高等代数与解析几何

零向量的起点和终点重合，方向可任意. 零向量的起点和终点重合，方向可任意. r r r r 定义3.2 定义3.2 若 a, b大小相等, 方向相同, 则称 a, b 相等， 大小相等, 方向相同, 相等， r r 记做 a = b. 向量). 与起点无关的向量称为自由向量 (向量).
r r 定义3.3 如果两个向量a 和 b的大小相等，方向相反，则 的大小相等，方向相反， 定义 r r r r 反向量， 称 b是a 的反向量，记作 b = -a .
r r u,v,0 3.1知，则有不全为零的 u,v ,使 ua + vb = 0, 那么 r r r 仍不全为零， 仍不全为零，有ua + vb + 0c = 0. uuu r uuu r uuur r r r r rr 均不共线， 设 a,b,c 均不共线，作 OB = a,OA = b,OC = c, 过 C
M
2 AM = AD. 3
B
D
C
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结束
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高等代数与解析几何
3.1 向量及其线性运算
r 定义3.7 定义3.7 向量 a与实数λ 的乘积是一个向量，记作 乘积是一个向量 是一个向量，
r r r 它的模 λ a = λ a . 它的方向，当 λ > 0(λ < 0), 它的方向， λ a.
r 的方向相同（相反） 与 a 的方向相同（相反）.
D
r b
r r a +b
C
A
r a
B
uuur r r r r 为两向量的和向量 和向量， 称 AC = c 为两向量的和向量，记作 c = a + b
称为向量加法的平行四边形法则。 称为向量加法的平行四边形法则。 平行四边形法则
个向量的和如何理解？ n个向量的和如何理解？
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3.1 向量及其线性运算
r r r r (1) 交换律 a + b = b + a r r r r r r (2) 结合律 ( a + b ) + c = a + (b + c ) r r r (3) a + 0 = 0 + a = a; r r r r (4) a + −a = −a + a = 0 r r r r 两向量的差： b − a = b + ( − a ) 两向量的差：
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3.1 向量及其线性运算
r r r 全为零的数k1 ,k 2 ,k 3使 k1a + k2 b + k3 c = 0.
证
r rr 定理3.2 定理3.2 三个向量a,b,c 共面的充分必要条件是存在不
r r r rr 共线， 如果 a,b,c 中有两个向量例如 a,b 共线，由定理
(
)
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3.1 向量及其线性运算
共线向量、 3.1.3 共线向量、共面向量 定义3.8 方向相同或者相反的向量称为共线向量 共线向量， 定义3.8 方向相同或者相反的向量称为共线向量，而 平行于同一平面的向量成为共面向量. 平行于同一平面的向量成为共面向量. 共面向量
r r → → 定理3.1 定理3.1 设向量 a ≠ 0, b// a 的充分必要条件是存在唯一的
r r 特别地, 特别地, 0 a = 0 ,
r r 1a = a ,
r r ( − 1) a = − a
运算规律: 运算规律:
r r λ a // a r a
λa(λ > 0) r λ a (λ < 0)
r
r r r (1) 结合律λ ( µ a ) = µ ( λ a ) = ( λµ ) a r r r (2) 分配律 ( λ + µ ) a = λ a + µ a r r r r λ a + b = λ a + λb
不全为零. 其中 u,v, -1 不全为零.
r r r 反之， 反之，如果有不全为零的 k1 ,k 2 ,k 3 使 k1a + k2 b + k3 c = 0. 不妨设 k 3 ≠ 0 ，于是
r k1 r k2 r c=− a- b k3 k3 r k1 r k2 r 为边的平行四边形的对角线， 这说明c 是以 − a, − b 为边的平行四边形的对角线， k3 k3
向量加法的运算规律
r r r a +b +c
r r r rb +c a +b
r c
r a
r b
r a
Biblioteka Baidur b
( ) ( )
不难得到： 不难得到：
r r r r r a − a = a + −a = 0. r r r r a +b ≤ a + b
( )
r r b −a
r r r r a −b ≤ a + b
形
uuu r 点作直线与 OB 平行交 OA 所在直线于 D 点，于是由三角
法则及数乘向量定义有
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3.1 向量及其线性运算
uuur uuur uuur uuu r uuu r OC = OD + DC = uOA + vOB
从而有
uuu r uuu uuur r uOA + vOB - OC = 0
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r rr 共面. 因此 a,b,c 共面.
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3.1 向量及其线性运算
例3.1
∆ABC 中，D 是 BC 边中点，证明 边中点，
uuur 1 uuur uuur AD = AB + AC . 2
A
(
)
由三角形法则 uuur uuur uuur uuur uuu r AD = AB + BD = AC + CD. uuur uuu r 的中点， BD 又因 D 是 BC 的中点， = −CD, 故
定义3.4 长度为 的向量成为零向量，记作 长度为0的向量成为零向量，记作0. 的向量成为零向量 定义 定义3.5 长度为 的向量称为单位向量 长度为1的向量称为单位向量. 的向量称为单位向量 定义
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3.1 向量及其线性运算
3.1.2 向量的线性运算 1．向量的加减法 定义3.6 定义3.6 从一点 A 作向量 uuu r r uuur r A B = a , AD = b 再以 AB, AD 为边作平行四边形 ABCD
→ →
r r λ , b = λ a.
r r r r r |b | 为负； 为正； 使 | λ |= r , 且b与a 同向时 , λ 为正； 与a反向 时 , λ 为负； b |a|
证
充分性是显然的.下面证必要性. 充分性是显然的.下面证必要性. 设 b// a, 取实数
λ,
r r r r r r r r 再证唯 一性. b = λ a , b = µ a , 则 (λ − µ )a = 0. 设 一性. 所以， 所以，b = λ a . r 因 | a |≠ 0, 故λ − µ = 0, 即λ = µ .
M1
也可用一个字母表示. 也可用一个字母表示. 例如 或
uuuuuu r 向量的模:向量的大小叫做向量的模,记作 M1M2 向量的模:向量的大小叫做向量的模,
r r r r a, b, v, F
模等于１的向量叫做单位向量. 模等于１的向量叫做单位向量.
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3.1 向量及其线性运算
r 模等于零的向量叫做零向量, 模等于零的向量叫做零向量, 记作 0 或 0
第三章 向量代数
《高等代数与解析几何》课题开发组 高等代数与解析几何》
3.1 向量及其线性运算
欧拉 （1707-1783 ） 1707-
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3.1 向量及其线性运算
3.1.1 向量的基本概念 向量( 定义3.1 既有大小, 又有方向的量,称为向量(矢量). 定义3.1 既有大小, 又有方向的量,称为向量 矢量) 如速度,加速度, 力, 位移等. 如速度,加速度, 位移等. 可以 用有向线段表示向量. 有向线段的长度表示向量的 用有向线段表示向量. 大小, 有向线段的方向表示向量的方向. 大小, 有向线段的方向表示向量的方向. uuuuuu r M2 例如 向量 M 1M 2
证
B
D
C
uuur uuur uuur 2 AD = AB + AC
即
uuur 1 uuur uuur AD = AB + AC . 2
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(
)
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3.1 向量及其线性运算
例3.2
用向量证明三角形中位线定理. 用向量证明三角形中位线定理.
A
用向量证明： 例3.3 用向量证明：如点 M 是 ∆ABC 边上中线， 的重心， 的重心，AD 是 BC 边上中线，则