沪教版数学七年级上册【因式分解】专项巩固训练

19．对于一个各数位上的数字均不为 0 且互不相等的数 m，将它各个数位上的数字分别平方后取其 个位数字，得到一个新的数 n，称 n 为 m 的“绝对疯癫数”，并规定 f（m）＝am﹣bn，（其中 a、 b 为非零常数）．例如；m＝234，其各个数位上的数字分别平方后的数的个位数字分别是 4、9、 6，则 234 的“绝对疯癫数”n＝496．已知 f（7）＝5，f（12）＝10．
．
14．因式分解：x2﹣5x﹣36＝
．
15．分解因式：b4﹣b2﹣12＝
．
三．解答题
16．因式分解：
（1）x2+2x﹣15．
（2）3x2y2z﹣27y4z．
（3）（a2+1）2﹣4a2．
2
17．对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式．
（1）对于等式（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2，可以由图 1 进行解释：这个大长方形的长为
（1）计算 f（269）的值：
4
（2）对于一个两位数 s 和一个三位数 t，在 s 的中间位插入一个一位数 k，得到一个新的三位数 s'，若 s'是 s 的 9 倍，且 t 是 s'的“绝对疯癫数”，求 f（t）的最小值．
5
20．如图①是由边长为 a 的大正方形纸片剪去一个边长为 b 的小正方形后余下的图形．我们把纸片 剪开后，拼成一个长方形（如图②）．
或
或
，
∴s'为 135，315， ∵t 是 s'的“绝对疯癫数”， ∴t 为 195，915， ∴t 的“绝对疯癫数”为 115，115， ∵f（m）＝2m﹣n， ∴f（195）＝275，f（915）＝1715，
12
∴f（t）的最小值为 275． 20．解：（1）图①的面积可表示为 a2﹣b2，
图②的面积可表示为（a+b）（a﹣b）， ∵图①的面积＝图②的面积， ∴上述操作能验证的等式是：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）， 故答案为③； （2）①∵4x2﹣9y2＝12， ∴（2x+3y）（2x﹣3y）＝12， ∵2x+3y＝4， ∴2x﹣3y＝12÷4＝3；
②（1﹣ ）×（1﹣ ）×（1﹣ ）×（1﹣ ）×…×（1﹣
）＝（1﹣ ）（1+ ）
（ 1 ﹣ ） （ 1+ ） （ 1 ﹣ ） （ 1+ ） … （ 1 ﹣
） （ 1+
＝
＝．
）＝
13
6．下列四个等式从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
B．ab﹣a2＝a（b﹣a）
C．x2+x﹣5＝x（x+1）﹣5
D．x2+1＝x（x+ ）
7．小明是一位密码翻译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a﹣b，x﹣y，x+y，a+b，x2 ﹣y2，a2﹣b2 分别对应下列六个字：蜀、爱、我、巴、丽、美，现将（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2 因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
3
18．观察下列关于自然数的等式：
a1：32﹣12＝8×1； a2：52﹣32＝8×2； a3：72﹣52＝8×3；… 根据上述规律解决下列问题：
（1）写出第 a4 个等式：
；
（2）写出你猜想的第 an 个等式（用含 n 的式子表示），并验证其正确性；
（3）对于正整数 k，若 ak，ak+1，ak+2 为△ABC 的三边，求 k 的取值范围．
，
宽为
，用长乘以宽可求得其面积．同时，大长方形的面积也等于 3 个长方形和 3 个正方
形的面积之和．
（2）Hale Waihona Puke Baidu图 2，试用两种不同的方法求它的面积，你能得到什么数学等式？
方法 1：
；
方法 2：
；
数学等式：
；
（3）利用（2）中得到的数学等式，解决下列问题：已知 a+b+c＝8，a2+b2+c2＝26，求 ab+bc+ac 的值．
9
故答案为：m＞4． 14．解：x2﹣5x﹣36
＝（x﹣9）（x+4）， 故答案为：（x﹣9）（x+4）． 15．解：b4﹣b2﹣12＝（b2﹣4）（b2+3）＝（b+2）（b﹣2）（b2+3）， 故答案为：（b+2）（b﹣2）（b2+3）． 三．解答题 16．解：（1）x2+2x﹣15＝（x+5）（x﹣3）， （2）3x2y2z﹣27y4z＝3y2z（x2﹣9y2）＝3y2z（x+3y）（x﹣3y）， （3）（a2+1）2﹣4a2＝（a2+1+2a）（a2+1﹣2a）＝（a+1）2（a﹣1）2． 17．解：（1）由图形直观得出，长为：（a+2b），宽为（a+b）， 故答案为：（a+2b），（a+b）； （2）从总体看是边长为（a+b+c）的正方形，其面积为（a+b+c）2， 各个部分的面积和为 a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac， 因此有：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac， 故答案为：（a+b+c）2，a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac， （3）由（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac 得，2ab+2bc+2ac＝（a+b+c）2﹣（a2+b2+c2）， ∵a+b+c＝8，a2+b2+c2＝26， ∴2ab+2bc+2ac＝64﹣26＝38， ∴ab+bc+ac＝19． 18．解：（1）∵a1：32﹣12＝8×1；
A．我爱美
B．巴蜀美
C．我爱巴蜀
D．巴蜀美丽
8．已知 m2＝4n+a，n2＝4m+a，m≠n，则 m2+2mn+n2 的值为（ ）
1
A．16
B．12
C．10
D．无法确定
9．二次三项式 x2﹣mx﹣12（m 是整数），在整数范围内可分为两个一次因式的积，则 m 的所有可 能值有（ ）个．
A．4
B．5
【因式分解】专项巩固训练
一．选择题
1．4x2y 和 6xy3 的公因式是（ ）
A．2xy
B．3xy
C．2x2y
D．3xy3
2．多项式①2x2﹣x；②x2+4+4x；③x2+x﹣2；④﹣x2+4x﹣4，在分解因式结果含有相同因式的是（ ）
A．①和②
B．①和④
C．②和③
D．③和④
3．下列多项式中，能用平方差公式进行因式分解的是（ ）
8
故选：C． 10．解：664﹣1
＝（632+1）（632﹣1） ＝（632+1）（616+1）（616﹣1） ＝（632+1）（616+1）（68+1）（68﹣1） ＝（632+1）（616+1）（68+1）（64+1）（64﹣1） ＝（632+1）（616+1）（68+1）（64+1）（62+1）（62﹣1） ＝（632+1）（616+1）（68+1）（64+1）×37×35． 故选：A． 二．填空题 11．解：3xy﹣6y＝3y（x﹣2）． 故答案为：3y（x﹣2）． 12．解：设另一个因式是 2x+n， ∴（x﹣3）（2x+n）＝2x2+nx﹣6x﹣3n＝2x2+mx+15， ∴﹣3n＝15，n﹣6＝m， ∴n＝﹣5，m＝﹣11， 故答案为﹣11． 13．关于 x 的二次三项式 x2﹣4x+m 在实数范围内不能分解因式，就是对应的二次方程 x2﹣4x+m＝0 无实数根， ∴△＝（﹣4）2﹣4m＝16﹣4m＜0， ∴m＞4．
10
a2：52﹣32＝8×2； a3：72﹣52＝8×3；… ∴a4：92﹣72＝8×4； （2）结果为：（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n（n 为正整数） ∵左边＝（2n+1）2﹣（2n﹣1）2 ＝[（2n+1）+（2n﹣1）][（2n+1）﹣（2n﹣1）] ＝4n×2 ＝8n 右边＝8n， ∴左边＝右边； （3）由（2）可知： ∵ak＝8k，ak+1＝8（k+1），ak+2＝8（k+2）
（1）探究：上述操作能验证的等式的序号是
．
①a2+ab＝a（a+b） ②a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2③a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
（2）应用：利用你从（1）中选出的等式，完成下列各题：
①已知 4x2﹣9y2＝12，2x+3y＝4，求 2x﹣3y 的值；
②计算（1﹣ ）×（1﹣ ）×（1﹣ ）×（1﹣ ）×…×（1﹣
，
解得：k＞1． 19．解：（1）7 的“绝对疯癫数”是 9，
∴m＝7，n＝9； 12 的“绝对疯癫数”是 14， ∴m＝12，n＝14； ∵f（m）＝am﹣bn， ∴5＝7a﹣9b，10＝12a﹣14b，
11
∴a＝2，b＝1， ∵m＝269 的“绝对疯癫数”是 n＝461， ∴f（269）＝2×269﹣1×461＝77； （2）设 s 的十位数字为 a，个位数字为 b， 由题意可知 s'＝100a+10k+b， s＝10a+b， ∵s'是 s 的 9 倍， ∴100a+10k+b＝9（10a+b）， ∴5（a+k）＝4b， ∵0≤b≤9， ∴b＝5， ∴a+k＝4， ∵1≤a≤9，1≤k≤9， ∴满足条件的 a 与 k 为：
）．
6
参考答案
一．选择题 1．解：4x2y 和 6xy3 的公因式是 2xy，
故选：A． 2．解：①2x2﹣x＝x（2x﹣1），
②x2+4+4x＝（x+2）2， ③x2+x﹣2＝（x+2）（x﹣1）， ④﹣x2+4x﹣4＝﹣（x﹣2）2， 即①和②没有相同的因式，①和④没有相同的因式，②和③有相同的因式 x+2，③和④没有相 同的因式， 故选：C． 3．解：A、a2﹣b2 符合平方差公式的特点，能用平方差公式进行因式分解； B、﹣a2﹣b2 两平方项符号相同，不能用平方差公式进行因式分解； C、a2+b2 两平方项符号相同，不能用平方差公式进行因式分解； D、a2+2ab+b2 是三项，不能用平方差公式进行因式分解． 故选：A． 4．解：∵x2+mx+9＝（x+3）2＝x2+6x+9， ∴m＝6． 故选：D． 5．解：原式＝[2﹣3（a﹣b）]2 ＝（2﹣3a﹣3b）2．
7
故选：D． 6．解：A、是整式的乘法，故此选项不符合题意；
B、把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项符合题意； C、没把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项不符合题意； D、把一个多项式化为整式与分式的积的形式，不是把一个多项式化为几个整式的积的形式，故 此选项不符合题意； 故选：B． 7．解：（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2 ＝（x2﹣y2）（a2﹣b2 ） ＝（x+y）（x﹣y）（a+b）（a﹣b）， 由已知可得：我爱巴蜀， 故选：C． 8．解：将 m2＝4n+a 与 n2＝4m+a 相减得 m2﹣n2＝4n﹣4m， （m+n）（m﹣n）＝﹣4（m﹣n）， （m﹣n）（m+n+4）＝0， ∵m≠n， ∴m+n+4＝0，即 m+n＝﹣4， ∴m2+2mn+n2＝（m+n）2＝（﹣4）2＝16． 故选：A． 9．解：若 x2﹣mx﹣12（m 为常数）可分解为两个一次因式的积， m 的值可能是﹣1，1，﹣4，4，11，﹣11．共有 6 个．
A．a2﹣b2
B．﹣a2﹣b2
C．a2+b2
D．a2+2ab+b2
4．若 x2+mx+9＝（x+3）2，则 m 的值是（ ）
A．﹣18
B．18
C．﹣6
D．6
5．分解因式：4﹣12（a﹣b）+9（a﹣b）2＝（ ）
A．（2+3a﹣3b）2 B．（2﹣3a﹣3b）2 C．（2+3a+3b）2 D．（2﹣3a+3b）2
C．6
D．8
10．已知 664﹣1 能被 30﹣40 之间的两个整数整除，则这两个整数是（ ）
A．35，37
B．35，36
C．34，38
D．36，37
二．填空题
11．因式分解 3xy﹣6y＝
．
12．已知 m 是常数，若 x﹣3 是 2x2+mx+15 的一个因式，则 m 的值为
．
13．如果关于 x 的二次三项式 x2﹣4x+m 在实数范围内不能分解因式，那么 m 的取值范围是