杆系结构静力分析的有限单元法

k e
k k
e ii e ji
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第三章 杆系结构静力分析的有限单元法
空间刚架单元每个结点有6个位移分量，其单元 结点位移列向量

e
i ui j

vi
wi ix iy iz
uj
vj
w j jx jy jz

T
空间刚架局部坐标下的单元刚度矩阵是12×12的。
e ii e ji e ij e jj
平面桁架的单元刚度矩阵为
e
ui i j
i

wi
uj j
wj

T
空间桁架局部坐标下的单元刚度矩阵是6×6的
EA l 0 e 0 kij EA ke jj l 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 EA l 0 0 EA l 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
(d) 埃菲尔铁塔
2
第三章 杆系结构静力分析的有限单元法
3.1.1 结构离散化
由于杆系结构本身是由真实杆件联接而成，故离散 化比较简单，一般将杆件或者杆件的一段( 一根杆又分 为几个单元 )作为一个单元，杆件与杆件相连接的交点 称为结点。 杆系结构的离散化的要点可参考如下： a. 杆件的转折点、汇交点、自由端、集中载荷作用 点、支承点以及沿杆长截面突变处等均可设臵成结点。 这些结点都是根据结构本身特点来确定的。 b. 结构中两个结点间的每一个等截面直杆可以设臵 为一个单元。 变换为作用在结点上的等效结点载荷。
(a) 结点载荷处理方式 (b) 等效结点载荷处理方式 图3-2杆系结构离散化示意图
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第三章 杆系结构静力分析的有限单元法
3.1.2 坐标系
为了建立结构的平衡条件，对结构进行整体分析，
尚需要建立一个对每个单元都适用的统一坐标系，即结
构坐标系或称之为整体坐标系、总体坐标系。
图3-3 坐标系示意图
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第三章 杆系结构静力分析的有限单元法
v( x) Niv vi Ni i N jv v j N j j
u N iu v 0 0 N i 0 N i N ju 0 0 N j 0 e N j
N 称为形函数矩阵。
f N e
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第三章 杆系结构静力分析的有限单元法
工程上许多由金属构件所组成的结构，如塔式桁构 支承架、起重机起重臂架、钢结构桥梁、钢结构建筑等 可以归结为杆系结构。杆系结构按各杆轴线及外力作用 线在空间的位臵分为平面杆系和空间杆系结构。 杆系结构可以由杆单元、梁单元组成。
(a) Liebherr塔式起重机
(b) Liebherr履带式起重机
(c) 钢结构桥梁 图3-1 杆系结构
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第三章 杆系结构静力分析的有限单元法
3.2.4 平面刚架梁单元的刚度矩阵
梁单元的i，j结点发生虚位移为
u
* e
* i
i* i* u * * * j j j
* * e
T
单元内相应的虚应变应为
x
B
x
F dxdydz B EBdxdydz
单元结点位移条件
v j x
当 x 0 时 v vi， x i 当 x l 时 v v j ，
1 vi 2 i

10
v
3
3 1 2 i j v v i j l l2 2 1 4 3 vi v j 2 i j l l
(a) 杆单元i端产生单位位移 (b) 杆单元j端产生单位位移 图3-6 平面桁架单元刚度系数的物理意义
(a) 梁单元i端产生单位位移
(b) 梁单元j端产生单位位移
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第三章 杆系结构静力分析的有限单元法
3.3 坐标变换及单元刚度矩阵
3.3.1 坐标变换
在整体坐标系中单元结点力向量和结点位移列向量 e 可分别表示成 e T i e ui vi i u j v j j j
其中
u( x) N iu i N ju u j
N iu 1 x l
N ju x l
、N ju分别表示当 ui 1 ，u j 0 时； ui 0 ，u j 1 时的单元内的轴向位移状态，故称为轴向位移形函数。
N iu
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第三章 杆系结构静力分析的有限单元法
3.2.2 梁单元平面弯曲的位移函数

F F X F
eFra Baidu biblioteki

j

i
Yi
Mi
Xj
Yj
Mj

T
ui ui cos vi sin vi ui sin vi cos
(a) 向量转换分析 (b) 向量转换 图3-8 向量转换示意图
i i
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第三章 杆系结构静力分析的有限单元法
1 B
B ——平面刚架梁单元的应变转换矩阵。
6 12 4 6 1 6 12 2 6 y 2 3 x y 2 x y 2 3 x y 2 x l l l l l l l l l l
e
Vi
Mi
eT
F U
e j
j
Vj
Mj

eT
单元e结点力列向量为
e Fi e Ui F j

Vi
Mi
Uj
Vj
Mj

eT
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第三章 杆系结构静力分析的有限单元法
3.2 位移函数及单元的刚度矩阵
3.2.1 轴向拉压杆单元的位移的函数
有限单元法分析中，虽然对不同结构可能会采取不 同的单元类型，采用的单元的位移模式不同，但是构建 的位移函数的数学模型的性能、能否真实反映真实结构 的位移分布规律等，直接影响计算结果的真实性、计算 精度及解的收敛性。 为了保证解的收敛性，选用的位移函数应当满足下 列要求: a. 单元位移函数的项数，至少应等于单元的自由度 数。它的阶数至少包含常数项和一次项。至于高次项要 选取多少项，则应视单元的类型而定。
k e vB EBdxdydz
T
横截面积A
横截面对形心轴z的静矩S
A dydz
A
S ydydz 0
A
横截面对主惯性轴z的惯性矩I
得到四个3 3子块所组成的局部坐标系下的平面刚 架梁单元的单元刚度矩阵。
EA l 0 e 0 k ij EA ke jj l 0 0 0 12EI l3 6 EI l2 0 12EI l3 6 EI l2 0 6 EI l2 4 EI l 0 6 EI l2 2 EI l EA l 0 0 EA l 0 0 0 12EI l3 6 EI l2 0 12EI l3 6 EI l2 6 EI l2 2 EI l 0 6 EI l2 4 EI l 0
第三章 杆系结构静力分析的有限单元法
3 2 2 3 x 3x 2 l l 2 1 N i x x 2 2 x 3 l l 3 2 2 3 N jv 2 x 3 x l l 1 1 N j x 2 2 x 3 l l N iv 1
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第三章 杆系结构静力分析的有限单元法
结点位移列向量为
i ui

e
vi i
T
u
j
j
vj j

T
单元e结点位移列向量为
i ui i i j

uj j j

T
结点力向量为
Fi e Ui
F
梁单元平面弯曲仅考虑结点的四个位移分 v j ， j ，由材料力学知,各截面的转角: i ， 量 i， x 故梁单元平面弯曲的位移表达式可分为仅包含四个 3 ， 2， 4 的多项式 v( x) 1 2 x 3 x 2 4 x 3 待定系数 1，
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第三章 杆系结构静力分析的有限单元法
c. 变截面杆件可分段处理成多个单元，取各段中点 处的截面近似作为该单元的截面，各单元仍按等截面杆 进行计算。 d. 对曲杆组成的结构，可用多段折线代替，每端折 线为一个单元。如若提高计算精度，也可以在杆件中间 增加结点。 e. 在有限元法计算中，载荷作用到结点上。当结构 有非结点载荷作用时，应该按照静力等效的原则将其
u i cos vi sin 0 i sin cos 0 0 u i v 0 i 1 i
对于梁单元如图3-8(b)所示，则有
u i cos vi sin i 0 u j 0 v 0 j 0 j sin cos 0 0 0 0 0 0 0 0 0 sin cos 0 0 u i v 0 i 0 i u 0 j 0 v j 1 j
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第三章 杆系结构静力分析的有限单元法
b. 单元的刚体位移状态和应变状态应当全部包含在 位移函数中。 c. 单元的位移函数应保证在单元内连续，以及相邻 单元之间的位移协调性。 由单元结点位移，确定待定系数项 当 x 0 时， u ui 当 x l 时， u u j 所以 u u 1 ui 2 j i l 用结点位移表示
T * e e v * x T
由虚功原理有
T * e
T
e
v
的任意性，故上式可写成 由于结点虚位移
e
F
e
k B EBdxdydz
T e e v
e
上式称为局部坐标下的平面刚架单元的刚度方程， 简称为单刚。
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第三章 杆系结构静力分析的有限单元法
第三章 杆系结构静力分析的有限单元法
3.1 结构离散与向量表示
3.2 位移函数及单元的刚度矩阵
3.3 坐标变换及单元刚度矩阵 3.4 整体刚度矩阵 3.5 约束处理及求解 3.6 计算示例 3.7 ANSYS桁架结构计算示例 3.8ANSYS刚架结构计算示例
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第三章 杆系结构静力分析的有限单元法
3.1 结构离散与向量表示

I y 2 dydz
A
k
e
e kii e k ji
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第三章 杆系结构静力分析的有限单元法
EA EA k k l e l k EA EA k k l l 空间桁架单元每个结点有3个位移分量，其单元结点 位移列向量
3.2.3 单元的应力应变
在弹性范围内，并且不考虑剪力的影响时，平面 刚架单元内任一点的轴向线应变由两部分组成，即轴 向应变与弯曲应变之和，其轴向应变与平面桁架轴向 应变相同。 u l 轴向应变为 x
x
2v 弯曲应变为 y x2
b x
图3-5 弯曲应变计算示意图
y为梁单元任意截面上任意点至中性轴 (x轴)的距离。 u 2v l b y 得出平面刚架单元应变 x x x x x2 则 x B e x E x EB e
3.1.3 向量表示
在有限单元法中力学向量的规定为：当线位移及相
应力与坐标轴方向一致时为正，反之为负；转角位移和 力矩，按右手法则定出的矢量方向若与坐标轴正向相一 致时为正。对于任意方向的力学向量，应分解为沿坐标
轴方向的分量。
(a) 刚架结构示意图
(b) 结点位移和结点力分向量 图3-4 平面刚架分析示意图