2．等差数列{a n }的通项公式a n 是关于n 的一次函数a n ＝dn ＋(a 1－d )(d ≠0)前n 项和S n 是关于n 的无常数项的二次函数S n ＝d
2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ，(d ≠0) 3．数列中不等式的放缩技巧 (1)1k 2<1k 2－1＝12⎝⎛⎭⎫1
k －1－1k ＋1； (2)1k －1k ＋1<1k 2<1k －1－1k ； (3)2(n ＋1－n )<
1
n
<2(n －n －1)． 4．一般地，若{a n }为等差数列，则求数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1a n a n ＋1的前n 项和可用裂项相消法求和，事实
上，1a n a n ＋1＝d
da n a n ＋1＝a n ＋1－a n da n a n ＋1＝1d ·⎝
⎛⎭⎫1a n －1a n ＋1.
小题速解——不拘一格 优化方法
考点一 由递推关系求通项
[典例1] (1)已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 1＝2，3S 2n －2a n ＋1S n ＝a 2
n ＋1，
则a n ＝________．
解析：由题意可得3S 2n －2a n ＋1S n －a 2n ＋1＝(S n －a n ＋1)·(3S n ＋a n ＋1)＝0，又a n ＞0，所以S n ＝a n ＋1，则
S n －1＝a n (n ≥2)，两式相减并移项得a n ＋1＝2a n (n ≥2)，又S 1＝a 1＝a 2＝2，则a n ＝a 2·2n －
2＝2n －1(n ≥2)，
故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥2.
答案：⎩
⎪⎨⎪⎧2 n ＝1
2n －1 n ≥2
(2)在数列{a n }中，a 1＝1，a 1＋a 222＋a 332＋…＋a n
n 2＝a n (n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为a n ＝
________．
解析：根据a 1＋a 222＋a 332＋…＋a n
n 2＝a n ，①
有a 1＋a 222＋a 3
32＋…＋a n －1（n －1）
2＝a n －1(n ≥2)，② ①－②得a n n 2＝a n －a n －1(n ≥2)⇒n 2a n －1＝(n 2－1)a n (n ≥2)⇒a n a n －1＝n 2
n 2－1(n ≥2)，
所以a 2a 1×a 3a 2×…×a n a n －1＝2222－1×3232－1×…×n 2
n 2－1
(n ≥2)，
所以a n ＝a 1×2222－1×3232－1×…×n 2
n 2－1
＝22×32×42×…×n 2
（2－1）×（2＋1）×（3－1）×（3＋1）×（4－1）×（4＋1）×…×（n －1）×（n ＋1） ＝22×32×42×…×n 2
1×3×2×4×3×5×…×（n －1）×（n ＋1）＝2n
n ＋1 (n ≥2)．
a 1＝1满足上式，∴a n ＝2n
n ＋1.
答案：2n
n ＋1
(3)已知数列{a n }满足a 1＝2，a n －a n －1＝n (n ≥2，n ∈N *)，则a n ＝________． 解析：由题意可知，a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n (n ≥2)， 以上式子累加得，a n －a 1＝2＋3＋…＋n . 因为a 1＝2，
所以a n ＝2＋(2＋3＋…＋n ) ＝2＋（n －1）（2＋n ）2
＝n 2＋n ＋22
(n ≥2)．
因为a 1＝2满足上式，所以a n ＝n 2＋n ＋2
2.
答案：n 2＋n ＋22
(4)已知数列{a n }中，a 1＝3，且点P n (a n ，a n ＋1)(n ∈N *)在直线4x －y ＋1＝0上，则数列{a n }的通项公式为________．
解析：因为点P n (a n ，a n ＋1)(n ∈N *)在直线4x －y ＋1＝0上，所以4a n －a n ＋1＋1＝0. 所以a n ＋1＋1
3＝4⎝⎛⎭⎫a n ＋13. 因为a 1＝3，所以a 1＋13＝10
3
.
故数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫a n ＋13是首项为10
3，公比为4的等比数列．
所以a n ＋13＝103×4n －1，故数列{a n }的通项公式为a n ＝103×4n －1－1
3.
答案：a n ＝103×4n －
1－13
求数列通项的常用方法
1．归纳猜想法：已知数列的前几项，求数列的通项公式，可采用归纳猜想法．
2．已知S n 与a n 的关系，利用a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，
S n －S n －1，n ≥2
求a n .
3．累加法：数列递推关系形如a n ＋1＝a n ＋f (n )，其中数列{f (n )}前n 项和可求，这种类型的数列求通项公式时，常用累加法(叠加法)．
4．累乘法：数列递推关系形如a n ＋1＝g (n )a n ，其中数列{g (n )}前n 项积可求，此数列求通项公式一般采用累乘法(叠乘法)．
5．构造法：(1)递推关系形如a n ＋1＝pa n ＋q (p ，q 为常数)可化为a n ＋1＋q p －1＝p ⎝ ⎛⎭⎪⎫
a n ＋q p －1(p ≠1)的形式，利用⎩
⎪⎨⎪
⎧⎭
⎪⎬⎪⎫a n ＋q p －1是以p 为公比的等比数列求解．
(2)递推关系形如a n ＋1＝
pa n a n ＋p (p 为非零常数)可化为1a n ＋1－1a n ＝1
p
的形式．
