2.3几个著名的几何定理

D O Q
A
C
P
2AB•DQ=AB· CD 即 CQ=DQ……③
B
AD DQ CQ , 又 ∠BCQ=∠BAD 由①、③得： AB BC BC
△CBQ∽△ABD ∠ABD=∠CBQ
∠DBQ=∠ABC=∠PAC ［证毕］
例12 证明：西摩松定理与托勒枚定理等价. 证明 （1）由西摩松定理证明托勒枚定理
F
F`
证法二：利用相似三角形的
比例关系，再将比例转化用
A
C M
E
P
·
Q
B D
面积比来转化.
连AC , AF , BD, BE ,由 ACM DBM , AFM EBM , CFM EDM , 有
BD MD BE MB ED ME , , . AC MA AF MF CF MC
第二章 几何证明
§2.3 几个著名的几何定理
在几何学的发展历史中，许多经久不 衰的平面几何名题推动着几何学的发展， 乃至整个数学的发展，它们在解决相关问 题时有着很大的作用，尤其在思想方法上 作用.
1. 梅涅劳斯(Menelaus)定理
直线l分别交⊿ABC的三边BC、CA 、AB (或其 延长线) 于X、Y、Z, 如图 . 求证：
1
AH BF DP 1. HB FD PA
AH DP 1. 由BF=BH,有 FD PA
E· B
·
D
·
C
O ·
2
· F
又O1, A , O2 , 三点共线, 连 O1E, OG 1 , O2 F , O2 H , 则由 ∽⊿AH O2 , 即 O1E // AD // O2 F 有⊿AG O1
DE AO1 AG . DF AO2 AH
P P
·
AH AG . 故 FD ED
G ·
O1
又CE=CG, 则
·
·
·
A
· ·
O ·
2
H
AH DP · · C F D E B 1 ED PA DP AG DP AG CE . PA ED PA GC ED 对⊿CAD应用梅氏逆定理, 知P, G , E三点共线, 即 P 为直线EG与FH的交点. 即点 P与点P重合. 亦 即PA⊥BC.
AP AC AB .
A

B
P
C
7. 密克(Auguste Miquel )定理 在三角形的三边(所在直线)上各取一点,过 过一个顶点及两邻边所取点作圆, 则所作三 圆交于一点. A
Z O Y
B
X
C
例14 四条直线相交成四个三角形, 证明这四个三 角形的外接圆共点.
8. 九点圆定理 任意三角形三条高的垂足, 三边的中点及 垂心与顶点的连线的中点, 这九点共圆.
X
C
[证法1] 必要性：(1)平行情况易证；(2)共点情况 可以用梅涅劳斯定理证明. 充分性：类似梅涅劳斯定理充分性的证明.
[证法2] 可利用面积法证.
例7 三角形的三条角平分线共点. [证明] 可利用塞瓦(Cera)定理 .
F I
A
E C
B
D
例8 在四边形ABCD中, 两组对边延长后的交点为 E, F, 且EF∥BD, 延长AC交EF于G.求证：EG＝GF. [证法1] 可如图引辅助线证.
F N · · H · · O B
BH CH 3OH
MH NH 3OH .
E
C
M
例11过圆外一点P作圆O的两条切线和割线，切 点为A、B, 所作割线交圆于C、D两点．C在P, D 之间．在弦CD上取一点Q，使得∠DAQ=∠PBC． 求证：∠DBQ=∠PAC．
A
分析： 易知△ADQ∽△ABC
3. 塞瓦(Cera)定理 (准则) 在⊿ABC中, 设 X, Y, Z 依次在三边 BC, CA,
AB或其延长线上，则 AX, BY, CZ 共点或平行的充 要条件是
BX CY AZ 1. XC YA ZB
A Y Z A
Y
Z P B X C B X
C
A Y Z A
Y
Z P B X C B
B
ห้องสมุดไป่ตู้
N · · H · · M
E C
又OB=OC=R(R为外接圆半径) . MH+NH=(BH-BM)+(CN-CH)=BH-CH .
A 60 B, O, H , C四点共圆及托勒枚定理
BO CH OH BC BH OC
A
R CH OH 3R BH R
如图，由西摩松定理得： ZY+YX=ZX ① 由A、Z、Y、P共园、且
AP是该园的直径及正弦定理： ZY=AP· sin∠ZPY=AP· sin∠ZAY ,
B Z
A
· P · O · Y·
C
·
X
BC sin∠ZAY= sin∠BAC= ( R为圆O的半径) ， 2R
AP BC 所以 ZY . 2R PC AB AC BD 同理 YX , ZX , 2R 2R
例10 在⊿ABC中, AB>AC, 点O是外心,两条高BE, CF交于H点，点M, N分别在线段BH, HF上, 且满足 BM=CN. MH NH 求证： 3 的充分必要条件是∠A=60°.
OH
[证明]
连OB、OC，则
F O
A
∠BOC=2∠A， ∠BHC=180°－∠HBC－ ∠HCB=∠B+∠C=180 － ∠A
BC•AD=AB•DQ……①
由切割线关系知： △PCA∽△PAD， △PCB∽△PBD，从而有
AD PA BD PB , AC PC BC PC
D
O Q B
C
P
,由于PA=PB

AD BD AC BC
即 AC· BD=BC· AD 由①有 AC· BD=AB•DQ……②
由圆内接四边形的托勒玫 定理，有： AC· BD + BC· AD = AB· CD 再根据①、②得：
A D M E
F
同时注意到DE=AD, EC=BD,
SA SD SD SC , , 及AD∥BC AF DE AD BC
B C
EM SA EC SD EC SD BC 可得 MF AF SC DE SC AD SC 1, EM MF .
2. 两条著名的线
(1) 欧拉(Euler)线 在任一三角形中，外心、垂心和重心共线. [证法1] 连接O, H容易证明OH A 与AD的交点就是重心G.(后略) 2 [证法2] 运用梅氏准则，连 G H O 接OC分别交AD、AH于 . 1 B, C C B B 由 ABC DBO 可得 D
A
[证法2] 若可利用塞瓦定理 来证, 则不用作辅助线且简捷.
E
B C
G H
D
F
4.托勒密(Ptolemy)定理 (准则) 圆内接四边形两组对边乘积之和等于对角 A 线乘积. [分析] 作∠1＝∠2, 则 1 ·· 2 ⊿ABE∽⊿CAD, 从而可 y x 证⊿ABC∽⊿AED. B D E
注：(1) 其逆亦真, 称为托 C 勒密逆定理； (2) 对于任意凸四边形ABCD均有：AB· CD+BC· AD≥AC· BD, 当且仅当ABCD时圆内接四边形时取 等号.
A
F
B
K
· · · · · · · · ··
I J E H L D
G
C
9. 蝴蝶定理 设AB是⊙O的弦, M 是AB 的中点, 过M作任意二弦CD, EF, 记P, Q依次为与CF, ED 的交点. 则 PM=PQ.
证法一：利用对称造全等形.
C A M
E
1
P
2 5
· 1` 1 · O
Q
B
3 4 2` D
B
·R · Q S ·· C D
E
例6 如图, 延长凸四边形ABCD的对边AB与DC, AD与BC分别相交于E, F. 求证：⊿BCE, ⊿CDF, A ⊿ADE, ⊿ABF的四个外接圆共点. [证明] 设⊿BCE与⊿CDF的 B P D 两个外接圆交于C, M点. Q C ·R 设点M在直线BE, EC, BC E S 上的射影分别为P, Q, R,则由 F M 西摩松定理, 知P, Q, R三点共线. 同理, M点在直线DC, CF, DF的射影Q, R, S三点 也共线, 故P, Q, R, S四点共线. 在⊿ADE中, P在直线 AE上, Q在直线DE上, S在 直线AD上,且P,Q,S共线, 则由西摩松定理的逆定理 知M在⊿ADE的外接圆上. 同理M也在⊿ABF 的外 接圆上.
PC BP AP 2 AB 2 AC 2 BP PC. BC BC
A
[证明] 分别对⊿ABP和 ⊿APC应用余弦定理, 易 证.
B
P
C
6. 张角定理定理 设B, P, C依次分别是从点A引出的三条射 线AB, AP, AC上的三点, 线段BP, PC对点A的 , , 且 180 , 则B, P, C共线 张角分别是 的充分必要条件是 sin( ) sin sin
E M A L N X
●
Z B
F
●
C
●
Y
D
例2 设两个三角形ABC和 ABC 彼此对应, 使得 对应点的连线 AA , BB , CC 共点, 那么对应边的交点 共线. (代沙格Desargues定理) O [证明] 应用梅氏准则.
C A L M
A
B
B
N
C
例3 如图, ⊙ O1 , O2和⊿ABC的三边所在的3条直 线都相切, E, F, G, H为切点, 直线EG与FH交于点P. 求证：PA⊥BC. P P · [证明] 过A作AD⊥BC 于D, 延长DA交HF于P . G · H 对⊿ABD及截线FP A · O · P 应用梅氏定理, 有 ·