三校联考数学试卷

合集下载

2024-2025学年辽宁省三校高三数学上学期10月联考试卷及答案解析

2024—2025学年度上学期高三10月联合教学质量检测高三数学试卷本试卷共5页满分150分，考试用时120分钟注意事项：1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置.2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合{}21A x x =-<，{}3B x a x a =<<+，若{}15A B x x ⋃=<<，则a =（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C 【解析】【分析】先求出集合A ，再根据并集得出参数的值.【详解】因为()1,3A =,()1,5A B ⋃=，又因为(),3B a a =+，所以35,a +=即a =2.故选：C.2. 如图，在ABC V 中，点D 是BC 边的中点，3AD GD = ，则用向量AB ，AC表示BG 为（）A. 2133BG AB AC=-+u u u u r uu r u u u r B. 1233BG AB AC=-+u u u r u uu r u u u r C. 2133BG AB AC=-u u u r u u u r u u u r D. 2133BG AB AC=+u u u r u u u r u u u r【答案】A 【解析】【分析】利用向量的线性运算求解即可.【详解】3AD GD =，故23AG AD = ，则()2212133233B C G BA BA BA AG AD AB A AB AC =+=+=+⨯+=-+.故选：A3. 在等比数列{}n a 中，记其前n 项和为n S ，已知3212a a a =-+，则84S S 的值为（）A. 2 B. 17 C. 2或8D. 2或17【答案】D 【解析】【分析】根据等比数列通项公式求得1q =或2q =-，再利用等比数的求和公式求解即可.【详解】解：由等比数列的通项公式可得21112a q a q a =-+，整理得220q q +-=，解得1q =或2q =-．当q =1时，1841824S a S a ==；当2q =-时，()()814844184111117111a q S q q q S q a q q ---====-+--．所以84S S 的值为2或17．故选：D ．4. 每年10月1日国庆节，根据气象统计资料，这一天吹南风的概率为25%，下雨的概率为20%，吹南风或下雨的概率为35%，则既吹南风又下雨的概率为（）A. 5% B. 10%C. 15%D. 45%【答案】B 【解析】【分析】根据概率公式直接得出结论.【详解】由题知，既吹南风又下雨的概率为25%20%35%10%+-=.故选:B5. 若直线:3l y kx k =+-与曲线:C y =恰有两个交点，则实数k 的取值范围是（）A. 4,+3∞⎛⎫⎪⎝⎭B. 43,32⎛⎤⎥⎝⎦C. 40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 43,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B 【解析】【分析】先得到直线过定点()1,3P ，作出直线l 与曲线C ，由图求出直线l 过点()1,0A -时的斜率和直线l 与曲线C 相切时的斜率即可树形结合得解.【详解】由()313y kx k k x =+-=-+可知直线l 过定点()1,3P ，曲线:C y =两边平方得()2210x y y +=≥，所以曲线C 是以()0,0为圆心，半径为1且位于直线x 轴上方的半圆，当直线l 过点()1,0A -时，直线l 与曲线C 有两个不同的交点，此时3032k k k =-+-⇒=，当直线l 与曲线C 相切时，直线和圆有一个交点，圆心()0,0到直线l的距离1d ，两边平方解得43k =，所以结合图形可知直线l 与曲线C 恰有两个交点，则4332k <≤.故选：B.6. 已知()ππsin 0,32f x x ωϕωϕ⎛⎫⎛⎫=++>< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭为偶函数，()()sin g x x ωϕ=+，则下列结论不正确的A. π6ϕ=B. 若()g x 的最小正周期为3π，则23ω=C. 若()g x 在区间()0,π上有且仅有3个最值点，则ω的取值范围为710,33⎛⎫⎪⎝⎭D. 若π4g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则ω的最小值为2【答案】D 【解析】【分析】先根据()f x 是偶函数求ϕ判断A 选项；根据最小正周期公式计算可以判断B 选项；据有且仅有3个最值点求范围判断C 选项；据函数值求参数范围结合给定范围求最值可以判断D 选项.【详解】()ππsin 0,32f x x ωϕωϕ⎛⎫⎛⎫=++>< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭为偶函数，则πππππ,Z,,,3226k k ϕϕϕ+=+∈<∴=∣∣A 选项正确；若()g x 的最小正周期为3π，由()sin()g x x ωϕ=+则2π23π,3T ωω==∴=，B 选项正确；πππ(0,π),(,π)666x x ωω∈+∈+ 若()g x 在区间()0,π上有且仅有3个最值点，则5ππ7π710π,26233ωω<+≤<≤,C 选项正确；若π()sin(6g x x ω=+ πππsin +446g ω⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则πππ+2π463k ω=+或ππ2π+2π463k ω=+，Z k ∈，则 283k ω=+或28,Z k k ω=+∈，又因为0ω>，则ω的最小值为23，D 选项错误.故选:D.7. 已知()612a x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为1280-，则a =（）A. ―2B. 2C. D. 1【解析】【分析】根据已知条件，结合二项式定理并分类讨论，即可求解.【详解】由题意，62a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项公式为()()6662166C 2C 2rr r r r rr r a T x a x x ---+-⎛⎫=⋅=- ⎪⎝⎭，令620r -=，则3r =，令621r -=-，则72r =不符合题意，所以()612a x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的常数项为()3336C 21280a --=-，解得2a =-．故选：A .8. 已知函数22()log f x x mx x =-+，若不等式()0f x >的解集中恰有两个不同的正整数解，则实数m的取值范围是（）A. 23log 33,89+⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. 23log 33,94+⎛⎫⎪⎝⎭C. 23log 33,94+⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D. 23log 33,89+⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】不等式()0f x >可化为2log 1xmx x-<，利用导数分析函数()2log x g x x =的单调性，作函数()1h x mx =-，()2log xg x x=的图象，由条件结合图象列不等式求m 的取值范围.【详解】函数22()log f x x mx x =-+的定义域为(0,+∞)，不等式()0f x >化为：2log 1xmx x-<．令()1h x mx =-，()2log x g x x=，()2222221log e log log e log x xx x g x x x --='=，故函数()g x 在()0,e 上单调递增，在()e,∞+上单调递减．当1x >时，()0g x >，当1x =时，()0g x =，当01x <<时，()0g x <，当x →+∞时，()0g x →，当0x >，且0x →时，()g x ∞→-，画出()g x 及()h x 的大致图象如下，因为不等式()0f x >的解集中恰有两个不同的正整数解，故正整数解为1,2．故()()()()2233h g h g ⎧<⎪⎨≥⎪⎩，即22log 2212log 3313m m ⎧-<⎪⎪⎨⎪-≥⎪⎩，解得23log 3943m +≤<.故选：C.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9. 已知复数232023i i i i 1iz ++++=+ ，则下列结论正确的是（）A. 1i 2z -=-B. 1i 2z -=C. 1i 2z +=-D. z =【答案】ACD 【解析】【分析】利用234i+i +i +i 0=对分子化简，然后利用复数的除法化简，可求共轭复数、复数的模依次判断即可得出结果.【详解】因为i,411,42i ,i,431,4nn k n k k n k n k=+⎧⎪-=+⎪=∈⎨-=+⎪⎪=⎩Z ，所以234i+i +i +i 0=，所以()()()()2342323202323505i+i +i +i i i i 1i i i i i i i i 111i 1i 1i 1i 1i 1i 1i 22z +++--++++++-======-++++++- ，所以A 正确，B 错误，111i i=222z +=---，C 准确，所以z ==D 正确.故选：ACD10. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题. 该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”.意大利数学家托里拆利给出了解答，当 ABC V 的三个内角均小于120°时，使得120AOB BOC COA ︒∠=∠=∠=的点O 即为费马点；当 ABC V 有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.下列说法正确的是（）A. 正三角形的的费马点是正三角形的中心B. 若P 为ABC V 的费马点, 且 0PA PB PC ++=u u r u u r u u u r r，则ABC V 一定为正三角形C. 若ABC V 三边长分别为2D. ABC V 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ， c ， π22A ,bc ∠==，若点P 为ABC V 的费马点，则PA PB PB PC PC PA ⋅+⋅+⋅=.【答案】ABC 【解析】【分析】对A ，根据正三角形中心的性质结合费马点定义易判断；对B ，取AB 的中点D ，由0PA PB PC ++=可得点P 是ABC V 的重心，再结合条件可得点P 是ABC V 的中心，得证；对C ，利用三角形旋转，结合费马点定义，构造正三角形转化线段长求解；对D ，由向量数量积定义，结合费马点定义和三角形等面积法列式求解.【详解】对于A ，如图O 是正三角形ABC 的中心，根据正三角形的性质易得o 120AOB AOC BOC ∠=∠=∠=，所以点O 是正三角形ABC 的费马点，故A 正确；对于B ，如图，取AB 的中点D ，则2PA PB PD += ，因为0PA PB PC ++=，所以2PC PD =-u u u r u u u r，所以,,C P D 三点共线，且点P 是ABC V 的重心，又点P 是ABC V 费马点，则o 120APB APC BPC ∠=∠=∠=，则o 60APD BPD ∠=∠=，又AD BD =，易得PA PB =，同理可得PC PB =，所以PA PB PC ==所以点P 是ABC V 的外心，所以点P 是ABC V 的中心，即ABC V 是正三角形.故B 正确；对于C ，如图，在Rt ABC △中，1AB =，BC =，2AC =，o 30ACB ∠=，点O 是Rt ABC △的费马点，将COA 绕点C 顺时针旋转o 60，得到CED △，易证COE ，ACD 是正三角形，则OC OE =，OA DE =，CD AC =，且点,,,B O E D 共线，所以o90BCD ∠=，所以BD ===又OA OB OC DE OE OB DB ++=++==，的.故C 正确；对于D ，由费马点定义可得o 120APB APC BPC ∠=∠=∠=，设PA x =，PB y =，PC z =，,,0x y z >，由ABC PAB PAB PAB S S S S =++V V V V，可得111122222xy xz yz ++=⨯，整理得xy yz xz ++=，所以111222PA PB PB PC PC PA xy yz xz ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅+⋅+⋅=⋅-+⋅-+⋅- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()1122xy yz xz =-++=-=，故D 错误.故选：ABC.【点睛】关键点点睛：解答本题首先要理解费马点的含义，解答D 选项的关键在于利用三角形等面积法求出xy yz xz ++=.11. 在四面体ABCD 中，棱AB 的长为4，AB BD ⊥，CD BD ⊥，2BD CD ==，若该四面体的体积为）A. 异面直线AB 与CD 所成角的大小为π3B. AC的长可以为C. 点D 到平面ABCD. 当二面角A BC D --是钝角时，其正切值为【答案】ACD【解析】【分析】根据等体积法可结合三角形的面积公式可得sin CDE ∠=A ，根据余弦定理即可求解B ，根据等体积法即可求解C ，根据二面角的几何法，结合同角关系即可求解D.【详解】在平面ABD 内过D 作DE AB ∥，且ED AB =,由于AB BD ⊥，故四边形ABDE 为矩形，CD BD ⊥，DE BD ⊥，BD DE C = ，CD ⊂平面CDE ，DE ⊂平面CDE ，故BD ⊥平面CDE ，故11233C ABD C EDA B CDE CDE CDE V V V S BD S ---===⋅=⨯=，11sin 24sin 4sin 22CDE S CD DE CDE CDE CDE=⋅⋅∠=⨯⨯∠=∠故1124sin 233C ABD CDE V S CDE -=⨯=⨯∠⨯=，因此sin CDE ∠=由于()0,CDE π∠∈，所以3CDE π∠=或23π，由于CDE ∠为异面直线AB 与CD 所成角或其补角，故异面直线AB 与CD 所成角的大小为3π，A 正确，当23CDE π∠=时，CE ===,由于BD ⊥平面CDE ，AE BD ，∴AE ⊥平面CDE ，CE ⊂平面CDE ，故AE CE ⊥，此时AC ==当3CDE π∠=时，CE ===,由于BD ⊥平面CDE ，AE BD ，∴AE ⊥平面CDE ，CE ⊂平面CDE ，故AE CE ⊥，此时4AC ==,故B 错误，由于BC ==,4AB =,当AC =cos BAC ∠==sin BAC ∠=，11sin 422ABC S AB AC BAC =⋅⋅∠=⨯⨯= ,当4AC =时，161683cos 2444BAC +-∠==⨯⨯，故sin BAC ∠=，1sin 2ABC S AB AC BAC =⋅∠= ,故点D 到平面ABC的距离为d ===,C 正确，当4AC =时，4AB AC ==,2CD BD ==,取BC 中点为O ，连接OA ,OD ,则AOD ∠即为二面角A BC D --的平面角，12OD BC ===,AO ==所以22cos 0AOD ∠===<,故AOD ∠为钝角，符合题意，此时sin tan cos AODAOD AOD∠∠==∠，当4AC =，由于2DBCS =，点A 到平面BDC距离为d ===,设A 在平面BDC 的投影为H ,则AH =,故HD==HC ==,因此点O 为以D ,C为圆心，以半径为,显然交点位于BC ,同D 的一侧，故此时二面角A BC D --为锐角，不符合要求，故D 正确，故选：ACD三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12. 已知,a b +∈R ，41a b +=，则aba b+的最大值是________．【答案】19【解析】的【分析】先求出11a b+的最小值，再将aba b +化为111a b+，即可求得答案.【详解】因为,a b +∈R ，41a b +=，故()111144559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当4b a a b=，结合41a b +=，即11,63==a b 时等号成立，所以11119ab a b a b =≤++，即ab a b +的最大值是19，故答案为：1913. 刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，在数学上用曲率刻画空间弯曲性．规定：多面体的顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．例如：正四面体（四个面都是等边三角形围成的几何体）在每个顶点有3个面角，每个面角是π3，所以正四面体在每个顶点的曲率为π2π3π3-⨯=，故其总曲率为4π．我们把平面四边形ABCD 外的点P 连接顶点A 、B 、C 、D 构成的几何体称为四棱锥，根据曲率的定义，四棱锥的总曲率为______．【答案】4π【解析】【分析】根据曲率的定义求解即可.【详解】由定义可得多面体的总曲率2π=⨯顶点数各面内角和，因为四棱锥有5个顶点，5个面，分别为4个三角形和1个四边形，所以任意四棱锥的总曲率为()2π5π42π14π⨯-⨯+⨯=.故答案为：4π.14. 过双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的上焦点1F ，作其中一条渐近线的垂线，垂足为H ，直线1F H 与双曲线的上､下两支分别交于,M N ，若3NH HM =，则双曲线的离心率e =__________.【解析】【分析】设双曲线右焦点为2F ，HM t =，3NH t =，由题意结合双曲线定义可依次求出1F H 、1OF 、1F M 、1F N 、2F N 和2F M ，接着分别在1Rt F OH 、12F MF △和12F NF △中结合余弦定理求出1cos OF M ∠，进而建立等量关系式求出t ，从而求得2b a =，进而由离心率公式即可得解.【详解】设双曲线右焦点为2F ，由题()10,F c ，双曲线的一条渐近线方程为ay x b=-即0ax by +=，过该渐近线作垂线，则由题1F H b =，1OF c =，设HM t =，则由题3NH t =，1F M b t =-，13F N b t =+，所以232F N b t a =+-，22F M b t a =-+，所以在1Rt F OH 中，111cos F H bOF M OF c∠==①，在12F MF △中，()()()()()22222211221112||||22cos 222F M F F F M b t c b t a OF M b t c F M F F +--+--+∠==-⋅②，在12F NF △中，()()()()()22222211221112||||3232cos 2322F N F F F N b t c b t a OF M b t c F N F F +-++-+-∠==+⋅③，由①②得()()()()()2222222b t c b t a bb tc c-+--+=-，化简解得ab t a b =+，由①③得()()()()()2223232232b t c b t a b b t c c++-+-=+，化简解得()3ab t b a =-，所以()23ab abb a a b b a =⇒=+-，故双曲线的离心率c e a====.【点睛】思路点睛：依据题意设双曲线右焦点为2F ，HM t =，则结合双曲线定义可得1Rt F OH 、12F MF △和12F NF △的边长均是已知的，接着结合余弦定理均可求出三个三角形的公共角1OF M ∠的余弦值1cos OF M ∠，从而可建立等量关系式依次求出t 和2b a =，进而由离心率公式得解.四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15. 设n S 为数列{}n a 的前n 项和，满足()*1N n n S a n =-∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记22212n n T S S S =+++ ，求n T .【答案】（1）1()2n n a = （2）1235111((3232n nn n T --=+-⋅【解析】【分析】（1）应用1n n n S S a --=，再结合等比数列定义及通项公式计算即可；（2）先化简得出21111()()24n n n S --+=，再应用分组求和及等比数列前n 项和公式计算.小问1详解】因为数列{a n }的前n 项和，满足1n n S a =-，当2n ≥时，可得111n n S a --=-，两式相减得1n n n a a a -=-，即12n n a a -=，所以112n n a a -=，令1n =，可得1111S a a =-=，解得112a =，所以数列{a n }构成首项为12，公比为12的等比数列，所以{a n }的通项公式为1111()(222n nn a -=⋅=.【小问2详解】由（1）知1(2nn a =，可得11(2nn S =-，所以222111111()]12()()1((22224[1n n n n n n S -=-⋅=+=-+-，【则222121111()[1()]244(111)111124n n n n T S S S -⋅-=+++=+++-+-- 1235111()()3232n n n --=+-⋅.16. 如图，正四棱台ABCD EFGH -中，24,EG AC MN ==上为上下底面中心的连线，且MN 与侧面.（1）求点A 到平面MHG 的距离；（2）求二面角E HM G --的余弦值.【答案】（1（2）23-【解析】【分析】（1）由题意建立空间直角坐标系，求得平面法向量，利用点面距向量公式，可得答案；（2）求得两个平面的法向量，利用面面角的向量公式，可得答案.【小问1详解】由题意，易知,,MN MA MB 两两垂直，分别以,,MA MB MN 为,,x y z 轴建立直角坐标系，如下图：则()()()()1,0,0,0,0,0,0,2,1,2,0,1A M H G --，取()()0,2,1,2,0,1MH MG =-=-，设平面MHG 的法向量(),,n x y z = ，则2020n MH y z n MG x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令2z =，则1,1x y ==，所以平面MHG 的一个法向量()1,1,2n =，取()1,0,0MA = ，点A 到平面MHG的距离MA n d n ⋅===.【小问2详解】由（1）可知()()()()2,0,1,0,2,1,0,0,0,2,0,1E H M G --，取()()()()2,2,0,2,0,1,2,2,0,2,0,1HE ME HG MG ===-=-，设平面EHM 的法向量()1111,,m x y z = ，则11111122020m HE x y m ME x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，令11x =-，则221,2y z ==，所以平面EHM 的一个法向量()11,1,2m =-，设平面HMG 的法向量()2222,,m x y z = ，则22222222020m HG x y m MG x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令21x =，则111,2y z ==，所以平面EHG 的一个法向量()21,1,2m =，设二面角E HM G --的大小为θ，则12121142cos 1143m m m m θ⋅-++=-=-=-++⋅ .17. 某汽车公司最新研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程（理论上是指新能源汽车所装载的燃料或电池所能够提供给车行驶的最远里程）的测试.现对测试数据进行整理，得到如下的频率分布直方图：（1）估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值x （同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）由频率分布直方图计算得样本标准差s 的近似值为49.75.根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程X 近似地服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，σ近似为样本标准差S.（ⅰ）利用该正态分布，求()250.25399.5P X <<；（ⅱ）假设某企业从该汽车公司购买了20辆该款新能源汽车，记Z 表示这20辆新能源汽车中单次最大续航里程位于区间（250.25，399.5）的车辆数，求E （Z ）；参考数据：若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P μσξμσ-<<+=，()()220.9545,330.99731P P μσξμσμσξμσ-<<+=-<<+=.（3）某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在x 轴上从原点O 出发向右运动，已知硬币出现正、反面的概率都12，客户每掷一次硬币，遥控车向右移动一次，若掷出正面，则遥控车向移动一个单位，若掷出反面，则遥控车向右移动两个单位，直到遥控车移到点（59，0）（胜利大本营）或点（60，0）（失败大本营）时，游戏结束，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券.设遥控车移到点(),0n 的概率为()160n P n ≤≤，试证明数列{}1n n P P --是等比数列()259n ≤≤，求出数列{}()160n P n ≤≤的通项公式，并比较59P 和60P 的大小.【答案】（1）300 （2）（ⅰ）0.8186；（ⅱ）16.372（3）证明见解析，158211,159362111,60362n n n P n -⎧⎛⎫-⋅-≤≤⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎪⎝⎭⎩，5960P P >【解析】【分析】（1）根据平均数的求法求得正确答案.（2）（ⅰ）根据正态分布的对称性求得正确答案.（ⅱ）根据二项分布的知识求得正确答案.（3）根据已知条件构造等比数列，然后利用累加法求得n P ，利用差比较法比较59P 和60P 的大小.【小问1详解】2050.12550.23050.453550.24050.05300x ≈⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.【小问2详解】（ⅰ）0.95450.6827(250.25399.5)0.68270.81862P X -<<=+=.（ⅱ））∵Z 服从二项分布()20,0.8186B ，∴()200.818616.372E Z =⨯=.【小问3详解】当359n ≤≤时，()12112111,222n n n n n n n P P P P P P P -----=+-=--，1221111131,,222244P P P P ==⨯+=-=.∴{}1(259)n n P P n --≤≤是以14为首项，12-为公比的等比数列，2111(259)42n n n P P n --⎛⎫-=⋅-≤≤ ⎪⎝⎭.22132111111,,,(259)44242n n n P P P P P P n --⎛⎫⎛⎫-=-=⋅-⋯-=⋅-≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.累加得：115816058111422111111,(259),1362236212n n n n P P P n P P --⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎝⎭-==-⋅-≤≤==+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+.∴158211,159362111,60362n n n P n -⎧⎛⎫-⋅-≤≤⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎪⎝⎭⎩∵58585960111111033232P P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-⨯=-> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴5960P P >.注：比较59P 和60P 的另一个过程：58596059592112111,13623622P P P P ⎛⎫=-⋅>-==-<< ⎪⎝⎭.18. 已知函数()1e xx f x +=.（1）求函数()f x 的极值；（2）若不等式()e ln 1xf x a x +≥恒成立，求实数a 的取值范围；（3）已知直线l 是曲线()y f x =在点()(),t f t 处的切线，求证：当1t >时，直线l 与曲线()y f x =相交于点()(),s f s ，其中s t <.【答案】（1）极大值为1，没有极小值（2）[]e,0- （3）证明见解析【解析】【分析】（1）求导，利用导数判断()f x 的单调性和极值；（2）根据题意可得ln 0x a x +≥恒成立，构建()ln ,0g x x a x x =+>，分类讨论a 的符号，利用导数求最值，结合恒成立问题分析求解；（3）根据导数的几何意义可得当1t >时，方程2110e e ex t tx tx t t ++++-=有小于t 的解，构建()211e e ex t tx tx t t h x +++=+-，其中x t <，1t >，利用导数研究函数零点分析证明.小问1详解】由题意可知：()f x 的定义域为R ，且()ex xf x '-=，令()0f x '=时，0x =，则x ，f ′(x )，()f x 的关系为x(),0∞-0(0,+∞)f ′(x )+0-()f x 单调递增极大值单调递减所以，当0x =时，()f x 取到极大值为1，没有极小值.【小问2详解】若()e ln 1xf x a x +≥，即ln 0x a x +≥恒成立，设()ln ,0g x x a x x =+>，则()1a x a g x x x'+=+=，①当0a =时，则()0g x x =>恒成立，符合题意；②当0a >时，则()0g x '≥，可知()g x 在(0,+∞)上单调递增，因为11e e 10a a g --⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，所以ln 0x a x +≥不恒成立；③当0a <时，x ，()g x '，()g x 的关系为x()0,a -a-(),a ∞-+()g x '-+【()g x 单调递减极小值单调递增可知()g x 的最小值为()()min ln g x a a a =-+-，则()ln 0a a a -+-≥，因为0a <，则()1ln 0a --≥，解得e 0a ≤-<；综上所述：实数a 的取值范围是[]e,0-.【小问3详解】因为()1e x x f x +=，()e x x f x '-=，则()1e t tf t +=，e t t k -=即切点坐标为1,e t t t +⎛⎫⎪⎝⎭，切线l 斜率为e tt k -=，可得l 的方程为()1e e t t t t y x t +--=-，即21e et tt t t y x -++=+，联立方程21e e 1e t txt t t y x x y ⎧-++=+⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，可得2110e e e x t tx tx t t ++++-=，由题可知：当1t >时，方程2110e e ex t tx tx t t ++++-=有小于t 的解，设()211e e ex t tx tx t t h x +++=+-，其中x t <，1t >且()0h t =，则()e e x t x t h x '-=+，设()()F x h x ='，则()1e xx F x '-=，因为1t >，x ，()F x '，F (x )的关系为x(),1∞-1()1,t ()F x '-+F (x )单调递减1e et t -+，单调递增可知F (x )的最小值()()()min 10F x F F t =<=，且()1e 0e ttF -=+>，可知()01,1x ∃∈-，使()00F x =，当()0,x x ∞∈-时，()0F x >，即h ′(x )>0；当()0,x x t ∈时，()0F x <，即h ′(x )<0；可知h (x )在()0,x ∞-内单调递增；在()0,x t 内单调递减，可知h (x )的最大值()()()0max 0h x h x h t '=>=，且()()2110e t t h -+-=<，可知h (x )存在小于t 的零点，所以当1t >时，直线l 与曲线y =f (x )相交于点()(),s f s ，其中s t <，得证.【点睛】方法点睛：两招破解不等式的恒成立问题（1）分离参数法第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的最值；第三步：根据要求得所求范围．（2）函数思想法第一步：将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的极值；第三步：构建不等式求解．19. 蝴蝶定理因其美妙的构图，像是一只翩翩起舞的蝴蝶，一代代数学名家蜂拥而证，正所谓花若芬芳蜂蝶自来．如图，已知圆M 的方程为222()x y b r +-=，直线x my =与圆M 交于()11,C x y ，()22,D x y ，直线x ny =与圆M 交于()33,E x y ，()44,F x y ．原点O 在圆M 内．设CF 交x 轴于点P ，ED 交x 轴于点Q ．（1）当0b =，r =，12m =-，2n =时，分别求线段OP 和OQ 的长度；（2）①求证：34121234y y y y y y y y ++=．②猜想|OP |和|OQ |的大小关系，并证明．【答案】（1）53OP OQ == （2）①证明见解析；②猜测OP OQ =，证明见解析.【解析】【分析】（1）联立直线与圆的方程，可求,,,C D E F 各点的坐标，利用直线的两点式方程，可得直线CF 和ED 的方程，并求它们与x 轴的交点坐标，可得问题答案.（2）①联立直线与圆的方程，求出两根之和与两根之积，找到相等代换量，从而证明成立.②分别求出点P 和点Q 的横坐标表达式，结合①中的结论，从而证明成立.【小问1详解】当0b =，r =，12m =-，2n =时，圆M ：225x y +=，直线CD ：12x y =-，由22512x y x y ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩⇒12x y =⎧⎨=-⎩或12x y =-⎧⎨=⎩，故()1,2C -，()1,2D -；直线EF ：2x y =，由2252x y x y⎧+=⎨=⎩⇒21x y =⎧⎨=⎩或21x y =-⎧⎨=-⎩，故()2,1E ，()2,1F --.所以直线CF :122112y x ++=+-+，令0y =得53x =-，即5,03P ⎛⎫- ⎪⎝⎭；直线ED :122112y x --=---，令0y =得53x =，即5,03Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭.所以：53OP OQ ==.【小问2详解】①由题意：22b r <.由()222x y b r x my ⎧+-=⎪⎨=⎪⎩⇒()()222my y b r +-=⇒()2222120m y by b r +-+-=，则1y ，2y 是该方程的两个解，由韦达定理得：12222122211b y y m b r y y m ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩，所以1222122y y b y y b r +=⋅-.同理可得：3422342y y b y y b r +=⋅-，所以34121234y y y y y y y y ++=⋅⋅.②猜测OP OQ =，证明如下：设点(),0P p ，(),0Q q .因为,,C P F 三点共线，所以：414100y y x p x p --=--⇒411414x y x y p y y -=-，又因为点C 在直线x my =上，所以11x my =；点F 在直线x ny =上，所以44x ny =.所以()1441141414y y n m ny y my y p y y y y --==--；同理因为,,E Q D 三点共线，可得：()2323y y n m q y y -=-.由①可知：34121234y y y y y y y y ++=⋅⋅⇒12341111y y y y +=+⇒14321111y y y y -=-⇒23411423y y y y y y y y --=⋅⋅⇒231414230y y y y y y y y ⋅⋅+=--，所以()()14231423y y n m y y n m p q y y y y --+=+--()23141423y y y y n m y y y y ⎛⎫=-+ ⎪--⎝⎭0=.即p q =-，所以OP OQ =成立.【点睛】关键点点睛：本题的关键是联立直线与圆的方程，结合一元二次方程根与系数的关系，进行化简处理，设计多个字母的运算，整个运算过程一定要小心、仔细.。

2025届江苏无锡三校联谊高三12月联合调研数学试卷

2024-2025学年高三12月联合调研数学试卷（时间：120分钟满分150分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知1z ，2z 是两个复数，则“1z ，2z 互为共轭复数”是“12z z +为实数”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件2．已知集合{}1,2,3,4,5A =，且A B A = ，则集合B 可以是（） A ．{}1,2,3 B ．{}2|1x x >C ．{}|21xx >D ． {}22(|log 2)x x −<3．已知2cos()3αβ−=−，tan tan 3αβ=，则cos()αβ+=（）A ．13− B ．13C ．23−D ．234．已知向量a ，b满足4a = ，2b = ，且b 在a 上的投影向量为14a −，则cos ,a b 的值为（）A ．12−B ．12C ．18−D ．185．已知{}n a 是各项均为正数的等差数列，n S 为其前n 项和，且6710220a a a ++=，则当78a a ⋅取最大值时，10S =（） A ．10 B ．20 C ．25 D ．506．若斜率为1的直线l 与曲线()ln y x a =−和圆2212x y +=都相切，则实数a 的值为（）A ．2B ．0或2−C ．0或2D ．2−7．已知椭圆2214y x +=，P 为椭圆上任意一点，过点P 分别作与直线1:2l y x =和2:2l y x =−平行的直线，分别交2l ，1l 交于M ，N 两点，则MN 的最小值为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．48．已知某正三棱柱的外接球的表面积为8π，则该正三棱柱的体积的最大值为A ．B ．C ． D二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，13a =，111n na a +=−，则（）A ．323a = B ．50a > C ．202412a =−D ．3740S =10．关于函数()331f x x x =−+，下列说法正确的是（） A ．()f x 有两个极值点 B ．()f x 的图像关于()0,1−对称 C ．()f x 有三个零点D ．2sin10°是()f x 的一个零点11．在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线2:2(0)C y px p =>绕其顶点分别逆时针旋转90180270 ,,后所得三条曲线与C 围成的（如图阴影区域），,A B 为C 与其中两条曲线的交点，若2p =，则（） A ．开口向上的抛物线的方程为24y x =B ．8AB =C ．直线x y t +=D ．阴影区域的面积不大于32三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．）12．已知函数()cos (0)f x x ωω=>，若π2f x+为偶函数，且()f x 在区间(0,π)内仅有两个零点，则ω的值是．13．已知1F 、2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>的左右焦点，过1F 的直线与双曲线左支交于A ，B两点，且112AF BF =，以O 为圆心，2OF 为半径的圆经过点B ，则双曲线的离心率为 .14．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c （a b ≠）.已知2cos c a A =，则sin sin B A +的最大值是 .四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．(本小题满分13分)设数列{}n a 是首项为1的等比数列，已知1231,,42a a a +成等差数列，数列{}n b 满足2nn na b =. (1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)记n S 和n T 分别为数列{}n a 和{}n b 的前n 项和，试比较n T 与n S 的大小. 16．(本小题满分15分)如图，已知直线与抛物线C ：22(0)y px p =>交于A B ，两点，且OA OB ⊥， OD AB ⊥交AB 于点D ，点D 的坐标为()1,1， (1)求p 的值．(2)若线段AB 的垂直平分线于抛物线C 交于E ，F 两点，求OEF 的面积.17. (本小题满分15分)已知三棱锥P ABC −中，平面PAB ⊥平面ABC ，PA ⊥平面PBC ．（1）求证：PB BC ⊥（2）若二面角P AC B −−，且2AB =，1BC =，求PA ．ABP18. (本小题满分17分)在ABC △中，角,,A B C 的对边是,,a b c ，已知a c λ+，λ为常数．（1）若0λ=，2a =，求ABC △面积的最大值；（2）若1λ=，cos cos A C +sin B 的值．19. (本小题满分17分)已知直线(1)y kx m m =+>与y 轴交于M 点，与曲线e xy =交于()()1122,,,A x y B x y 两点（其中A 在第一象限，B 在第二象限）．（1）若e km ==，试比较12x x +与0的大小；（2）①若点M 恰好为AB 的中点，证明：1k >； ②设()1,0P ，若1k ≥，证明PA PB >．2024-2025学年高三12月联合调研数学试卷（时间：120分钟满分150分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知1z ，2z 是两个复数，则“1z ，2z 互为共轭复数”是“12z z +为实数”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A2．已知集合{}1,2,3,4,5A =，且A B A = ，则集合B 可以是（） A ．{}1,2,3 B ．{}2|1x x >C ．{}|21xx >D ． {}22(|log 2)x x −<【答案】C3．已知2cos()3αβ−=−，tan tan 3αβ=，则cos()αβ+=（）A ．13− B ．13C ．23−D ．23【答案】B4．已知向量a ，b满足4a = ，2b = ，且b 在a 上的投影向量为14a −，则cos ,a b 的值为（）A ．12−B ．12C ．18− D ．18【答案】A5．已知{}n a 是各项均为正数的等差数列，n S 为其前n 项和，且6710220a a a ++=，则当78a a ⋅取最大值时，10S =（） A ．10 B ．20 C ．25 D ．50 【答案】D【解析】∵()6710610787222220a a a a a a a a ++=++=+=，∴7810a a +=，由已知，得70a >，80a > ∴227878102522a a a a + ⋅≤==，当且仅当785a a ==时等号成立．此时数列为常数列5，所以1050S =，故选：D6．若斜率为1的直线l 与曲线()ln y x a =−和圆2212x y +=都相切，则实数a 的值为（）A ．2B ．0或2−C ．0或2D ．2−【答案】B【解析】设直线l 与曲线()ln y x a =−的切点为00(,)P x y ，由()1[ln ]y x a x a′=−=−′，则011x a =−，则001,0x a y =+=，即切点为()1,0P a +，所以直线l 为1y x a =−−，又直线l 与圆2212x y +=，解得2a =−或0a =．故选：B7．已知椭圆2214y x +=，P 为椭圆上任意一点，过点P 分别作与直线1:2l y x =和2:2l y x =−平行的直线，分别交2l ，1l 交于M ，N 两点，则MN 的最小值为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】A【解析】设过点P 分别与直线12,l l 平行的直线为34,l l ，如图：显然四边形PMON 为平行四边形，故,M N 与,O P 的中点重合，则012210122110()202()x x x y y y y y x x +=+=− +=+=− ，即02121022y x x y y x−=−= ，又因P 为椭圆上任意一点，所以002214y x +=，即002244x y =−，即MN =，而2004y ≤≤，所以当24y =时，min ||1MN =. 故选：A8．已知某正三棱柱的外接球的表面积为8π，则该正三棱柱的体积的最大值为A ．B ．C ．D 【答案】C【解析】设外接球的半径为R ，则24π8πR =，解得R =.设正三棱柱的底面三角形的边长为x ，故三棱柱的高为所以该正三棱柱的体积2()V x =×=，由64023x x −≥，解得0x <令64()23x f x x =−，则()f x ′=32(2)(2)x x x −−+，所以函数()f x 在2x =时取得最大值，因为()max(2)V x V ==，故选：C二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，13a =，111n n a a +=−，则（）A ．323a =B ．50a >C ．202412a =−D ．3740S =【答案】AC【解析】因为13a =，111n na a +=−，所以212a =−，323a =，43a =，故A 错误，B 正确；所以数列{}n a 是以3为周期的周期数列，则202436742223a a a ×+===，故C 正确； ()371233712337211212334132S a a a a a a a a++++=+++=+−+== ，故D 错误.故选：AC10．关于函数()331f x x x =−+，下列说法正确的是（） A ．()f x 有两个极值点 B ．()f x 的图像关于()0,1−对称 C ．()f x 有三个零点D ．2sin10°是()f x 的一个零点【解析】函数()f x 的图像关于()0,1对称，故B 错误；对于函数()331f x x x =−+，求导可得：()()()233311f x x x x ′=−=−+，令()0f x ′=，解得1x =±，可得下表：x(),1∞−−1−()1,1−1()1,+∞()f x ′ +−+()f x极大值极小值则()()13f x f =−=极大，()()11f x f ==−极小，通过图像可知，()f x 有两个极值点，故A 正确；函数()f x 有三个零点，故C 正确；()()()32sin102sin102sin1014sin101cos 206sin 3101f +=−°°°=°−×°−°+sin104sin10cos202sin302°−°°+°=−sin102sin10cos202sin20cos1002=°−°°°−+°=，故D 正确.故选:ACD11．在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线2:2(0)C y px p =>绕其顶点分别逆时针旋转90180270 ,,后所得三条曲线与C 围成的（如图阴影区域），,A B 为C 与其中两条曲线的交点，若2p =，则（） A ．开口向上的抛物线的方程为24y x =B ．8AB =C．直线x y t +=D ．阴影区域的面积不大于32 【答案】BC【解析】由题意得开口向右的抛物线方程为2:4C y x =，焦点为1(1,0)F ，将其逆时针旋转90°后得到的抛物线开口向上，焦点为2(0,1)F ，则其方程为24x y =，故A 选项错误；由2244y xx y= = 得0x =或4x =，即4A x =，所以4A y =，由对称性得(4,4)A ，(4,4)B−，所以||8AB =，故B 正确；如图，设直线x y t +=与第一象限花瓣分别交于点M 、N ，由24y x t y x =−+ = 得22M M x t y =+− =−，由24yx t x y =−+ = 得22N Nx y t =− =+− ，所以||4MN t =+−，在第一象限部分满足08t <<，设u=13u <<，故21t u =−，代入得22||34|(2)1|MN u u u =+−=−−(13)u <<，当2u =时，||MN C 正确；对于D ，根据对称性，每个象限的花瓣形状大小相同，所以可以先求18部分面积的近似值，如图，在214y x =()0x ≥取一点P ，使过点P 的切线与直线OA 平行，1因为:0OA l x y −=，所以点P 到直线OA 的距离d =所以142OPA S =×=，由图知半个花瓣的面积必大于4，所以阴影区域的面积大于8432×=，故D 错误.故选：BC.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．）12．已知函数()cos (0)f x x ωω=>，若π2f x+为偶函数，且()f x 在区间(0,π)内仅有两个零点，则ω的值是．【解析】πππcos cos 222f x x x ωωω+=+=+⋅ 为偶函数，所以ππ2k ω⋅=，Z k ∈，得2k ω=，Z k ∈，当(0,π)x ∈时，()0,πx ωω∈，()f x 在区间(0,π)内仅有两个零点，所以3π5ππ22ω<≤，解得：3522ω<≤，所以2ω=.故答案为：213．已知1F 、2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>的左右焦点，过1F 的直线与双曲线左支交于A ，B两点，且112AF BF =，以O 为圆心，2OF 为半径的圆经过点B ，则双曲线的离心率为 . 【解析】因为1F 、2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>的左右焦点，过1F 的直线与双曲线左支交于A ，B 两点，且112AF BF =，以O 为圆心，2OF 为半径的圆经过点B ，得1290F BF ∠= ，设1BF m =，则2122,2,22,3BF m a AF m AF m a AB m =+==+=，在2Rt ABF 中，由勾股定理得()222(2)(3)22a m m m a ++=+，解得23m a =，则1228,33BF a BF a ==，在12Rt F BF 中，由勾股定理得222464499a a c +=，化简得，22179a c =，所以C 的离心率c e a ==. 14．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c （a b ≠）.已知2cos c a A =，则sin sin B A +的最大值是 .【解析】由2cos c a A =，则sin 2sin cos sin 2C A A A ==，,(0,π)A C ∈，所以2C A =或2πC A +=，而πA B C ++=，且a b ≠，即A B ≠，所以2C A =，且03πA C A <+=<，即π03A <<， sin sin sin32sin sin cos2cos sin 2sin B A A A A A A A A ∴+−++2232sin (12sin )2cos sin sin sin 2sin 2(1sin )sin sin A A A A A A A A A A =−++=−+−+34sin 4sin A A =−+，令sin tA ∈，则3()44f t t t =−+，2()124f t t ′=−+，当t ∈ 时()0f t ′>，则()f t 在上递增；当t ∈时()0f t ′<，则()f t 在上递减；所以()3max 44f t =−×+×.. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．(本小题满分13分)设数列{}n a 是首项为1的等比数列，已知1231,,42a a a +成等差数列，数列{}nb 满足2nn na b =. (1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)记n S 和n T 分别为数列{}n a 和{}n b 的前n 项和，试比较n T 与n S 的大小. 【解析】（1）因为{}n a 是首项为1的等比数列且1a ，212a +，34a 成等差数列，设{}n a 的公比为()0q q ≠，由21312()42a a a +=+，可得212()142q q +=+，解得：12q =或0q =（舍去）. 故11()2n n a −=，22n n n na n b ==. （2）由（1）可得12(1)2nn S =−. 数列{}n b 的前n 项和211212222n n n n n T −−=++⋅⋅⋅++，① 则231112122222n n n n n T +−=++⋅⋅⋅++.② 由①−②得231111111212222222n n n n n n T +++=+++⋅⋅⋅+−=− 即222n n nT +=−.由012(1)2222222n n n n n n n n n T S ++−=−−−−=<，可得n n T S <.16．(本小题满分15分)如图，已知直线与抛物线C ：22(0)y px p =>交于A B ，两点，且OA OB ⊥， OD AB ⊥交AB 于点D ，点D 的坐标为()1,1，(1)求p 的值．(2)若线段AB 的垂直平分线于抛物线C 交于E ，F 两点，求OEF 的面积. 【解析】（1）设()1122(,),,A x y B x y因为OD AB ⊥交AB 于点D ，点D 的坐标为()1,1，所以直线AB 的方程为()11y x −=−−，联立()22(0)11ypx p y x => −=−− ，消去x 可得2240y py p +−=，24160p p ∆=+>，则12122,4y y p y y p +=−=−，因为OA OB ⊥，所以12120x x y y +=，即()12124220y y y y −++=，即4480p p +−=，解得1p =，（2）设线段AB 的中点为()00,M x y ，由（1）知12012y y y p +==−=−，所以0023x y =−=，所以:13EF l y x +=−，即4y x =−，联立224y xx y = =+，消去x 可得2280y y −−=，432360∆=+=>，设()()3344,,,E x y F x y ，则34342,8y y y y +==−，所以EF =又点O 到直线EF，所以OEF的面积为1122×=.17. (本小题满分15分)已知三棱锥P ABC −中，平面PAB ⊥平面ABC ，PA ⊥平面PBC ．（1）求证：PB BC ⊥（2）若二面角P ACB −−，且2AB =，1BC =，求PA ．【解析】（1）过P 作PE AB ⊥于E ，因为平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB 平面ABC AB = PE ⊂平面PAB ，所以PE ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以PE BC ⊥又PA ⊥平面PBC ，BC ⊂平面ABC ，所以PA BC ⊥因为,PA PE ⊂平面PAB ，且PA PE P = 所以BC ⊥平面PAB ，PB ⊂平面PAB ，因此PB BC ⊥．（2）解法一：过E 作EF AC ⊥于F ，连接PF ，则AC ⊥平面PEF ，所以PF AC ⊥所以PFE ∠即为二面角P AC B −−的平面角，所以sinPFE ∠，tan PFE ∠又有（1）可得,PA PB BC AB ⊥⊥设PAB θ∠=，则2cos sin PE θθ=， 22cos ,AE EF θ==所以22cos sin tan 2cos PE PFE EF θθθθ∠== 所以1tan 2θ=，从而2cos PA θ==解法二：同方法一得sin PFE∠tan PFE ∠2tAAAB所以11tan C E C FE EF ∠=，解得t =从而PA =解法三：如图,以B 为原点，,BA BC 分别为,x y 轴建立空间直角坐标系，记二面角P AC B −−为α，设1C AB θ∠=， (2,0,0),(0,1,0)A C ，(22cos ,0,2cos sin )P θθθ− ()2(2,1,0),2cos ,0,2cos sin AC AP θθθ=−=−设面ACP 的法向量为(,,)m x y z = ，则100m AC m AC ⋅=⋅= ，即2202cos 2cos sin 0x y x z θθθ−+= −+=，令1x =，得cos 1,2,sin m θθ=，又面ABC 的法向量为(0,0,1)n =，记二面角P AC B −−为α，则sin α= 所以2|cos ||cos ,|||||3m n m n m n α⋅=〈〉==⋅，解得1tan 2θ=，所以2cos PA θ==解法四：如图,以B 为原点，,BA BC 分别为,x y 轴建立空间直角坐标系，设(,0,)P a b =，有(2,0,)APa b =−，设面APC 的法向量为(,,)m x y z =，有100m mC m AC ⋅= ⋅=，即(2)020a x bz x y −+=−+= ，令1x =，得21,2,a m b −=，又面ABC 的法向量为(0,0,1)n =，记二面角P ACB −−为α，则sin α= 所以2|cos |cos ,||||3m n m n m n α⋅===⋅，解得22a b −=，又0AP PB⋅= ，即2(2)0a a b −+=，所以24,55a b==，则AP =. 18. (本小题满分17分)在ABC △中，角,,A B C 的对边是,,a b c ，已知a c λ+，λ为常数．（1）若0λ=，2a =，求ABC △面积的最大值；（2）若1λ=，cos cos A C +sin B 的值．【解析】（1）解法一：0λ=时，c =设b t =，则c =由余弦定理2222cos a b c bc A =+−得223cos 4b A −=所以2b =，1sin 2ABC S bc A ==△ 设tan (0)2A t t =>，则ABC S =△==(3t+，即17t =−时取等号，所以ABC △面积的最大值为解法二：0λ=时，c =，即AB =以BC 所在的直线为x 轴，BC 的中点O 为原点建立直角坐标系O xy −，则()()1,0,1,0B C −，设(),A x y，由AB =化简得22+610x y x ++=，即A 的轨迹方程为()22(3)80x y y −+=≠，所以ABC△面积的最大值为122ABC S =⋅⋅=△（2）解法一：由a c+及正弦定理可知sin sin A C B +，由cos co s A C +及A B C π++=得 )cos()c s(o B C B A =−+−+ sin (sin sin )cos (cos cos )B A C B A C +−+2B B −)21cos s o B B − 整理可得23cos cos 20B B +−=，解得cos 23B =或cos 1A =−(舍)，故sin B =. 解法二：不妨设b =，则2a c +=. 由cos cos A C +可得222222b c a a b c +−+−+=所以()()22224223ac a c a c a c =−++−+()22()2()c a a c a c −−++ 22()4a c =−−+22()84a c ac =−+++84ac =− 解得35ac =. 所以22222()22cos 223a cb ac ac b B ac ac +−+−−===.因此sin B 解法三：不妨设b =4a c +=.即4AC AB BC =+=.以AC 所在的直线为x 轴，AC 的中点O 为原点建立直角坐标系O xy −，显然有(A C ，点B 在椭圆22142x y +=上. 设()00,A x y，则002,2AB BC x ，由cos cos A C ++ 化简即得20165x =，从而20112425AB BC x ⋅=−=. 故22222()cos 12232AB BC AC AB AC BC B AB BC AB BC +−+−==−=⋅⋅，从而sin B 19. (本小题满分17分)已知直线(1)y kx m m =+>与y 轴交于M 点，与曲线e x y =交于()()1122,,,A x y B x y 两点（其中A 在第一象限，B 在第二象限）．（1）若e km ==，试比较12x x +与0的大小；（2）①若点M 恰好为AB 的中点，证明：1k >；②设()1,0P ，若1k ≥，证明PA PB >．【解析】（1）设()e e e x f x x =−−，()e e xf x ′=− 当(),1x ∈−∞时，()0f x ′<，函数()f x 单调递减；当()1,x ∈+∞时，()0f x ′>，函数()f x 单调递增，所以()f x 的最小值为()1e 0f =−<，又()110ef −=>，()33e 4e 0f =−>，由零点存在定理知()()121,3,1,1x x ∈∈−，因此120x x +>（2）①因为点M 恰好为AB 的中点，所以120x x +=，且120x x >>，由1212e e x x kx m kx m =+ =+ 得1212e e x x k x x −=− 要证1k >，只要证12e e 1x x x x −>−，只要证111e e 2x x x −−>设()e e 2(0)x x g x x x −=−−>()e e 220x x g x −′=+−>−=所以()g x 在()0,+∞上单调递增，所以()()00g x g >=，得证．②由1212e e x x kx m kx m=+ =+ 得1212e e x x k x x −=− 因为1k ≥，即1212e e 1x x k x x −=−≥，所以有1212e 2e 20x xx x −+−+>≥，所以()()122212e 2e 2x x x x −+−+≥ 即()()122212e 2e 20x x x x −+−−+≥（***）要证PA PB > 只要证()()122222121+e 1+e x x x x −>−只要证()()122222121+e 1+e 0x x x x −−−>结合（***）式只要证()()()()121222222212121+e 1+e e 2e 2x x x x x x x x −−−>−+−−+ 只要证()()()()112222222211221+e e 21+e e 2x x x x x x x x −−−+>−−−+只要证()()1111222e 2e x x x x x x −+>−+，设()()()2e x h x x x x =−+∈R只要证()()12h x h x > 因为()()1e 1x h x x ′=−+，()e x h x x ′′=当(),0x ∈−∞时，()0h x ′′<，()h x ′单调递减；当()0,x ∈+∞时，()0h x ′′>，()h x ′单调递增，所以()()00h x h ′′=≥，所以()h x 在R 上单调递增，由12x x >，即得()()12h x h x >从而命题得证．19题最后一问解法的思路探究： 1°初步尝试：要证PA PB >，由两点间的距离公式，只要证()()122222121+e 1+e x x x x −>− 只要证()()122222121+e 1+e 0x x x x −−−>（*）由条件1212e e x x kx m kx m=+ =+ 得1212e e x x k x x −=− 因为1k ≥，即1212e e 1x x k x x −=−≥，所以有1212e e 0x x x x −−>≥，（**）两边平方得()()122212e e x x x x −−-≥0 故要证（*）式成立，利用不等式得传递性，只要证()()()()121222222212121+e 1+e e e x x x x x x x x −−−>−− -≥0即可，展开分离双变量整理为121122e e x xx x x x −>−于是构造函数()()e x h x x x x =−∈R ，但是发现函数()h x 并不单调，思维受阻，只能另寻思路.2°调整重构：解题的关键在于分离双变量后，需要构造()h x 是单调增函数，由于当(),0x ∈−∞时，()e 0,1x ∈变化很小，需要将原()h x 的后面能加上一个幂函数，下面用待定系数法进行构造：回到（**）式，设1212e e 0x x x a x a −+−+>≥，此时不妨设1a −≥，保证22e 0x x a −+>.两边平方得()()122212e e x x x a x a −+−−+≥0，故要证（*）式成立，利用不等式得传递性，只要证()()()()121222222212121+e 1+e e e x x x x x x x a x a −−−>−+−−+ ≥0即可，展开分离双变量整理为()()()()121122e 1e 1x x x a a x x a a x −+−>−+−，设()()()()e 1x h x x a a x x =−+−∈R ，则()()()1e 1x h x x a a ′=−++−，()()2e x h x x a ′′=−+，取2a =，此时()e x h x x ′′=，经验证，符合要求，故得本题的证明.3°取值思考：事实上，可以证明2a =是唯一的，此时0x =恰好是()h x 的拐点．令()()2e 0x h x x a ′′=−+=解得2x a =−，当(),2x a ∈−∞−时，()0h x ′′<，()h x ′单调递减；当()2,x a ∈−+∞时，()0h x ′′>，()h x ′单调递增，所以()()2min 2e 1a h x h a a −′′=−=−+−，要使得()h x 是单调增函数，则()2min e 10a h x a −′=−+−≥ 令2()e 1a a a ϕ−=−+−，2()e 10a a ϕ−′=−+=，解得2a =，可知()(2)0a ϕϕ=≤，故只能取2a =． 4°期待优化：本证法实际上对问题的条件作了减弱，只要满足12x x >，不等式是成立的；而本题中120x x >>，且1x 与2x 之间是有关系的，可能有更好的证明方法．。

2024届重庆市綦江、长寿、巴南三校联盟重点名校中考联考数学试题含解析

2024届重庆市綦江、长寿、巴南三校联盟重点名校中考联考数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．用配方法解方程2230x x +-=时，可将方程变形为（） A ．2(1)2x += B ．2(1)2x -= C ．2(1)4x -= D ．2(1)4x +=2．不等式组29611x x x k +>+⎧⎨-<⎩的解集为2x <．则k 的取值范围为（）A ．1k <B ．1kC ．1k >D ．1k <3．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，则图中相似三角形共有( )A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对4．一、单选题如图，几何体是由3个大小完全一样的正方体组成的，它的左视图是（）A ．B ．C ．D ．5．在2014年5月崇左市教育局举行的“经典诗朗诵”演讲比赛中，有11名学生参加决赛，他们决赛的成绩各不相同，其中的一名学生想知道自己能否进入前6名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这11名学生成绩的（） A ．众数B ．中位数C ．平均数D ．方差6．某广场上有一个形状是平行四边形的花坛(如图)，分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花．如果有AB ∥EF ∥DC ，BC ∥GH ∥AD ，那么下列说法错误的是( )A．红花、绿花种植面积一定相等B．紫花、橙花种植面积一定相等C．红花、蓝花种植面积一定相等D．蓝花、黄花种植面积一定相等7．下列选项中，能使关于x的一元二次方程ax2﹣4x+c=0一定有实数根的是（）A．a＞0 B．a=0 C．c＞0 D．c=08．若正多边形的一个内角是150°，则该正多边形的边数是（）A．6 B．12 C．16 D．189．如图，在直角坐标系xOy中，若抛物线l：y＝﹣12x2+bx+c（b，c为常数）的顶点D位于直线y＝﹣2与x轴之间的区域（不包括直线y＝﹣2和x轴），则l与直线y＝﹣1交点的个数是（）A．0个B．1个或2个C．0个、1个或2个D．只有1个10．益阳市高新区某厂今年新招聘一批员工，他们中不同文化程度的人数见下表：文化程度高中大专本科硕士博士人数9 17 20 9 5关于这组文化程度的人数数据，以下说法正确的是：（）A．众数是20 B．中位数是17 C．平均数是12 D．方差是26二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点叠放在长方形的两条对边上，如果∠1=27°，那么∠2=______°12．不等式组2030xx->⎧⎨+>⎩的解集为________.13．如图，在x轴的正半轴上依次间隔相等的距离取点A1，A2，A3，A4，…，A n，分别过这些点做x轴的垂线与反比例函数y＝1x的图象相交于点P1，P2，P3，P4，…P n，再分别过P2，P3，P4，…P n作P2B1⊥A1P1，P3B2⊥A2P2，P4B3⊥A3P3，…，P n B n﹣1⊥A n﹣1P n﹣1，垂足分别为B1，B2，B3，B4，…，B n﹣1，连接P1P2，P2P3，P3P4，…，P n﹣1P n，得到一组Rt△P1B1P2，Rt△P2B2P3，Rt△P3B3P4，…，Rt△P n﹣1B n﹣1P n，则Rt△P n﹣1B n﹣1P n的面积为_____．14．如图，矩形OABC的边OA，OC分别在x轴，y轴上，点B在第一象限，点D在边BC上，且∠AOD＝30°，四边形OA′B′D与四边形OABD关于直线OD对称（点A′和A，点B′和B分别对应）．若AB＝2，反比例函数y＝kx（k≠0）的图象恰好经过A′，B，则k的值为_____．15．如图，在5×5的正方形（每个小正方形的边长为1）网格中，格点上有A、B、C、D、E五个点，如果要求连接两个点之后线段的长度大于3且小于4，则可以连接_____. （写出一个答案即可）16．当a＜0，b＞0时．化简：2a b＝_____．三、解答题（共8题，共72分）17．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点C是的中点，连接AC并延长至点D，使CD＝AC，点E是OB上一点，且，CE的延长线交DB的延长线于点F，AF交⊙O于点H，连接BH．求证：BD是⊙O的切线；（2）当OB＝2时，求BH的长．18．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF．（1）证明：∠BAC=∠DAC．（2）若∠BEC=∠ABE，试证明四边形ABCD是菱形．19．（8分）如图，一次函数y＝－x＋5的图象与反比例函数y＝kx(k≠0)在第一象限的图象交于A(1，n)和B两点．求反比例函数的解析式；在第一象限内，当一次函数y＝－x＋5的值大于反比例函数y＝kx(k≠0)的值时，写出自变量x的取值范围．20．（8分）先化简代数式211aa aa a+⎛⎫⎛⎫+÷-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再从﹣1，0，3中选择一个合适的a的值代入求值．21．（8分）某校有3000名学生．为了解全校学生的上学方式，该校数学兴趣小组以问卷调查的形式，随机调查了该校部分学生的主要上学方式(参与问卷调查的学生只能从以下六个种类中选择一类)，并将调查结果绘制成如下不完整的统计图．种类 A B C D E F上学方式电动车私家车公共交通自行车步行其他某校部分学生主要上学方式扇形统计图某校部分学生主要上学方式条形统计图根据以上信息，回答下列问题：参与本次问卷调查的学生共有____人，其中选择B类的人数有____人．在扇形统计图中，求E类对应的扇形圆心角α的度数，并补全条形统计图．若将A、C、D、E这四类上学方式视为“绿色出行”，请估计该校每天“绿色出行”的学生人数．22．（10分）如图，以O为圆心，4为半径的圆与x轴交于点A，C在⊙O上，∠OAC=60°．（1）求∠AOC的度数；（2）P为x轴正半轴上一点，且PA=OA，连接PC，试判断PC与⊙O的位置关系，并说明理由；（3）有一动点M从A点出发，在⊙O上按顺时针方向运动一周，当S△MAO=S△CAO时，求动点M所经过的弧长，并写出此时M点的坐标．23．（12分）科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行，如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西55°方向行驶4千米至B地，再沿北偏东35°方向行驶一段距离到达古镇C，小明发现古镇C恰好在A地的正北方向，求B、C两地的距离（结果保留整数）（参考数据：tan55°≈1.4，tan35°≈0.7，sin55°≈0.8）24．如图所示，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，EC的延长线交BD于点P．（1）把△ABC绕点A旋转到图1，BD，CE的关系是（选填“相等”或“不相等”）；简要说明理由；（2）若AB=3，AD=5，把△ABC 绕点A 旋转，当∠EAC=90°时，在图2中作出旋转后的图形，PD= ，简要说明计算过程；（3）在（2）的条件下写出旋转过程中线段PD 的最小值为，最大值为．参考答案一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1、D 【解题分析】配方法一般步骤：将常数项移到等号右侧,左右两边同时加一次项系数一半的平方,配方即可. 【题目详解】解：2230x x +-=223x x += 2214x x ++=()214x +=故选D. 【题目点拨】本题考查了配方法解方程的步骤,属于简单题,熟悉步骤是解题关键. 2、B 【解题分析】求出不等式组的解集，根据已知得出关于k 的不等式，求出不等式的解集即可．【题目详解】解：解不等式组29611x xx k+>+⎧⎨-<⎩，得21xx k<⎧⎨<+⎩．∵不等式组29611x xx k+>+⎧⎨-<⎩的解集为x＜2，∴k＋1≥2，解得k≥1．故选：B．【题目点拨】本题考查了解一元一次不等式组的应用，解此题的关键是能根据不等式组的解集和已知得出关于k的不等式，难度适中．3、C【解题分析】∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴△ABC∽△ACD，△ACD∽CBD，△ABC∽CBD，所以有三对相似三角形．故选C．4、D【解题分析】试题分析：观察几何体，可知该几何体是由3个大小完全一样的正方体组成的，它的左视图是，故答案选D.考点：简单几何体的三视图.5、B【解题分析】解：11人成绩的中位数是第6名的成绩．参赛选手要想知道自己是否能进入前6名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．故选B．【题目点拨】本题考查统计量的选择，掌握中位数的意义是本题的解题关键．6、C 【解题分析】图中，线段GH 和EF 将大平行四边形ABCD 分割成了四个小平行四边形，平行四边形的对角线平分该平行四边形的面积，据此进行解答即可. 【题目详解】解：由已知得题图中几个四边形均是平行四边形．又因为平行四边形的一条对角线将平行四边形分成两个全等的三角形，即面积相等，故红花和绿花种植面积一样大，蓝花和黄花种植面积一样大，紫花和橙花种植面积一样大．故选择C. 【题目点拨】本题考查了平行四边形的定义以及性质，知道对角线平分平行四边形是解题关键. 7、D 【解题分析】试题分析：根据题意得a≠1且△=2440ac -≥，解得4ac ≤且a≠1．观察四个答案，只有c ＝1一定满足条件，故选D ．考点：根的判别式；一元二次方程的定义． 8、B【解题分析】设多边形的边数为n ，则有（n-2）×180°=n×150°，解得：n=12，故选B. 9、C 【解题分析】根据题意，利用分类讨论的数学思想可以得到l 与直线y ＝﹣1交点的个数，从而可以解答本题．【题目详解】 ∵抛物线l ：y ＝﹣12x 2+bx +c （b ，c 为常数）的顶点D 位于直线y ＝﹣2与x 轴之间的区域，开口向下， ∴当顶点D 位于直线y ＝﹣1下方时，则l 与直线y ＝﹣1交点个数为0，当顶点D 位于直线y ＝﹣1上时，则l 与直线y ＝﹣1交点个数为1，当顶点D 位于直线y ＝﹣1上方时，则l 与直线y ＝﹣1交点个数为2，故选C ．【题目点拨】考查抛物线与x 轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用函数的思想和分类讨论的数学思想解答． 10、C【解题分析】根据众数、中位数、平均数以及方差的概念求解．【题目详解】A 、这组数据中9出现的次数最多，众数为9，故本选项错误；B 、因为共有5组，所以第3组的人数为中位数，即9是中位数，故本选项错误；C 、平均数=91720955++++=12，故本选项正确；D 、方差=15[（9-12）2+（17-12）2+（20-12）2+（9-12）2+（5-12）2]= 1565，故本选项错误.故选C ．【题目点拨】本题考查了中位数、平均数、众数的知识，解答本题的关键是掌握各知识点的概念．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11、57°. 【解题分析】根据平行线的性质和三角形外角的性质即可求解. 【题目详解】由平行线性质及外角定理，可得∠2＝∠1+30°=27°+30°=57°. 【题目点拨】本题考查平行线的性质及三角形外角的性质. 12、x>1 【解题分析】分别求出两个不等式的解集，再求其公共解集．【题目详解】2030x x ->⎧⎨+>⎩①②，解不等式①，得：x>1，解不等式②，得：x ＞-3，所以不等式组的解集为：x>1，故答案为：x>1．【题目点拨】本题考查一元一次不等式组的解法，属于基础题．求不等式组的解集，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．13、12(1)n n - 【解题分析】解：设OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A n －2A n －1＝A n －1A n ＝a ， ∵当x ＝a 时，1y a=，∴P 1的坐标为(a ，1a )，当x ＝2a 时，12y a =，∴P 2的坐标为(2a ，12a)， ……∴Rt △P 1B 1P 2的面积为111()22a a a-， Rt △P 2B 2P 3的面积为111()223a a a -， Rt △P 3B 3P 4的面积为111()234a a a-， ……∴Rt △P n －1B n －1P n 的面积为1111111··1()2(1)212(1)a n a na n n n n ⎡⎤-=⨯⨯-=⎢⎥---⎣⎦．故答案为：12(1)n n -14 【解题分析】解：∵四边形ABCO 是矩形，AB=1， ∴设B （m ，1），∴OA=BC=m ，∵四边形OA′B′D 与四边形OABD 关于直线OD 对称， ∴OA′=OA=m ，∠A′OD=∠AOD=30° ∴∠A′OA=60°，过A′作A′E ⊥OA 于E ，∴OE=12m ，，∴A′（12m ，2m ），∵反比例函数k y x =（k≠0）的图象恰好经过点A′，B ， ∴12 m•32m=m ，∴m=433，∴k=433 故答案为43315、答案不唯一，如：AD【解题分析】根据勾股定理求出AD ，根据无理数的估算方法解答即可．【题目详解】由勾股定理得：221310AD =+=，3104<<．故答案为答案不唯一，如：AD ．【题目点拨】本题考查了无理数的估算和勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么222+=a b c ．16、b -【解题分析】分析：按照二次根式的相关运算法则和性质进行计算即可.详解：∵00a b ，，2a b a b a b ==-故答案为：b -点睛：熟记二次根式的以下性质是解答本题的关键：（1） (00)ab a b a b =⋅≥≥，；（2）2a a ==() (0)0?0 (0)a a a a a >⎧⎪=⎨⎪-<⎩.三、解答题（共8题，共72分）17、（1）证明见解析；（2）BH ＝．【解题分析】（1）先判断出∠AOC=90°，再判断出OC ∥BD ，即可得出结论；（2）先利用相似三角形求出BF ，进而利用勾股定理求出AF ，最后利用面积即可得出结论．【题目详解】（1）连接OC ，∵AB 是⊙O 的直径，点C 是的中点，∴∠AOC ＝90°，∵OA ＝OB ，CD ＝AC ，∴OC 是△ABD 是中位线，∴OC ∥BD ，∴∠ABD ＝∠AOC ＝90°，∴AB ⊥BD ，∵点B 在⊙O 上，∴BD 是⊙O 的切线；（2）由（1）知，OC ∥BD ，∴△OCE ∽△BFE ，∴， ∵OB ＝2，∴OC ＝OB ＝2，AB ＝4，，∴，∴BF＝3，在Rt△ABF中，∠ABF＝90°，根据勾股定理得，AF＝5，∵S△ABF＝AB•BF＝AF•BH，∴AB•BF＝AF•BH，∴4×3＝5BH，∴BH＝．【题目点拨】此题主要考查了切线的判定和性质，三角形中位线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，求出BF=3是解本题的关键．18、证明见解析【解题分析】试题分析：由AB=AD，CB=CD结合AC=AC可得△ABC≌△ADC，由此可得∠BAC=∠DAC，再证△ABF≌△ADF 即可得到∠AFB=∠AFD，结合∠AFB=∠CFE即可得到∠AFD=∠CFE；（2）由AB∥CD可得∠DCA=∠BAC结合∠BAC=∠DAC可得∠DCA=∠DAC，由此可得AD=CD结合AB=AD，CB=CD可得AB=BC=CD=AD，即可得到四边形ABCD是菱形.试题解析：（1）在△ABC和△ADC中，∵AB=AD，CB=CD，AC=AC，∴△ABC≌△ADC，∴∠BAC=∠DAC，在△ABF和△ADF中，∵AB=AD，∠BAC=∠DAC，AF=AF，∴△ABF≌△ADF，∴∠AFB=∠AFD．（2）证明：∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ACD，∵∠BAC=∠DAC，∴∠ACD=∠CAD，∴AD=CD，∵AB=AD，CB=CD，∴AB=CB=CD=AD，∴四边形ABCD是菱形．19、（1）4yx=；（2）1＜x＜1.【解题分析】（1）将点A的坐标（1，1）代入，即可求出反比例函数的解析式；（2）一次函数y＝－x＋5的值大于反比例函数y＝kx，即反比例函数的图象在一次函数的图象的下方时自变量的取值范围即可．【题目详解】解：（1）∵一次函数y=﹣x+5的图象过点A（1，n），∴n=﹣1+5，解得：n=1，∴点A的坐标为（1，1）．∵反比例函数y=kx（k≠0）过点A（1，1），∴k=1×1=1，∴反比例函数的解析式为y=4x．联立54y xyx=-+⎧⎪⎨=⎪⎩，解得：14xy=⎧⎨=⎩或41xy=⎧⎨=⎩，∴点B的坐标为（1，1）．（2）观察函数图象，发现：当1＜x＜1.时，反比例函数图象在一次函数图象下方，∴当一次函数y=﹣x+5的值大于反比例函数y=kx（k≠0）的值时，x的取值范围为1＜x＜1．【题目点拨】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，以及用待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，是基础知识要熟练掌握．解题的关键是：（1）联立两函数解析式成二元一次方程组；（2）求出点C的坐标；（3）根据函数图象上下关系结合交点横坐标解决不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，联立两函数解析式成方程组，解方程组求出交点的坐标是关键．20、11 aa+-,1【解题分析】先通分得到22211a a aa a⎛⎫⎛⎫++-÷⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再根据平方差公式和完全平方公式得到2(1)(1)(1)aa a aa+⨯+-，化简后代入a＝3，计算即可得到答案. 【题目详解】原式＝22211a a aa a⎛⎫⎛⎫++-÷⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝2(1)(1)(1)aa a aa+⨯+-＝11aa+-，当a＝3时（a≠﹣1，0），原式＝1．【题目点拨】本题考查代数式的化简、平方差公式和完全平方公式，解题的关键是掌握代数式的化简、平方差公式和完全平方公式.21、(1)450、63；⑵36°，图见解析；(3)2460 人．【解题分析】（1）根据“骑电动车”上下的人数除以所占的百分比，即可得到调查学生数；用调查学生数乘以选择B类的人数所占的百分比，即可求出选择B类的人数.（2）求出E类的百分比，乘以360即可求出E类对应的扇形圆心角α的度数；由总学生数求出选择公共交通的人数，补全统计图即可；（3）由总人数乘以“绿色出行”的百分比，即可得到结果．【题目详解】(1) 参与本次问卷调查的学生共有：16236%450÷=（人）；选择B类的人数有：4500.1463.⨯=故答案为450、63；(2)E类所占的百分比为：136%14%20%16%4%10%.-----=E类对应的扇形圆心角α的度数为：36010%36.⨯=选择C类的人数为：45020%90⨯=（人）.补全条形统计图为：(3) 估计该校每天“绿色出行”的学生人数为3000×（1-14%-4%）=2460 人．【题目点拨】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．22、（1）60°；（2）见解析；（3）对应的M点坐标分别为：M1（2，﹣23）、M2（﹣2，﹣23）、M3（﹣2，23）、M4（2，23）．【解题分析】（1）由于∠OAC=60°，易证得△OAC是等边三角形，即可得∠AOC=60°．（2）由（1）的结论知：OA=AC，因此OA=AC=AP，即OP边上的中线等于OP的一半，由此可证得△OCP是直角三角形，且∠OCP=90°，由此可判断出PC与⊙O的位置关系．（3）此题应考虑多种情况，若△MAO、△OAC的面积相等，那么它们的高必相等，因此有四个符合条件的M点，即：C点以及C点关于x轴、y轴、原点的对称点，可据此进行求解．【题目详解】（1）∵OA=OC，∠OAC=60°，∴△OAC是等边三角形，故∠AOC=60°．（2）由（1）知：AC=OA，已知PA=OA，即OA=PA=AC；∴AC=12OP，因此△OCP是直角三角形，且∠OCP=90°，而OC是⊙O的半径，故PC与⊙O的位置关系是相切．（3）如图；有三种情况：①取C点关于x轴的对称点，则此点符合M点的要求，此时M点的坐标为：M1（2，﹣3）；劣弧MA的长为：6044 1803ππ⨯=；②取C点关于原点的对称点，此点也符合M点的要求，此时M点的坐标为：M2（﹣2，﹣3；劣弧MA 的长为：120481803ππ⨯=； ③取C 点关于y 轴的对称点，此点也符合M 点的要求，此时M 点的坐标为：M 3（﹣2，23）；优弧MA 的长为：2404161803ππ⨯=； ④当C 、M 重合时，C 点符合M 点的要求，此时M 4（2，23）；优弧MA 的长为：3004201803ππ⨯=；综上可知：当S △MAO =S △CAO 时，动点M 所经过的弧长为481620,,,3333ππππ对应的M 点坐标分别为：M 1（2，﹣23）、M 2（﹣2，﹣23）、M 3（﹣2，23）、M 4（2，23）．【题目点拨】本题考查了切线的判定以及弧长的计算方法，注意分类讨论思想的运用，不要漏解．23、B 、C 两地的距离大约是6千米．【解题分析】过B 作BD ⊥AC 于点D ，在直角△ABD 中利用三角函数求得BD 的长，然后在直角△BCD 中利用三角函数求得BC 的长．【题目详解】解：过B 作BD AC ⊥于点D ．在Rt ABD 中，BD AB sin BAD 40.8 3.2(∠=⋅=⨯=千米)，BCD 中，CBD 903555∠=-=，CD BD tan CBD 4.48(∠∴=⋅=千米)，BC CD sin CBD 6(∠∴=÷≈千米)．答：B 、C 两地的距离大约是6千米．【题目点拨】此题考查了方向角问题．此题难度适中，解此题的关键是将方向角问题转化为解直角三角形的知识，利用三角函数的知识求解．24、（1）BD，CE的关系是相等；（2）53417或203417；（3）1，1【解题分析】分析：（1）依据△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，即可BA=CA，∠BAD=∠CAE，DA=EA，进而得到△ABD≌△ACE，可得出BD=CE；（2）分两种情况：依据∠PDA=∠AEC，∠PCD=∠ACE，可得△PCD∽△ACE，即可得到PDAE=CDCE，进而得到PD=53417；依据∠ABD=∠PBE，∠BAD=∠BPE=90°，可得△BAD∽△BPE，即可得到PB BEAB BD=，进而得出PB=63434，PD=BD+PB=203417；（3）以A为圆心，AC长为半径画圆，当CE在⊙A下方与⊙A相切时，PD的值最小；当CE在在⊙A右上方与⊙A 相切时，PD的值最大．在Rt△PED中，PD=DE•sin∠PED，因此锐角∠PED的大小直接决定了PD的大小．分两种情况进行讨论，即可得到旋转过程中线段PD的最小值以及最大值．详解：（1）BD，CE的关系是相等．理由：∵△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，∴BA=CA，∠BAD=∠CAE，DA=EA，∴△ABD≌△ACE，∴BD=CE；故答案为相等．（2）作出旋转后的图形，若点C在AD上，如图2所示：∵∠EAC=90°，∴2234AC AE+=∵∠PDA=∠AEC，∠PCD=∠ACE，∴△PCD∽△ACE，∴PD CD AE CE=，∴PD=534 17；若点B在AE上，如图2所示：∵∠BAD=90°，∴Rt△ABD中，BD=2234AD AB+=，BE=AE﹣AB=2，∵∠ABD=∠PBE，∠BAD=∠BPE=90°，∴△BAD∽△BPE，∴PB BEAB BD=，即2334PB=，解得PB=634 34，∴PD=BD+PB=34+63434=203417，故答案为53417或203417；（3）如图3所示，以A为圆心，AC长为半径画圆，当CE在⊙A下方与⊙A相切时，PD的值最小；当CE在在⊙A 右上方与⊙A相切时，PD的值最大．如图3所示，分两种情况讨论：在Rt△PED中，PD=DE•sin∠PED，因此锐角∠PED的大小直接决定了PD的大小．①当小三角形旋转到图中△ACB的位置时，在Rt△ACE中，2253-，在Rt△DAE中，225552+=∵四边形ACPB是正方形，∴PC=AB=3，∴PE=3+4=1，在Rt△PDE中，1==，即旋转过程中线段PD的最小值为1；②当小三角形旋转到图中△AB'C'时，可得DP'为最大值，此时，DP'=4+3=1，即旋转过程中线段PD的最大值为1．故答案为1，1．点睛：本题属于几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质、旋转变换、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、圆的有关知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会分类讨论的思想思考问题，学会利用图形的特殊位置解决最值问题．。

山东省青岛市西海岸三校联考2024-2025学年高二10月月考数学试题

山东省青岛市西海岸三校联考2024-2025学年高二10月月考数学试题一、单选题1．已知数列{}n a 的前n 项和为33nn S =+，则5a =（）A ．162B ．81C ．243D ．4862．某学校高一年级有300名男生，200名女生，通过分层随机抽样的方法调查数学考试成绩，抽取总样本量为50，男生平均成绩为120分，女生平均成绩为110分，那么可以推测高一年级学生的数学平均成绩约为（）A ．110分B ．115分C ．116分D ．120分3．从2名男生和2名女生中任选2人参加某项社会公益活动，则选出的2人中至少有1名女生的概率是（）A ．12B ．23C ．34D ．564．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a >，公差0d <，573a a =．若n S 取得最大值，则n 的值为（）A ．6或7B ．7或8C ．8或9D ．9或105．在各项均为正数的等比数列{}n b 中，若52b =，则111219222log log log b b b +++ 等于（）A ．5B ．5-C ．9D ．9-6．已知甲袋中有标号分别为1,2,3,4的四个小球，乙袋中有标号分别为2,3,4,5的四个小球，这些球除标号外完全相同，第一次从甲袋中取出一个小球，第二次从乙袋中取出一个小球，事件A 表示“第一次取出的小球标号为3”，事件B 表示“第二次取出的小球标号为偶数”，事件C 表示“两次取出的小球标号之和为7”，事件D 表示“两次取出的小球标号之和为偶数”，则（）A ．A 与C 相互独立B ．A 与B 是对立事件C ．C 与D 是对立事件D ．B 与D 相互独立7．已知公差非零的等差数列{}n a 满足38a a =，则下列结论正确的是（）A ．110S =B ．*11()110N n n S S n n -=≤≤∈,C ．当110S >时，5n S S ≥D ．当110S <时，5n S S ≥8．正项等比数列{a n }中，存在两项,m n a a (m ，n *N ∈)使得2116m n a a a =，且7652a a a =+，则1m +25n的最小值为（）A ．5B ．6C ．7D ．8二、多选题9．在新冠疫情的持续影响下，全国各地电影院等密闭式文娱场所停业近半年，电影行业面临巨大损失，2011~2020年每年上半年的票房走势如下图所示，则下列说法不正确的是（）A ．自2011年以来，每年上半年的票房收入逐年增加B ．自2011年以来，每年上半年的票房收入增速为负的有5年C ．2018年上半年的票房收入增速最大D ．2020年上半年的票房收入增速最小10．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =，()11nn n n b a a +=-，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则下列命题正确的是（）A ．21n a n =-B ．当n 为奇数时，2322n T n n =-+-C ．2284n T n n=+D ．数列910nn a ⎧⎫⎪⎪⎛⎫⋅⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭的最大项为第10项11．已知函数{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =，111,22,n n n a n a a n +⎧+⎪=⎨⎪-⎩为奇数为偶数，则（）参考公式：公比1q ≠的等比数列{}n a 的前n 项和为()111n n a q S q-=-.A ．{}2n a 为等比数列B ．202420232a a ->C ．20242015S <-D ．202420252S S -<三、填空题12．已知数列满足12a =，若122n n S a +=+，则的通项公式为.13．若一组样本数据12,,n x x x 的平均数为10，另一组样本数据1224,24,,24n x x x +++ 的方差为8，则两组样本数据合并为一组样本数据后的方差是.14．已知数列{}n a 满足132a =，()2*11n n n a a a n +=-+∈N ，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，设x ∈R ，[]x 表示不大于x 的最大整数.则[]2023S =.四、解答题15．（1）统计某班同学一次考试的数学成绩，得到如下频率分布直方图，已知该班学生数学成绩不低于80分的频率为0.60.估计该班学生数学成绩的平均分和中位数；（2）已知事件A ，B 相互独立，试证明它们的对立事件A ，B 相互独立.16．已知数列各项均为正数，且12a =，221122n n n n a a a a ++-=+.(1)求的通项公式；(2)记数列21n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项的和为n S ，求n S .17．某中学高二年级开设五门大学先修课程，其中属于数学学科的有两门，分别是线性代数和微积分，其余三门分别为大学物理，商务英语以及文学写作，年级要求每名学生只能选修其中一科，该校高二年级600名学生各科选课人数统计如下表：选修课程线性代数微积分大学物理啇务英语文学写作合计选课人数180x120y60600其中选修数学学科的人数所占频率为0.6，为了了解学生成绩与选课情况之间的关系，用分层抽样的方法从这600名学生中抽取10人进行分析.(1)求x 和y 的取值以及抽取的10人中选修商务英语的学生人数；(2)选出的10名学生中恰好包含甲乙两名同学，其中甲同学选修的是线性代数，乙同学选修的是大学物理，现从线性代数和大学物理两个学科中随机抽取3人，求这3人中正好有甲乙两名同学的概率.18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，0n a >，且11122n n n n n n a S a S a a +++-=.(1)求{}n a 的通项公式；(2)若()()122121n n n n a a b +=++，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：13n T <.19．定义：从数列{}n a 中随机抽取m 项按照项数从小到大的顺序依次记为12,,,m k k k a a a ()12m k k k <<< ，将它们组成一个项数为m 的新数列{}n b ，其中()1,2,,i i k b a i m == ，若数列{}n b 为递增数列，则称数列{}n b 是数列{}n a 的“m 项递增衍生列”；(1)已知数列{}n a 满足42,1,3,52,2,4,6n n n n a n -=⎧⎪=⎨⎪=⎩，数列{}n b 是{}n a 的“3项递增衍生列”，写出所有满足条件的{}n b ﹔(2)已知数列{}n a 是项数为m 的等比数列，其中3m ≥，若数列{}n b 为1，16，81，求证：数列{}n b 不是数列{}n a 的“3项递增衍生列”；(3)已知首项为1的等差数列{}n a 的项数为14，且141105i i a ==∑，数列{}n b 是数列{}n a 的“m 项递增衍生列”，其中114m ≤≤．若在数列{}n b 中任意抽取3项，且均不构成等差数列，求m 的最大值．。

2024-2025学年河北省沧州市三校联考高三(上)期中数学试卷(含答案)

2024-2025学年河北省沧州市三校联考高三（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A ={x ∈N|19<1x <14}，B ={x||x|<7}，则A ∩B =( )A. {5}B. {5,6}C. {4,5,6}D. {5,6,7}2.已知z−1z +3=2−i ，则z =( )A. −2−2iB. −2+2iC. −5+2iD. −5−2i3.在△ABC 中，D ，E 分别是边BC ，AC 的中点，点F 满足DF =2FA ，则EF =( )A. 13AB +16ACB. 13AB−16ACC. 16AB +13ACD. 16AB−13AC4.已知sin (α−β)=m ，tan α=4tan β，则sin (α+β)=( )A. 5m3B. 2m3C. 3m2D. 3m45.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，体积相等，且它们的侧面积之比为1:3，则圆锥的高与底面半径之比为( )A.39 B. 13C.33 D.2 336.若函数f(x)={−x 2+2ax−6,x⩽1a ln x +5,x >1在R 上是增函数，则a 的取值范围为( )A. [1,+∞)B. [1,6]C. (−∞,1]∪[6,+∞)D. (0,1]∪[6,+∞)7.函数f(x)=3sin (2x−π4)−sin 3x 在区间[0,3π]上的零点个数为( )A. 4B. 5C. 6D. 88.已知函数f(x)的定义域为R ，f(x +2)为偶函数，f(x)−1为奇函数，且f(x)在区间[6,8]上是增函数.记a =f(−33)，b =f(19)，c =f(88)，则( )A. a <b <cB. c <b <aC. b <c <aD. a <c <b二、多选题：本题共3小题，共18分。

云南省三校2024届高三下学期3月高考备考实用性联考卷(七) 数学

2024届云南三校高考备考实用性联考卷（七）数学注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效，3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知全集U =R ，集合{}{}10,1,1,3,4A xx B =-=-∣ ，那么如图阴影部分表示的集合为（）A.{}1,4-B.{}1,3,4C.{}1,4D.{}1,3,4-2.若1i +是一元二次方程20,x ax a a -+=∈R 的根，则该方程的两根之和为（）A.2B.1i- C.22i- D.13.已知(1,0),||1,||a b a b ==+=a 与b 的夹角为（）A.π6B.π3C.2π3D.5π64.小张､小王两人计划报一些兴趣班，他们分别从“篮球､绘画､书法､游泳､钢琴”这五个随机选择一个，记事件A ：“两人至少有一人选择篮球”，事件B ：“两人选择的兴趣班不同”，则概率()P BA =∣（）A.49B.59C.89D.455.我国古代有一种容器叫“方斗”，“方斗”的形状是一种上大下小的正四棱台（两个底面都是正方形的四棱台），如果一个方斗的容积为28升（一升为一立方分米），上底边长为4分米，下底边长为2分米，则该方斗的表面积为（）A.(220dm+ B.(220dm+ C.256dm D.(220dm+6.已知圆的半径为1,,,a b c 分别为该圆的内接ABC 的三边，若abc =ABC 的面积为（）B. C. D.7.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，……第n 层有n a 个球，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前30项和为（）A.6031B.382C.2031D.19318.已知函数()e ln xf x x x x a =---，若()0f x =在()0,e x ∈有实数解，则实数a 的取值范围是（）A.[)0,∞+ B.1,e∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭C.[)1,∞+D.[)e,∞+二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.下列说法正确的是（）A.设随机变量X 的均值为,a μ是不等于μ的常数，则X 相对于μ的偏离程度小于X 相对于a 的偏离程度（偏离程度用差的平方表示）B.若一组数据12,,,n x x x 的方差为0，则所有数据()1,2,,i x i n = 都相同C.用决定系数2R 比较两个回归模型的拟合效果时，2R 越小，残差平方和越小，模型拟合效果越好D.在对两个分类变量进行2χ独立性检验时，如果列联表中所有数据都扩大为原来的10倍，在相同的检验标准下，再去判断两变量的关联性时，结论不会发生改变10.函数()()ππ02,22f x x ωϕωϕ⎛⎫=+<-<< ⎪⎝⎭ 的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（）A.()f x 的表达式可以写成()5π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B.()f x 的图象关于直线5π8x =对称C.()f x 在区间5π7π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D.若方程()1f x =在()0,m 上有且只有6个根，则5π13π,24m ⎛⎫∈⎪⎝⎭11.如图，已知二面角l αβ--的棱l 上有,A B 两点，,,,C AC l D BD l αβ∈⊥∈⊥，且AC AB BD ==，则（）A.当αβ⊥时，直线CD 与平面β所成角的正弦值为33B.当二面角l αβ--的大小为60 时，直线AB 与CD 所成角为45C.若22CD AB ==，则三棱锥A BCD -的外接球的体积为55π3D.若2CD AB =，则二面角C BD A --的余弦值为7三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知多项式()423450123453(1)x x a a x a x a x a x a x +-=+++++，则2345a a a a +++=__________.13.若()2ln 1f x x b ⎛⎫=+⎪+⎝⎭为奇函数，则b =__________.14.油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节.活动中将油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半，阳光照射油纸伞在地面形成了一个椭圆形影子（春分时，北京的阳光与地面夹角为60 ），若伞柄底端正好位于该椭圆的焦点位置，则该椭圆的离心率为__________.四､解答题（共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.（本小题满分13分）设圆C 与两圆222212:(3)1,:(3)1C x y C x y ++=-+=中的一个内切，另一个外切.（1）求圆心C 的轨迹E 的方程；（2）已知直线0(0)x y m m -+=>与轨迹E 交于不同的两点,A B ，且线段AB 的中点在圆2265x y +=上，求实数m 的值.16.（本小题满分15分）已知函数()1ln 2f x a x x x =++，且曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线12y x =-垂直.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若关于x 的不等式()22mf x x x+ 恒成立，求实数m 的取值范围.17.（本小题满分15分）如图，在几何体ABCDEF 中，ADEF 为等腰梯形，ABCD 为矩形，AD ∥,1EF AB =，3,2,1AD DE EF ===，平面ADEF ⊥平面ABCD .（1）证明：BF CF ⊥；（2）求直线AF 与平面CEF 所成角的余弦值.18.（本小题满分17分）现有标号依次为1,2,,n 的n 个盒子，标号为1号的盒子里有2个黑球和2个白球，其余盒子里都是1个黑球和1个白球.现从1号盒子里取出2个球放入2号盒子，再从2号盒子里取出2个球放入3号盒子，，依次进行到从1n -号盒子里取出2个球放入n 号盒子为止.（1）当2n =时，求2号盒子里有3个黑球的概率；（2）当3n =时，求3号盒子里的黑球的个数ξ的分布列；（3）记n 号盒子中黑球的个数为n X ，求n X 的期望()n E X .19.（本小题满分17分）三阶行列式是解决复杂代数运算的算法，其运算法则如下：123123123231312321213132123a a ab b b a bc a b c a b c a b c a b c a b c c c c =++---.若111222i j ka b x y z x y z ⨯=，则称a b⨯ 为空间向量a 与b的叉乘，其中()()111111222222,,,,,a x i y j z k x y z b x i y j z k x y z =++∈=++∈R R ，{},,i j k 为单位正交基底.以O 为坐标原点，分别以,,i j k的方向为x 轴､y 轴､z 轴的正方向建立空间直角坐标系，已知,A B 是空间直角坐标系中异于O 的不同两点.（1）①若()()0,2,1,1,3,2A B -，求OA OB ⨯uur uuu r；②证明：0OA OB OB OA ⨯+⨯=uur uuu r uuu r uur r.（2）记AOB 的面积为AOB S ，证明：12AOB S OA OB =⨯V uur uuur ；（3）问：2()OA OB ⨯uur uuu r 的几何意义表示以AOB 为底面､OA OB ⨯uur uuu r 为高的三棱锥体积的多少倍？2024届云南三校高考备考实用性联考卷（七）数学参考答案一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.由10A xx =-∣ ，得U {1A x x =<-∣ð或0}x >，而{}1,1,3,4B =-，依题意，阴影部分表示的集合(){}U1,3,4A B ⋂=ð，故选B.2.设20x ax a -+=的另一个根是z ，易知z 与1i +一定是共轭复数，故z 1i =-，故1i 1i 2++-=，故选A.3.由题知，222||1,()||2||||cos ||3a a b a a b b θ=+=++=r rr r r r r ，所以1π2cos 1,cos ,23θθθ===，故选B.4.由题意可知A ：两人都没选择篮球，即()44165525P A =⨯=，所以()()9125P A P A =-=，而AB ：有一人选择篮球，另一人选别的兴趣班，则()4285525P AB⨯==⨯，所以()()()88259925P AB P BA P A ===∣，故选C.5.如图所示，高线为MN ，由方斗的容积为28升，可得(1284163MN=++⋅，解得3MN =.由上底边长为4分米，下底边长为2分米可得AM NB AB ===，侧面积为，所以方斗的表面积为(220dm s =+，故选D.6.设,,a bc 分别为角,,A B C 所对的边，在ABC 中，由正弦定理可得，22sin sin sin a b c R A B C====，所以11162sin ,sin 222244ABC c c abc C S ab C ab ===⋅=== ，故选C.7.根据已知条件有11a =，当2n 时，21324312,3,4,,n n a a a a a a a a n --=-=-=-= ，以上各式累加得：1234n a a n -=++++ ，又11a =，所以()()1123422n n n a n n +=+++++=，经检验11a =符合上式，所以()()*12n n n a n +=∈N ，所以()1211211n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，设数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则111111122122233411n S n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ，所以3026023131S =-=，故选A.8.根据题意，()0f x =，所以e ln x a x x x =--，令()()e ln ,0,e xg x x x x x =--∈，则函数()e ln x f x x x x a =---在()0,e 上存在零点等价于y a =与()g x 的图象有交点.()()()()()1e 1111e e 1e 11e xx x x xx x x g x x x x x x x x +-+⎛⎫=+--=+-=+'-=⎪⎝⎭，令()()e 1,0,e x h x x x =-∈，则()e e 0x x h x x =+>'，故()h x 在()0,e 上单调递增，因为()010h =-<，()1e 10h =->，所以存在唯一的()00,1x ∈，使得()00h x =，即00e 10x x -=，即001e xx =，00ln x x =-，所以当00x x <<时，()()()00,0,h x g x g x <'<单调递减，当0e x x <<时，()()()00,0,h x g x g x >'>单调递增，所以()0min 000000()e ln 11xg x g x x x x x x ==--=-+=，又0x →时，()g x ∞→+，故()()[)0,e ,1,x g x ∞∈∈+，所以1a ，故选C.二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）题号91011答案ABADABD【解析】9.对于A ，由均值的性质可知222()()()E X a E X a μμ-=-+-，由于a 是不等于μ的常数，故可得22()()E X a E X μ->-，即X 相对于μ的偏离程度小于X 相对于a 的偏离程度，A 正确；对于B ，根据方差公式()()()2222121s n x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎣⎦ ，可知若一组数据1x ，2,,n x x 的方差为0，则12,B n x x x === 正确；对于C ，由决定系数的定义可知，C 错误；对于2D,χ的值变为原来的10倍，在相同的检验标准下，再去判断两变量的关联性时，结论可能发生改变，D 错误，故选AB.10.对A ，由()01f =-1ϕ=-，即2sin 2ϕ=-，又πππ,224ϕϕ-<<∴=-，又()f x 的图象过点π,08⎛⎫⎪⎝⎭，则π08f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即ππππsin 0,π8484k ωω⎛⎫-=∴-= ⎪⎝⎭，即得82k ω=+，k ∈Z ，又02,2ωω<∴= ，所以()π5π2244f x x x ⎛⎫⎛⎫=-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 正确；对B，5π5π5π5π208842f ⎛⎫⎛⎫=⨯+==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 错误；对C ，当5π7π,88x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，则5π5π2,3π42x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，由余弦函数单调性知，()f x 在5π7π,88x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递减，故C 错误；对于D ，由()1f x =，得5πcos 242x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得ππ4x k =+或ππ,2k k +∈Z ，方程()1f x =在()0,m 上有6个根，从小到大依次为：ππ5π3π9π5π,,,,,424242，而第7个根为13π4，所以5π13π24m < ，故D 正确，故选AD.11.对A 选项：当αβ⊥时，因为,l AC l αβ⋂=⊥，所以AC β⊥，所以直线CD 与平面β所成角为CDA ∠，又因为AD β⊂，所以AC AD ⊥，因为,BD l AC AB BD ⊥==，所以AD ==，所以3sin 3ACCDA CD∠==，故A 正确；对B 选项：如图，过A 作AE ∥BD ，且AE BD =，连接,ED EC ，则四边形ABDE 为正方形，所以AB ∥DE ，所以CDE ∠（或其补角）即为直线AB 与CD 所成角，因为BD l ⊥，四边形ABDE 为正方形，有AE ∥BD ，所以AE l ⊥，又因为AC l ⊥，所以CAE ∠即为二面角l αβ--的平面角，即60CAE ∠= ，由AC l AE l AC AE A ⊥⊥⋂=､､，且,AC AE ⊂平面ACE ，所以l ⊥平面ACE ，又四边形ABDE 为正方形，所以DE ∥l ，所以DE ⊥平面ACE ，又CE ⊂平面ACE ，所以DE CE ⊥.由AC BD =且四边形ABDE 为正方形，60CAE ∠= ，所以AC AE CE ==，所以tan 1CDE ∠=，即45CDE ∠= ，即直线AB 与CD 所成角为45 ，故B 正确；对于D ，如图，作AE ∥BD ，且AE BD =，则二面角l αβ--的平面角为CAE ∠，不妨取22CD AB ==，由2CD =，在Rt DEC中，易得CE =，在ACE 中，由余弦定理得1cos 2CAE ∠=-，120CAE ∠= ，过C 点作CO AE ⊥交线段EA 的延长线于点O ，则CO ⊥平面ABDE ，过O 点作OH BD ⊥，交线段DB 的延长线于点H ，连接CH ，则CHO ∠为二面角C BD A --的平面角，易得371,22CO HO CH ===，所以27cos 7OH CHO CH ∠==，故D 正确；对C 选项：同选项D 可知120CAE ∠= ，如图，分别取线段,AD AE 的中点,G M ，连接GM ，过G 点作平面β的垂线，则球心O '必在该垂线上，设球的半径为R ，则O E R '=，又ACE 的外接圆半径1312sin120r =⨯= ，而平面ACE ⊥平面ABDE ，所以O G '∥平面ACE ，即MG 的长为点O '到平面ACE 的距离，则2215124R ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以四面体A BCD -的外接球的体积为3455ππ36R =，故C 错误，故选AB D.三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）【解析】12.含x 的项为：443344C (1)3C (1)11x x x ⋅⋅-+⋅⋅⋅-=-，故111a =-；令0x =，即03a =，令1x =，即01234523450,8a a a a a a a a a a =+++++∴+++=.13.()f x 定义域为210x b+>+，得x b >-或2x b <--，由()f x 为奇函数有20b b ---=，所以1b =-.14.如图，伞的企沿与地面接触点B 是椭圆长轴的一个端点，伞沿在地面上最远的投影点A 是椭圆长轴的另一个端点，对应的伞沿为,C O 为伞的圆心，F 为伞柄底端，即椭圆的左焦点，令椭圆的长半轴长为a ，半焦距为c ，由,OF BC OF OB ⊥==，得45,2,a c BF FBC AB a BC ∠+===== ABC 中，60BAC ∠= ，则()23216275,sin75sin 453022224ACB ∠==+=⨯+⨯= ，由正弦定理得，223sin75sin60a =，解得262a =，则622c =，所以该椭圆的离心率2c e a ==-.四､解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.（本小题满分13分）解：（1）圆221:(3)1C x y ++=的圆心为()13,0C -，半径为1，圆222:(3)1C x y -+=的圆心为()23,0C ，半径为1，设圆C 的半径为r ，若圆C 与圆1C 内切，与圆2C 外切，则121,1CC r CC r =-=+，可得212CC CC -=；若圆C 与圆2C 内切，与圆1C 外切，则211,1CC r CC r =-=+，可得122CC CC -=；综上所述：122CC CC -=，可知：圆心C 的轨迹E 是以12C C ､为焦点的双曲线，且1,3a c ==，可得2228b c a =-=，所以圆心C 的轨迹E 的方程为2218y x -=.（2）联立方程221,80,y x x y m ⎧-=⎪⎨⎪-+=⎩消去y 得227280x mx m ---=，则()()222Δ42883270m m m =++=+>，可知直线与双曲线相交，如图6，设()()1122,,,A x y B x y ，线段AB 的中点为()00,M x y ，可得120008,277x x m m x y x m +===+=，即8,77m m M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且8,77m m M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在圆2265x y +=上，则2286577m m ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得7m =±，又0m >，所以实数m 的值为7.16.（本小题满分15分）解：（1）函数()f x 的定义域为()21{0},2a xx f x x x >=-'+∣，又曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线12y x =-垂直，所以()1122f a =-+='，即1a =.()()()()21211ln 2,(0)x x f x x x f x x x x +-+'∴=+=>，由()0f x '<且0x >，得102x <<，即()f x 的单调递减区间是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，由()0f x '>得12x >，即()f x 的单调递增区间是1,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭.（2）由（1）知不等式()22m f x x x +恒成立，可化为1ln 222m x x x x x +++ 恒成立，即ln 12m x x ⋅+ 恒成立.令()ln 1g x x x =⋅+，当10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()0,g x g x '<在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；当1,e x ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()()0,g x g x '>在1,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增.所以1e x =时，函数()g x 有最小值11e-.由ln 12m x x ⋅+ 恒成立，得22e m - ，即实数m 的取值范围是2,2e ∞⎛⎤-- ⎥⎝⎦.17.（本小题满分15分）（1）证明：如图7，过点F 作AD 的垂线，垂足为M ，连接,MB MC ，由已知可得1,2,2,5AM MF MD BM CM =====，平面ADEF ⊥平面ABCD ，平面ADEF ⋂平面,ABCD AD FM =⊂平面ADEF ，,FM AD FM ⊥∴⊥平面ABCD ，,MB MC ⊂ 平面,,ABCD FM MB FM MC ∴⊥⊥，3,6BF CF ∴==，222BF CF BC ∴+=，BF CF ∴⊥.（2）解：建立如图所示空间直角坐标系,A xyz -则()()()1,3,0,0,2,1,0,1,1C E F ，()()()0,1,1,1,1,1,0,1,0AF CE EF ∴==--=-uuu r uuu r uuu r ，设平面CEF 的法向量为(),,n x y z = ，则0,0,n EF y n CE x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩uuu r r uuu r r 令1x =得()1,0,1n = ，设直线AF 与平面CEF 所成角为θ，则，1sin cos ,2AF n AF n AF nθ⋅===uuu r r uuu r r uuu r r .ππ0,,26θθ⎡⎤∈∴=⎢⎥⎣⎦ ，即直线AF 与平面CEF 所成角的余弦值为32.18.（本小题满分17分）解：（1）由题可知2号盒子里有3个黑球的概率为202224C C 1C 6P ==.（2）由题可知ξ可取1,2,3，()221123222222224444C C C C C 71C C C C 36P ξ==⨯+⨯=，()221123222222224444C C C C C 73C C C C 36P ξ==⨯+⨯=，()()()11211318P P P ξξξ==-=-==，所以3号盒子里的黑球的个数ξ的分布列为ξ123P 7361118736（3）记1n a -为第()2n n 号盒子有一个黑球和三个白球的概率，则116a =，1n b -为第()2n n 号盒子有两个黑球和两个白球的概率，则12211,318b b ==，则第()2n n 号盒子有三个黑球和一个白球的概率为111n n a b ----，且()()1222221113322n n n n n b b a a b n -----=++-- ，化解得121162n n b b --=+，得12131331,565515n n b b b --⎛⎫-=--= ⎪⎝⎭，而21313565b b ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则数列35n b ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列，首项为131515b -=，公比为16，所以13115156n n b -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又由1221162n n n a b a ---=+求得：111556n n a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.因此()()1111111231322n n n n n n n E X a b a b a b ------=⨯+⨯+⨯--=--=.19.（本小题满分17分）（1）①解：因为()()0,2,1,1,3,2A B -，则()021*******,1,2132i j kOA OB i j k i i j k ⨯==-++--=-+=--r r r uur uuu r uu r r r r r r r r r .②证明：设()()111222,,,,,A x y z B x y z ，则121212212121OA OB y z i z x j x y k x y k z x j y z i⨯=++---uur uuu r r r r r r r ()122112211221,,y z y z z x z x x y x y =---，将2x 与1x 互换，2y 与1y 互换，2z 与1z 互换，可得()211221122112,,OB OA y z y z z x z x x y x y ⨯=---uuu r uur ，故()0,0,00OA OB OB OA ⨯+⨯==uur uuu r uuu r uur r .（2）证明：因为sin AOB ∠===.故1sin 2AOB S OA OB AOB ∠=⋅=V uur uuu r 故要证12AOB S OA OB =⨯V uur uuu r ，只需证OA OB ⨯=uur uuu r ，即证2222||||()OA OB OA OB OA OB ⨯=-⋅uur uuu r .由（1）()()()111222122112211221,,,,,,,,OA x y z OB x y z OA OB y z y z z x z x x y x y ==⨯=---uur uuu r uur uuu r ，故()()()2222122112211221||OA OB y z y z z x z x x y x y ⨯=-+-+-uur uuu r ，又()2222222222111222121212|,|,()OA x y z OB x y z OA OB x x y y z z =++=++⋅=++uur uuu r uur uuu r ，则2222||||()OA OB OA OB OA OB ⨯=-⋅uur uuu r uur uuu r uur uuu r 成立，故12AOBS OA OB =⨯V uur uuu r .（3）解：由（2）12AOB S OA OB =⨯V uur uuu r ，得22()||OA OB OA OB ⨯=⨯uur uuu r uur uuu r 1222AOB OA OB OA OB S OA OB =⨯⋅⨯=⋅⨯V uur uuu r uur uuu r uur uuu r ，故21()63AOB OA OB S OA OB ⨯=⋅⨯⨯V uur uuu r uur uuu r ，故2()OA OB ⨯uur uuu r 的几何意义表示以AOB 为底面､OA OB ⨯uur uuu r 为高的三棱锥体积的6倍.。

2024届广东省高三三校12月联考数学试题及答案

绝密★启用前试卷类型：A深圳实验、湛江一中、珠海一中2024届高三三校联考数学试题 2023.12注意事项：1．本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟．2．答卷前，考生务必将自己的学校，班级和姓名填在答题卡上，正确粘贴条形码．3．作答选择题时，用2B 铅笔在答题卡上将对应答案的选项涂黑．4．非选择题的答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上，不准使用铅笔和涂改液．5．考试结束后，考生上交答题卡．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合*{2}A x =∈≤N ，集合2{|2}B y y x ==+，则A B =A ．[1,4]B ．[2,4]C ．{1,2,3,4}D ．{2,3,4} 2. 若复数z 满足i 12i z =--，则z 在复平面上所对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．在梯形ABCD 中，设AB = a ，AD = b ，若2AB CD =- ，则AC =A ．1+2a bB ．12-+a bC ．1+2a bD ．12-a b4．已知函数14e ,1,()41,1x x f x x x x-⎧≤⎪=⎨-+>⎪⎩，则()f x 的最大值为A ．1B ．4C ．4eD ．5 5．若tan 2α=，则sin 2α=A ．43-B ．43 C．45- D ．456．已知圆台的上、下底面的圆周都在半径为2的球面上，圆台的下底面过球心，上底面半径为1，则圆台的体积为ABC ．D ．7．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，直线1x my =+与C 交于A ，B 两点，与其准线交于点D ，若AF FD =，则||BF =A ．13B ．1C ．43D ．48．已知函数2()e 2xx f x =-，过点(,)m n 作()f x 的切线l ，若1n m =+（1n ≠），则直线l的条数为A ．0B ．1C ．2D ．3二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

广东省广州三校2024-2025学年高一上学期期中联考数学试题

广东省广州三校2024-2025学年高一上学期期中联考数学试题一、单选题1．已知集合{}24,,3401A x x k B x x x k ⎧⎫=∈=∈=--≤⎨⎬+⎩⎭ZZ ∣∣，则A B = （）A ．{}1,1,2,4-B ．{}4,2,1,1---C ．[)(]1,00,4-⋃D ．[)(]4,00,1- 2．给出下列命题，其中是正确命题的是（）A ．两个函数()f x =()g x 表示的是同一函数B ．函数()1f x x=的单调递减区间是()(),00,-∞+∞ C ．若函数()f x 的定义域为[]0,2，则函数()2f x 的定义域为[]0,1D ．命题“[)0,x ∞∀∈+，210x +>”的否定是“(),0x ∃∈-∞，210x +≤”3．近日，我国某生命科学研究所的生物研究小组成员通过大量的实验和数据统计得出睡眠中的恒温动物的脉搏率f （单位时间内心跳的次数）与其自身体重W 满足()130=≠k f k W的函数模型.已知一只恒温动物兔子的体重为2kg 、脉搏率为205次1min -⋅，若经测量一匹马的脉搏率为41次1min -⋅，则这匹马的体重为（）A ．350kgB ．450kgC ．500kgD ．250kg4．已知R a b c ∈,,，那么下列命题中正确的是（）A ．若a b >，则22ac bc >B ．若a bc c>，则a b >C ．若0a >，0b >，则22b a a ba b+≥+D ．若22a b >且0ab >，则11a b<5．关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集为()(),23,-∞-⋃+∞，则下列说法正确的个数是（）个.①0a <；②关于x 的不等式0bx c +>的解集为(),6-∞-；③0a b c ++>；④关于x 的不等式20cx bx a -+>的解集为11,32∞∞⎛⎫⎛⎫--⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.A ．1B ．2C ．3D ．46．已知函数()f x 为定义在R 上的奇函数，且在[)0,1为减函数，在[)1,+∞为增函数，()20f =，则不等式()()110x f x +-≥的解集为（）A ．(][],11,3-∞-B ．[]{}1,31-C ．(][),11,-∞-+∞ D ．[]13,-7．已知()g x 是定义域为R 的函数，()22g x ax =+，若对任意的1212x x <<<，都有()()12123g x g x x x ->--成立，则实数a 的取值范围是（）A ．[)0,∞+B ．3,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．3,4∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭D ．3,4∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭8．若对于定义域内的每一个x ，都有()()f kx kf x =，则称函数()f x 为“双k 倍函数”.已知函数()f x 是定义在[]1,4上的“双2倍函数”，且当[)1,2x ∈时，()24127f x x x =-+-，若函数()y f f x a ⎡⎤=-⎣⎦恰有4个不同的零点，则实数a 的取值范围为（）A ．()1,2B ．[]1,4C ．()(]1,22,4 D ．(]1,4二、多选题9．已知实数a 满足14a a -+=，下列选项中正确的是（）A ．1a a--=B ．2214a a -+=C ．1122a a -+=D ．3322a a -+=10．已知0,0x y >>，且21x y +=，则下列正确的有（）A ．xy的最大值是18B ．24x y +的最小值是C ．12x y+的最大值是9D 11．定义在()0,∞+上的函数()f x 满足下列条件：（1）()()x f yf x xf y y ⎛⎫=-⎪⎝⎭；（2）当1x >时，()0f x >，则（）A ．()10f =B ．当01x <<时，()0f x <C ．()()22f x f x ≥D ．()f x 在()1,+∞上单调递增三、填空题12．4130320.064(πe)9-+-⨯=⎝⎭.13．已知幂函数()f x过点⎛ ⎝⎭，若()(32)1a f f a <+-，则实数a 的取值范围是.14．定义区间(a ,b )，[a ,b )，(a ,b ]，[a ,b ]的长度均为d b a =-，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如,(1,2) [3,5)的长度d=(2-1)+(5-3)=3.用[x ]表示不超过x 的最大整数，记{x }=x -[x ]，其中x R ∈.设()[]{}f x x x =⋅，()1g x x =-，当0x k ≤≤时,不等式()()f x g x <解集区间的长度为5，则k 的值为．四、解答题15．已知集合12324x A x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，{}22440,R B x x x m m =-+-≤∈.(1)若3m =，求A B ⋂；(2)若存在正实数m ，使得“x A ∈”是“x B ∈”成立的充分不必要条件，求正实数m 的取值范围.16．设()212y mx m x m =+-+-．(1)若不等式2y ≥-对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围；(2)解关于x 的不等式()()2121R +-+-<-∈mx m x m m m ．17．学习机是一种电子教学类产品，也统指对学习有辅助作用的所有电子教育器材．学习机较其他移动终端更注重学习资源和教学策略的应用，课堂同步辅导､全科辅学功能､多国语言学习､标准专业词典以及内存自由扩充等功能成为学习机的主流竞争手段，越来越多的学习机产品全面兼容网络学习､情境学习､随身学习机外教､单词联想记忆､同步教材讲解､互动全真题库､权威词典､在线图书馆等多种模式，以及大内存和SD/MMC 卡内存自由扩充功能根据市场调查．某学习机公司生产学习机的年固定成本为20万元，每生产1万部还需另投入16万元．设该公司一年内共生产该款学习机x 万部并全部销售完，每万部的销售收入为()R x 万元，且()24,0105300,10a x x R x b x xx -<≤⎧⎪=⎨->⎪⎩．当该公司一年内共生产该款学习机8万部并全部销售完时，年利润为1196万元；当该公司一年内共生产该款学习机20万部并全部销售完时，年利润为2960万元．(1)写出年利润W （万元）关于年产量x （万部）的函数解析式；(2)当年产量为多少万部时，公司在该款学习机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．18．双曲函数是工程数学中一类重要的函数，它也是一类最重要的基本初等函数，它的性质非常丰富，常见的两类双曲函数为正余弦双曲函数，解析式如下：双曲正弦函数e e sinh 2x xx --=，双曲余弦函数：e e cosh 2x x x -+=(1)请选择下列2个结论中的一个结论进行证明：选择______（若两个均选择，则按照第一个计分）①22cosh sinh 1x x -=②22cosh 2cosh sinh x x x=+(2)请证明双曲正弦函数sinh x 在R 上是增函数；(3)求函数22cosh sinh cosh y x x x =++在R 上的值域．19．已知函数()y F x =的定义域为D ，t 为大于0的常数，对任意x D ∈，都满足()()()2F x t F x t F x ++->，则称函数()y F x =在D 上具有“性质A ”．(1)试判断函数2x y =和函数2y x =-是否具有“性质A ”（无需证明）；(2)若函数()y f x =具有“性质A ”，且()102f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，求证：对任意n ∈N ，都有()()1f n f n >+；(3)若函数()y g x =的定义域为R ，且具有“性质A ”，试判断下列命题的真假，并说明理由，①若()y g x =在区间(),0-∞上是严格增函数，则此函数在R 上也是严格增函数；②若()y g x =在区间(),0-∞上是严格减函数，则此函数在R 上也是严格减函数．。

2025届辽宁省名校联盟(东北三省三校)高三9月联考数学试卷+答案

辽宁省名校联盟2024年高三9月份联合考试数学本试卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.2log 50.5=（）A.12 B.15−C.15D.22.已知命题p ：x ∃∈R ，11x −<，命题q 1+<，则（）A.p 和q 都是真命题 B.p ¬和q 都是真命题C.p 和q ¬都是真命题D.p ¬和q ¬都是真命题3.已知M ，N 为全集U 的非空真子集，且M ，N 不相等，若()U M N U = ，则（）A.N M⊆ B.M N N= C.()U M N =∅D.()U M N U= 4.如图，有一个无盖的盛水的容器，高为H ，其可看作将两个完全相同的圆台面积较大的底面去掉后对接而成.现从顶部向该容器中倒水，且任意相等的时间间隔内所倒的水的体积相等，记容器内水面的高度y 随时间t 变化的函数为()f t ，则下列函数图像中最有可能是()f t 图像的是（）A B C D5.已知等比数列{}n a 的公比为q ，则“12a a <”是“221n n a a +<（*n ∈N ）”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.若定义在R 上的偶函数()f x 在[)0,+∞上单调递增，则1πf−，12f−，12e f −的大小关系为（） A.1211e 2πf f f − −>>−B.1211e 2πf f f − >−>−C.1211e 2πf f f −−>−>D.1211e π2f f f −−>>−7.已知定义在R 上的函数()f x ，对x ∀∈R ，都有()()44f x f x +=−+，若函数()1f x −的图像关于直线1x =对称，则()4050f =（） A.–2B.–1C.2D.18.已知函数()2ln 1f x x x =−，则当0a ≠时，方程()()220a f x f x a +−= 的不同的实数解的个数为（） A.4B.3C.2D.1二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

山西省大同市平城区三校联考2024届九年级上学期期中考试数学试卷(含答案)

山西省大同市平城区2023－2024（1）初三阶段性测试（数学）试题一、选择题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）1.如图图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A .B .C .D .2.将方程x 2－8x ＝10化为一元次方程的一般形式，其中二次项系数为1，一次项系数、常数项分别是（）A .－8、－10B .－8、10C .8、－10D .8、103.等腰三角形、等边三角形、矩形、正方形和圆这五种图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的图形种数是（）A .2B .3C .4D .54.已知关于x 的一元二次方程（a －5）x 2－4x －1＝0有实数根，则a 的取值范围是（）A .a ≥1B .a ＞1且a ≠5C .a ≥1且a ≠5D .a ≠55.将抛物线y ＝－2x 2＋1向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得到的抛物线为（）A .y ＝－2（x ＋1）2－1B .y ＝－2（x ＋1）2＋3C .y ＝－2（x －1）2＋1D .y ＝－2（x －1）2＋36、4张扑克牌如图（1）所示放在桌子上，小敏把其中一张旋转180°后得到如图（2）所示，那么她所旋转的牌从左起是（）图（1）图（2）A .第一张、第二张B .第二张、第三张C .第三张、第四张D .第四张、第一张7、如图，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E ，∠A ＝22.5°，OC ＝4，CD 的长为（）A.B.4C.D.88.如图，AB，CD是⊙O的两条直径，E是劣弧 BC的中点，连接BC，DE．若∠ABC＝22°，则∠CDE 的度数为（）A.22°B.32°C.34°D.44°9、如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2，若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（）A.（32－2x）（20－x）＝570B.32x＋2×20x＝32×20－570C.（32－x）（20－x）＝32×20－570D.32x＋2×20x－2x2＝57010.如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝1，给出下列结论：①ac＜0；②b2－4ac＞0；③2a－b＝0；④a－b＋c＝0，其中，正确的结论有（）A.1个B.2个C.3个D.4个第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）11、若x＝2是方程x2－mx＋2＝0的根，则m＝．12、某村种的水稻前年平均每公顷产7200kg，今年平均每公顷产8450kg．设这两年该村水稻每公顷产量的年平均增长率为x，根据题意，所列方程为．'''的位置，旋转角为α（0°＜α＜90°）．若13、如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB C D∠1＝110°，则α＝．14、如图，直线y＝x＋m和抛物线y＝x2＋bx＋c都经过点A（1，0）和B（3，2），不等式x2＋bx＋c＞x ＋m解集为．15、如图，点P是等边三角形ABC内一点，且PA6，PB2，PC＝2，则这个等边三角形ABC 的边长为．三、解答题（本题共8个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16、（每小题4分，共8分）解下列方程：（1）x2－2x－1＝0（2）（x－2）2＝2x－417、（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（－1，0），B（－4，1），C（－2，2）．（1）直接写出点B关于点C对称的点B'的坐标：；A B C；（2）请画出△ABC关于点O成中心对称的△111A B C．（3）画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到的△22218、（6分）如图，杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体（看成一点）的路线是抛物线y＝－0.5x2＋3x＋1的一部分．（1）求演员弹跳离地面的最大高度；（2）已知人梯高BC＝5米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由．=，∠OPB＝45°．19、（8分）如图，已知⊙O中，弦AB＝8，点P是弦AB上一点，OP32（1）求OB的长；（2）过点P作弦CD与弦AB垂直，求证：AB＝CD．20、（10分）如图，AB 为⊙O 的切线，B 为切点，过点B 作BC ⊥OA ，垂足为点E ．交于点C ，延长CO 与AB 的延长线交于点D ．（1）求证：AC 为⊙O 的切线；（2）若OC ＝2，OD ＝5，求线段AD 和AC 的长．21、（10）某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克，则一个月可售出500千克；若售价在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克．（1）当月利润为8750元时，每千克水果售价为多少元？（2）当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？22.（12分）在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，如图①所示，已知直角三角形ABC 中，BC ＝AC ，点E ，D 为AC 、BC 边的中点．操作探究将△ECD 以点C 为旋转中心逆时针旋转，得到△E CD ''，连接,AE BD ''．图①图②图③图④（1）如图②，判断线段AE '与BD '的数量关系与位置关系，并说明理由；（2）如图③，当B ，D '，E '三点在同一直线上时，∠E 'AC ＝20°，求旋转角的度数；（3）如图④，当旋转到某一时刻，CD BD ''⊥，延长BD '与AE '交于点F ，请判断四边形D CE F ''的形状，并说明理由；23、（13分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 与x 轴相交于原点O 和点B （4，0），点A （3，m ）在抛物线上．（1）求抛物线的表达式，并写出它的对称轴；（2）若点P为线段OA上方抛物线上的点，过点P作x轴的垂线，交OA于点Q，求线段PQ长度的最大值．（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点N，使得△BAN为以AB为腰的等腰三角形，若不存在，请说明理由，若存在，请直接写出点N的坐标．2023－2024学年第一学期九年级数学期中考试答案一、选择题12345678910D A B C D AC C A C 二、填空题11.312.7200（1＋x ）2＝845013.20°14.x ＜11或x ＞3三、解答题16.（8分）（1）x 2－2x －1＝0x 2－2x －1＋2＝2x 2－2x ＋1＝2（x －1）2＝2x －1∴x －1或x －11211x x ==+（2）（x －2）2＝2x －4（x －2）2－2x ＋4＝0X 2－4x ＋4－2x ＋4＝0X 2－6x ＋8＝0（x －2）（x －4）＝01224x x ==17.（8分）（1）（4，－1）（2）如图所示，△111A B C 为所求作的图形；（3）如图所示，△222A B C 为所求作的图形．18.（6分）（1）y ＝－0.5x 2＋3x ＋1a ＝－12b ＝3c ＝1h ＝331222b a -=-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭221413429112 5.5142242ac b k a ⎛⎫⨯-⨯- ⎪----⎝⎭=====--⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭∴顶点（3，5.5）答：演员弹跳离地面的最大高度为5.5米．（2）当x ＝4，代入21312y x x =-++2143412y =-⨯+⨯+1161212=-⨯++＝－8＋12＋1＝5∵5＝5∴这次表演成功了．19.（8分）（1）过O 作OH ⊥AB 90OHB OHA ∠∠∴==142AH BH AB ===45OPB ∠=∴△OHP 为等腰直角三角形设OH ＝PH ＝x在Rt △PHO 中OH 2＋PH 2＝OP 2222x x +=2x 2＝18x 2＝93x =±1233x x ==-（舍）∴OH ＝PH ＝3在Rt △DHB 中OB =5∴OB ＝5（2）过O 作OE ⊥CD ∴90OEP ∠= 190,2OEP BPC OHP CE DE CD ∠∠∠===== ∴四边形OEPH 为矩形又∵OH ＝PH∴四边形OEPH 为正方形∴OE ＝OH ＝3连接OC∴OC ＝OB ＝５在Rt △CEO 中CE =＝4∴CD ＝2CE ＝8∴AB ＝CD ＝820.（10分）（1）连接OB∵OB ，OC 为⊙O 半径∴OB ＝OC∵CB ⊥OA∴∠OED ＝∠BEO ＝90°在Rt △CED 和Rt △BED 中CO BOOE OE=⎧⎨=⎩∴Rt △CED ≌Rt △BED （HL ）COE BOE ∠∠∴=在△AOC 和△AOB 中OC OBCOE BOE AO AO∠∠=⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△AOC ≌△AOB （SAS ）90ACO ABO ∠∠∴== AC OC∴⊥∵OC 为⊙O 半径∴AC 为⊙O 的切线．（2）∵△AOC ≌△AOB∴AB ＝AC OB ＝OC ＝2∵AB 为⊙O 的切线90OBD ∠∴=在Rt △BOD 中BD ===设AB ＝AC ＝x ，则AD x+∵AC 为⊙O 的切线90ACD ∠∴=CD ＝OC ＋OD ＝2＋5＝7在Rt △ACD 中AC 2＋CD 2＝AD 22227)x x +=+224921x x +=++28=14=x =142121=2213=∴AC ＝AB 2213=∴AD ＝AB ＋BD 22152133==21.（10分）（1）解：设水果涨价了x 元，则少售出10x 千克（500－10x ）（50＋x －40）＝8750（500－10x ）（10＋x ）＝87505000＋500x －100x －10x 2＝8750－10x 2＋400x ＝3750－x 2＋40x －375＝0x 2－40x ＋275＝0（x －25）（x －15）＝0122515x x ==当x ＝25时，50＋x ＝75当x ＝15时，50＋x ＝65答：当月利润为8750元时，水果售价为75元或65元．（2）设月利润为WW ＝（500－10x ）（50＋x －40）＝（500－10x ）（10＋x ）＝5000＋500x －100x －10x 2＝－10x 2＋400x ＋5000a ＝－10b ＝400c ＝50004002022(10)b h a =-=-=⨯-∵a ＝－10开口向下∴当x ＝20时，月利润最大售价＝50＋20＝70（元）答：当售价为70元时，获得的月利润最大．22.（12分）（1）AE BD AE BD ''=⊥''∵AB ＝AC ，E 、D 为AC 、BC 中点E C CD '∴='又∵△ABC 为Rt △∠C ＝90°90E CD ACB ∠∠'∴=='即1290ACD ACD ∠∠∠∠''+=+=12∠∠∴=在△ACE '与△BCD '中12AC BC E C D C ∠∠⎪'=⎧⎪=⎨'=⎩∴△ACE '≌△BCD '（SAS ）AE BD EAC DBC∠∠'∴''∴==∵AC ＝BC ，∠ACB ＝90°∴∠CAB ＝∠CBA ＝45°反向延长BD '，交AE '于F45CBD ABF ∠∠'+= 45EAC ABF ∠∴∠+= ∴180()AFB EAC ABF CAB ∠∠∠∠'=-+- =180455049=--∴BF ⊥AF（2）由（1）知BD AE '⊥'，设BD '交AC 于F 90AE B ∠∴='20E AC ∠'=180902070AFE ∠'∴=--=70CFD ACE ∠∠∴'=='CD CE ''= 90E CD ∠=''45CD E ∠'∴'=180704655ACD ∠'∴=--=90=906525D CB ACD ∠∠''∴=--= ∴旋转角为25°．（3）BD CD ''⊥ 90BD C ∠'∴'= 又90D CE ∠'='90BD C D CE ∠∠∴''=='' //CE BD ''∴由（1）知BD AE '⊥'90BFE ∠'∴=∵//CE BD ''180AE C BFE ∠∠''∴+= 90AE C BFE ∠∠'∴=='又90D CE ∠''=90AE C BFE D CE ∠∠∠''''∴=== 即四边形D CE F ''为矩形又CE CD ''= ∴四边形D CE F ''为正方形．23.（13分）（1）y ＝－x 2＋bx ＋ca ＝－1设()()12y a x x x x =--设120,4x x ==代入y ＝－x （x －4）＝－x 2＋4x4222(1)24b h a =-=-=-=⨯--∴抛物线表达式：y ＝－x 2＋4x 抛物线对称轴为直线x ＝2（2）将x ＝3代入y ＝－x 2＋4x 2343y =-+⨯＝－9＋12＝3∴A 的坐标为（3，3）设OA 的解析式为y ＝kx将点A （3，3）代入3＝3kk ＝1∴OA 的解析式为y ＝x设P 的坐标为（x ，－x 2＋4x ）则Q 的坐标（x ，x ）p y QP> P PQ y QP ∴=-＝－x 2＋4x －x 23PQ y x x=-+a ＝－1b ＝33322(1)2h b a =-=-=⨯-2243944(1)4ac b k a --===⨯-∴PQ 长度的最大值为94．（3）存在，N 的坐标为(2,，（2，0），．。

2024-2025学年广东省三校决胜高考,梦圆乙巳第一次联考数学试题及答案

绝密★启用前2024-2025学年度上学期广东省三校“决胜高考，梦圆乙巳”第一次联合模拟考试参加学校：诺德安达学校、金石实验中学、英广实验学校学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，请2B用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.一个圆台的上、下底面的半径分别为和，高为，则它的表面积为( )A. B. C. D.2.某校高一年级有名学生，高二年级有名学生，现用分层抽样的方法在这名学生中抽取一个样本已知在高一年级中抽取了名学生，则在高二年级中应抽取的学生人数为( )A. B. C. D.3.已知点，分别是椭圆的左焦点、右顶点，满足，则椭圆的离心率等于( )A. B. C. D.4.由数字，，，，组成没有重复数字的五位数，其中偶数共有( )A. 个B. 个C. 个D. 个5.已知是定义在上的奇函数，且在上单调递增，，则的解集为( )A. B. C. D. 6.世纪的法国数学家卢卡斯以研究斐波那契数列而著名，以他的名字命名的卢卡斯数列满足，若其前项和为，则( )A. B. C. D.7.已知向量，，且，则向量与的夹角等于( )A. B. C. D.8.设函数，则( )A. 函数无极值点B. 为的极小值点C. 为的极大值点D. 为的极小值点二、多选题：本题共3小题，共15分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.午饭时间；同学从教室到食堂的路程与时间的函数关系如图，记时刻的瞬时速度为，区间上的平均速度分别为，则下列判断正确的有( )A.B.C. 对于，存在，使得D. 整个过程小明行走的速度一直在加快10.对于函数，下列说法正确的是( )A. 在上单调递减，在上单调递增B. 当时，C. 若函数有两个零点，则D. 设，若对，，使得成立，则11.已知为坐标原点，焦点为的抛物线过点，过且与垂直的直线与抛物线的另一交点为，则( )A.B.C.D. 直线与抛物线的准线相交于点第II卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

2023年四川省成都市三校高中联考自主招生数学试卷(原卷版)

2023年四川省成都市三校高中联考自主招生数学试卷一､选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某几何体从三个方向看到的平面图形都相同，这个几何体可以是（）A. B. C. D.2.把抛物线23(1)2y x =+-先向右平移1个单位，再向上平移n 个单位后，得到抛物线23y x =，则n 的值是（）A.1 B.2 C.3 D.43.已知点()()()1232,1,,,3,y y y --都在反比例函数21k y x+=的图象上，那么123y y y ､､的大小关系正确的是（）A.123y y y <<B.321y y y <<C.213y y y << D.312y y y <<4.在直角ABC 中，90,3,2C AB AC ∠=== ，则sin A 的值为（）A.53 B. C.23 D.5.如图，半径为R 的O 的弦AC BD =，且AC BD ⊥于E ，连结,AB AD ，若1AD =，则R 的值为（）A.12 B.22C.1D.6.已知点()()111222,,,P x y P x y 为抛物线()240y ax ax c a =-++≠上两点，且12x x <，则下列说法正确的是（）A.若124x x +<，则12y y <B.若124x x +>，则12y y <C.若()1240a x x +->，则12y y >D .若()1240a x x +-<，则12y y >7.如图，点,,A B C 在正方形网格的格点上，则sin BAC ∠等于（）A.3B.5C.510 D.58.如图，四边形ABCD 为O 的内接四边形，110BCD ∠= ，则BOD ∠的度数是（）A.70B.120C.140D.160o9.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，四边形ADEF 是正方形，点,A D 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，点F 在AB 上，点,B E 在反比例函数(0,0)k y x k x=>>的图象上，若正方形ADEF 的面积为4，且BF AF =，则k 的值为（）A.12B.8C.6D.310.如图，在等边三角形ABC 中，4AB =，点D 是边AB 上一点，且1BD =，点P 是边BC 上一动点（D P ､两点均不与端点重合），作60,DPE PE ∠= 交边AC 于点E .若CE a =，当满足条件的点P 有且只有一个时，则a 的值为（）A.2B.2.5C.3D.4二､填空题：本题共9小题，每小题4分，共36分.11.点()3,2m +和点3,3m ⎛⎫ ⎪⎝⎭是同一个反比例函数图象上的点，则m 的值为__________.12.已知二次函数222(0)y x kx k k k =-+->，当1x <时，y 随x 的增大而减小，则k 的最小整数值为__________.13.如图，线段9,AB AC AB =⊥于点,A BD AB ⊥于点,2,4B AC BD ==，点P 为线段AB 上一动点，且以A C P ､､为顶点的三角形与以B D P ､､为顶点的三角形相似，则AP 的长为__________.14.已知二次函数22y x x n =++，当自变量x 的取值在21x -≤≤的范围内时，函数的图象与x 轴有且只有一个公共点，则n 的取值范围是__________.15.若关于x 的方程()221210mx mx -+-=的所有根都是比1小的正实数，则实数m 的取值范围是__________.16.对,x y 定义一种新运算T ，规定：(),2ax by T x y x y +=+（其中,a b 均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：()010,1201a b T b ⨯+⨯==⨯+，已知()()1,12,4,21-=-=T T ，若关于m 的不等式组()()2,544,32T m m T m m P ⎧-≤⎪⎨->⎪⎩恰好有3个整数解，则实数P 的取值范围是________.17.如图，四边形OABC 为矩形，点A 在第二象限，点A 关于OB 的对称点为点D ，点,B D 都在函数(0)y xx =>的图像上，BE x ⊥轴于点E .若DC 的延长线交x 轴于点F ，当矩形OABC 的面积为时，EF OE的值为___________；点F 的坐标为___________.18.如图，面积为4的平行四边形ABCD 中，4AB =，过点B 作CD 边的垂线，垂足为点E ，点E 正好是CD 的中点，点M ､点N 分别是AB AC ､.上的动点，MN 的延长线交线段DE 于点P ，若点P 是唯一使得线段45MPB ∠= 的点，则线段BM 长x 的取值范围是__________.19.如图，平行四边形,,4,60ABCD AB AD AD ADB ∠>== ，点E F ､为对角线BD 上的动点，2DE BF =，连接AE CF ､，则2AE CF +的最小值为__________.三､计算题：本大题共1小题，共12分.20.（1）计算：0(1π)2cos451++-+- .（2）解不等式组：()5231131722x x x x ⎧->+⎪⎨-≤-⎪⎩①②四､解答题：本题共8小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.21.先化简，再求值：2269111a a a a ++⎛⎫+÷ ⎪++⎝⎭，其中33=-a .22.河南某中学准备在感恩节向全校学生征集书画作品，美术田老师从全校随机抽取了四个班级记作A 、B 、C 、D ，对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了如下两幅不完整的统计图2.（1）田老师抽查的四个班级共征集到作品多少件？（2）请把图2的条形统计图补充完整.（3）若全校参展作品中有五名同学获奖，其中有二名男生、三名女生.现在要在其中抽三名同学去参加学校书画座谈会，请用画树状图或列表的方法求恰好抽中一名男生、两名女生的概率.23.东西走向海岸线上有一个码头（图中线段AB ），已知AB 的长为132米，小明在A 处测得海上一艘货船M 在A 的东北方向，小明沿海岸线向东走60米后到达点C ，在C 测得M 在C 处的北偏东15 方向（参考数据：2 1.41,3 1.73,6 2.45)≈≈≈（1）求AM 的长；（结果精确到1米）（2）如图，货船从M 出发，沿着南偏东30 方向行驶，问该货船是否能行驶到码头所在的线段AB 上？请说明理由.24.如图，在平面直角坐标系中，直线3y x b =+经过点()1,0A -，与y 轴正半轴交于B 点，与反比例函数(0)k y x x =>交于点C ，且3,//AC AB BD x =轴交反比例函数(0)k y x x=>于点D .（1）求b k ､的值；（2）如图1，若点E 为线段BC 上一点，设E 的横坐标为m ，过点E 作//EF BD ，交反比例函数(0)k y x x =>于点F .若13EF BD =，求m 的值.（3）如图2，在（2）的条件下，连接FD 并延长，交x 轴于点G ，连接OD ，在直线OD 上方是否存在点H ，使得ODH 与ODG 相似（不含全等）？若存在，请求出点H 的坐标；若不存在，请说明理由.25.在O 中»»AB AC =，顺次连接A B C ､､.（1）如图1，若点M 是 AC 的中点，且//MN AC 交BC 延长线于点N ，求证：MN 为O 的切线；（2）如图2，在（1）的条件下，连接MC ，过点A 作AP BM ⊥于点P ，若,,BP a MP b CM c ===，则a b c ､､有何数量关系？（3）如图3，当60BAC ∠= 时，E 是BC 延长线上一点，D 是线段AB 上一点，且BD CE =，若5,BE AEF = 的周长为9，请求出AEF S 的值？26.甲､乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话：甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费3000元，那么50辆汽车可以全部租出.如果每辆汽车的月租费每增加50元，那么将少租出1辆汽车.另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费200元.乙公司经理：我公司每辆汽车月租费3500元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计1850元.说明：①汽车数量为整数；②月利润=月租车费-月维护费；③两公司月利润差=月利润较高公司的利润-月利润较低公司的利润.在两公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题：（1）当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是__________元；当每个公司租出的汽车为__________辆时，两公司的月利润相等；（2）求两公司月利润差的最大值；（3）甲公司热心公益事业，每租出1辆汽车捐出a 元(0)a >给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，且当两公司租出的汽车均为17辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求a 的取值范围.27.在ABC 中，90,CAB AC AB ∠== .若点D 为AC 上一点，连接BD ，将BD 绕点B 顺时针旋转90 得到BE ，连接CE ，交AB 于点F .（1）如图1，若75,4ABE BD ∠== ，求AC 的长；（2）如图2，点G 为BC 的中点，连接FG 交BD 于点H .若30ABD ∠= ，猜想线段DC 与线段HG 的数量关系，并写出证明过程；（3）如图3，若4,AB D =为AC 的中点，将ABD △绕点B 旋转得A BD '' ，连接A C A D ''､，当22A D A C ''+最小时，求A BC S '△.28.如图，抛物线222y x mx m =-+++与x 轴负半轴交于点A ，与x 轴正半轴交于点B ，与y 轴交于点C ，3OB OA =.（1）求抛物线的解析式；（2）设D 是第四象限内抛物线上的点，连接,:12:5COD AOD AD OD CD S S = ､､.①求点D 的坐标；②连接BD ，若点,P Q 是抛物线上不重合的两个动点，在直线(0)x a a =>上是否存在点,M N （点,,A P M 按顺时针方向排列，点,,A Q N 按顺时针排列），使得APM AQN ≅ 且APM ABD ∽？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.。

黑龙江省牡丹江市2024-2025学年高一上学期第二次三校联考数学试卷(含解析)

牡丹江地区高一上学期第二次联考数学考生注意：1．本试卷满分150分，考试时间120分钟。

2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。

3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。

选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。

4．本卷命题范围：必修一至第4.4对数函数结束。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合，，则（）A ．B ．C ．D ．2．命题“，”的否定是（）A ．，B ．，C ．，D ．，3．函数的定义域为（）A ．B ．C ．D ．4．已知幂函数的图象经过点，则（）A．B ．9CD5．已知，则（）A ．B ．C ．D ．6．经调查发现，一杯热茶的热量会随时间的增大而减少，它们之间的关系为，其中，且．若一杯热茶经过时间，热量由减少到，再经过时间，热量由减少到，则（）{}12A x x =-≤<{}12B x x =≤≤A B = {}12x x -≤<{}12x x -≤≤{}12x x ≤<{}12x x ≤≤0x ∃>250x +≤0x ∃≤250x +>0x ∃>250x +>0x ∀>250x +≤0x ∀>250x +>y =[]1,0-[)1,0-][(),10,-∞-+∞(](),10,-∞-+∞ ()y f x =()4,2()3f =32a b >32a b>2a b >-12a b ->-()()11a a b b +>+M t =00M >*n ∈N 1n >1t 0M 04M 2t 04M08M 12tt =A ．2B ．1C ．D ．7．函数的图象与的图象的交点个数为（）A ．8B ．6C ．4D ．28．已知函数的定义域为，，都有，且，则（）A ．B ．C ．D ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知关于的不等式的解集为，则（）A ．B ．C ．D ．10．若，则下列说法一定正确的是（）A ．B ．C ．D ．11．已知函数，则（）A ．当时，为偶函数B ．既有最大值又有最小值C ．在上单调递增D ．的图象恒过定点三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知函数则______．13．若函数的图象经过第一、二、三象限，则实数的取值范围为______．14．，分别表示函数在区间上的最大值与最小值，则______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）设命题：实数满足，其中，命题：实数满足．1214()2xf x -=()3log g x x =()f x ()0,+∞(),0,x y ∀∈+∞()()1x f f x f y y ⎛⎫=-+⎪⎝⎭122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭()512f =6-7-8-9-x 20ax bx c -+>{}34x x -<<0b >0c >0a c +>12c b=-0.30.3log log a b <ln0a b>()22ln 0a b ->()ln 10a b -+>11ln 0b a ⎛⎫->⎪⎝⎭()22e xaxf x -+=0a =()f x ()f x ()f x (],a -∞()f x ()21,0,3,0,x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩()()2f f -=()()8log 2f x x a =-+a (){}max bx af x =(){}min bx af x =()f x [],a b {}{}34201max min 42yx y x x ==-+=p x ()()20x a x a +-≤0a >q x ()()310x x --≤（1）若，且和都是真命题，求实数的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．16．（15分）已知函数为奇函数，且．（1）求函数的解析式；（2）判断函数在上的单调性并证明．17．（15分）一家货物公司计划租地建造仓库存储货物，经过市场调查了解到下列信息：每月库存货物费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：km ）成正比；每月土地占地费用（单位：万元）与（单位：km ）成反比，当在距离车站5km 处建仓库时，和的费用分别为1万元和8万元．（1）若使每月土地占地费用与每月库存货物费之和不超过7.2万元，则仓库到车站的距离（单位：km ）应该在什么范围？（2）这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使得两项费用之和最小？并求出最小值．18．（17分）已知函数（，）的图象经过点，．（1）求的解析式；（2）证明：曲线是中心对称图形；（3）求关于的不等式的解集．19．（17分）现定义了一种新运算“⊕”：对于任意实数，，都有（且）．（1）当时，计算4⊕4；（2）证明：，都有；（3）设，若在区间上的值域为，求实数的取值范围．2a =p q x q p a ()29mx nx f x x++=()36f =()f x ()f x ()3,+∞1y x 2y 5x +1y 2y x ()21x x b f x a +=+*a ∈N *b ∈N 51,3A ⎛⎫- ⎪⎝⎭41,3B ⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x ()y f x =x ()()()213f x m f m x -+->x y ()log x y a x y a a ⊕=+0a >1a ≠2a =,,x y z ∀∈R ()()x y z x y z ⊕⊕=⊕⊕()22log 32a m x ax a =-+()log 2a f x m m =⊕-[](),0s t s t a <<<[]log ,log a a t s a牡丹江地区高一上学期第二次联考·数学参考答案、提示及评分细则1．C 因为，，所以．2．D 命题“，”的否定是“，”．3．D 由解得或．故选D ．4．D 设，因为幂函数的图象过，则有，所以，即，所以．故选D ．5．C 取，，可知，错误；因为，所以C正确；取，可知D 错误．故选C ．6．A 当时，，当时，，故；当时，，故，所以．故选，A ．7．C 在同一直角坐标系中，作出两个函数与的图象，由图可知，两函数的图象的交点个数为4．故选C ．8．C 当，时，，所以；令得，所以；，，…，．故选C ．9．BCD 因为不等式的解集为，所以，，4是方程{}12A x x =-≤<{}12B x x =≤≤{}12A B x x =≤< 0x ∃>250x +≤0x ∀>250x +>20,0x x x ⎧+≥⎨≠⎩0x >1x ≤-()a f x x =()4,224a=12a =()12f x x =()1233f ==13a =-12b =-A B ()()1210a b a b ---=-+>1a =-2b =-0M M =0t ==04MM =12ln4ln2t n n ===122ln20ln2t n n =-=08M M =13ln8ln2t n n ===2321ln2ln2ln2t n n n =-=122t t =()2xf x -=()3log g x x =1x =1y =()()()1111f f f =-+()11f =2y x =()()21f x f x =-()()2110f f =-=()()22211f f =-=-()()322212f f =-=-()()()985122218f f f ==-=-20ax bx c -+>{}34x x -<<0a <3-20ax bx c -+=的两根，所以，，则，A 错误；，则，D 正确；因为，所以，B 正确；因为，所以，，两式相加得，即，C 正确．故选BCD ．10．AC 因为函数在上单调递减，所以，则，所以，A 正确；由，得，，但与1的大小关系不确定，所以B 错误；由，得，则，所以，C 正确；由，得，所以，但与1的大小关系不确定，所以D 错误．故选AC ．11．ACD 当时，，定义域为，因为，所以为偶函数，A 正确；因为，所以，则有最大值，没有最小值，B 错误；因为在上单调递增，在上单调递减，又在上单调递增，所以在上单调递增，在上单调递减，C 正确；当时，，所以的图象恒过定点，D 正确．故选ACD ．12．0函数则，所以．13．根据对数函数的图象可知，要使函数的图象经过第一、二、三象限，则，即，所以，故实数的取值范围为．14．4因为因为，，所以．15．解：（1）当时，不等式为，解得，即：；由，得，即：，由和都是真命题，得，341b a =-+=3412ca=-⨯=-0b a =<12c a =-12c b =-{}034x x ∈-<<0c >{}1,134x x -∈-<<0a b c ++>0a b c -+>220a c +>0a c +>0.3log y x =()0,+∞0a b >>1a b >ln 0ab>0a b >>22a b >220a b ->0a b >>0a b ->11a b -+>()ln 10a b -+>0a b >>11a b <110b a->0a =()2e xf x -=R ()()()22eex x f x f x ----===()f x ()22222y x ax x a a a =-+=--+≤()2220e e x axa f x -+<=≤()f x 22y x ax =-+(],a -∞[),a +∞e xy =R ()f x (],a -∞[),a +∞0x =()00e 1f ==()f x ()0,1()21,0,3,0,x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩()23f -=()()()230f f f -==(),1-∞()()8log 2f x x a =-+()8log 020a -+>21a -+>1a <a (),1-∞{}(){}44220024,2,min 42min 2240,2,y yyx x y x x x y ==⎧-≥-+=-+-=⎨<⎩{}332max 24244y y =-=-={}21max 00y =={}{}34201max min 424yx y x x ==-+=2a =()()20x a x a +-≤()()240x x +-≤24x -≤≤p 24x -≤≤()()310x x --≤13x ≤≤q 13x ≤≤p q 13x ≤≤所以实数的取值范围是．（2）由，，得，即命题：．由（1）知命题：，因为是的充分不必要条件，因此解得，所以实数的取值范围是．16．解：（1）因为函数为奇函数，定义域为，所以，即恒成立，所以，又，所以，所以．（2）在上单调递增，证明如下：任取，且，则，又，且，所以，，，所以，即，所以在上单调递增．17．解：（1）设，，由题知：当时，和的费用分别为1万元和8万元，即，，解得，，所以，．若使每月土地占地费用与每月库存货物费之和不超过7.2万元，即，解得，所以若使每月土地占地费用与每月库存货物费之和不超过7.2万元，则仓库到车站的距离的取值范围为（单位：km ）．（2）由，x {}13x x ≤≤0a >()()20x a x a +-≤2a x a -≤≤p 2a x a -≤≤q 13x ≤≤q p 1,23,a a -≤⎧⎨≥⎩32a ≥a 32a a ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭()29mx nx f x x ++=()(),00,-∞+∞ ()()f x f x -=-2299mx nx mx nx x x -+++=--0n =()99363m f +==1m =()29x f x x +=()f x ()3,+∞()12,3,x x ∈+∞12x x <()()()()22221212121221211212121299999x x x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x --+++---=-==()12,3,x x ∈+∞12x x <120x x >1290x x ->120x x -<()()120f x f x -<()()12f x f x <()f x ()3,+∞1y mx =25ky x =+5x =1y 2y 51m =810k =15m =80k =()1105y x x =>()28005y x x =>+1807.255x x +≤+1120x ≤≤x 1120x ≤≤1805801175555x y x x x +=+=+-≥-=++当且仅当时，即时，等号成立，所以仓库到车站的距离为15km 时，两项费用之和最小，最小值为7万元．18．（1）解：由题意可知，解得或，（舍去），所以．（2）证明：因为，所以曲线关于点对称，故曲线是中心对称图形．（3）解：由（1）可知，，易知函数在上单调递增，且，所以在上单调递减．由（2）可知，，由，得，即，根据在上单调递减，得，整理得，，即．当时，解得；当时，无解；当时，解得．综上可知，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为．19．（1）解：当时，．（2）证明：因，，所以．（3）解：由新运算可知，58055x x +=+15x =1125,1324,13b a b a --⎧+=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩2a b ==54a =1b =()2221x x f x +=+()()()32122223212121xx x x x x f x f x --++++-=+==+++()y f x =30,2⎛⎫⎪⎝⎭()y f x =()22112121x x x f x +==+++21xy =+R 1y >()f x R ()()()()131f m x f m x --=--()()()213f x m fm x -+->()()()231f x m fm x ->--()()()21f x m f m x ->--()f x R ()21x m m x -<--()210x m x m +--<()()10x x m -+<1m >-1m x -<<1m =-1m <-1x m <<-1m >-{}1x m x -<<1m =-∅1m <-{}1x x m <<-2a =()442244log 22log 325⊕=+==()()()()()log log loglog x ya a a xyz x y za aa x y z a az aa a a a +⊕⊕=+⊕=+=++()()()()()log log log log y za a a yzxx y z a a a x y z x a a a aa a a +⎡⎤⊕⊕=⊕+=+=++⎣⎦()()x y z x y z ⊕⊕=⊕⊕．令，则在上单调递减，由于在上的值域为，所以，则，所以在上单调递增，则即整理得，，所以，将代入，得，同理得，．所以，是函数在上的两个不同的零点，则解得所以，故实数的取值范围为．()()()22log 2log log 2log 2log 2log 32m m a a a a a a f x m m a a m m x ax a =⊕-=+-=+-==-+()2232g x x ax a =-+()g x ()0,a ()f x [],s t []log ,log a a t s ()log log a a t s s t <<01a <<()f x [],s t ()(),,g s t g t s ⎧=⎪⎨=⎪⎩222232,32,s as a t t at a s ⎧-+=⎨-+=⎩()()223s t a s t s t ---=--31s t a +-=-31t a s =--2232s as a t -+=()22312310s a s a a --+-+=()22312310t a t a a --+-+=s ()()2231231h x x a x a a =--+-+()0,a ()()()()22202310,210,310,23142310,h a a h a a a a a a a ⎧=-+>⎪=-+>⎪⎪-⎨<<⎪⎪∆=---+>⎪⎩1,1,21,211,333a a a a a a ⎧<>⎪⎪⎪<⎪⎨⎪<<⎪⎪⎪<-->-+⎩或或132a <<a 13,2⎛⎫- ⎪⎝⎭。

广东省惠州市第一中学、深圳实验学校、东莞中学等三校2024-2025学年高三上学期9月联考数学试题

广东省惠州市第一中学、深圳实验学校、东莞中学等三校2024-2025学年高三上学期9月联考数学试题一、单选题 1．已知集合1{|0},{N |||2}2x M x Q x x x -=≤=∈≤+，则M Q ⋂=（） A ．{1,0,1}- B ．[0,1]C ．(2,1]-D ．{0,1}2．设复数12iiz -=（i 为虚数单位），则在复平面内z 对应的点位于（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．设a ，R b ∈，则“0a b <<”是11a b>的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4．函数()3sin 1x xf x x =+的部分图象大致为（） A ． B ．C ．D ．5．已知对数函数log a y x =（0a >且1a ≠）是减函数，若3m a =，3a n =，log 3a p =，则,,m n p 的大小关系是（） A ．m n p >>B ．n m p >>C ．n p m >>D ．p n m >>6．已知()()sin cos ,tan tan 3x y x y x y -=+-=，则()tan x y -=（） A ．1B ．1-C ．3D ．3-7．已知函数()2ln ,021,0x x x f x x x x >⎧=⎨--+≤⎩函数()()()()21g x f x a f x a =---⎡⎤⎣⎦，则下列结论正确的是（）A ．若1e<-a ，则()g x 恰有2个零点B ．若()g x 恰有2个零点，则a 的取值范围是()1,2,e ∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭C ．若()g x 恰有3个零点，则a 的取值范围是[)0,1D ．若12a ≤<，则()g x 恰有4个零点8．已知函数2()2ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点12,x x ，则12()()f x f x +的取值范围为（）A ．(,-∞B ．(,-∞C ．(,3)-∞-D ．(,3]-∞-二、多选题9．设ω为正实数，已知函数()π4sin 3f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（）A ．当1ω=时，函数()f x 的图象的一条对称轴为5π6x =B ．已知()14f x =-，()24f x =，且12x x -的最小值为π2，则2ω=C ．当2ω=时,函数()f x 的图象向左平移π12个单位长度后，得到函数()4cos2g x x = D ．若()f x 在区间ππ,62⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围是10,3⎛⎤⎥⎝⎦10．已知定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()21f x g x ++-=，则（）A ．()f x 的图象关于点()2,1对称B ．()f x 是以8为周期的周期函数C ．20241(42)2024k f k =-=∑D ．存在函数()h x ，使得对R x ∀∈，都有()()||h g x x =11．已知定义在[)0,+∞上的函数()f x 满足当[]0,2x ∈时，()2,0142,12x x f x x x ≤≤⎧=⎨-<≤⎩，当2x >时，满足()()2R f x mf x m =-∈,(m 为常数)，则下列叙述中正确的为（）A ．当12m =时，()31f = B ．当[4,6]x ∈时，()f x 的解析式为()222(4),452(6),56m x x f x m x x ⎧-≤≤=⎨--<≤⎩ C ．当1m >时，()24x m mf x ≥在[)0,+∞上恒成立D ．当01m <<时，函数()f x 的图象与直线1*2N n y m n -=∈,在[]0,2n 上的交点个数为21n -三、填空题12．已知函数)2()3log f x x =，正数,a b 满足()(31)0f a f b +-=，则3b aab+的最小值为．13．药物的半衰期指的是血液中药物浓度降低到一半所需时间．在特定剂量范围内，t （单位，h ）内药物在血液中浓度由1p （单位，g /mL μ）降低到2p （单位，g /mL μ），则药物的半衰期120.693ln ln tT p p ⋅=-．已知某时刻测得药物甲、乙在血液中浓度分别为36g /mL μ和54g /mL μ，经过一段时间后再次测得两种药物在血液中浓度都为24g /mL μ，设药物甲、乙的半衰期分别为1T ，2T ，则12T T =． 14．若,a b 为正实数，且21()e 2x f x ax bx =--在x ∈R四、解答题15．我们知道，函数y =f x 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y =f x 为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y =f x 的图象关于点(),P a b 成中心对称图形的充要条件是函数()y f x a b =+-为奇函数．已知函数()1212xf x -=+.(1)证明：函数()f x 的图象关于点()1,1对称；(2)判断函数()f x 的单调性（不用证明），若()()2522f a f a -+->，求实数a 的取值范围.16．记ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin 2sin 0c B b C -=． (1)求角B ；(2)设AB 的中点为D ，若CD b =，且1a c -=，求ABC V 的面积．17．已知函数()()log (0xa f x a a a =->且1)a ≠．(1)求函数()f x 的定义域；(2)当2a =时，关于x 的不等式()()2log 21xf x x m -+≤+恒成立，求实数m 的最小值．18．已知函数32()3f x x mx m =-+.(1)当1m =时，求()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程； (2)讨论()f x 的单调性；(3)若()f x 有三个不相等的零点123,,x x x ，且()f x 在点()(),i i x f x 处切线的斜率为()1,2,3i k i =，求m 的取值范围及123111k k k ++的值. 19．定义：如果函数()y f x =与()y g x =的图象上分别存在点M 和点N 关于x 轴对称，则称函数()y f x =和()y g x =具有“伙伴”关系. (1)设函数()(N )2n n f x x n n +=≥∈,，()1g x x =-，①证明()n y f x =和()y g x =在1(,1)2上具有“伙伴”关系；②若()n y f x =和()y g x =在1(,1)2上的关于x 轴的对称点M 和N 的横坐标为n x ，判断并证明数列23,,,n x x x L L 的增减性. (2)若函数()e 1x F x =-和sin ()1(0)m xG x m x=+<在区间(0,π)上具有“伙伴”关系，求m 的取值范围.。

2024-2025学年广西壮族自治区南宁三校高一10月联考数学试卷(含答案)

2024-2025学年广西壮族自治区南宁三校高一10月联考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知命题p:“∀x∈R，x2−2mx+m2−4=0”，则¬p为( )A. ∃x∈R，x2−2mx+m2−4=0B. ∃x∈R，x2−2mx+m2−4≠0C. 不存在x∈R，x2−2mx+m2−4=0D. ∀x∈R，x2−2mx+m2−4≠02.“x=1”是“x2−1=0”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.设集合A={−1,1,3,5}，B={x|x=3k−1,k∈N}，则A∩B=( )A. {−1,5}B. {1,5}C. {−1,3,5}D. {1,3,5}4.已知a>b，则( )A. ab>b2B. a2>abC. a+b2>b D. 1a>1b5.已知命题p:∃x∈R，|x−1|<1，命题q:3+1<22，则( )A. p和q都是真命题B. ¬p和q都是真命题C. p和¬q都是真命题D. ¬p和¬q都是真命题6.已知全集U=R，集合A={x|x<−1或x>4}，B={x|−2≤x≤3}，那么阴影部分表示的集合为( )A. {x|−2≤x<4}B. {x|−1≤x≤3}C. {x|x≤3或x≥4}D. {x|−2≤x≤4}7.已知a>0，b>0且ab=2，则(a+1)(b+2)的最小值为( )A. 4B. 6C. 22D. 88.设P、Q为两个实数集，定义集合P+Q={a+b|a∈P,b∈Q}，若P={0,1,2}，Q={1,2}，则P+Q的真子集个数为( )A. 15B. 16C. 31D. 32二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

广东省湛江市三校联考2025届九年级数学第一学期期末检测试题含解析

广东省湛江市三校联考2025届九年级数学第一学期期末检测试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每题4分，共48分）1．下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC 相似的三角形所在的网格图形是（）A ．B ．C ．D ．2．若B A ∠∠、均为锐角，且11sin cos 22A B ==，，则（）. A ．60A B ∠=∠=︒B ．30A B ==︒∠∠C ．6030A B ∠=︒∠=︒，D ．3060A B ∠=︒∠=︒，3．下列说法：①概率为0的事件不一定是不可能事件；②试验次数越多，某情况发生的频率越接近概率；③事件发生的概率与实验次数无关；④在抛掷图钉的试验中针尖朝上的概率为13，表示3次这样的试验必有1次针尖朝上．其中正确的是（）A ．①②B ．②③C ．①③D ．①④ 4．抛物线y=(x-3)2+4的顶点坐标是（）A ．(-1，2)B ．(-1，-2)C ．(1，-2)D ．(3，4)5．如图所示的几何体，它的俯视图是（）A ．B ．C ．D ．6．阅读理解：已知两点1122,,()(),M x y N x y ，则线段MN 的中点(),K x y 的坐标公式为：122x x x +=，122y y y +=．如图，已知点O 为坐标原点，点()30A -,，O 经过点A ，点B 为弦PA 的中点．若点(),P a b ，则有,a b 满足等式：229a b +=．设(),B m n ，则,m n 满足的等式是（）A ．229m n +=B ．223922m n -⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C ．()()222323m n ++= D ．()222349m n ++= 7．已知关于x 的一元二次方程2x k 1x 10+--=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（）A ．k>-3B ．k ≥-3C ．k ≥0D ．k ≥18．抛物线y ＝（x ﹣2）2+3的顶点坐标是（）A ．(2，3)B ．(﹣2，3)C ．(2，﹣3)D ．(﹣2，﹣3)9．如下图：⊙O 的直径为10，弦AB 的长为8，点P 是弦AB 上的一个动点，使线段OP 的长度为整数的点P 有（）A ．3 个B ．4个C ．5个D ．6个10．已知x 2＋y ＝3，当1≤x ≤2时，y 的最小值是( )A ．－1B ．2C ．2.75D ．311．下列方程是一元二次方程的是( )A ．20x -=B ．2320x x -=C ．30xy +=D ．1230x x-+= 12．已知点()11,A y ，()22,By ，()34,C y ，在二次函数26y x x c =-+的图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（）A ．213y y y <<B ．123y y y <<C ．312y y y <<D ．321y y y << 二、填空题（每题4分，共24分）13．如图，将半径为4cm 的圆折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为_____．14．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，点D 是AB 边上一点（不与A 、B 重合），若过点D 的直线截得的三角形与△ABC 相似，并且平分△ABC 的周长，则AD 的长为____．15．已知直线y=kx （k≠0）经过点（12，﹣5），将直线向上平移m （m ＞0）个单位，若平移后得到的直线与半径为6的⊙O 相交（点O 为坐标原点），则m 的取值范围为_____．16．抛物线y=﹣x 2+bx+c 的部分图象如图所示，若y ＞0，则x 的取值范围是_____．17．如图，正方形EFGH 的四个顶点分别在正方形ABCD 的四条边上，若正方形EFGH 与正方形ABCD 的相似比为5AE BE （AE BE <）的值为_____.18．如图,四边形ABCD中,AB∥CD,∠B=90°,AB=1,CD=2,BC=3,点P为BC边上一动点,若△PAB与△PCD是相似三角形,则BP的长为_____________三、解答题（共78分）19．（8分）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F是AD上的点，且AE=EF=FD．连接BE、BF，使它们分别与AO相交于点G、H．（1）求EG：BG的值；（2）求证：AG=OG；（3）设AG=a，GH=b，HO=c，求a：b：c的值．20．（8分）目前“微信”、“支付宝”、“共享单车”和“网购”给我们的生活带来了很多便利，初二数学小组在校内对“你最认可的四大新生事物”进行调查，随机调查了m人（每名学生必选一种且只能从这四种中选择一种）并将调查结果绘制成如下不完整的统计图．（1）根据图中信息求出m= ，n= ；（2）请你帮助他们将这两个统计图补全；（3）根据抽样调查的结果，请估算全校2000名学生中，大约有多少人最认可“微信”这一新生事物？（4）已知A、B两位同学都最认可“微信”，C同学最认可“支付宝”D同学最认可“网购”从这四名同学中抽取两名同学，请你通过树状图或表格，求出这两位同学最认可的新生事物不一样的概率．21．（8分）解方程:（1）用公式法解方程：3x2﹣x﹣4=1（2）用配方法解方程：x2﹣4x﹣5＝1．22．（10分）知识改变世界，科技改变生活.导航装备的不断更新极大方便了人们的出行.如图，某校组织学生乘车到黑龙滩（用C表示）开展社会实践活动，车到达A地后，发现C地恰好在A地的正北方向，且距离A地13千米，导航显示车辆应沿北偏东60°方向行驶至B地，再沿北偏西37°方向行驶一段距离才能到达C地，求B、C两地的距离.（参考数据：sin53°≈45,cos53°≈35，tan53°≈43)23．（10分）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a☆b＝ab2＋2ab＋a.如：1☆3＝1×32＋2×1×3＋1＝16.(1)求(－2)☆3的值；(2)若132a☆＝8，求a的值．24．（10分）在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，﹣3），点B（﹣1，﹣3），点C（﹣1，﹣1）．（1）画出△ABC；（2）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出A1点的坐标：；（3）以O为位似中心，在第一象限内把△ABC扩大到原来的两倍，得到△A2B2C2，并写出A2点的坐标：．25．（12分）如图，在长为32m，宽为20m的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分)，余下的部分种上草坪，要使道路的面积比草坪面积少4402cm．（1）求草坪面积；（2）求道路的宽．26．先化简，再求值231(1)22xx x--÷++的值，其中2sin453tan30x︒=-︒.参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、B【解析】根据勾股定理，AB==2，BC==，AC==，所以△ABC的三边之比为：2：=1：2：，A、三角形的三边分别为2，=，=3，三边之比为2：：3=：：3，故本选项错误；B、三角形的三边分别为2，4，=2，三边之比为2：4：2=1：2：，故本选项正确；C、三角形的三边分别为2，3，=，三边之比为2：3：，故本选项错误；D、三角形的三边分别为=，=，4，三边之比为：：4，故本选项错误．故选B．2、D【解析】根据三角函数的特殊值解答即可．【详解】解：∵∠B，∠A均为锐角，且sinA=12，cosB=12，∴∠A=30°，∠B=60°．故选D ．【点睛】本题考查特殊角的三角函数值．3、B【分析】根据概率和频率的概念对各选项逐一分析即可.【详解】①概率为0的事件是不可能事件，①错误；②试验次数越多，某情况发生的频率越接近概率，故②正确；③事件发生的概率是客观存在的，是确定的数值，故③正确；④根据概率的概念，④错误.故选：B【点睛】本题考查概率的意义，考查频率与概率的关系，本题是一个概念辨析问题．4、D【解析】根据抛物线解析式y =(x -3)2+4,可直接写出顶点坐标.【详解】y =(x -3)2+4的顶点坐标是(3，4).故选D.【点睛】此题考查了二次函数y =a (x -h )2+k 的性质，对于二次函数y =a (x -h )2+k ，顶点坐标是(h ，k )，对称轴是x =k .5、D【分析】根据俯视图的确定方法，找到从上面看所得到的图形即是所求图形．【详解】从几何体上面看，有三列，第一列2个，第二列1个位于第2层，第三列1个位于第2层．故选：D ．【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．6、D【解析】根据中点坐标公式求得点B 的坐标，然后代入,a b 满足的等式进行求解即可.【详解】∵点()30A -,，点(),P a b ，点(),B m n 为弦PA 的中点， ∴32a m -+=，02b n +=， ∴23,2a m b n =+=，又,a b 满足等式：229a b +=，∴()222349m n ++=，故选D ．【点睛】本题考查了坐标与图形性质，解题的关键是理解中点坐标公式．7、D【解析】根据∆>0且k -1≥0列式求解即可. 【详解】由题意得 (1k -)2-4×1×(-1)>0且k -1≥0，解之得k ≥1.故选D.【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根的判别式∆=b 2﹣4ac 与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键.当∆>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当∆<0时，一元二次方程没有实数根.8、A【分析】根据抛物线的顶点式可直接得到顶点坐标.【详解】解：y ＝（x ﹣2）2+3是抛物线的顶点式方程，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（2，3）．故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数的顶点式与顶点坐标，顶点式y=（x-h ）2+k ，顶点坐标为（h ，k ），对称轴为直线x=h ，难度不大.9、A【分析】当P 为AB 的中点时OP 最短，利用垂径定理得到OP 垂直于AB ，在直角三角形AOP 中，由OA 与AP 的长，利用勾股定理求出OP 的长；当P 与A 或B 重合时，OP 最长，求出OP 的范围，由OP 为整数，即可得到OP 所有可能的长．【详解】当P 为AB 的中点时，由垂径定理得OP ⊥AB ，此时OP 最短，∵AB=8，∴AP=BP=4，在直角三角形AOP 中，OA=5，AP=4，根据勾股定理得OP=3，即OP 的最小值为3；当P 与A 或B 重合时，OP 最长，此时OP=5，∴35OP ≤≤，则使线段OP 的长度为整数的点P 有3，4，5，共3个．故选A考点：1.垂径定理；2.勾股定理10、A【分析】移项后变成求二次函数y=-x 2+2的最小值，再根据二次函数的图像性质进行答题．【详解】解：∵x 2+y=2，∴y=-x 2+2．∴该抛物线的开口方向向下，且其顶点坐标是（0，2）．∵2≤x ≤2，∴离对称轴越远的点所对应的函数值越小，∴当x=2时，y 有最小值为-4+2=-2．故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数的最值．求二次函数的最值有常见的两种方法，第一种是配方法，第二种是直接套用顶点的纵坐标求，熟练掌握二次函数的图像及性质是解决本题的关键．11、B【分析】一元二次方程有三个特点：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为ax 2+bx+c=0（a≠0）的形式，则这个方程就为一元二次方程．【详解】解：选项A ：是一元一次方程，故不符合题意；选项B ：只含一个未知数，并且未知数最高次项是2次，是一元二次方程，故符合题意；选项C ：有两个未知数，不是一元二次方程，故不符合题意；选项D ：不是整式方程，故不符合题意；综上，只有B 正确．故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，属于基础知识的考查，比较简单．12、D【分析】由抛物线开口向上且对称轴为直线x ＝3知离对称轴水平距离越远，函数值越大，据此求解可得．【详解】∵二次函数26y x x c =-+中a ＝1＞0，∴抛物线开口向上，有最小值．∵x ＝−2b a＝3， ∴离对称轴水平距离越远，函数值越大，∵由二次函数图象的对称性可知4−3＜＜3−1，∴321y y y <<．故选：D ．【点睛】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质．二、填空题（每题4分，共24分）13、cm【分析】连接AO ，过O 作OD ⊥AB ，交AB 于点D ，交弦AB 于点E ，根据折叠的性质可知OE =DE ，再根据垂径定理可知AE =BE ，在Rt △AOE 中利用勾股定理即可求出AE 的长，进而可求出AB 的长．【详解】解：如图，连接AO ，过O 作OD ⊥AB ，交AB 于点D ，交弦AB 于点E ，∵AB 折叠后恰好经过圆心，∴OE =DE ，∵⊙O 的半径为4cm ，∴OE =12OD =12×4=2(cm)， ∵OD ⊥AB ， ∴AE =12AB ，在Rt △AOE 中，AE ．∴AB =2AE ．故答案为：．【点睛】本题考查了垂径定理，翻折变换的性质以及勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．14、83、103、54【分析】根据直线平分三角形周长得出线段的和差关系，再通过四种情形下的相似三角形的性质计算线段的长. 【详解】解：设过点D的直线与△ABC的另一个交点为E，∵AC＝4，BC＝3，∴AB=2234+=5设AD=x，BD=5-x，∵DE平分△ABC周长，∴周长的一半为（3+4+5）÷2=6，分四种情况讨论：①△BED∽△BCA，如图1，BE=1+x∴BE BDBC AB=，即：5153x x-+=，解得x=54，②△BDE∽△BCA，如图2，BE=1+x∴BD BEBC AB=，即：5135x x-+=，解得：x=11 4，BE=154>BC，不符合题意.③△ADE∽△ABC，如图3，AE=6-x∴AD AEAB AC=，即654x x-=，解得：x=103，④△BDE∽△BCA，如图4，AE=6-x∴AD AEAC AB=，即：645x x-=，解得：x=83，综上：AD的长为83、103、54.【点睛】本题考查的相似三角形的判定和性质，根据不同的相似模型分情况讨论，根据不同的线段比例关系求解.15、0<m＜【解析】利用待定系数法得出直线解析式，再得出平移后得到的直线，求与坐标轴交点的坐标，转化为直角三角形中的问题，再由直线与圆的位置关系的判定解答．【详解】把点（12，﹣5）代入直线y=kx得，﹣5=12k，∴k=﹣；由y=﹣x平移m（m＞0）个单位后得到的直线l所对应的函数关系式为y=﹣x+m（m＞0），设直线l与x轴、y轴分别交于点A、B，（如图所示）当x=0时，y=m；当y=0时，x=m，∴A（m，0），B（0，m），即OA=m，OB=m，在Rt△OAB中，AB=，过点O作OD⊥AB于D，∵S△ABO=OD•AB=OA•OB，∴OD•=×m×m，∵m＞0，解得OD=m，由直线与圆的位置关系可知m ＜6，解得m＜，故答案为0<m＜.【点睛】本题考查了直线的平移、直线与圆的位置关系等，能用含m的式子表示出原点到平移后的直线的距离是解题的关键.本题有一定的难度，利用数形结合思想进行解答比较直观明了.16、－3＜x＜1【解析】试题分析：根据抛物线的对称轴为x=﹣1，一个交点为（1，0），可推出另一交点为（﹣3，0），结合图象求出y＞0时，x的范围．解：根据抛物线的图象可知：抛物线的对称轴为x=﹣1，已知一个交点为（1，0），根据对称性，则另一交点为（﹣3，0），所以y ＞0时，x 的取值范围是﹣3＜x ＜1．故答案为﹣3＜x ＜1．考点：二次函数的图象．17、12【分析】根据题意，由AAS 证明△AEH ≌△BFE ，则BE=AH ，根据相似比为EH AB =，AB=3k ，设AE=a ，AH=3k a -，在直角三角形AEH 中，利用勾股定理，即可求出a 的值，即可得到答案.【详解】解：在正方形EFGH 与正方形ABCD 中，∠A=∠B=90°，EF=EH ，∠FEH=90°，∴∠AEH+∠AHE=90°，∠BEF+∠AEH=90°，∴∠AHE=∠BEF ，∴△AEH ≌△BFE （AAS ），∴BE=AH ，∵3EH AB =令，AB=3k ，在直角三角形AEH 中，设AE=a ，AH=AB-AE=3k a -，由勾股定理，得222AE AH EH +=，即222(3))a k a +-=，解得：a k =或2a k =，∵AE BE <，∴AE k =，∴2BE k =， ∴122AE k BE k ==；故答案为：12. 【点睛】本题考查了相似四边形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是利用勾股定理求出AE 和BE 的长度.18、1或2【分析】设BP=x ，则CP=BC －BP=3－x ，易证∠B=∠C=90°，根据相似三角形的对应顶点分类讨论：①若△PAB ∽△PDC 时，列出比例式即可求出BP ；②若△PAB ∽△DPC 时，原理同上.【详解】解：设BP=x ，则CP=BC －BP=3－x∵AB ∥CD,∠B=90°, ∴∠C=180°－∠B=90°①若△PAB ∽△PDC 时 ∴AB BP CD CP= 即123x x =- 解得：x=1即此时BP=1；②若△PAB ∽△DPC 时 ∴AB BP PC CD= 即132x x =- 解得：121,2x x ==即此时BP=1或2；综上所述：BP=1或2.故答案为：1或2.【点睛】此题考查的是相似三角形的判定及性质，掌握相似三角形的对应边成比例列方程是解决此题的关键.三、解答题（共78分）19、（1）1：3；（1）见解析；（3）5：3：1．【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AO=12AC ，AD=BC ，AD ∥BC ，从而可得△AEG ∽△CBG ，由AE=EF=FD 可得BC=3AE ，然后根据相似三角形的性质，即可求出EG ：BG 的值；（1）根据相似三角形的性质可得GC=3AG，则有AC=4AG，从而可得AO=12AC=1AG，即可得到GO=AO﹣AG=AG；（3）根据相似三角形的性质可得AG=14AC，AH=25AC，结合AO=12AC，即可得到a=14AC，b=320AC，c=110AC，就可得到a：b：c的值．【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=12AC，AD=BC，AD∥BC，∴△AEG∽△CBG，∴EG AG AE GB GC BC==．∵AE=EF=FD，∴BC=AD=3AE，∴GC=3AG，GB=3EG，∴EG：BG=1：3；（1）∵GC=3AG（已证），∴AC=4AG，∴AO=12AC=1AG，∴GO=AO﹣AG=AG；（3）∵AE=EF=FD，∴BC=AD=3AE，AF=1AE．∵AD∥BC，∴△AFH∽△CBH，∴2233 AH AF AEHC BC AE===，∴AHAC=25，即AH=25AC．∵AC=4AG，∴a=AG=14 AC，b=AH﹣AG=25AC﹣14AC=320AC，c=AO﹣AH=12AC﹣25AC=110AC，∴a：b：c=14：320：110=5：3：1．20、（1）100、35；（2）补图见解析；（3）800人；（4）5 6【解析】分析：（1）由共享单车人数及其百分比求得总人数m，用支付宝人数除以总人数可得其百分比n的值；（2）总人数乘以网购人数的百分比可得其人数，用微信人数除以总人数求得其百分比即可补全两个图形；（3）总人数乘以样本中微信人数所占百分比可得答案；（4）列表得出所有等可能结果，从中找到这两位同学最认可的新生事物不一样的结果数，根据概率公式计算可得．详解：（1）∵被调查的总人数m=10÷10%=100人，∴支付宝的人数所占百分比n%=35100×100%=35%，即n=35，（2）网购人数为100×15%=15人，微信对应的百分比为40100×100%=40%，补全图形如下：（3）估算全校2000名学生中，最认可“微信”这一新生事物的人数为2000×40%=800人；（4）列表如下：共有12种情况，这两位同学最认可的新生事物不一样的有10种，所以这两位同学最认可的新生事物不一样的概率为105 126．点睛：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率以及扇形统计图与条形统计图的知识．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．21、（1）x1=43，x2=-1；（2）x1＝5，x2＝-1.【分析】（1）根据一元二次方程的一般形式得出a、b、c的值，利用公式法x=242b b caa-±-即可得答案；（2）先把常数项移项，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方，即可得完全平方式，直接开平方即可得答案. 【详解】（1）3x2﹣x﹣4=1∵a=3，b=－1，c=－4，∴2(1)(1)43(4)17 x236 --±--⨯⨯-±==⨯∴x1=43，x1=－1.(2)x2﹣4x﹣5＝1x2﹣4x+4＝5+4（x﹣2）2＝9∴x－2＝3或x－2＝－3∴x1＝5，x2＝－1.【点睛】本题考查解一元二次方程，一元二次方程的常用解法有：配方法、直接开平方法、公式法、因式分解法等，熟练掌握并灵活运用适当的方法是解题关键.22、（20-53）千米.【解析】分析：作BD⊥AC，设AD=x，在Rt△ABD中求得BD=3x，在Rt△BCD中求得CD=433x，由AC=AD+CD建立关于x的方程，解之求得x的值，最后由BC=BDcos DBC∠可得答案．详解：过点B作BD⊥ AC，依题可得：∠BAD=60°，∠CBE=37°,AC=13（千米），∵BD ⊥AC ，∴∠ABD=30°，∠CBD=53°, 在Rt △ABD 中，设AD=x ，∴tan ∠ABD=AD BD即tan30°=3AD BD = ∴x ，在Rt △DCB 中，∴tan ∠CBD=CD BD即tan53°=43CD BD =， ∴CD=3∵CD+AD=AC,∴=13，解得，x=3 ∴BD=12-在Rt △BDC 中， ∴cos ∠CBD=tan60°=BD BC , 即：BC=122035BD cos DBC -==-∠(千米), 故B 、C 两地的距离为（.点睛：此题考查了方向角问题．此题难度适中，解此题的关键是将方向角问题转化为解直角三角形的知识，利用三角函数的知识求解．23、 (1)－32；(2) a ＝1.【解析】分析：（1）原式利用题中的新定义化简，计算即可得到结果；（2）已知等式利用题中的新定义化简，即可求出a 的值．详解：（1）（-2）☆3=-2×32+2×（-2）×3+（-2）=-32；（2）132a +☆=2111323222a a a +++⨯+⨯⨯+=8a+8=8，解得：a=1．点睛：此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．24、（1）详见解析；（2）详见解析，A 1（﹣3，3）；（3）详见解析，A 2（6，6）．【解析】（1）根据A 、B 、C 三点坐标画出图形即可；（2）作出A 、B 、C 关于轴的对称点A 1、B 1、C 1即可；（3）延长OC 到C 2，使得OC 2=2OC ，同法作出A 2，B 2即可；【详解】（1）△ABC 如图所示；（2）△A 1B 1C 1如图所示；A 1（﹣3，3），（3）△A 2B 2C 2如图所示；A 2（6，6）．故答案为（﹣3，3），（6，6）．【点睛】本题考查作图﹣位似变换，轴对称变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．25、（1）5402cm ；（2）2m【分析】(1)根据地面的长宽得到地面的面积，再根据草坪面积加道路面积等于地面面积列方程，求解即可得到答案；(2) 设道路的宽为ym ，根据题意列方程求解即可得到答案；【详解】解: （1）设草坪面积为x cm ，得(440)3220x x +-=⨯，解得540x = ，所以，草坪面积为5402cm ．(2) 设道路的宽为ym ，原图经过平移转化为图1．因此，根据题意得(32)(20)540y y --=整理得(2)(50)0y y --=解得2x =或50x =(不合题意，舍去)因此，道路的宽为2m ．【点睛】考查了一元二次方程、一元一次方程的实际应用应用，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式．本题中按原图进行计算比较复杂时，可根据图形的性质适当的进行转换化简，然后根据题意列出方程求解．26、11x +;22【分析】先算括号里面的，再算除法，根据特殊角的三角函数值先得出x ，再代入即可．【详解】原式2231()2x 22x x x x +-=-÷+++ 223122x x x x +--=÷++ 21221x x x x -+=⨯+- 122(1)(1)x x x x x -+=⨯++- 11x =+．当232321x ==时，原式121211x ==+-+．【点睛】本题考查了分式的化简求值以及特殊角的三角函数值，是基础知识要熟练掌握．。

2024年云南省三校高考备考联考卷(一)数学试题及答案

２０２５届云南三校高考备考实用性联考卷(一)数㊀学注意事项:１答题前ꎬ考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名㊁准考证号㊁考场号㊁座位号在答题卡上填写清楚.２每小题选出答案后ꎬ用２Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动ꎬ用橡皮擦干净后ꎬ再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.３考试结束后ꎬ请将本试卷和答题卡一并交回.满分１５０分ꎬ考试用时１２０分钟.一㊁单项选择题(本大题共８小题ꎬ每小题５分ꎬ共４０分.在每小题给出的四个选项中ꎬ只有一项是符合题目要求的)１.已知集合Ａ＝{ｘｘ２－２ｘ－３>０}ꎬＢ＝{ｘ０<ｘ<４}ꎬ则(∁ＲＡ)ɘＢ＝Ａ.(３ꎬ４)Ｂ.(０ꎬ３]Ｃ.(－ɕꎬ３)ɣ(１ꎬ４)Ｄ.(－ɕꎬ－１)２.已知复数ｚ＝２ｉ１＋ｉꎬ则下列说法正确的是Ａ.ｚ＝１－ｉＢ.ｚ＝２Ｃ.ｚ－＝１＋ｉＤ.ｚ的虚部为ｉ㊀图１３.如图１ꎬαꎬβ是九个相同的正方形拼接而成的九宫格中的两个角ꎬ则ｔａｎ(α＋β)＝Ａ.－３Ｂ.３３Ｃ.３Ｄ.１４.假设ＡꎬＢ是两个事件ꎬ且Ｐ(Ａ)>０ꎬＰ(Ｂ)>０ꎬ则下列结论一定成立的是Ａ.Ｐ(ＡＢ)ɤＰ(ＢＡ)Ｂ.Ｐ(ＡＢ)＝Ｐ(Ａ)Ｐ(Ｂ)Ｃ.Ｐ(ＢＡ)＝Ｐ(ＡＢ)Ｄ.Ｐ(ＡＢ)＝Ｐ(Ｂ)Ｐ(ＢＡ)５.已知ａ＝ｌｏｇ５２ꎬｂ＝ｌｏｇ７３ꎬｃ＝１２ꎬ则下列判断正确的是Ａ.ｃ<ｂ<ａＢ.ｂ<ａ<ｃＣ.ａ<ｂ<ｃＤ.ａ<ｃ<ｂ６.在前ｎ项和为Ｓｎ的正项等比数列{ａｎ}中ꎬ设公比为ｑꎬ{ａｎ}满足ａ１ａ４＝８ꎬａ３＝ａ２＋２ꎬｂｎ＝ｌｏｇ２ａｎＳｎ＋１ꎬ则Ａ.ｑ＝１２Ｂ.Ｓｎ＝２ａｎ＋１Ｃ.ｂｎ＝ｎ－１２ｎＤ.数列{ｂｎ}的最大项为ｂ３７.在正方体ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中ꎬＭ是线段Ｃ１Ｄ１(不含端点)上的动点ꎬＮ为ＢＣ的中点ꎬ则Ａ.ＣＭʊ平面Ａ１ＢＤＢ.ＢＤʅＡＭＣ.ＭＮʊ平面Ａ１ＢＤＤ.平面Ａ１ＢＤʅ平面ＡＤ１Ｍ８.已知Ｆ为双曲线Ｃ:ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１(ａ>０ꎬｂ>０)的左焦点ꎬＡ是Ｃ的右顶点ꎬ点Ｐ在过点Ｆ且斜率为２－３的直线上ꎬøＯＡＰ＝２π３且线段ＯＰ的垂直平分线经过点Ａꎬ则Ｃ的离心率为Ａ.３－２Ｂ.３－１Ｃ.３Ｄ.６二㊁多项选择题(本大题共３小题ꎬ每小题６分ꎬ共１８分ꎬ在每小题给出的四个选项中ꎬ有多项是符合题目要求的.全部选对的得６分ꎬ部分选对的得部分分ꎬ有选错的得０分)９.已知函数ｆ(ｘ)＝ｘ３－３ｘ＋２ꎬ则Ａ.ｆ(ｘ)有两个极值点Ｂ.点(０ꎬ２)是曲线ｙ＝ｆ(ｘ)的对称中心Ｃ.ｆ(ｘ)有三个零点Ｄ.直线ｙ＝０是曲线ｙ＝ｆ(ｘ)的一条切线１０.设函数ｆ(ｘ)＝ｓｉｎ(ωｘ＋φ)＋ｃｏｓ(ωｘ＋φ)ω>０ꎬφɤπ２æèçöø÷的最小正周期为πꎬ且过点(０ꎬ２)ꎬ则Ａ.ｆ(ｘ)在０ꎬπ２æèçöø÷单调递增Ｂ.ｆ(ｘ)的一条对称轴为ｘ＝π２Ｃ.ｆ(ｘ)的周期为π２Ｄ.把函数ｆ(ｘ)的图象向左平移π６个长度单位得到函数ｇ(ｘ)的解析式为ｇ(ｘ)＝２ｃｏｓ２ｘ＋π３æèçöø÷１１.已知ａｎ＝２ｎ和ｂｎ＝３ｎ－１ꎬ数列{ａｎ}和{ｂｎ}的公共项由小到大组成数列{Ｃｎ}ꎬ则Ａ.Ｃ３＝３２Ｂ.{Ｃｎ}不是等比数列Ｃ.数列１ｂｎｂｎ＋１{}的前ｎ项和Ｔｎ＝１２－１３ｎ＋２Ｄ.数列ｂｎａｎ{}的前ｎ项和Ｓｎɪ[１ꎬ５)三㊁填空题(本大题共３小题ꎬ每小题５分ꎬ共１５分)１２.若函数ｆ(ｘ)＝(２ｘ＋ａ)ｌｎ３ｘ－１３ｘ＋１为偶函数ꎬ则ａ＝㊀㊀㊀㊀.１３.正四棱锥的顶点都在同一球面上ꎬ若该棱锥的高为２ꎬ底面边长为１ꎬ则该球的表面积为㊀㊀㊀㊀.１４.已知抛物线Ｃ:ｙ２＝４ｘꎬ焦点为Ｆꎬ不过点Ｆ的直线ｌ交抛物线Ｃ于ＡꎬＢ两点ꎬＤ为ＡＢ的中点ꎬＤ到抛物线Ｃ的准线的距离为ｄꎬøＡＦＢ＝１２０ʎꎬ则ＡＢｄ的最小值为㊀㊀㊀㊀㊀.四㊁解答题(共７７分ꎬ解答应写出文字说明ꎬ证明过程或演算步骤)１５.(本小题满分１３分)已知在әＡＢＣ中ꎬ三边ａꎬｂꎬｃ所对的角分别为ＡꎬＢꎬＣꎬａ(ｃｏｓＡ＋ｃｏｓＢｃｏｓＣ)＝３ｂｓｉｎＡｃｏｓＣ.(１)求Ｃꎻ(２)若ａ＋ｂ＝２ｃꎬәＡＢＣ外接圆的直径为４ꎬ求әＡＢＣ的面积.１６.(本小题满分１５分)如图２ꎬ在四棱锥Ｐ－ＡＢＣＤ中ꎬＰＤʅ底面ＡＢＣＤꎬＣＤʊＡＢꎬＡＤ＝ＤＣ＝ＣＢ＝２ꎬＡＢ＝４ꎬＤＰ＝３.(１)证明:ＢＤʅＰＡꎻ㊀图２(２)求平面ＡＢＤ与平面ＰＡＢ的夹角.１７.(本小题满分１５分)已知椭圆Ｃ１:ｘ２２ａ２＋ｙ２２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)左右焦点Ｆ１ꎬＦ２分别为椭圆Ｃ２:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)的左右顶点ꎬ过点Ｆ１且斜率不为零的直线与椭圆Ｃ１相交于ＡꎬＢ两点ꎬ交椭圆Ｃ２于点Ｍꎬ且әＡＢＦ２与әＢＦ１Ｆ２的周长之差为４－２２.(１)求椭圆Ｃ１与椭圆Ｃ２的方程ꎻ(２)若直线ＭＦ２与椭圆Ｃ１相交于ＤꎬＥ两点ꎬ记直线ＭＦ１的斜率为ｋ１ꎬ直线ＭＦ２的斜率为ｋ２ꎬ求证:ｋ１ｋ２为定值.１８.(本小题满分１７分)绿色已成为当今世界主题ꎬ绿色动力已成为时代的驱动力ꎬ绿色能源是未来新能源行业的主导.某汽车公司顺应时代潮流ꎬ最新研发了一款新能源汽车ꎬ并在出厂前对该批次汽车随机抽取１００辆进行了单次最大续航里程(理论上是指新能源汽车所装载的燃料或电池所能够提供给车行驶的最远里程)的测试.现对测试数据进行分析ꎬ得到如图３所示的频率分布直方图.㊀图３(１)估计这１００辆汽车的单次最大续航里程的平均值ｘ－(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)ꎻ(２)若单次最大续航里程在３３０ｋｍ到４３０ｋｍ的汽车为Ａ类汽车 ꎬ以抽样检测的频率作为实际情况的概率ꎬ从该汽车公司最新研发的新能源汽车中随机抽取１０辆ꎬ设这１０辆汽车中为Ａ类汽车的数量为Ｙꎬ求Ｅ(Ｙ).(３)某汽车销售公司为推广此款新能源汽车ꎬ现面向意向客户推出玩游戏ꎬ送大奖活动ꎬ客户可根据抛掷硬币的结果ꎬ操控微型遥控车在方格图上行进ꎬ若遥控车最终停在胜利大本营 ꎬ则可获得购车优惠券.已知硬币出现正㊁反面的概率都是１２ꎬ方格图上标有第０格㊁第１格㊁第２格㊁㊁第３０格.遥控车开始在第０格ꎬ客户每掷一次硬币ꎬ遥控车向前移动一次ꎬ若掷出正面ꎬ遥控车向前移动一格(从ｋ到ｋ＋１)ꎬ若掷出反面ꎬ遥控车向前移动两格(从ｋ到ｋ＋２)ꎬ直到遥控车移到第２９格(胜利大本营)或第３０格(失败大本营)时ꎬ游戏结束.已知遥控车在第０格的概率为Ｐ０＝１ꎬ设遥控车移到第ｎ格的概率为Ｐｎ(ｎ＝１ꎬ２ꎬ ꎬ３０)ꎬ试证明:数列{Ｐｎ－Ｐｎ－１}(ｎ＝１ꎬ２ꎬ ꎬ２９)是等比数列ꎬ并解释此方案能否成功吸引顾客购买该款新能源汽车?１９.(本小题满分１７分)(１)证明:当０<ｘ<１时ꎬｘ－ｘ２<ｓｉｎｘ<ｘꎻ(２)已知函数ｆ(ｘ)＝ｃｏｓａｘ－ｌｎ(１－ｘ２)ꎬ若ｘ＝０是ｆ(ｘ)的极小值点ꎬ求ａ的取值范围.数学参考答案·第1页（共11页）2025届云南三校高考备考实用性联考卷（一）数学参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B B D A D C D C 【解析】1．2230x x -->，(3)(1)0x x -+>，得x >3或x <−1，∴{|31}A x x x =><-或，{|04}B x x =<<， ∴{|13}A x x =-R ≤≤ ，∴(03]A B =R ，，故选B.3．由题意及图得，1tan 3α=，1tan 2β=，∴11tan tan 23tan()11tan tan 11123αβαβαβ+++==⨯=-+-，∵π02α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，π02β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，∴π4αβ+=，∴tan()1αβ+=，故选D.5．55771log 2log log log 32a b =<==<=，即a c b <<，故选D. 6．A ．∵148a a =，322a a =+，23223332824422a a a a a a a a ===-⎧⎧⎧⇒⎨⎨⎨==--=⎩⎩⎩或（舍去）∴，∴322.aq a ==11a =∴； B. 1112n n n a a q --== ，112112n n n a a q a S q --==-- ，∴12n n S a -=-，∴21n n S a =-；C ．1221log log 21112222n n n n n n n a n n b S a ----====+ ；D ．1122n nn nb b ++--=，∵12345b b b b b <=>>…， ∴2314b b ==，∴23{}n b b b 的最大项为和，故选C. 7．如图1，以D 为原点，分别以DA ，DC ，DD 1，所在直线为x 轴，y轴、z 轴建立空间直角坐标系. 设2AB =，则B (2，2，0)，A 1 (2，0，2)，A (2，0，0)，C (0，2，0)，N (1，2，0)，设M (0，y ，2)(02y <<)，则(220)DB = ，，，1(202)DA =，，，设平面1A BD 的法向量为图1数学参考答案·第2页（共11页）111()n x y z = ，，，则11111220220n DA x z n DB x y ⎧=+=⎪⎨=+=⎪⎩ ，可取11x =，得(111)n =-- ，，， (022)CM y =- ，，∵，∴ (111)(022)0n CM y y =---=-≠ ，，，，，故A 不正确； (22)AM y =- ，，∵，∴(220)(22)240DB AM y y =-=-≠，，，，，故B 不正确；(122)MN y =-- ，，∵，∴(111)(122)10n MN y y =----=+≠，，，，，故C 不正确；∵11A D AD ⊥，111A D C D ⊥，111 AD C D D = ，1AD ，111C D AD M ⊂平面，∴11 A D AD M ⊥平面.又11A D A BD ⊂平面，∴平面11A BD AD M ⊥平面，故D 正确，故选D.8．因为2π3OAP ∠=且OP 的垂直平分线经过点A ，所以OPA △为等腰三角形且OA PA a ==，所以在三角形FPA △中tan tan(60)1FPA PFA ∠=-∠== ，∴45FPA ∠= ，从而在三角形FPA △由正弦定理可知：sin sin AF AP FPA PFA =∠∠，即：sin sin a c aFPA PFA+=∠∠，24=，解得e =，故选C ．二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）题号 9 10 11 答案 ABD BD AD【解析】9．由题，2()33f x x '=-，令()0f x '>得1x >或1x <-，令()0f x '<得11x -<<，所以()f x 在(1)-∞-，，(1)+∞，上单调递增，(11)-，上单调递减，所以1x =±是极值点，故A 正确；令3()3h x x x =-，该函数的定义域为R ，33()()(3)3()h x x x x x h x -=---=-+=-，则()h x 是奇函数，(00)，是()h x 的对称中心，将()h x 的图象向上移动两个单位得到()f x 的图象，所以点(02)，是曲线()y f x =的对称中心，故B 正确；因为(1)40f -=>，(1)0f =，(2)0f -=，所以，函数()f x 在(1)-∞-，上有一个零点，当1x >时，()(1)0x f f >=，即函数()f x 在数学参考答案·第3页（共11页）(1+)∞，上无零点，综上所述，函数()f x 有两个零点，故C 错误；令2()330f x x '=-=，可得1x =±，又(1)0(1)4f f =-=，，当切点为(10)，时，切线方程为0y =，当切点为(14)-，时，切线方程为4y =，故D 正确，故选ABD.10．根据辅助角公式得πsin()cos()n 4)i (x f x x x ωϕωϕωϕ⎛⎫=+++=++ ⎪⎝⎭．∵最小正周期为π，0ω>， 2π2π2πT ω===∴，即π()24f x x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．∵函数()f x过点(0，π||2ϕ≤，(0)πin 4f ϕ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭∴，则ππ2π42k k ϕ+=+∈Z ，．当0k =时π4ϕ=．即π()222f x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭．令2(2ππ2π)x k k k ∈+∈Z ，，，则πππ2x k k ⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭，，k ∈Z ，当0k =时，()f x 在π02⎛⎫⎪⎝⎭，单调递减，故A 错误；令2πx k k =∈Z ，，则π2k x k =∈Z ，当1k =时，()f x 的一条对称轴为π2x =，故B 正确；因为()2f x x =为偶函数，所以(||)2|)2f x x x ==，则(||)f x 的周期为πk k ∈Z ，且0k ≠，故C 错误；函数()f x 的图象向左平移π6个长度单位得到函数()g x 的解析式为ππ()2263g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故D 正确，故选BD ．11．∵2n n a =，31n b n =-，∴C n 是以2为首领，4为公比的等比数列，∴12n n C q -==1222124222n n n ---== ，∴61532232C -===， A 正确B 不正确；311(31)22n n n n b n n a -==- ；35552n nn S +=-<，而1 1n S S =≥，∴15n S <≤，D 正确；C. 1111(31)(32)3n n b b n n +==-+ (32)(31)(31)(32)n n n n +----+11133132n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭，∴13n T =111111125588113132n n ⎛⎫-+-+-+- ⎪-+⎝⎭1…1113232n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭11696n =-+，∴C 选项错误，正确选项为AD ，故选AD.数学参考答案·第4页（共11页）三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）【解析】12．因为()f x 为偶函数，则1(1)(1)(2)ln (2)ln 22f f a a =-+=-+，∴，解得0a =，当0a =时，31ln31()2f x x x x =-+，(31)(31)0x x -+>，解得13x >或13x <-，则其定义域为1|3x x ⎧>⎨⎩或13x ⎫<-⎬⎭，关于原点对称.13()13131ln ln ln 3()13()(2)(2)(1)132x x f x x x x x x x x ---+-⎛⎫== ⎪-+-+⎝--⎭=-- 312ln31()x x x f x -==+，故此时()f x 为偶函数. 13．正四棱锥P −ABCD 的外接球的球心在它的高PO1上，记为O ，如图2，则 PO =AO =R ， 12PO =，12OO R =-，在Rt △AOO 1中，1 2AO =，由勾股定理：222 (2)2R R ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，得98R =，所以球的表面积 281π4π16S R ==. 14．过点AB ，作抛物线C ：24y x =的准线的垂线，垂足为M N ，，设AM λ=，BNμ=，则由梯形的中位线可知2d λμ+=，在AFB △中由余弦定理可知：||AB =所以||AB d =又因||AB d====，当且仅当λμ=时，等号成立，所以||AB d 图2数学参考答案·第5页（共11页）四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（本小题满分13分）解：（1）因为(cos cos cos )sin cos a A B C A C +=，由正弦定理得，sin (cos cos cos )sin cos A A B C B A C +=，因为(0π)sin 0A A ∈≠，，，所以cos cos cos cos A B C B C +，……………………………………（2分）因为cos cos()A B C =-+sin sin cos cos B C B C =-．……………………………………（4分）所以sin sin cos B C B C =，又sin 0B ≠，则tan C =，因为(0π)C ∈，，所以π3C =． ……………………………………（6分）（2）由正弦定理，4sin cC=，则4sin c C ==，………………………………（8分）由余弦定理：22222121cos 222a b c a b C ab ab +-+-===，∴2()212a b ab ab +--=， 2()123a b ab +-=，∴a b +=∵， ………………………………（11分）12ab =，∴1sin 2ABC S ab C ==故△的面积 ………………………………（13分）16．（本小题满分15分）（1）证明：在四边形ABCD 中作DE ⊥AB 于E ，CF ⊥AB 于F ，如图3， ∵CD AB ，2CD AD CB ===，4AB =， ∴四边形ABCD 为等腰梯形，1AE BF ==∴，故 DE BD ==.……………………（2分）数学参考答案·第6页（共11页）∴222AD BD AB +=， ∴AD BD ⊥.又∵PD ⊥平面ABCD ，BD ABCD ⊂平面， ∴PD BD ⊥，又∵PD AD D = , ∴BD ⊥平面P AD. ……………………（5分）又 PA PAD ⊂平面， ∴BD PA ⊥．……………………………（7分）（2）解：如图4，以D 为原点建立空间直角坐标系. 由（1）可得BD =，则A (2，0，0)，B (0，，0)， P (0，0)，则(20AP =- ，，(0BP =-，， ……………………………（9分）设平面P AB 的法向量()n x y z =，，，则有20n AP x n BP ⎧=-+=⎪⎨=-+=⎪⎩，可取12)n = ，， …………………（12分）又平面ABD 的一个法向量 (001)m = ，，，……………………（13分）∴||cos 2||||m n m n m n 〈〉==，，…………………（14分）即平面ABD 与平面P AB所成夹角的余弦值为2，所以，平面ABD 与平面P AB 的夹角为π4. …………………（15分）17．（本小题满分15分）（1）解：设椭圆1C 的半焦距为c ，由椭圆的定义可知2ABF △的周长为，12BF F △的周长为2c +，又2ABF △与12BF F △的周长之差为4-……………………………………（2分）所以24c -=-，图3图4数学参考答案·第7页（共11页）又因椭圆1C 左右焦点12F F ，分别为椭圆2C 的左右顶点.c a =∴，……………………………………（4分）联立解得，a =从而有c a == ……………………………………（5分）所以222222a b c -==，解得21b =，所以所求椭圆1C 的方程为22142x y +=，椭圆2C 的方程为2212x y +=．……………………………………（6分）（2）①证明：由（1）可知椭圆1C 的方程为22142x y +=，12(0)0)F F ，，设000()(0)M x y y ≠，，则有220012x y +=，于是12kk 2020122y x ===--.……………………………………（10分）②解：因为1212k k =-，所以21k =-，所以直线DE的方程为：y x =-联立y x =-与22142x y +=，消去y得：230x -=,……………………………………（11分）则有：1203x x ==，所以(033D E ⎛- ⎝⎭，，……………………………………（14分）83DE ==． ……………………………………（15分）附注：本题也可由椭圆的焦半径公式可知：122()DE a e x x =-+22224412k k =-+．也可以利用弦长公式直接求. 18．（本小题满分17分）解：（1）x =0.002×50×205+0.004×50×255+0.009×50×305+0.004×50×355+0.001×50×405 =300(km)．……………………………………（3分）数学参考答案·第8页（共11页）（2）由题意可知任取一辆汽车为“A 类汽车”的概率为(0.0040.001)500.25+⨯=，……………………………………（4分）经分析Y ~(100.25)B ，，……………………………………（6分） ()100.25 2.5E Y =⨯=．……………………………………（8分）（3）第一次掷硬币出现正面，遥控车移到第一格，其概率为12，即112P =. 遥控车移到第(229)n n ≤≤格的情况是下面两种，而且只有两种： ①遥控车先到第n −2格，又掷出反面，其概率为212n P -；②遥控车先到第n −1格，又掷出正面，其概率为112n P -.所以211122n n n P P P --=+， ……………………………………（10分）所以1121()2n n n n P P P P ----=--，……………………………………（11分）因为1012P P -=-，所以129n ≤≤时，数列{P n −P n −1}是等比数列，首项为1012P P -=-，公比为12-的等比数列.所以1112P -=-，22112P P ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，33212P P ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， (112)n n P P -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.所以112100()()()n n n n n P P P P P P P P ---=-+-+⋯+-+=1111...1222n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111212113212n n ++⎛⎫-- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭==--⎢⎥ ⎪⎛⎫⎝⎭⎢⎥⎣⎦+ ⎪⎝⎭， 01P =也满足上式，故1211(0129)32n n P n +⎡⎤⎛⎫=--=⋯⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，，，，……………………………………（14分）所以获胜的概率302921132P ⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，数学参考答案·第9页（共11页）失败的概率2929302811211111223232P P ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫==⨯--=--⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，……………………………………（16分）所以30292829302111111110323232P P ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-----=-->⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以获胜的概率大.所以此方案能成功吸引顾客购买该款新能源汽车．……………………………………（17分）19．（本小题满分17分）（1）证明：构建()sin (01)F x x x x =-∈，，， ……………………………………（1分）则()1cos 0F x x '=->对(01)x ∀∈，恒成立， ……………………………………（2分）则()F x 在(01)，上单调递增，可得()(0)0F x F >=，所以sin (01)x x x >∈，，； ……………………………………（3分）构建22()sin ()sin (01)G x x x x x x x x =--=-+∈，，，………………………………（4分）则()21cos (01)G x x x x '=-+∈，，， ……………………………………（5分）构建()()(01)g x G x x '=∈，，，则()2sin 0g x x '=->对(01)x ∀∈，恒成立，……………………………………（6分）则()g x 在(01)，上单调递增，可得()(0)0g x g >=，即()0G x '>对(01)x ∀∈，恒成立， ……………………………………（7分）则()G x 在(01)，上单调递增，可得()(0)0G x G >=，所以2sin (01)x x x x >-∈，，；综上所述：sin x x x x 2-<<． ……………………………………（8分）（2）解：令210x ->，解得11x -<<，即函数()f x 的定义域为(11)-，，若0a =，则21ln(1)(11)()f x x x =--∈-，，，令21u x =-，因为1ln y u =-在定义域内单调递减，21u x =-在(10)-，上单调递增，在(01)，上单调递减，则21ln(1)()x x f =--在(10)-，上单调递减，在(01)，上单调递增，数学参考答案·第10页（共11页）故0x =是()f x 的极小值点，符合题意. ……………………………………（10分）当0a ≠时，令||0b a =>，因为222()cos ln(1)cos(||)ln(1)cos ln(1)x ax x a x x bx f x =--=--=--，且22()cos()ln[1()]cos ln(1)()x f f x bx x bx x -=----=--=，所以函数()f x 在定义域内为偶函数，…………………………………………………………（11分）由题意可得：22()sin (11)1xf x b bx x x '=--∈--，，（i ）当202b <≤时，取1min 1m b ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，，(0)x m ∈，，则(01)bx ∈，，由（1）可得222222222(2)()sin()111x x x b x b f x b bx b x x x x +-'=-->--=---，且222202010b x b x >-->，≥，，所以2222(2)()01x b x b f x x +-'>>-， ……………………………………（13分）即当(0)(01)x m ∈⊆，，时，()0f x '>，则()f x 在(0)m ，上单调递增，结合偶函数的对称性可知：()f x 在(0)m -，上单调递减，所以0x =是()f x 的极小值点，符合题意； ……………………………………（14分）（ⅱ）当22b >时，取10(01)x b ⎛⎫∈⊆ ⎪⎝⎭，，，则(01)bx ∈，，由（1）可得2233223222222()sin ()(2)111x x x f x b bx b bx b x b x b x b x b x x x'=--<---=-+++----，构建3322321()20h x b x b x b x b x b ⎛⎫=-+++-∈ ⎪⎝⎭，，， …………………………………（15分）则32231()320h x b x b x b x b ⎛⎫'=-++∈ ⎪⎝⎭，，，且331(0)00h b h b b b ⎛⎫''=>=-> ⎪⎝⎭，，则()0h x '>对10x b ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，恒成立，可知()h x 在10b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增，且21(0)2020h b h b ⎛⎫=-<=> ⎪⎝⎭，，数学参考答案·第11页（共11页）所以()h x 在10b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，内存在唯一的零点10n b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，当(0)x n ∈，时，则()0h x <，且2010x x >->，，则3322322()(2)01xf x b x b x b x b x'<-+++-<-，……………………………………（16分）即当(0)(01)x n ∈⊆，，时，()0f x '<，则()f x 在(0)n ，上单调递减，结合偶函数的对称性可知：()f x 在(0)n -，上单调递增，所以0x =是()f x 的极大值点，不符合题意；综上所述：22b ≤，即22a ≤，解得a ，故a的取值范围为a .……………………………………（17分）。

云南省三校2025届高三上学期高考备考实用性联考卷(五)数学试题

云南省三校2025届高三上学期高考备考实用性联考卷（五）数学试题一、单选题1．已知集合(){}2|log 22A x x =+<，{}2,1,0,1,2B =--，A B = （）A ．{}2,0,1-B ．{}1,0,1-C ．{}1,0,1,2-D ．{}2,1,0,1--2．若复数1i1iz -=+，则1z +=（）AB ．5C D ．23．已知向量()0,1a = ，(),1b x = ，且()2b a b -⊥r r r ，则向量a与b 的夹角为（）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π24．已知π02βα<<<，()4sin 5αβ-=，tan tan 2αβ-=，则tan tan αβ=（）A ．12-B ．12C ．13D ．535．已知圆锥PO 的母线长为4，O 为底面圆心，PA ，PB 为圆锥的母线，π3AOB ∠=，若PAB）A ．3B C ．2πD ．6．某市人民政府新招聘进6名应届大学毕业生，分配给甲、乙、丙、丁四个部门，每人只去一个部门，每个部门必须有人，若甲部门必须安排2人，则不同的方案数为（）A ．540B ．1080C ．520D ．3607．已知M 是双曲线()222210,0x y a b a b -=>>左支上的一个点，1F ，2F 是双曲线的焦点，12MF MF ⊥，12MF F △的面积为8，且1221sin :sin :sin 902MF F MF F ∠∠︒=，则双曲线的离心率为（）A BC D8．我们知道，函数()y f x =的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数()y f x =为奇函数．有同学发现可以将其推广为：函数()y f x =的图象关于点(),P a b 成中心对称图形的充要条件是函数()y f x a b =+-为奇函数.已知函数()11y f x =+-是奇函数，()422xg x =+，则下列结论不正确的是（）A ．函数()y f x =的图象关于点()1,1对称B ．函数()11y g x =+-是奇函数C ．函数()g x 的导函数()g x '关于直线1x =对称D ．若函数()g x 的图象与函数()f x 的图象有2024个交点，记为()(),1,2,,2024i i i A x y i = ，则()202412024i i i x y =+=∑二、多选题9．设正实数m ，n 满足2m n +=，则（）A ．()1m n +的最大值为94B C ．111m n ++的最小值为43D ．22m n +的最小值为210．已知()()π2sin 0,2f x wx w ϕϕ⎛⎫=+>< ⎝⎭，其中相邻的两个极值点的距离为π3，且()f x 经过点()0,1-，则（）A ．3w =B ．π6ϕ=-C ．π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的值域为[]1,1-D ．[]0,2πx ∈时，()f x 与()sin g x x =的交点数为4个11．已知动点P 到定点()4,0F 的距离有它到直线25:4l x =距离的比是常数45，P 点的轨迹称为曲线C ，直线=k ≠0与曲线C 交于A 、B 两点．则下列说法正确的是（）A ．曲线C 的方程221259x y +=B ．10AF BF +=C ．M 为曲线C 上不同于A 、B 的一点，且直线MA 、MB 的斜率分别为1k ，2k ，则12925k k =D ．O 为坐标原点，54PO PF +的最大值为654三、填空题12．已知{}n a 是公比为2的等比数列，若1479750a a a a ++++= ，则36999a a a a ++++=．13．已知圆()22:29C x y +-=的圆心C 与抛物线()220x py p =>的焦点重合，两曲线在第一象限的交点为A ，则原点到直线AC 的距离为．14．费马点是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点．当三角形三个内角都小于2π3时，费马点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为2π3．如图，已知ABC V 和ADE V 都是正三角形，4AB =，2AE =，且B ，A ，D 三点共线，设点P 是ACE △内的任意一点，则PA PC PE ++的最小值为．四、解答题15．已知数列{}n a 的前n 项和为S ，且有21722n S n n =+，数列满足()2120n n n b b b n *++-+=∈N ，且311b =，前11项和为220．(1)求数列{}n a ，的通项公式；(2)设()()32721n n n c a b =--，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求证：12n T <．16．如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，36AD DE ==，24BC BE ==，且BE AD ⊥，现将ABE 沿BE 翻折至PBE △，使得PD =(1)证明：PD ⊥平面BCDE ；(2)求平面PCD 与平面PBE 所成角的正弦值．17．如图，已知()Q ，点P在圆(22:16M x y+=上运动，线段PQ 的垂直平分线交线段PM 于点N ，设动点N 的轨迹为曲线C．(1)求C 的方程；(2)过点0,4且斜率为k 的直线l 与曲线C 交于D ，E 两点，求ODE 面积的最大值（O 为原点）．18．设()1ln f x x x =--．(1)求()f x 在11,e ef ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程；(2)证明：0x >时，()0f x ≥；(3)设t 为整数，且对于任意正整数n 都有23111111112222n t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅+< ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，求t 的最小值．19．有一个摸奖游戏，在一个口袋中装有3个红球和3个白球，这些球除颜色外完全相同，游戏规定：每位参与者进行n 次摸球，每次从袋中一次性摸出两个球，如果每次摸出的两个球颜色相同即为中奖，颜色不同即为不中奖，有两种摸球方式：一是每次摸球后将球均不放回袋中，直接进行下一次摸球，中奖次数记为X ；二是每次摸球后将球均放回袋中，再进行下一次摸球，中奖次数记为Y .(1)求第一次摸球就中奖的概率；(2)若2n =，求X 的分布列和数学期望；(3)若10n =，函数()42054115x x f x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩，，，，随机变量Y Z f n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求Z 的数学期望.。

2025届福建省福州市三校联考高三第三次模拟考试数学试卷含解析

2025届福建省福州市三校联考高三第三次模拟考试数学试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{|A x y ==，2{|}10B x x x =-+≤，则A B =( ) A ．[12]-， B．[-C．(-D．⎡⎣2．若关于x 的不等式1127kxx ⎛⎫≤⎪⎝⎭有正整数解，则实数k 的最小值为（） A ．9B ．8C ．7D ．63．将函数()2sin(3)(0)f x x ϕϕπ=+<<图象向右平移8π个单位长度后，得到函数的图象关于直线3x π=对称，则函数()f x 在,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域是（） A ．[1,2]-B．[C．⎡⎤⎢⎥⎣⎦D．[4．已知点()11,A x y ，()22,B x y 是函数()2f x bx =的函数图像上的任意两点，且()y f x =在点1212,22x x x x f ⎛++⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线与直线AB 平行，则( ) A ．0a =，b 为任意非零实数 B ．0b =，a 为任意非零实数 C ．a 、b 均为任意实数D ．不存在满足条件的实数a ，b5．已知集合{2,3,4}A =，集合{},2B m m =+，若{2}A B =，则m =（）A ．0B ．1C ．2D ．46．已知1F 、2F 分别是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左、右焦点，过2F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线，分别交两条渐近线于点A 、B ，过点B 作x 轴的垂线，垂足恰为1F ，则双曲线C 的离心率为（） A ．2BC．D7．已知不等式组y x y x x a ≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为9，若点，则的最大值为（）A ．3B ．6C ．9D ．128．已知命题p ：,x R ∃∈使1sin 2x x <成立．则p ⌝为（） A ．,x R ∀∈1sin 2x x ≥均成立 B ．,x R ∀∈1sin 2x x <均成立 C ．,x R ∃∈使1sin 2x x ≥成立D ．,x R ∃∈使1sin 2x x 成立 9．已知直线2:0l x m y +=与直线:0n x y m ++=则“//l n ”是“1m =”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．已知数列{}n a 的通项公式为22n a n =+，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵.记n b 为数阵从左至右的n 列，从上到下的n 行共2n 个数的和，则数列n n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项和为（）A ．10112020B ．20192020C ．20202021D ．1010202111．已知向量(,1),(3,2)a m b m ==-，则3m =是//a b 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充要条件12．如图所示，直三棱柱的高为4，底面边长分别是5，12，13，当球与上底面三条棱都相切时球心到下底面距离为8，则球的体积为 ( )A ．B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2024-2025学年广东省三校高三上学期期中联考数学试题及答案

2024—2025学年第一学期期中三校联考高三数学本试卷共2页，19小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用 2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑:如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上:如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案:不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项、是符合题目要求的.1．已知集合{}*250,{12}A x x x B x x =∈-≤=∈-<N Z∣∣，则A B = （）A ．{}0,1,2,3,4,5B ．{}0,1,2C ．{}1,2D ．{}1,2,3,4,52．已知复数z 满足84i z z +=+，则z =（）A ．34i+B ．34i-C ．34i -+D ．34i--3．已知正方形ABCD 的边长为1，设点M 、N 满足AM AB λ= ，AN AD μ= .若1CM CN ⋅=，则222µλ+的最小值为（）A ．2B ．1C ．23D ．344．若()3sin cos 4(,0,)απααπ+-=∈，则sin 4a π⎛⎫ ⎪⎝⎭+的值为（）A ．78B ．C ．78-D 5．如图所示的是古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着的一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等.相传这个图形表达了阿基米德最引以为荣的发现.设圆柱的体积与球的体积之比为m ，圆柱的表面积与球的表面积之比为n ，则621n x mx ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项是（）A ．15-B ．20-C ．15D ．206．将函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移(0)m m >个单位长度，得到的图象对应的函数()y f x =在区间5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，则m 的最小值为（）A ．4πB ．3πC ．2πD ．34π7．在等差数列{}n a 中，n S 是{}n a 的前n 项和，若180S <，190S >，则有限项数列181912121819,,,,S S S S a a a a ⋅⋅⋅中，最大项和最小项分别为（）A ．918918,S S a aB ．910910,S S a a C ．19101910,S S a a D ．19181918,S S a a 8．已知函数()()0y f x x =≠满足()()()1f xy f x f y =+-，当1x >时，()1f x <，则（）A ．()f x 为奇函数B ．若()211f x +>，则10x -<<C ．若()122f =，则()10244f =-D ．若122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则1101024f ⎛⎫= ⎪⎝⎭二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9．已知在某校高三年级的一次数学测验中，1000名学生的成绩服从正态分布(100,100)N ，其中90分为及格线，120分为优秀线，则对于该校学生成绩，下列说法正确的有(参考数据：①()0.6827P X μσμσ-<≤+=；②(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=③(33)0.9973.)P X μσμσ-<≤+=（）A ．标准差为100 B ．及格率超过86%C ．得分在(]70,130内的人数约为997D ．低于80分的人数和达到优秀线的人数大致相等10．已知函数()()()20)f x a x a x b a =--≠（的极大值点为x a =，则（）A ．22a b <B ．2a ab <C ．若12()()0f x f x ''==，则12+0x x >D ．若12()()0f x f x ''==，则120x x >11．已知平面内两定点()0,2M -和()0,2N 与一动点(),P x y ，满足()4PN PM m m ⋅=≥，若动点P 的轨迹为曲线E ，则下列关于曲线E 的说法正确的是（）A ．存在m ，使曲线E 过坐标原点；B ．曲线E 关于y 轴对称，但不关于x 轴对称；C ．若,,P M N三点不共线，则PMN 周长最小值为4；D ．曲线E 上与,M N 不共线的任意一点G 关于原点对称的点为H ，则四边形GMHN 的面积不大于m .三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线C 上一点．若当2PF 与x 轴垂直时，有1245PF F ∠=︒，则双曲线C 的离心率为．13．若曲线2y ax =与ln y x =有一条斜率为2的公切线，则a =.14．在n 维空间中（2n ≥，n ∈N ），以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为n 维坐标()12,,,n a a a ，其中{}()0,11,i a i n i ∈≤≤∈N .则5维“立方体”的顶点个数是；定义：在n 维空间中两点()12,,,n a a a 与()12,,,n b b b 的曼哈顿距离为1122n n a b a b a b -+-++- .在5维“立方体”的顶点中任取两个不同的顶点，记随机变量X 为所取两点间的曼哈顿距离，则()E X =.四、解答题：本题共5小题，共77分。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

2016-2017学年第二学期15会计三校联考
数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1．复数12i -与3i +的积是【】 (A)55i - (B)55i + (C)37i + (D)37i - 2．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若965=a a ，则
=+++1032313log log log a a a
【】
A ．12
B ．10
C ．8
D ．5log 23+ 3．函数1
1
-=
x y 的图象是
【】
4．不等式1|32|<--x 的解集是
【】
A ．{}165|<<x x
B ．{}186|<<x x
C ．{}207|<<x x
D ．{}228|<<x x 5．函数x x y 2cos 2sin 2=是
【】
A ．周期为2π的奇函数
B ．周期为2π
的偶函数 C ．周期为4π的奇函数 D ．周期为4
π
的偶函数
6．十进制数（46）10转换为二进制数为
【】
A ．111011
B ．101110
C ．110101
D ．101101
7．使x x cos sin ≤成立的x 的一个区间是【】
A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-
4,43ππ B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ C ．⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-43,4ππ D ．[]π,0 8．已知集合⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧∈⎪⎭⎫ ⎝⎛≤=---N x x M x x x ,212|3
33
22，则M 的真子集的个数是【】
A ．3
B ．7
C ．15
D ．63
9．某学生步行去上学，由于担心迟到，所以一开始就跑步，跑累了再走完余下的路程。

如果用纵轴表示离开家的距离，横轴表示出发后的时间，则下列四个图形中比较符合此人走法的是
【】
10．椭圆122=+by ax 与直线x y -=1交于A 、B 两点，若过原点与线段AB 中点的直线的倾斜角为︒30，则
b
a
的值为【】
A ．
43 B ．33 C ．2
3 D ．3 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
11．执行如图所示的程序框图，如果输入的N=100，则输出的x 为；
12．已知()
k k k a -+-=1,12，
()1,3--=k b ，b a ||，则=k __________； 13．在区间[-1,2]内任取一个实数x ，若不等式
211x -≤的解集为A ，则x A ∈的概率
为；
14．底面半径为3，高为1的圆锥的体积和侧
面积分别为、；
15．已知正项等比数列}n a ｛满足3452a a a +=，若存在两项n m a a ,，使得
14a a a n m =，则n
m 6
6+的最小值为．
三、解答题（本大题共7题，共78分） 16．（本题满分8分）已知)(x f 是定义在()+∞,0上的增函数，且满足)()()(y f x f xy f +=，1)2(=f ．（1）求证：3)8(=f ；
（2）解关于x 的不等式3)2()(>--x f x f ．
17．（本题满分
10分）在ABC ∆中， 21tan =
A ，3
1
tan =B ，且最长边为1．（1）求角 C 的度数；
（2）求ABC ∆最短边的长．
18．（本题满分12分）已知点)1 ,2c os 1(x P +、)22sin 3 ,1(+x Q ，R x ∈，
y ⋅=，
（1）求y 关于x 的函数关系式)(x f 及其周期T ；
（2）若∈x [0，
2
π
]，求)(x f 的取值范围．
19．（本题满分10分）甲、乙两人独立解出某一道数学题的概率相同，已知该题被甲或乙解出的概率为36.0，求：
（1）甲独立解出该题的概率；
（2）甲、乙中有且只有一个解出该题的概率．
20．（本题满分12分）某公司生产一种产品，每年需要投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元，经过市场预测得知，市场对这种产品的年需求量为500件，且当售出的这种产品的数量为t（单位：百件）时，销售所
得的收入约为
2
5
2
t
t-（万元）．
（Ⅰ）若该公司这种产品的年产量为x（单位：百件，x>0），试把该公司生产并销售这种产品所得的利润表示为当年产量x的函数；
（Ⅱ）当该公司的年产量多大时，当年所得的利润最大？
21．（本题满分10分）某公司生产甲、乙两种产品．已知生产每吨甲产品需用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品需用A原料1吨、B原料3吨，销售每吨甲产品可获利5万元，销售每吨乙产品可获利3万元，该公司在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨、B原料不超过18吨．问：该公司在本生产周期内生产甲、乙两种产品各多少吨时，可获得最大利润？并求最大利润（单位：万元）．
22．（本题满分14分）已知数列{}n C 的通项公式为(
)
n
n C 2=。

（1）若数列{}n a 是以d 为公差的等差数列，且6623,C a C a ==，求{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 是等比数列，且5231,a b a b ==，问4b 是否是数列{}n a 中的项，如果是{}n a 中的项，应是第几项？
23．（本题满分14分）已知一抛物线的顶点在原点，准线方程为4
1
=
x ，该抛物线与过点（-1，0）的直线交于点A 、B ，（1）求该抛物线方程；（2）求证OB OA ⊥；
（3）若AOB ∆的面积为2，求直线AB 的方程．。