九年级数学上册 小结与思考(1) 教学案 苏科版
新苏科版九年级数学上册2小结与思考(1)学案
ACO D BE新苏科版九年级数学上册2小结与思考（1）学案一、与圆有关的概念 【知识扫描】1、圆的定义 （1）描述性定义（2）集合定义2、圆的基本元素圆是由 和 来决定的，圆心决定圆的_______,半径决定圆的________．3、弦、弧、等圆与等弧注：常见辅助线：作半径，利用同圆的半径相等。
【经典例题】例1、过圆内一点可以作出圆的最长弦 （ ）． A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．1条或无数条 例2、下列说法中,不正确的是 ( )． A ．直径是圆中最长的弦 B ．半圆是弧，弧不一定是半圆 C ．圆上的点到圆心的距离都相等 D ．优弧一定比劣弧长例3、AC 、BD 是⊙O 的两条互相垂直的直径，四边形ABCD 是_____________,若⊙O 的半径为2cm ，四边形ABCD 的面积为_________________ 例4、如图，点A 是⊙O 的直径CB 延长线上一点， 且AD=OB ，AE 交⊙O 于D 、E 两点， 且∠COE=72°，则∠A=___________ 二、与圆有关的角 【知识扫描】ODC BAODCBA1、圆心角： 的角叫做圆心角．2、圆周角：顶点在圆上且两边 的角叫做圆周角．3、弧、圆心角、圆周角之间关系：（1）同弧或等弧所对的圆周角__________,都等于_______________________ （2）直径（或半圆）所对的圆周角是____ ___,900的圆周角所对的弦是__________． 注：常见辅助线：② 造同弧或等弧所对的圆周角；②构造直径所对的圆周角——直角。
（有“直径”用“直角”） 【经典例题】例１、如图，等边三角形ABC 内接于⊙O ，AD 是直径，则∠ADB ＝ ， ∠CBD ＝ ．例2、如图，在⊙O 中，A 、B 、C 三点在圆上，且∠CBD ＝60°，那么∠AOC ＝例3、如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，已知∠B =60°，则∠CAO 的度数是( )A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°例4、如图，已知AB 是O ⊙的直径，点C 、D 在O ⊙上，110BOC ∠=°，AD OC ∥，则AOD ∠= （ ） A ．70° B ．60°C ．50°D ．40°例1 例2 例3 例4例5、AB 是直径为2的⊙O 弦，AB=2,则弦AB 所对的圆周角为____________° 例6、如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的弦，AB=2，∠BAC=30°.在图中画出弦AD,使AD=1，说明画图的方法及理由，并求∠CAD 的度数.三、圆的对称性 【知识扫描】1、圆是轴对称图形，它的对称轴是 ，共有 条； 圆是中心对称图形，它的对称中心 ．2、【三量关系】在 或___ ___中,如果__ _________、__________、_________中有一组量相等,那么__________________________________________. 3、【垂径定理】垂直于弦的直径_________________，并且_______________ ___. 注：常见辅助线：作弦心距，构造“铁三角”，利用利用垂径定理进行计算或推理； 【经典例题】例1、如图，AB 是⊙O 的弦，OD ⊥AB 于D 交⊙O 于E ， 则下列说法错误．．的是 ( ) COABFED CBAOA ．AD=BDB ．∠ACB=∠AOEC ．AE=BED ．OD=DE例2、如图,AD 、BE 、CF 是⊙O 的直径,且∠AOF=∠BOC=∠DOE.弦AB 、CD 、EF 的大小关系是_________________________例3、如图，在平面直角坐标系中，A ⊙与y 轴相切于原点O ，平行于x 轴的直线交A ⊙于M 、N 两点，若点M 的坐标是(42)--，，则点N 的坐标为 （ ） A ．(12)--，B ．(12)-，C ．(152)--．，D ．(1.52)-，例4、如图，弦CD 垂直于⊙O 的直径AB ，垂足为H ，且CD ＝22BD 3则AB 的长为 （ ）A ．2B ．3C ．4D ．5例5、如图，已知AB 为⊙O 的弦，从圆上任一点引弦CD ⊥AB ，作∠OCD 的平分线交⊙O 于点P ，连结PA 、PB ，求证：PA=PB.ODCBA。
九年级数学上册 1 一元二次方程小结与思考学案(无答案)苏科版(2021年整理)
江苏省镇江市句容市华阳镇九年级数学上册1 一元二次方程小结与思考学案（无答案）（新版）苏科版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（江苏省镇江市句容市华阳镇九年级数学上册1 一元二次方程小结与思考学案（无答案）（新版）苏科版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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一元二次方程课 型：复习课 学生姓名：______ 教学过程：一、知识点归纳：1。
方程的分类：2.一元二次方程： 只含有 个未知数，并且未知数的最高次数是 的整式方程,叫做一元二次方程，其一般形式为 。
◆ 解一元二次方程的方法有:① ；② ;③ ;④ ；3。
一元二次方程ax 2+bx+c=0的求根公式为x= 。
4。
一元二次方程ax 2+bx+c=0的根的判别式。
二、例题：（一）一元二次方程的概念、一般形式的考查：1、下列方程中,是一元二次方程的是 （ ）A 、x 2+3x +y=0 ；B 、 x+y+1=0 ；C 、 213122+=+x x； D 、0512=++x x 2、关于x 的一元二次方程（m －1）x 2＋x ＋m 2－1＝0有一根为0，则m 的值为 （ )A 、1B 、－1C 、1或－1D 、21 3、若关于x 的一元二次方程0235)1(22=+-++-m m x x m 的常数项为0，则m 的值等于（ ）A ．1B ．2C ．1或2D ．0（二)一元二次方程的解及其解法的考查1、关于x 的一元二次方程225250x x p p -+-+=的一个根为1，则实数p 的值是（ ）A ．4B ．0或2C ．1D ．1-2、要使分式4452-+-x x x 的值为0,则x 应该等于（ ） （A ）4或1 （B)4 (C ）1 (D ）4-或1-3、 必有一个根是则一元二次方程如果)0(0,02≠=++=+-a c bx ax c b a .4、若最简二次根式 x x 42- 与3x -10是同类二次根式，则x 的值是5、三角形的两边长分别是5和9 第三边的长为一元二次方程x 2—14x+48=0的根，则这个三角形的边长为______________。
苏科版数学九年级上册《小结与思考》教学设计4
苏科版数学九年级上册《小结与思考》教学设计4一. 教材分析《苏科版数学九年级上册》的《小结与思考》部分，主要是对前面所学知识进行总结和思考，通过这一部分的学习，让学生对前面的知识有一个更清晰、更深入的理解。
这部分内容主要包括对前面知识点的回顾，对一些重要知识点的深入探讨，以及一些拓展性的问题。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对一些基本的数学概念和运算规则有一定的了解。
但是，对于一些深层次的数学概念和运算规则，可能还存在一些模糊的认识。
因此，在教学过程中，需要引导学生对前面的知识进行深入的思考，帮助他们澄清一些模糊的认识。
三. 教学目标通过本节课的学习，让学生对前面的知识有一个更清晰、更深入的理解，提高他们的数学思维能力。
同时，通过一些拓展性的问题的讨论，激发他们的数学兴趣，提高他们的数学学习积极性。
四. 教学重难点教学重点：对前面的知识进行总结和思考，提高学生的数学思维能力。
教学难点：对一些深层次的数学概念和运算规则的理解。
五. 教学方法采用问题驱动的教学方法，通过提出一些问题，引导学生对前面的知识进行深入的思考。
同时，采用讨论式的教学方法，让学生在讨论中解决问题，提高他们的数学思维能力。
六. 教学准备教师准备：对前面的知识有一个深入的了解，准备好相关的问题和讨论题目。
学生准备：对前面的知识有一个基本的了解，准备好相关的学习资料。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提出一些问题，引导学生对前面的知识进行回顾，为新课的学习做好准备。
2.呈现（10分钟）教师展示一些典型的例题，让学生通过观察和思考，找出其中的规律。
3.操练（10分钟）让学生通过解答一些相关的问题，加深对前面知识的理解。
4.巩固（10分钟）让学生通过解答一些综合性的问题，巩固所学知识。
5.拓展（10分钟）提出一些拓展性的问题，引导学生进行深入的思考，提高他们的数学思维能力。
6.小结（5分钟）让学生总结本节课所学的内容，加深对前面知识的理解。
江苏科学技术出版社初中数学九年级上册 小结与思考(市一等奖)
一元二次方程复习课本章总结提升一元二次方程概念定义：只含有__一个__未知数，并且未知数的最高次数是__2__， 这样的方程叫做一元二次方程一般形式：ax 2＋bx ＋c ＝0（a ，b ，c 是常数，a ≠0）解法直接开平方法：形如(ax±b)2＝c(c ≥0)，左边是含有一个未知数的一次式的平方，右边是非负常数配方法：不常用，一般用于常数项的绝对值较大的方程公式法：通法，求根公式为x ＝－b±b 2－4ac 2a (b 2－4ac ≥0)根的判别式当b 2－4ac>0时，方程有__两__个 __不相等__的实数根当b 2－4ac ＝0时，方程有__两__个__相等__的实数根当b 2－4ac<0时，方程__没有__实数根根与系数的关系x 1＋x 2＝－ba ，x 1x 2＝ca因式分解法：方程右边为零，左边易于分解为两个一次式的乘积应用解题步骤：一审、二设、三列、四解、五检、六答解题关键：找出问题中的等量关系一 一元二次方程的概念下列方程是一元二次方程的有________(填序号)．(1)x 2＋1x －5＝0；(2)x 2－3xy ＋7＝0； (3)m 3－2m ＋3＝0；(4)22x 2－5＝0； (5)ax 2－bx ＝4.[归纳总结] 判断一个方程是否为一元二次方程，看方程是否满足以下三个条件：(1)是整式方程；(2)只含有一个未知数；(3)未知数的最高次数是2.三个条件缺一不可．把方程(1－2x)(x ＋4)＋7x ＝2x 2＋3化为一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项．[归纳总结] 把一个方程整理成一元二次方程的一般形式时，需要注意：(1)通常将二次项系数化为正数；(2)在写一元二次方程的各项系数时要连同前面的符号；(3)当一元二次方程化成一般形式有缺项时，它们的系数是0，而不是没有．二 一元二次方程的解法用适当的方法解下列方程：(1)9(x＋2)2＝16；(2)x2＋2x－3＝0；(3)5x(x－3)＝6－2x；(4)(x＋4)2－(x＋5)2＋(x－3)2＝24＋4x.[归纳总结] 解一元二次方程时，要根据实际情况，灵活选用解方程的方法．若方程易化为(x＋m)2＝n的形式，则利用直接开平方法比较方便．对一元二次方程的一般形式而言，若ax2＋bx＋c易于因式分解，则利用因式分解法；若易于配成完全平方式，则利用配方法；否则就用公式法．三一元二次方程根的判别式、根与系数关系的综合应用[2014·梅州]已知关于x的方程x2＋ax＋a－2＝0.(1)当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根；(2)求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．[归纳总结] 利用一元二次方程的根与系数的关系可以不解方程，仅通过系数就反映出方程两根的特征．在实数范围内运用一元二次方程的根与系数的关系时，必须注意b2－4ac≥0这个前提，而应用判别式b2－4ac的前提是二次项系数a≠0.因此，解题时要注意分析题目中有没有隐含条件b2－4ac≥0和a≠0.四面积问题中的一元二次方程如图1－T－1，在宽为20 m、长为32 m的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分)，余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540 m2，求道路的宽．图1－T－1[归纳总结] 这类题目体现了数形结合的思想，需利用平移把不规则图形变为规则图形，进而通过列方程求解．另外还要注意解的合理性，从而确定解的取舍．五几何中的一元二次方程如图1－T－2，在长方形ABCD中，AB＝5 cm，BC＝6 cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1 cm/s 的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2 cm/s的速度移动．如果P，Q两点分别从A，B 两点同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒．(1)填空：BQ＝________cm，PB＝________cm(用含t的代数式表示)；(2)当t为何值时，PQ的长度等于5 cm(3)是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于26 cm2若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．图1－T－2[归纳总结] 解答动态问题的关键是“以静制动”，即将动点问题看成是特定时刻下的顶点问题，用含t的代数式表示出相应线段的长，再结合相关几何知识解答．六增长(降低)率中的一元二次方程[2014·沈阳]某公司今年销售一种产品，1月份获得利润20万元，由于产品畅销，利润逐月增加，3月份的利润比2月份的利润增加万元，假设该产品利润每月的增长率相同，求这个增长率．[归纳总结] 平均增长率中的数量关系：(1)增长的基数为a ，每次增长的平均增长率为x ，则第一次增长后的数量为a(1＋x)，第二次增长是以a(1＋x)为基数的，两次增长后的数量为a(1＋x)2.(2)基数是a ，两次平均降低率为x ，则第一次降低后的数量为a(1－x)，第二次降低后的数量为a(1－x)2.七 营销中的一元二次方程某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施．调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．商场要想在这种冰箱销售中每天赢利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元[归纳总结] 市场经济中的利润问题一直是中考的热点，熟练理解并应用“商品的总利润＝每件商品的利润×销售件数”这一等量关系是解题关键．另外，在现阶段学好此类问题，也可以为后面学习二次函数中的利润类问题作好知识储备，希望同学们引起重视．一元二次方程的整数解在数学课外活动中，一元二次方程的整数解问题一直是个热点，它将古老的整数理论与传统的一元二次方程知识相结合，涉及面广，解法灵活，综合性强，备受关注，解含参数的一元二次方程的整数解问题的基本策略：从求根入手，求出根的有理表达式，利用整除求解；从判别式入手，运用判别式求出参数或解的取值范围，或引入参数(设b 2－4ac ＝k 2)，通过穷举，逼近求解． 注：一元二次方程的整数根问题，既涉及方程的解法、判别式等与方程相关的知识，又与整除、奇数、偶数、质数、合数等整数知识密切相关．若关于x 的方程(6－k)(9－k)x 2－(117－15k)x ＋54＝0的解都是整数，则符合条件的整数k 的值有________个．[思路点拨] 用因式分解法可得到根的简单表达式，因为方程的类型未指明，故需按一次方程、二次方程两种情形讨论，这样确定的值才能全面而准确．[答案] 5[解析] 当k ＝6时，得x ＝2；当k ＝9时，得x ＝－3；当k ≠6且k ≠9时，解得x 1＝96－k ，x 2＝69－k，当6－k ＝±1，±3，±9时，x 1是整数，这时k ＝7，5，3，15，－3；当9－k ＝±1，±2，±3，±6时，x 2是整数，这时k ＝10，8，11，7，12，15，3.综上所述，当k ＝3，6，7，9，15时，原方程的解为整数．[归纳总结] 系数含参数的方程问题，在没有指明是二次方程时，要注意有可能是一次方程，根据问题的题设条件，看是否要分类讨论．当m 为整数时，关于x 的方程(2m －1)x 2－(2m ＋1)x ＋1＝0是否有有理根如果有，求出m 的值；如果没有，请说明理由．解：没有．理由：整系数方程有有理根的条件是b 2－4ac 为完全平方数．设b 2－4ac ＝(2m ＋1)2－4(2m －1)＝4m 2－4m ＋5＝(2m －1)2＋4＝n 2(n 为整数)，解不定方程，讨论m 的存在性．若b 2－4ac ＝n 2(n 为整数)，则(2m －1)2＋4＝n 2，(n ＋2m －1)(n －2m ＋1)＝4.∵n ＋(2m －1)与n －(2m －1)的奇偶性相同，∴只可能有⎩⎪⎨⎪⎧n ＋（2m －1）＝2，n －（2m －1）＝2或⎩⎪⎨⎪⎧n ＋（2m －1）＝－2，n －（2m －1）＝－2，解得2m －1＝0，与m 为整数矛盾，故b 2－4ac 不可能为完全平方数，方程不可能有有理根．[归纳总结] 对一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)而言，若方程的根为有理数，则b2－4ac必为完全平方数．。
江苏科学技术出版社初中数学九年级上册 小结与思考-优质课比赛一等奖
“对称图形——圆小结与思考（1）”教学设计江苏省溧水高级中学附属初级中学杨绍平一、总体设计意图“中心对称图形（二）”是“苏科版”义务教育课程标准实验教科书·数学·九年级（上册）第二章的教学内容，本章研究的是几何图形——圆．根据教学内容、教学目标，结合初三学生的认知特点和数学学习“现实”与“经验”，设计了六个教学环节：问题情境→建构活动→数学化认识→例题讲解→应用拓展．每个教学环节的设计意图如下：1．问题情境：以“如何自己来编写本章的教材”的问题激发学生对本章学习的回顾与反思．2．建构活动：利用“问题串”，引导学生回忆、建构圆的概念、圆与其内部元素关系、圆与外部元素关系的知识结构．3．数学化认识：在学生的对本章相关内容的回顾、反思和再建构中，形成知识结构．4．基础性训练：设计了1个典型填空题，帮组学生巩固圆与其内部元素关系的认识，在反思的基础上提炼解题方法和解题策略；设计了1组问题，帮组学生巩固圆与外部元素关系的认识，在反思的基础上提炼解题方法和解题策略．5．拓展提高：在学习方法、经验方面进行进一步提炼；在思维上进行进一步拓展．二、教学目标及教学重（难）点1．回顾、思考本章所学的知识，进行梳理，使所学知识系统化；2．进一步丰富对圆相关结论的认识，并能有条理地、清晰地阐明自己的观点；3．进一步认识“与圆有关的位置关系”与对应的“数量关系”之间的内在联系；4．通过“复习课”的教学，感受归纳的思想方法，养成反思的习惯．教学重点：梳理本章所学知识，完善知识网络．教学难点：感受归纳的思想方法，养成反思的习惯．三、教学过程设计1．问题情境本章我们研究了什么图形如果让你给大家介绍一下本章或让你来编写本章的教材，你认为该围绕“圆”这一中心，向听众或读者介绍些什么（即先介绍圆的什么，然后介绍圆的什么，再介绍圆的什么，列出一个提纲，指引听众或读者学习、研究“圆”．）【有效性分析】用问题引导学生对全章学习进行回顾，有效引发学生的学习反思与知识再建构．2．建构活动1．翻看课本本章节目录，分析本章编写结构．2．归纳小结本章第一单元的主要知识点．（1）什么是圆呢定点、定长分别叫做什么（2）圆心这个点，半径是条线段，它们对圆有怎样的影响（3）点、线、角是最基本的几何图形，圆中特殊的点有圆心，线有半径，还有哪些特殊的线特殊的角呢（4）“圆”这一图形有何性质呢（5）“圆”的基本元素（弦（直径）、弧、圆周角、圆心角）之间有何联系呢①圆周角、圆心角之间有何联系②弧、圆心角之间有何联系③弧、圆周角之间有何联系④直径、圆周角之间有何联系⑤由圆的“对称性”又可以得出这些基本元素间有何联系呢3．归纳小结本章第二单元的主要知识点．（1）我们研究了哪些图形与圆的位置关系（2）通过图形的运动，点与圆、直线与圆、圆与圆分别有哪些位置关系（3）通过图形的运动，我们可以看出两图形之间的远近程度决定了不同的位置关系，那么什么能反映两图的远近、“区分”的程度应关注什么呢（4）回顾不同位置关系所对应的数量关系．【有效性分析】设计的问题串能有效地帮助学生回顾、梳理本章的学习内容．3．数学化认识1．本章教材编写结构：先介绍什么是圆——圆的定义，然后介绍圆有哪些特征，圆与其它图形之间的关系——圆的性质，再后介绍圆锥的侧面展开图是扇形，及相应计算，介绍正多边形与圆，画正多边形－—圆的应用．知识结构如图1．2．圆的基本概念与性质（1）圆是到定点的距离等于定长的点的集合，定点叫做圆心、定长叫做半径．（2）圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小．（3）圆的基本元素：线——弦（直径）、弧；角——圆周角、圆心角．（4）圆的对称性：轴对称、中心对称→旋转不变性．（5）圆的基本性质——基本元素之间的关系．①圆周角、圆心角之间联系：同弧所对的圆周角等于该弧所对圆心角的一半．②弧、圆心角之间联系：圆心角的度数与它所对弧的度数相等．③弧、圆周角之间联系：同弧或等弧所对的圆周角相等；圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半．④直径、圆周角之间联系：直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．⑤圆的“对称性”可得出基本元素间联系：由轴对称引出的垂径定理将“弦、直径、弧”联系起来；由中心对称引出的圆的旋转不变性将“弦、弧、圆心角” 联系起来．研究圆的这些基本元素之间的彼此联系，丰富了我们对圆的认识、对圆自身性质的进一步了解．3．与圆有关的位置关系（1）与圆有关的位置关系有：点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系．（2）点与圆的位置关系有：点在圆外、点在圆上、点在圆内．（3）直线与圆的位置关系有：相切、相交、相离．（4）圆与圆的位置关系有：外离、外切、相交、内切、内含．点到圆心的距离、圆心到直线的距离、两圆心的距离反映两图的远近；“区分”的程度应关注圆的半径及点与圆心或直线与圆心或圆心与圆心之间的距离．【有效性分析】从知识的结构、知识点之间的联系和对几何图形研究的一般思路这些方面引发学生对本章所学知识的高位思考、再建构和知识网络的完善．4．例题讲解例题如图2，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB，垂足为G，⌒AC＝⌒EC，AE交CD于点F．图1B A图2【有效性分析】通过开放性问题，让学生自己提出并解决问题，并有效巩固本章的核心内容．5．拓展提高思考：若点E与点C在直径AB的两侧，CB、AE的延长线交于点M，CD与AE于点F，其余条件不变，结论还成立吗画出图形，说明理由．6．课堂小结复习经验反思（1）通过今天的复习，你对我们研究几何图形的一般思路或研究主线有何认识（2）通过今天的复习，你获得了哪些复习经验或方法【有效性分析】通过“复习经验反思”，明晰研究几何图形的一般思路，总结复习经验或方法；经历“思维拓展”，提高综合运用能力，拓展思维．四、教学反思1．本节课用问题串的形式，引导学生回顾学习内容的教学效果很好．这样的设计，可避免学生复习时，只是单纯而机械的进行知识回忆，使得全章知识结构的建构实现在对全章知识的一个更高位的思考与认识的基础上．2．本节课设计的一个例题也取得了较好的教学效果．将“与圆有关的概念、性质”等用小问一个个的串出，不断刺激学生进行新的思索，学生研究的激情高涨．3．数学教学“有效性”思考－－不仅要教给学生知识，而且要教给学生学习方法．长期以来，传统教学方法重视研究教师的教，忽视学生的学的方法；重视教学效果的研究，忽视对学生学习过程的研究．这就把教学方法中教与学的统一活动割裂开来，难以协调教学活动，更不能充分发挥学生学习的主动性、积极性．现代教学理论强调，要确立学生在教学活动中的主体地位，明确地主张把“教”建立在“学”的基础上，在改造教法的同时，通过多种途径对学生的学习方法进行有效的指导和培养．“教会学生学习”已成为当今世界教育的重要口号．基于此，现代教学方法不仅强调教与学的辨证统一，而且要从学生是学习主体这一原理出发，非常重视研究学生的学习方法．学生学习不仅要学知识，更要学习方法．如：本节复习课的教学设计中，不但有“数学知识、解题方法”的回顾、反思与提炼，也有“如何研究几何图形、如何进行复习”的学习方法的讨论、交流与提升．4．复习课知识建构“有效性”思考－－要让学生真正的进行自主的知识建构．在平时的复习课教学中，知识梳理这一教学环节往往被老师们忽视和淡化．其实，这一教学环节对学生非常重要，应引起我们教师多多关注与思考，因为这一教学环节关系到学生对全章内容的系统把握，可以全面提升学生的数学认识．在平时的复习课教学中，通常只是简单的进行知识回忆或教师直接给出全章知识结构图，这样都达不到学生真正的进行自主的知识建构的效果．我认为合理设计问题，在问题的指引下认学生回忆、反思、思索，是帮助学生真正的进行自主的知识建构的一个有效方法．如：本节课“建构活动”中设计的问题，就能很好的引导学生进行章节知识的自主建构，提升学生对“章节知识的内部联系”以及“数学研究几何图形的一般思路、方法”的认识．5．复习课的例习题选择“有效性”思考－－在“精”不在“多”．复习课不等同于习题课，即使是习题课的习题也要进行课前梳理、归纳和选择，不只是题目海量，师生做题、做题、再做题，那么复习课更加要重视选择的例习题的质量（如：典型性、代表性、综合性等），总的来说，复习课的例习题选择在“精”不在“多”．如：本节复习课只设计的一个例题，这个问题设计的任务明确，在反思的基础上提炼解题方法和解题策略；在反思的基础上提炼解题方法和解题策略．。
苏科版数学九年级上册 第一章《一元二次方程》小结与思考 教案
课题：《一元二次方程》小结与思考（1）教学目标1．通过回顾与思考，了解一元二次方程的概念，会用适当的方法解一元二次方程；2．会用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况.教学重点一元二次方程的解法教学过程【导学提纲】回顾本章所学内容,思考下列问题:1.（1）一元二次方程是指只含有 个未知数，且未知数的最高次数是 的方程，它的一般形式是 .它的二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 .（3）把方程2)3()43)(3(+=-+x x x 化成一般形式，并指出它的二次项系数、一次项系数及常数项.2．（1）一元二次方程的解法主要有：______________、_________、公式法、____ ___，其中用公式法解方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的求根公式是x = （b 2-4ac≥0）.（2）用适当的方法解下列方程：①(4y -1)2－5=0 ； ② (x +3)2=2x +5；③x (x +4)=－3(x +4)； ④(2x +1)(x -3)= -6.（3）已知关于x 的方程053622=--+-m m x x 的一个根是-1，求m 的值．3．（1）一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根的情况可由b 2-4ac 来判定：当 时，方程有两个不相等的实数根；当________时，方程有两个相等的实数根；当_______时，方程没有实数根.（2）关于x 的一元二次方程x 2－3x －k =0有两个不相等的实数根．求k 的取值范围．4．（1）一元二次方程根与系数的关系：如果x 1，x 2是方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的两根，那么x 1+x 2= ，x 1x 2= ．（2）已知1x 、2x 是一元二次方程0142=+-x x 的两个根，则21x x ⋅等于（ ）A . 4-B . 1-C . 1D . 4【展示交流】1.用适当的方法解下列方程：（1）09)2(162=--x ； （2）2x 2﹣4x ﹣1=0；（3）y y 41232-=； （4）y y 34)3(2=+．2. 已知关于x 的方程（k ﹣1）x 2﹣（k ﹣1）x +14=0有两个相等的实数根，求k 的值．3.已知关于x 的一元二次方程（a +c ）x 2+2bx +（a ﹣c ）=0，其中a 、b 、c 分别为△ABC 三边的长．（1）如果x =﹣1是方程的根，试判断△ABC 的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状，并说明理由；（3）如果△ABC 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．【课堂反馈】1．已知一元二次方程的两根分别是2和﹣3，则这个一元二次方程是（ ）A ． x 2﹣6x+8=0B ． x 2+2x ﹣3=0C ． x 2﹣x ﹣6=0D ． x 2+x ﹣6=02．一元二次方程x 2﹣2x +m =0总有实数根，则m 应满足的条件是 （ ）A ． m ＞1B ． m =1C ． m ＜1D ．m ≤1 3．三角形的两边长分别为2和6，第三边是方程021102=+-x x 的解，则第三边的长为 .4．若正数a 是一元二次方程x 2﹣5x +m =0的一个根，﹣a 是一元二次方程x 2+5x ﹣m =0的一个根，则a 的值是 ．5．若α、β是一元二次方程x 2+2x ﹣6=0的两根，则α2+β2= （ ）A ． ﹣8B ． 32C ． 16D ．40 【课堂作业】P29 习题7,8【教学反思】。
苏科版数学九年级上册《小结与思考》教学设计2
苏科版数学九年级上册《小结与思考》教学设计2一. 教材分析苏科版数学九年级上册《小结与思考》教学设计2，主要涉及了本节课的主要内容和知识点，包括：二次函数的图像与性质、二次方程的解法、二次不等式的解法等。
这部分内容是整个九年级数学的重要部分，也是学生对数学知识深化的理解。
教材通过大量的例题和练习，使学生能够更好地理解和掌握二次函数、方程、不等式的性质和解法。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对二次函数、方程、不等式的概念和性质有了一定的了解。
但是，对于二次函数的图像与性质、二次方程和不等式的解法，部分学生可能还存在着理解上的困难。
因此，在教学过程中，需要针对这部分学生的实际情况，进行有针对性的讲解和辅导。
三. 教学目标1.让学生理解和掌握二次函数的图像与性质，能够熟练地运用二次函数的性质解决实际问题。
2.让学生掌握二次方程的解法，能够熟练地运用二次方程的解法解决实际问题。
3.让学生掌握二次不等式的解法，能够熟练地运用二次不等式的解法解决实际问题。
四. 教学重难点1.二次函数的图像与性质的理解和运用。
2.二次方程和不等式的解法的理解和运用。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法、分组讨论法等教学方法。
通过设置问题，引导学生思考和探索；通过案例教学，使学生能够更好地理解和掌握知识点；通过分组讨论，促进学生之间的交流和合作。
六. 教学准备1.PPT课件2.相关练习题3.教学视频或案例七. 教学过程1.导入（5分钟）通过PPT展示几个实际问题，引导学生思考和探索二次函数、方程、不等式的性质和解法。
2.呈现（10分钟）通过PPT呈现教材中的知识点，包括二次函数的图像与性质、二次方程的解法、二次不等式的解法。
引导学生跟随PPT的讲解，理解和掌握这些知识点。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组解决一个实际问题，运用二次函数、方程、不等式的性质和解法。
教师巡回指导，帮助学生解决遇到的问题。
苏科版初中数学九年级上册第一单元小结与思考
小结与思考类型之一一元二次方程的有关概念1.下列方程是一元二次方程的是()=1 D.(x2-1)2=1A.x2=0B.x(x-1)=x2C.x2x2.[2019·兰州]若1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b=0的一个根,则2a+4b的值为()A.-2B.-3C.-1D.-63.[2019·南京]已知2+√3是关于x的方程x2-4x+m=0的一个根,则m=.类型之二一元二次方程的解法4.方程(x-3)2=16的解是()A.x1=x2=3B.x1=-1,x2=7C.x1=1,x2=-7D.x1=-1,x2=-75.方程x(x-2)+(x-2)=0的根为()A.x=-1B.x=-2C.x1=1,x2=-2D.x1=-1,x2=26.将一元二次方程x2-3x-2=0配方后,所得的方程是.7.用适当的方法解下列方程:(1)2(x-1)2-4=0;(2)[2019·齐齐哈尔]x2+6x=-7;(3)(2x+1)2=3(2x+1);(4)[2018·徐州] 2x2-x-1=0.8.已知二次三项式-x2-4x+5.(1)求当x为何值时,此二次三项式的值为1;(2)求证:无论x取何值,此二次三项式的值都不大于9.类型之三一元二次方程根的判别式及根与系数的关系9.一元二次方程x2-4x+4=0的根的情况是 ()A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.无实数根D.无法确定10.[2019·盐城]设x1,x2是方程x2-3x+2=0的两个根,则x1+x2-x1·x2=.11.[2019·连云港]已知关于x的一元二次方程ax2+2x+2-c=0有两个相等的实数根,则1+c的x值等于.12.[2019·成都]已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2+2x+k-1=0的两个实数根,且x12+x22-x1x2=13,则k的值为.13.已知关于x的方程x2-2(k-1)x+k2=0有两个实数根x1,x2.(1)求k的取值范围;(2)若|x1+x2|=x1x2-1,求k的值.14.[2019·衡阳]已知关于x的一元二次方程x2-3x+k=0有实数根.(1)求k的取值范围;(2)如果k是符合条件的最大整数,且一元二次方程(m-1)x2+x+m-3=0与方程x2-3x+k=0有一个相同的根,求此时m的值.类型之四一元二次方程的应用15.[2018·南通]某厂一月份生产某种机器100台,计划三月份生产160台.设二、三月份该厂生产机器数量平均每月的增长率为x,根据题意列出的方程是.16.[2019·南京]某地计划对矩形广场进行扩建改造.如图1-X-1,原广场长50 m,宽40 m,要求扩充后的矩形广场长与宽的比为3∶2.扩充区域的扩建费用为每平方米30元,扩建后在原广场和扩充区域都铺设地砖,铺设地砖费用为每平方米100元.如果计划总费用为642000元,扩充后广场的长和宽应分别是多少米?图1-X-117.[2019·南京鼓楼区期中]商场某种商品平均每天可销售80件,每件盈利60元.为了尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施.经调查发现,每件商品每降价1元,商场平均每天可多售出2件.设每件商品降价x元.据此规律,请回答:(1)商场日销售量增加件,每件商品盈利元(用含x的代数式表示);(2)在上述条件不变、销售正常的情况下,每件商品降价多少元时,商场日盈利为4950元?类型之五数学活动18.请阅读下列材料:问题:解方程(x2-1)2-5(x2-1)+4=0.明明的做法如下:将x2-1视为一个整体,然后设x2-1=y,则(x2-1)2=y2,原方程可化为y2-5y+4=0,解得y1=1,y2=4.(1)当y=1时,x2-1=1,解得x=±√2;(2)当y=4时,x2-1=4,解得x=±√5.综合(1)(2),可得原方程的解为x1=√2,x2=-√2,x3=√5,x4=-√5.请你参考明明的思路,解方程:x4-x2-6=0.教师详解详析小结与思考1.A2.A [解析] 把x=1代入方程x 2+ax+2b=0,得1+a+2b=0,所以a+2b=-1,所以2a+4b=2(a+2b )=2×(-1)=-2.3.1 [解析] 把x=2+√3代入方程,得(2+√3)2-4(2+√3)+m=0,解得m=1.4.B [解析] 因为(x-3)2=16,直接开平方,得x-3=±4,所以x-3=-4或x-3=4,所以x 1=-1,x 2=7.5.D6.x-322=1747.解:(1)2(x-1)2-4=0,(x-1)2=2,x-1=±√2,所以x 1=1+√2,x 2=1-√2.(2)因为x 2+6x=-7,所以x 2+6x+9=-7+9,即(x+3)2=2,则x+3=±√2,所以x=-3±√2,即x 1=-3+√2,x 2=-3-√2.(3)移项,得(2x+1)2-3(2x+1)=0,即(2x+1)(2x+1-3)=0,所以2x+1=0或2x-2=0,所以x 1=-12,x 2=1. (4)因为b 2-4ac=(-1)2-4×2×(-1)=9,所以x=1±√94,所以x 1=-12,x 2=1. 8.解:(1)由题意,得-x 2-4x+5=1,整理,得x 2+4x-4=0,解得x 1=-2+2√2,x 2=-2-2√2.故当x的值为-2+2√2或-2-2√2时,此二次三项式的值为1.(2)证明:-x2-4x+5=-(x2+4x)+5=-(x2+4x+4-4)+5=-(x+2)2+9.因为-(x+2)2≤0,所以-(x+2)2+9≤9,即-x2-4x+5≤9,所以无论x取何值,此二次三项式的值都不大于9.9.B[解析] 在方程x2-4x+4=0中,b2-4ac=(-4)2-4×1×4=0,所以该方程有两个相等的实数根.故选B.10.1[解析] 由根与系数的关系,知x1+x2=3,x1·x2=2,所以x1+x2-x1·x2=3-2=1.11.2[解析] 根据题意,得b2-4ac=4-4a(2-c)=0,整理,得4ac-8a=-4,4a(c-2)=-4①.因为方程ax2+2x+2-c=0是一元二次方程,所以a≠0.①式两边同时除以4a,得c-2=-1,则x1+c=2.x12.-2[解析] 根据题意,得x1+x2=-2,x1x2=k-1,x12+x22-x1x2=(x1+x2)2-3x1x2=4-3(k-1)=13,解得k=-2.13.解:(1)由方程有两个实数根,得.b2-4ac=4(k-1)2-4k2=4k2-8k+4-4k2=-8k+4≥0,解得k≤12(2)依题意,得x1+x2=2(k-1),x1x2=k2.,所以2(k-1)<0,由(1)可知k≤12所以x1+x2<0,所以|x1+x2|=-x1-x2=x1x2-1,即-2(k-1)=k2-1,解得k1=1(舍去),k2=-3,所以k的值是-3.14.解:(1)根据题意,得b2-4ac=(-3)2-4k≥0,解得k≤9.4(2)由(1)可知k的最大整数值为2,所以方程x2-3x+k=0可变形为x2-3x+2=0,解得x1=1,x2=2.因为一元二次方程(m-1)x2+x+m-3=0与方程x2-3x+k=0有一个相同的根,;所以当x=1时,m-1+1+m-3=0,解得m=32当x=2时,4(m-1)+2+m-3=0,解得m=1,而m-1≠0,所以m=1不符合题意,舍去..所以m的值为3215.100(1+x)2=16016.解:设扩充后广场的长为3x m,宽为2x m.依题意,得3x·2x·100+30(3x·2x-50×40)=642000,解得x1=30,x2=-30(舍去).所以3x=90,2x=60.答:扩充后广场的长为90 m,宽为60 m.17.解:(1)2x(60-x)(2)由题意,得(60-x)(80+2x)=4950.化简,得x2-20x+75=0,解得x1=5,x2=15.因为该商场要尽快减少库存,所以取x=15.答:每件商品降价15元时,商场日盈利为4950元.18.解:设x2=y,则原方程可化为y2-y-6=0,解得y1=3,y2=-2.(1)当y=3时,x2=3,解得x=±√3;(2)当y=-2时,x2=-2,此方程无实数根.综合(1)(2),可得原方程的解为x1=√3,x2=-√3.。
第一章小结与思考(1)
如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的 中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F， 且AF=BD，连结BF. (1)求证：BD=CD； (2)如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明 你的结论.
如图，在梯形ABCD中,AD∥BC,AB∥DE, AF∥CD,E、F两点在边BC上，且四边形AEFD 是平行四边形． （1）AD与BC有何等量关系？请说明理由； （2）当AB=DC时，求证：□AEFD是矩形
2、等腰三角形的两边长分别为4和9，则第三 边长为
3、下列命题为真命题的是（ ） A：三角形的中位线把三角形的面积分成相等的两部分; B：对角线相等且相互平分的四边形是正方形; C：关于某直线对称的两个三角形是全等三角形; D：一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是 等腰梯形
4、下列命题是假命题的是( ) A、四个角相等的四边形是矩形; B、对角线互相平分的四边形是平行四边形; C、四条边相等的四边形是菱形; D、对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 5、在□ ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，且AE＝2， DE＝1，则□ ABCD的周长等于 ．
2、已知：如图，矩形ABCD的对角线AC与BD 相交于点O，点O关于直线AD的对称点是E，连结 AE、DE． (1)试判断四边形AODE的形状,说明理由； (2)请你连结EB、EC，并证明EB=EC．
3、已知：平行四边形ABCD中，对角线AC和BD 相交于点O，M，N分别是OA，OC的中点， 求证：BM=DN ，BM∥DN.
回忆
• • • • 4. 等边三角形的判定: ______个角都相等的三角形是等边三角形; 有_____个角是600的三角形是等边三角形; 有一个角是600的_____三角线段垂直平分线上的点 • 到线段_______的距离相等;
苏科版九上第一章学案小结与思考(1)
第一章小结与思考(1)学习目标：通过对本章知识的小结与梳理，进一步掌握等腰三角形的性质和判定、直角三角形全等的判定、角平分线的性质定理与判定定理、特殊四边形（平行四边形、矩形、菱形、正方形）的定义、性质和判定；等腰梯形的性质和判定；中位线定理，并会灵活运用．学习难点：性质定理和判定定理的应用学习过程：一．知识点：1．根据“等腰三角形，等腰梯形的性质定理与判定定理，直角三角形全等的判定定理，角平分线的性质定理与判定定理，三角形中位线定理等。
”填表：直角三角形全等的判定方法有：。
二、例题学习1、我们学习了四边形和一些特殊的四边形，右图表示了在某种条件下它们之间的关系。
如果①，②两个条件分别是：①两组对边分别平行；②有且只有一组对边平行。
那么请你对标上的其他6个数字序号写出相对应的条件。
D 图1A BCE2、如图，已知四边形ABCD 中，R 、P 分别是BC 、CD 上的点，E 、F 分别是AP 、RP 的中点，当点P 在CD 上从C 向D 移动而点R 不动时，那么下列结论成立的是（ ）A 、线段EF 的长逐渐增大B 、线段EF 的长逐渐减小C 、线段EF 的长不变D 、线段EF 的长与点P 的位置有关3、如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，E 是AD 的中点，过A 点作BC 的平行线交CE 的延长线于点F ，且AF =BD ，连结BF 。
（1） 求证：BD =CD ；⑵如果AB =AC ，试判断四边形AFBD 的形状，并证明你的结论。
4、如图，在梯形ABCD 中，AD BC AB DE AF DC E F ∥，∥，∥，、两点在边BC 上，且四边形AEFD 是平行四边形．（1）AD 与BC 有何等量关系？请说明理由； （2）当AB DC时，求证：□AEFD 是矩形．【课后作业】1．平行四边形ABCD 中，如果∠A=55°，那么∠C 的度数是(A)45°(B)55°(C)125°(D)145°2． 如图1，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，BC=12，则DE 的长是 (A)4(B)5(C)6(D)7RP D CBAEF ADCFE B3、已知:如图,在矩形ABCD 中,E 、F 分别是边BC 、AB 上的点,且EF=ED,EF ⊥ED.求证:AE 平分∠BAD.4、如图11，已知ABC ∆中，D 是AB 中点，E 是AC 上的点， 且ABE BAC ∠=∠，EF ∥AB ，DF ∥BE ，⑴猜想DF 与AE 有怎样的特殊关系？ ⑵证明你的猜想．5、如图，在□ABCD 中，∠DAB=60°，点E 、F 分别在CD 、AB 的延长线上，且AE=AD ，CF=CB ．（1）求证：四边形AFCE 是平行四边形；（2）若去掉已知条件的“∠DAB=60°，上述的结论还成立吗?若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．O N MFECBA 6、在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，点D 是直线BC 上一点，DE ∥AC 交直线AB 于E ，DF ∥AB 交直线AC 于点F ，解答下列各问：（1）如图1，当点D 在线段BC 上时，有DE ＋DF ＝AB ，请你说明理由；（2）如图2，当点D 在线段BC 的延长线上时，请你参考（1）画出正确的图形，并写出线段DE 、DF 、AB 之间的关系（不要求证明）．7、如图，△ABC 中，点O 是AC 边上的一个动点，过点O 作直线MN∥BC，设MN 交∠BCA 的平分线于点E ，交∠BCA 相邻的外角平分线CF 于是点F.（1）点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？证明你的结论；（2）若AC 边上存在点O ，使四边形AECF 是正方形，试判别△ABC 的形状，并证明理由.DABCF E DCBA。
苏科版九年级上册数学：小结与思考》 (1)
4
专题复习-
考题体验感悟
考法互动研析
考点一
考点二
考点三
考点一与圆有关的位置关系
1.点与圆的位置关系 点和圆的位置关系有三种,分别是:点在圆外、点在圆上和点在 圆内. 设圆的半径为r,平面内任意一点到圆心的距离为d,则 (1)点在圆外⇔d>r,如点A ; (2)点在圆上⇔d=r,如点B; (3)点在圆内⇔d<r,如点C .
2
考点一
考点二
考点三
2.直线与圆的位置关系
考点梳理自清
考题体验感悟
考法互动研析
直线与圆的 位置关系
相离
图形
公共点个数 0 d 与 r 的关系 d> r
相切
1 d= r
相交
2 d<r
3
考点一
考点二
考点三
考点梳理自清
考题体验感悟
考法互动研析
考点二切线的性质与判定(高频) 1.切线的定义:直线与圆只有一个 公共点,这时称直线与圆相切, 这条直线叫做圆的切线,这个公共点叫做切点. 2.切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直 于这条半径的直 线是圆的切线. 3.切线的性质:圆的切线垂直 于过切点的半径. 4.切线长及其定理 (1)定义:经过圆外一点作圆的切线,这点和切点之间的线段的长, 叫做这点到圆的切线长. (2)切线长定理:过圆外一点所画的圆的两条切线长相等 ,这一 点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
苏科版数学九年级上册《小结与思考》教学设计3
苏科版数学九年级上册《小结与思考》教学设计3一. 教材分析《小结与思考》是苏科版数学九年级上册的一个重要环节，它起到了回顾和巩固本册内容的作用。
本节课主要让学生对已学的知识进行总结，提高他们的归纳能力，并为下一阶段的学习做好铺垫。
教材内容主要包括对本册重点知识的梳理，典型题目的分析，以及数学思想的渗透。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了初中阶段的数学知识，具备一定的逻辑思维能力和解决问题的能力。
但是，对于一些难点知识和数学思想的理解仍然有所欠缺。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的个体差异，有针对性地进行教学，提高他们的数学素养。
三. 教学目标1.让学生回顾和巩固本册的重点知识，提高他们的归纳能力。
2.通过典型题目的分析，提高学生解决问题的能力。
3.渗透数学思想，提高学生的数学素养。
四. 教学重难点1.重点：对教材重点知识的梳理和总结。
2.难点：数学思想的渗透和典型题目的分析。
五. 教学方法1.启发式教学：通过提问和讨论的方式，激发学生的思维，引导学生主动参与教学过程。
2.案例分析法：通过典型题目的分析，让学生掌握解题方法和技巧。
3.归纳总结法：引导学生对所学知识进行归纳和总结，提高他们的归纳能力。
六. 教学准备1.教材和教辅资料：苏科版数学九年级上册教材、教学参考书、相关PPT课件。
2.典型题目：准备一些具有代表性的题目，用于分析和讲解。
3.教学工具：黑板、粉笔、投影仪等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用复习提问的方式，引导学生回顾上一节课的内容，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）教师通过PPT课件，对本册的重点知识进行梳理和总结，让学生对所学内容有一个清晰的认识。
3.操练（10分钟）让学生独立完成一些典型题目的解答，教师进行个别指导，帮助学生掌握解题方法和技巧。
4.巩固（10分钟）教师学生进行小组讨论，对所学知识进行巩固和深化，提高他们的归纳能力。
5.拓展（10分钟）教师通过讲解一些拓展题目，引导学生运用所学知识解决问题，提高他们的数学素养。
初中数学苏科版九年级上册小结与思考
ax2
.
bx
c
0(a,
b,
c是常数，a
0),
这种形式叫做一元二次方程的一般形式， 其中 、bx、c分别叫做二次项，一次项和常 数项，a、b分别叫做二次项系数和一次项系数。
预习检查
3.解方程:
（1）3x 22 xx 2（2）92 4ac 0时,x b b2 4ac
2a
一元二次方程的应用
（3）2x2 5x 1 0 （4）x2 4x 96 0
回顾：你学过一元二次方程的解法有哪些？你
能说出每一种解法的特点吗？
（1）直接开平方法：能变形成 (x m)2 n
结构形式。当n 0时，一元二次方程有解. x＝ n m
当n 0时，此一元二次方程无 解.
（2）“配方法”解方程的基本步骤： ①化1:把二次项系数化为1； ②移项:把常数项移到方程的右边； ③配方:方程两边同加一次项系数一半的平方； ④变形:化成 (x m)2 n ； ⑤开平方：求解.
合作探究
问题3.证明：无论x取何值，代数式2x-x2-3 的值恒小于0
思考：一元二次方程的二次项的系数化为1与 代数式的二次项的系数化为1有何区别？ 变式：当x取何值时，代数式2x-x2-3有最大 （或小）值是多少？
拓展延伸
已知关于x的一元二次方程：
x2 4x m 1 0
（1）请你为m选取一个合适的整数，使 得到的方程有两个不相等的实数根；
（3）用公式法解一元二次方程的前提是:
①必须是一般形式的一元二次方程；
②. b2 4ac 0
求根公式是
.
通过解方程得出一元二次方程根的情况由b²－4ac来
江苏科学技术出版社初中数学九年级上册 小结与思考-省赛一等奖
阅读材料，解答问题：
为了解方程(y²－1)²－3(y²－1)＋2=0，我们将y²－1视为一个整体，设y²－1=a，则(y²－1)2=a2，原方程可以化为：a²－3a＋2=0，解得a1=1，a2=2．当a=1时，y²－1=1，y= ，当a=2时，y²－1=2，y= ，所以原方程的解为：y1= ，y2= ，y3= ，y4= ．
通过设计这个问题，讨论探索特殊一元二次方程（即b＝0或c＝0）解法的一般路径，明确解决此类方程的一般方法，积累解决问题的活动经验．
问题5如何解方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b≠0，c≠0)？
如：解方程（1）x2－2x＋1＝0
（2）x2＋2x－3＝0
（3）x2－2x－1＝0
（4）2x2＋3x－4＝0
①x2－4x－45=0 ② 3x2－1=0
③x2－4x=2 ④ (x＋4)2－8=0
⑤ 2x2－x=0 ⑥ (4m－1)2=(3－m)2
⑦ 3y2－y＋1=0 ⑧
直接开方法：．
因式分解法：．
配方法：．
公式法：．
2．用已选择的方法解上面的一元二次方程．
小结：
问题6四种解法各适合于什么特征的方程？
问题7四种解法如何择优选择？
教学重点
选择合适的方法求解一元二次方程．
教学难点
感受通过“降次”进行化归的数学思想方法．
教学过程（教师）
学生活动
设计思路
问题情境
问题1解一元二次方程有哪些常用方法？
问题2一元二次方程的一般形式是什么？它还有哪些特殊形式？
同学们回忆一元二次方程的四种解法，一元二次方程的一般形式及特殊形式．
设计这两个问题，意在引导学生复习一元二次方程的解法，明确一元二次方程的一般和特殊形式，为本节课研究如何根据方程的特点选择合适的解法做好准备．
江苏科学技术出版社初中数学九年级上册 小结与思考-公开课比赛一等奖
课后反思：本节课主要复习一元二次方程的概念及解法与根的判别式三块内容，整体上下来感觉较好，总体感觉板块较清晰，板块与板块之间联系密切，且能自
然过渡，学生能积极配合，课堂上思维活跃，学生的回答也较有条理。
但整堂课下来仍觉得有很多不到之处还有待改进：
1、在第一板块中，先由学生自己举出一个一元二次方程，再根据所给的方程逐个强调了一元二次方程的三个必不可缺的条件，尤其是二次项系数不能为零，这一条件要始终引起重视。
虽然这种方式学生能很直观的记住特征，但是接触到下面有字母系数的方程还是有学生忽略。
2、第二板块中，通过对解法的复习，并对解题方法的探索，寻找适当的方法灵活解一元二次方程，从而达到既准确又快捷的解方程。
在这一环节，仍由学生不能寻找到较好的方法，实质是对一元二次方程的各种形式不是掌握的很透彻，所以对符合哪种特征的方程选择哪种方法更合适还有所迷茫，所以课堂上还可以加一组练习，强化一下如何选择，加强训练。
3、在第三板块中，学生一般都能根据根的判别式来判断方程的根的情况，接触到字母系数的方程有些代数式的取值较难判断，尤其是二次三项式，对学生来说本身就是个难点，因此还需要今后能不断渗透，在允许的情况下要适当拓展延伸。
总之，通过上本节课我学到了很多，在今后的教学中还要不断改进不足之处，争取更高的课堂效率。
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灌云县穆圩中学九年级数学教学案第一章小结与思考(1)
学习目标：通过对本章知识的小结与梳理，进一步掌握等腰三角形的性质和判定、直角三角形全等的判定、角平分线的性质定理与判定定理、特殊四边形（平行四边形、矩形、菱形、正方形）的定义、性质和判定；等腰梯形的性质
和判定；中位线定理，并会灵活运用．
学习难点：性质定理和判定定理的应用
学习过程：
一．知识点：
1．根据“等腰三角形，等腰梯形的性质定理与判定定理，直角三角形全等的判定定理，角平分线的性质定理与判定定理，三角形中位线定理等。
”填表：
直角三角形全等的判定方法有：。
二、例题教学
1、我们学习了四边形和一些特殊的四边形，右图表示了在某种条件下它们之间的关系。
如果①，②两个条件分别是：①两组对边分别平行；②有且只有一组对边平行。
那么请你对标上的其他6个数字序号写出相对应的条件。
2、如图，已知四边形ABCD 中，R 、P 分别是BC 、CD 上的点，E 、F 分别是AP 、RP 的中点，当点P 在CD 上从C 向D 移动而点R 不动时，那么下列结论成立的是（ ）
A 、线段EF 的长逐渐增大
B 、线段EF 的长逐渐减小
C 、线段EF 的长不变
D 、线段EF 的长与点P 的位置有关
3、如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，E 是AD 的中点，过A 点作BC 的平行线交CE 的延长线于点F ，且AF =B D ，连结
BF 。
（1） 求证：BD =CD ；
⑵如果AB =AC ，试判断四边形AFBD 的形状，并证明你的结论。
4、如图，在梯形ABCD 中，AD BC AB DE AF DC E F ∥，
∥，∥，、两点在边BC 上，且四边形AEFD 是平
行四边形．
（1）AD 与BC 有何等量关系？请说明理由； （2）当AB DC 时，求证：□AEFD 是矩形．
【课后作业】
1．平行四边形ABCD 中，如果∠A=55°，那么∠C 的度数是
(A)45°
(B)55°
(C)125°
(D)145°
R
P
D C B
A
E F
A
D
C
F
E B
D
图1
A
B
C
E
O
N
M
A
2． 如图1，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，BC=12，则DE 的长是 (A)4 (B)5 (C)6 (D)7
3、已知:如图,在矩形ABCD 中,E 、F 分别是边BC 、AB 上的点,且
EF=ED,EF ⊥ED.
求证:AE 平分∠BAD.
4、如图11，已知ABC ∆中，D 是AB 中点，E 是AC 上
的点， 且
ABE BAC ∠=∠，EF ∥AB ，DF ∥BE ，
⑴猜想DF 与AE 有怎样的特殊关系？ ⑵证明你的猜想．
5、如图，在□ABCD 中，∠DAB=60°，点E 、F 分别在CD 、AB 的延长线上，且AE=AD ，CF=CB ．
（1）求证：四边形AFCE 是平行四边形；（2）若去掉已知条件的“∠DAB=60°，上述的结论还成立吗?若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
6、在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，点D 是直线BC 上一点，DE ∥AC 交直线AB 于E ，DF ∥
AB 交直线AC 于点F ，解答下列各问：
（1）如图1，当点D 在线段BC 上时，有DE ＋DF ＝AB ，请你说明理由；
（2）如图2，当点D 在线段BC 的延长线上时，请你参考（1）画出正确的图形，并写出线段DE 、DF 、AB 之间的关系（不要求证明）．
7、如图，△ABC 中，点O 是AC 边上的一个动点，过点O 作直线MN∥BC，设MN 交∠BCA 的平分线于点E ，交∠BCA 相邻的外角平分线CF 于是点F.
（1）点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？证明你的结论；
（2）若AC 边上存在点O ，使四边形AECF 是正方形，试判别△ABC 的形状，并证明理由
.
D
A
B
C
F E D
C
B
A
8、操作：在△ABC 中，AC ＝BC ＝2，∠C＝90°，将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AB 的中点P 处，将三角板绕点P 旋转，三角板的两直角边分别交射线AC 、CB 于D 、E 两点.如图1，2，3是旋转三角板得到的图形中的3种情况. 研究：（1）三角板绕点P 旋转，观察线段PD 和PE 之间有什么数量关系？并结合如图2加以证明.（2）三角板绕点P 旋转，△PBE 是否能成为等腰三角形？若能，指出所有情况（即写出△PBE 为等腰三角形时CE 的长；若不能，请说明理由. （3）若将三角板的直角顶点放在斜边AB 上的M 处，且AM∶MB＝1∶3，和前面一样操作，试问线段MD 和ME 之间有什么数量关系？并结合如图4加以证明.
图1
C D E P
A B
图3
D
E
C
P
A
B
图
2 D C
P
E
B
A
E
图4。