2015考研数学二真题及解析
2015年考研数学二真题及解析
一、选择题:1~8 小题,每小题4 分,共32 分.下列每题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸...指定的位置上. (1) 下列反常积分收敛的是
(A)
2x +∞
?
(B)
2ln d x
x x +∞
?
(C)
2
1
d ln x x x
+∞
?
(D) 2
d x x x
e +∞
?
【答】应选(D). 【解】因
d (1)x
x
x x x e e -=-+?,则2
222
(1)3lim d (1)3x x x x x e e x e e x
x e
+∞----→++∞
∞
=-+=-+=?
,故选(D).
(2) 函数2
0sin ()lim(1)x t
t t f x x
→=+
在(,)-∞+∞内 (A) 连续 (B) 有可去间断点
(C) 有跳跃间断点 (D) 有无穷间断点 【答】应选(B).
【解】显然0x =时,
()f x 无定义,故()f x 有间断点.又在0x ≠时,有
2
22000sin sin sin ln lim(1)lim
ln(1)lim
()x t
t t t t
x t x t
x x
t x t x f x e
e
e
e →→→++?====(0x ≠),因此0x =是()
f x 的可去间断点,故选(B).
11,0p p a >>,1,1,1p p a >>收敛发散;
,0
,0k
λλ>收敛;
11p p <,10111d p p p x x ??? ????
?收敛发散.
(3) 设函数1cos ,0()(0,0)0,
0x x f x x
x α
β
αβ?>?=>>???,若()f x '在0x =处连续,则 (A) 1αβ-> (B) 01αβ<- (C) 2αβ-> (D) 02αβ<- 【答】应选(A).
【解】因()f x '在0x =处连续,故()f x 在0x =处可导,于是有(0)(0)f f +-''=,即
001cos
000lim
lim x x x x x x αβ+
-→→--=,亦即101lim cos 0x x x αβ
+-→=,因此10α->.又因为
()f x '在0x =处连续,所以0
lim ()lim ()(0)x x f x f x f +-→→'''==,即0
lim ()x f x +
→'1
1
11lim(cos sin )0x x x x x
ααβββαβ+
---→=+=.由此可见10αβ-->.故选(A). (4) 设函数()f x 在(,)-∞+∞内连续,其中二阶导数()
f x ''的图形如图所示,则曲线()y f x =的拐点个数为( )
(A) 0 (B) 1
(C) 2 (D) 3 【答】应选(C).
【解】拐点须出现在二阶导数为零的点处或二阶导数不存在的点处,且在该点的左右两侧二阶导数异号.于是由的图形可见,曲线存在两个拐点.故应选(C).
(5) 设函数(,)f u v 满足22
(,)y f x y x y x +=-,则11
u v f u ==??与11u v f v ==??依次是
(A) 1,02 (B) 1
0,2
(C) 1,02- (D) 1
0,2- 【答】应选(D).
【解】方法一:(代入法) 令u x y =+,y v x =
,则1u x v =+,1uv y v
=+,从而22
(,)y f x y x y x +=-变为
2
2
2
(1)
(,)111u uv u v f u v v v v -????=-= ? ?+++????
.于是2(1)1f u v u v ?-=?+,22
2(1)f u v v ?=-?+
,
11
0u v f u ==?=?,11
1
2
u v f v ==?=-?.故选(D). 方法二:(全微分形式不变性) 将(,)f u v 分别对x ,y 求偏导,得
f f u f v
x u x v x
?????=?+??????, f f u f v y u y v y
?????=?+??????, 由于u x y =+,y
v x
=
,故上述两式化为 21()f f f y x u v x
???=?+?-???, 11()f f f y u v x
???=?+????, 又由于2
2
f x y =-,可得
2f x x ?=?,2f
y x ?=-?, 已知1u x y ==+,1y v x ==,可得12x =,12
y =, 则可将前述式子化为
1(2)f f
u v ??=
+-??, 12f f
u v
??-=
+??, 联立两式可解得11
0u v f u ==?=?,11
1
2
u v f v ==?=-?.故选(D). (6) 设D 是第一象限由曲线21xy =,41xy =与直线y x =
,y =围成的平面区域,函数
(,)f x y 在D 上连续,则(,)d d D
f x y x y =??
(A)
1
3sin 214
2sin 2d (cos ,sin )d f r r r r π
θπθ
θθθ??
(B) 34
d (cos ,sin )d f r r r r π
πθθθ?
(C)
13sin 214
2sin 2d (cos ,sin )d f r r r π
θπθ
θθθ??
(D)
34
d (cos ,sin )d f r r r
π
πθθθ?
【答】应选(B).
【解】通过画出D 的图形,可见
(,)d d D
f x y x y =
??34
(cos ,sin )d d f r r r r π
πθθθ?,故应选(B).
(7) 设矩阵21111214a a ?? ?= ? ?
??
A ,21d d ?? ?
= ? ???b ,若集合{1,2}Ω=,则线性方程组=Ax b 有无穷多
解的充分必要条件为
(A) ,a d ?Ω?Ω (B) ,a d ?Ω∈Ω (C) ,a d ∈Ω?Ω (D) ,a d ∈Ω∈Ω 【答】应选(D).
【解】因=Ax b 有无穷多解的充分必要条件为()()r r =A A <3,而
22111111111201111400(1)(2)(1)(2)a d a d a d a a d d ????
? ?=→-- ? ? ? ?----????
A
,于是有1a =或2a =,同时1d =或2d =.故选(D).
(8) 设二次型或123(,,)f x x x 在正交变换为=x Py 下的标准形为222
1232y y y +-,其中
123(,,)=P e e e ,若132(,,)=-Q e e e ,则123(,,)f x x x 在正交变换=x Qy 下的标准形为
(A) 222
123
2y y y -+
(B) 222
1232y y y +-
(C) 222
123
2y y y --
(D) 222
123
2y y y ++
【答】应选(A). 【解】方法一:
由题意, f 的标准型中平方项的系数2,1,-1是二次型的矩阵A 的特征值,矩阵P
中列向量123,,e e e 分别是A 属于特征值2,1,-1的特征向量,于是,矩阵Q 中列向量
132,,-e e e 分别是A 属于特征值2,-1,1的特征向量.又由P 为正交矩阵易见, Q
也是正交矩阵,因此f 在正交变换=x Qy 下的标准形为222
1232y y y -+.故选(A).
方法二:因在正交变换=x Py 下,有222
123()2T T T f y y y ===+-x Ax y P AP y .故
200010001T ?? ?= ? ?-??P AP .而100001010?? ?
== ? ?-??Q P PC ,于是有
200()010001T T T ??
?
== ? ?-??
Q AQ C P AP C ,因此在正交变换=x Qy 下,有
222123()2T T T f y y y ===-+x Ax y Q AQ y .故选(A).
二、填空题:9~14小题,每小题4分,共24分. 请将答案写在答题纸...
指定位置上. (9) 已知3
arctan 3x t y t t
=??=+?,则221d d t y
x == . 【答】应填48.
【解】因
2222
d d 33d 3(1)d 1d d 1y
y t t t x x
t t +===++, 222222
d d d[3(1t )]
d()d()d d d d d 12(1)d(arctant)d d d d d y y t y x x t t t x x t x
t
+====+, 故221
d 48d t y x ==. (10) 函数2
()2x
f x x =?在0x =处的n 阶导数()
(0)n f
= .
【答】应填2
(1)(ln 2)
n n n --.
【解】据莱布尼兹公式有
()212
2()2(ln 2)22(ln 2)22(ln 2)n x n x n x n n n f x x C x C -=??+???+???,故
()2
2
20
(0)22(ln 2)(1)(ln 2)n x n n n x f C n n --==???=-.
(11) 设()f x 连续,
()()d x
x xf t t ?=?,若(1)1?=,(1)5?'=,则(1)f = .
【答】应填2.
【解】因为()f x 连续,所以()x ?可导,且2
220
()()d 2()x x f t t x f x ?'=
+?
;又因为
1
0(1)()d 1f t t ?==?,1
(1)()2(1)5f t dt f ?'=+=?,故(1)2f =.
(12) 函数()y y x =是微分方程20y y y '''+-=的解,且在0x =处取得极值3,则
()y x = .
【答】应填22x x e e -+.
【解】依题意,有(0)3y =,(0)0y '=.
又由特征方程220λλ+-=解得11λ=,22λ=-.所以微分方程的通解为:
212x x y C e C e -=+.将(0)3y =,(0)0y '=代入,可得12C =,21C =.于是()y x =22x x e e -+.
(13) 若函数(,)z z x y =由方程231x y z
e
xyz +++=确定,则(0,0)d z = .
【答】应填1
2
d d 33
x y --
. 【解】易见当0x =,0y =时,有0z =.又对方程两边求偏导可得
2323(3)
x y z x y z z e xy yz e x
++++?+=--?,2323()2x y z x y z z e xy xz e y ++++?+=--?.将(0,0,0)
点的值代入,即有
(0,0)13z x ?=-?,
(0,0)
23z
y ?=-?.因此(0,0)d z =12d d 33x y --. (14) 若3阶矩阵A 的特征值为2,-2,1, 2
=-+B A A E 其中E 为3阶单位阵,则行列式
=|B | .
【答】应填21.
【解】因A 的所有特征值为2,-2,1,故B 的所有特征值为3,7,1,因此=|B |21.
三、解答题:(15~23小题,共94分.)
(15) (本题满分10分)设函数()ln(1)sin f x x a x bx x =+++,3
()g x kx =.若()f x 与
()g x 在0x →时是等价无穷小,求,,a b k 的值.
【解】方法一: 因0
lim ()lim[1(sin cos )]11x x a
f x b x x x a x
→→'=+
++=++, 20
lim ()lim30x x g x kx →→'==,故当10a +≠时, 0
0()()
lim
lim ()()
x x f x f x g x g x →→'==∞'.与题设矛盾. 于是有10a +=,即1a =-. 又2
lim ()lim[(2cos sin )]212(1)
x x a
f x b x x x a b b x →→''=-
+-=-+=++, 00lim ()lim60x x g x kx →→''==.故同理可知120b +=,即1
2
b =-. 由于3002(3sin cos )
()1(1)lim lim ()633x x a
b x x x f x a x g x x k k
→→-+'''+===-''',且0()
lim 1()x f x g x →=,所以
113k -
=,即13
k =-. 方法二:
由于233
ln(1)()23x x x x x +=-++,33sin ()6
x x x x =-+.
所以33
23()ln(1)sin []()23
x x f x x a x bx x x a x bx x =+++=+-+++
233(1)()()23
a a
a x
b x x x =++-++.
因()f x 与()g x 在0x →时等价,故10023a a b a k ?
?+=?
?
-=??
?=??
,解得1a =-,12b =-,13k =-.
(16) (本题满分10分)设0A >,D 是由曲线段sin (0)2
y A x x
π
=及直线0y =,2
x π
=
所围成的平面区域, 1V ,2V 分别表示D 绕x 轴与绕y 轴旋转所成旋转体的体积.若
12V V =,求A 的值.
【解】22
222
2210
1cos 2sin d d 24
x A V A x x A
x π
π
ππ
π-===?
?
. 由0A >,可得2
220
2sin d 2dcos V xA x x A x x π
π
π
π==-?
?,
220
2(cos cos d )2A x x x x A π
π
ππ=--=?
因为12V V =,即
22
24
A A ππ=,所以8
A π
=
.
(17) (本题满分10分)已知函数(,)f x y 满足(,)2(1)x xy
f x y y e ''=+,(,0)(1)x x f x x e '=+,2(0,)2x f y y y '=+,求(,)f x y 的极值.
【解】由(,)2(1)x xy
f x y y e ''=+,得2(1)()x x f y e x ?'=++. 因为(,0)(1)x
x f x x e '=+,所以()(1)x x e x x e ?+=+,得()x x xe ?=,
从而2(,)(1)x x
x f x y y e xe '=++.对x 积分得2(,)(1)(1)()x x f x y y e x e y ψ=++-+.
因为2(0,)2f y y y =+,所以()0y ψ=,从而2(,)(2)x
f x y x y y e =++.
于是(,)(22)x y f x y y e '=+,2(,)(22)x xx
f x y x y y e ''=+++,(,)2x yy f x y e ''=. 令(,)0x f x y '=,得驻点(0,1)-.所以(0,1)1xx
A f ''=-=,(0,1)0yy
B f ''=-=,(0,1)2yy
C f ''=-=.由于20AC B ->,0A >所以极小值为(0,1)1f -=-. (18) (本题满分10 分)计算二重积分
()d d D
x x y x y +??,其中
{}222(,)|2,D x y x y y x =+.
【解】因为区域D 关于y 轴对称,所以
d d D
xy x y ??.
2
()d d d d D
D
x x y x y x x y +=????
2
1
20
2d d x
x y =?
1
220
2)d x x x =? 1
1
40
22d x x x x =-??,
令x t =
,则1
2
2
440
0014sin cos d (1cos 4)d 28
x
x t t t t t ππ
π
==-=???,
又
1
40
1
d 5x x =
?
,所以2()d d 45D
x x y x y π+=-??.
(19) (本题满分10分)已知函数2
1
()x f x t t =
+?
?
,求()f x 零点的个数.
【解】()2(2f x x '==-()0f x '=,得驻点为
1
2x =
. 当12x <时, ()0f x '<,()f x 单调减少;当1
2
x >时, ()0f x '>,()f x 单调增加;
因为(1)0f =,所以()f x 在1
(,)2
+∞存在唯一零点.
又1()(1)02f f <=,lim ()x f x →-∞=+∞,所以()f x 在1
(,)2-∞存在唯一零点.
综上可知,有且仅有2个零点.
(20) (本题满分11分)已知高温物体置于低温介质中,任一时刻该物体温度对时间的变化率
与该时刻物体和介质的温差成正比.现将一初始温度为120C ?的物体在20C ?的恒温介质中冷却, 30min 后该物体温度降至30C ?,若要将该物体的温度继续降至21C ?,还需冷却多长时间?
【解】设该物体在t 时刻的温度为()(C)T t ?,
由题意得
(20)dT
k T dt
=--,其中k 为比例系数, 0k >. 解得()20kt
T t Ce -=+.
将初始条件(0)120T =代入上式,解得100C =.故()10020kt
T t e -=+.
将30t =,30T =代入上式得ln10
30
k =
,所以10020kt T e -=+. 令21T =,得60t =.因此要降至21C ?,还需要603030(min)-=.
(21) (本题满分11分)已知函数()f x 在区间[,)a +∞上具有2阶导数, ()0f a =,()0f x '>,
()0f x ''>.设b a >,曲线()f x 在点(,())b f b 处的切线与x 轴的交点是0(,0)x ,证明:
0a x b <<.
【解】曲线在()y f x =点(,())b f b 处的切线方程为
()()()y f b f b x b '-=-,解得切线与x 轴交点的横坐标0()
()
f b x b f b =-
'. 由于()0f x '>.故()f x 单调递增.由b a >可知()()0f b f a >=. 又()0f b '>,故
()
0()
f b f b >',即有0x b <. 由拉格朗日中值定理得()()()()()f b f b f a f b a ξ'=-=-,a b ξ<<. 因为()0f x ''>,所以()f x '单调递增,从而()()f f b ξ''<,()()()f b b a f b '<-. 由此可知00x a ->,即0x a >.综上0a x b <<.
(22) (本题满分11分)设矩阵101101a a a ?? ?
=- ? ???
A 且3=A O .
(Ⅰ) 求a 的值;
(Ⅱ) 若矩阵X 满足2
2
--+=X XA AX AXA E ,E 为3阶单位矩阵,求X .
【解】(Ⅰ)由于3=A O ,所以31
01
1001
a a a a
=-==A ,于是0a =.
(Ⅱ)由于22
--+=X XA AX AXA E ,所以2
()()--=E A X E A E .
由(Ⅰ)知110111011-?? ?-=- ? ?-??E A ,2001010102?? ?-= ? ?-??
E A ,, 因为-E A ,2
-E A 均可逆,所以
121
211201312()()111010111110100211-----??????
??? ?=--=-=- ??? ? ??? ?-??????
X E A E A .
(23) (本题满分11分)设矩阵02313312a -?? ?=-- ? ?
-??
A 相似于矩阵12000031b -?? ?
= ? ???B .
(Ⅰ) 求,a b 的值;
(Ⅱ) 求可逆矩阵P ,使1-P AP 为对角矩阵.
【解】(Ⅰ)由于矩阵A 与矩阵B 相似,所以()()tr tr =A B ,=A B . 于是32a b +=+,23a b -=,解得4a =,5b =.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知, 023133124-?? ?=-- ? ?
-??
A ,120050031-??
?
= ? ???B .又由于矩阵A 与矩阵B
相似,所以
2(1)(5)λλλλ-=-=--E A E B .故A 的特征值121λλ==,35λ=.
当121λλ==时,解方程组()0-=E A x ,得线性无关的特征向量为
1(2,1,0)T =ξ,2(3,0,1)T =-ξ.
当35λ=时,解方程组(5)0-=E A x ,得特征向量为
3(1,1,1)T =--ξ.
令123231(,,)101011--?? ?==- ? ???P ξξξ,则1
100010005-??
?= ? ???
P AP ,
故P 为所求可逆矩阵.