拓展
小明想利用树影测量树高,他在某一时刻测得长为1 m的竹竿影长0.9 m,但当他马上测 量树影时,因树靠近一幢建筑物,影子不会全落在地面上,有一部分影子在墙上,如图所示,
观察者向上看的视线与水平线的夹角叫做俯角，观察者向下看的视线与水平线 的夹角叫做俯角，观察者观察不到的区域就叫盲区
h
3
活动二：例题讲解
(教材例6)如图(1)所示,左、右并排的两棵大树的高分别为AB=8 m和CD=12 m,两树底 部的距离BD=5 m,一个人估计自己眼睛距地面1.6 m. 她沿着正对这两棵树的一条水平
h
4
活动二：例题讲解
(教材例6)如图(1)所示,左、右并排的两棵大树的高分别为AB=8 m和CD=12 m,两树底 部的距离BD=5 m,一个人估计自己眼睛距地面1.6 m. 她沿着正对这两棵树的一条水平
直路l从知左向识右点前进,当她与左边较低的树的距离小于多少时,就看不到右边较高的树的
顶端C了?
27.2.3 相似三角形应用举例 （第2课时）
h
1
学习目 标
1.直观想象目标：根据实际问题中抽象出相似三角形，进 一步发展学生的抽象能力和几何直觉. 2.数学运算目标：能利用相似三角形判定和性质得到方程， 计算出物体的长度或高度，提高代数运算能力.（重点） 3.数学建模目标：经历从实际问题中建立数学模型的过程, 增强应用意识,提高实践能力.（难点）
直路l从知左向识右点前进,当她与左边较低的树的距离小于多少时,就看不到右边较高的树的
顶端C了?
h
6
活动三：类题拓展
小明想利用树影测量树高,他在某一时刻测得长为1 m的竹竿影长0.9 m,但当他马上测 量树影时,因树靠近一幢建筑物,影子不会全落在地面上,有一部分影子在墙上,如图所示,
2019-2020学年九年级数学下册《第27章-相似三角形》整章讲学稿-新人教版
2019-2020学年九年级数学下册《第27章相似三角形》整章讲学稿新人教版学习目标：1、通过实例理解相似图形的概念；通过自己动手操作猜想验证相似多边形的性质。
2、会识别相似图形，通过图形识别提高自己的观察能力；3、能按照要求画出相似的图形，会根据条件制作出相似的图形。
学习过程：一，学前准备全等图形概念：观察以上图形结合阅读本章的题目以及导语，提出你对本章学习内容的猜想：看谁最具有创造力：二，探究新知：（阅读教材34—35页内容）1.观察上述图形，写出你的发现：2.阅读课本第34页，然后快速写出你的答案：（1）、什么是相似图形：（2）、生活中还有那些相似图形，请举例并与同学交流补充：3.相似图形与全等图形的区别与联系是什么？4.图27.1-5（1是两个相似的三角形，它们的对应角有什么关系？对应边的比试否相等？对于图27.1-5（2）中两个相似的四边形，它们的对应角，对应边是否有同样的结论？总结：相似多边形的性质：_____________________________________________相似比：__________________________________________________例：如图27.1.6，四边形ABCD和EFGH相似，求角βα.的大小和EH的长度x三．自我检查1.观察下面的图形（a）～（g），其中哪些是与（1）、（2）、（3）相似的？为了验证你的猜想，可以用刻度尺和量角器量一量2.下列图形是不是相似图形：所有的圆形；所有的正方形；所有的直角三角形；平面镜中的图形与实际图形；哈哈镜中的图形与实际图形；放大镜下的图形与原来的图形3.下列命题中正确的是（）A:相似多边形是全等多边形 B:不全等的图形不是相似图形C:全等多边形是相似多边形 D:不相似的图形可能是全等图形4、下列说法正确的是（）①所有的梯形都相似；②所有的等边三角形都相似；③所有的直角三角形都相似；④所有的等腰直角三角形都相似。
27.2.2 相似三角形的性质 九年级数学下册人教版课件
AB BC CA k， A'B' B'C' C' A'
因此 AB＝k A'B'，BC＝kB'C'，CA＝kC'A'，
从而
AB BC CA kA' B ' kB 'C ' kC ' A' k. A' B ' B 'C ' C ' A' A' B ' B 'C ' C ' A'
归纳：相似三角形周长的比等于相似比.
∵△ABC∽△A'B'C'
AD AB k AE AB
B/
A
D
C
A/
D/
C/
归纳
由此我们可以得到： 相似三角形对应高的比等于相似比. 类似地，可以证明相似三角形对应中线、角平分线的比也 等于相似比.
一般地，我们有：相似三角形对应线段的比等于相似比.
1. 如果两个相似三角形的对应高的比为 2 : 3，那么对 应角平分线的比是 2 : 3 ，对应边上的中线的比是 __2_:_3__ .
2. 相似三角形有哪些性质？ 对应角相等，对应边成比例
三角形中有各种各样的几何量，例如三条边的长度， 三个内角的度数，高、中线、角平分线的长度，以及周长、 面积等。如果两个三角形相似，那么它们的这些量之间有 什么关系呢？
1. 理解并掌握相似三角形中对应线段的比等于相似比，并 运用其解决问题 2. 理解相似三角形面积的比等于相似比的平方，并运用其 解决问题.
2. 已知△ABC ∽ △A'B'C' ，相似比为3 : 4，若 BC 边 上的高 AD＝12 cm，则 B'C' 边上的高 A'D' ＝_1_6_c_m__ .
2024九年级数学下册第27章相似27.2相似三角形1相似三角形的判定课件新版新人教版
作业 提升
感悟新知
知识点 1 相似三角形
知1－讲
1. 定义：如果在两个三角形中，三个角分别相等，三条边成 比例，那么这两个三角形相似.
感悟新知
数学表达式：
知1－讲
如图 27.2-1，在△ ABC 和△ A′ B′ C′中，
∠ A= ∠ A′，∠ B= ∠ B′，∠ C= ∠ C′， ⇔
AB A′ B′
=
BC B′ C′
=
AC A′ C′
=k，
△ ABC∽△A′B′ C′.
感悟新知
知1－讲
2.相似三角形的表示方法： 相似用符号“∽”表示，读作 “相似于” . 如图 27.2-1，△ ABC 与△ A′ B′ C′相似，记 作 “△ ABC∽△ A′ B′ C′”，读作“△ ABC相似于 △ A′ B′ C′” .
△ ABC 与△ A′ B′ C′的相似比为 k，那么△ A′ B′ C′与 △ ABC 的相似比为1k.
感悟新知
知1－讲
特别提醒 1. 相似三角形具有传递性，即若△ ABC ∽△A′B′C′，
△A′B′C′∽△ A ″ B ″ C ″， 则△ABC∽△ A″ B″ C″ . 2. 相似三角形属于特殊的相似多边形，同样具有“对应
知3－讲
感悟新知
知3－讲
特别提醒 ●书写两个三角形相似时，要把表示对应顶点的大
写字母写在对应的位置上 .
感悟新知
●根据定理得到的相似三角形的三个基本图形中都 有BC ∥ DE， 图 27.2-8①②很像大写字母 A，故 我们称之为“A”型相似；图 27.2-8 ③很像大写 字母X，故我们称之为“X”型相似( 也像阿拉伯 数字“8”).
感悟新知
知4－练
《相似三角形的性质》ppt课件
2.如图，在△ABC 中，两条中线BE,CD 相 交 于 点 0 , 则△EOD 的周长：△BOC 的周长为(A )
A. 1:2
B.2:3
C. 1:3
D. 1:4
解析：∵BE,CD 是△ABC 的两条中线，∴ DE 是
△ABC的中位线，
∴DE//BC,
E OD △BOC
EOD 的周长：△BOC 的周长=1:2.
解： (1)∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， AB∥DC， ∴∠DAE = ∠AEB， ∠BAE = ∠F， ∵AB＝BE， ∴∠BAE = ∠AEB， ∴∠F = ∠DAE， ∵∠F＝62° , ∴∠DAE＝62° , ∴∠D＝180° - ∠DAF - ∠F＝56°.(2)∵四边形ABCD是平行四 边形， ∴AD∥BC， AB∥DC， ∴△AFD∽△EFC， △EAB∽△EFC，
面积为
巩固新知
如图，在平行四边形ABCD 中，点E 是边AD 的中点，连
接 EC 交对角线BD 于点F, 若 S△pFc=3, 则S△C
.
解决面积问题的常用方法
① 直接用面积公式； ② 利用相似三角形的性质； ③ 利用等底或等高； ④ 割补法.
归纳新知
对应高的比
对应线段 对应中线的比
等于相似比
对应中线的比、对应角平分线的比等于相似比.
相似三角形的周长比也等于相似比吗?为 什么? 如果△ABCo△A'B'℃', 相似比为 k, 那么
因此AB=kA'B',BC=kB'C',CA=kC'A', 从而
相似三角形周长的性质： 相似三角形周长的比等于相似比
巩固新知
1.已知△ABC∽△DEF，且相似比为4:3 ，若△ABC 中 BC 边上的中线 AM =8 ，则 △DEF 中 EF 边上的中线 DN 的 长度为( D )
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2
将 l 平移到其他位置呢？ 2
A
D
a
B
Eb
C
Fc
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
a ∥ b ∥ c AB DE , AB DE , BC EF
BC EF AC DF AC DF
已知两条直线被三条平行线所截，截得的线段长度 如图，你能求出x的值吗?
3
4
解：由已知条件可得：
问题三:
如果△ABC与△A′B′C′有一个 角相等,且两边对应成比例,那
• 设法比较∠B 与∠B′的大 小,∠C与∠C′的大小.
么它们一定相似吗?
• △ABC与△A′B′C′相似吗?
(1)如果这个角是这两边的夹角,
说说你的理由.
那么它们一定相似吗?
• 改变k值的大小(如1∶3),再
我们一起来动手:
问题2：计算 A1A2 与 B1B2 , A1A2 与 B1B2 , A2 A3 与 B2B3 的值， A2 A3 B2B3 A1A3 B1B3 A1A3 B1B3
你有什么发现？
将 l 向下平移到如图的位置，直线m,n与 l 的交点分别
2
2
为 A ，B ，问题2中的结论还成立吗？计算试一试.如果
2
AB AC 2. AB AC
A
B
C
A′
B′
C′
且∠A=∠A′=45o, ∴△ABC∽△A′B′C′ (两边对应成比例且夹角相等 的两个三角形相似) .
问题四:在Rt△ ABC与Rt△ A′B′C′中, ∠C= ∠C′=900,如果有一直角边和斜 边对应成比例,那么它们一定相似 吗?
我们一起来动手:
画△ ABC与△ A′B′C′,使
AC 和 AB 都等于 AC AB 给定的值k (如 3).
2
设法比较∠B 与∠B′的大 小,∠A与∠A′的大小.
Rt△ ABC与Rt△ A′B′C′相似 吗?说说你的理由.
改变k值的大小(如1∶3),再 试一试.
通过上面的活动,你猜出了 什么结论?
斜边直角边对应成比例的两个直角三角形相似.
由角边角(ASA)、角角边(AAS)可知,有两个角对应相等的 两个三角形相似； 由边边边(SSS)可知:有三边对应成比例的两个三角形相似； 由边角边(SAS)可猜想: 两边对应成比例,且夹角相等的两个三角形相似； 由斜边直角边(HL)可猜想: 斜边直角边对应成比例的两个直角三角形相似. 我们已经把前两个猜想变为现实,剩余的还有问题吗？
x
34
7
x7
x 21 4
如图4-8，直线a ∥b∥ c ，分别交直线m,n于 A1，A2，A3， B1，B2，B3 .过点A1作直线n的平行线，分别交直线b，c于 点C2，C3.图4-9中有哪些成比例线段？
A A AC A A AC A A C C
, , 1 2
12
12
12
23
23
A A C C A A AC A A AC
AB AC
那么△ ABC∽△A′B′C′.
(两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似) 这又是一个用来判定两个三角形相似的方法,但使用频率
不是很高,务必引起重视.
图中的△ABC∽△A′B′C′, 你还能用其他方法来说 明其正确性吗?
解法2: 如图,设小正 方形的边长为1,由勾 股定理可得:
AB 8, AC 2 2; AB 4, AC 2;
A′
A
C′
B′
C
B
如图,在Rt△ABC与Rt△A′B′C′中,如果
AB AC , AB AC
那么△ABC∽△A′B′C′ (斜边直角边对应成比例的两 个直角三角形相似). 这是一个用来判定两个直角三角形相似的方法,务必 引起重视.
我们重新来看问题三: 如果△ABC与△DEF有一个角相
等,且两边对应成比例,那么 它们一定相似吗? (2)如果这个角是这两边中一 条边的对角,那么它们一定相 似吗? 小明和小颖分别画出了下面的 △ABC与△DEF:
判定三角形相似的方法
判定两个三角形相似的方法: 两角对应相等的两个三角形相似. 三边对应成比例的两个三角形相似. 类比三角形全等的判定方法: 边角边(SAS)；角边角(ASA)；角角边(AAS)；边边边
(SSS)；斜边直角边(HL). 你还能得出判定三角形相似的其他方法吗?
相似与全等类比—新化旧
C
4cm 500 A
3.2cm
F
2cm
1.6cm
B
500
D
E
通过上面的活动,你猜出了 什么结论?
23
23
13
13
13
13
推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的
对应线段成比例.
∵DE∥AB
A
AD AE BD CE
上 下
D
E
AD AE
上
B
C
AB AC
全
BD CE
下
AB AC
全
例1 如图，在△ABC中，E，F分别是AB和AC上的点，且 EF∥BC.
（1）如果AE = 7, FC = 4 ，那么AF的长是多少？ （2）如果AB = 10, AE=6，AF = 5 ，那么FC的长是多少？
教学课件
数学 九年级下册 RJ
第二十七章 相似
27.2 相似三角形
情境引入
你能不通过测量快速将一根绳子分成两部分， 使得这两部分的比是2:3？
在图中，小方格的边长 均为1，直线l1 ∥l2 ∥l3, 分别交直线m, n于格点A1, A2 , A3, B1, B2 , B3.
问题1：你能求出线段： A1A2 , A2 A3, A1A3; B1B2 , B2 B3, B1B3的长度吗？
B
C
如何不通过测量，运用所学知识，快速将一根绳子分成两 部分，使这两部分之比是2:3?
A B C D E F
相似三角形的相关概念
三个角对应相等,三条边对应成比例的两个三角形, 叫 做相似三角形(similar trianglec).
相似三角形的各对应角相等,各对应边成比例. 相似比等于1的两个三角形全等. 注意： 要把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上. 反之,写在对应位置上的字母就是对应角的顶点！ 由于相似三角形与其位置无关,因此,能否弄清对应是正 确解答的前提和关键.
试一试.
画 △ABC 与 △A′B′C′ 使
• 通过上面的活动,你猜出了
∠A=∠A′,
A B和 A AC
给 定 的 k(如值 3) .
判定三角形相似的方法
两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.
A C
B
A′
B′
C′
如图,在△ ABC与△A′B′C′中,如果
AB AC , 且∠A=∠A′,