数理逻辑试题

离散数学——数理逻辑试题

一、填空10%（每小题 2分）

1. 若P，Q为二命题，P→Q真值为F 当且仅当。

2. 命题“对于任意给定的正实数，都存在比它大的实数”令F(x)：x为实数，L(x,y)：x>y，则命题的逻辑谓词公式为。

3. n个命题变元的式称为极大项，其中每个变元与它的否定不能同时出现，但两者必须。

4. 将量词辖域中出现的和指导变元换成另一变元符号，公式其余的部分不变，这种方法称为改名规则。

5. 设x是谓词合式公式A的一个个体变元，A的论域为D，A(x)关于y是自由的，则被称为存在量词消去规则，记为ES。

二、选择 25% （每小题2.5分）

1.下列语句是命题的有（）。

A、明年中秋节的晚上是晴天；

B、x+y>0；

C、xy>0当且仅当x和y都大于0；

D、我正在说谎。

2.下列各命题中真值为真的命题有（）。

A、2+2=4当且仅当3是奇数；

B、2+2=4当且仅当3不是奇数；

C、2+2≠4当且仅当3是奇数；

D、2+2≠4当且仅当3是奇数；

3.下列符号串是合式公式的有（）

A、P⇔Q；

B、P⇒P∨Q；

C、⌝ (P↔Q)；

D、(⌝P∨Q)( P∨⌝Q)。

4.下列等价式成立的有（）。

A、P→ Q ⇔⌝Q→P；

B、P∨(P∧R)⇔ R；

C、P∧(P→ Q) ⇔ Q；

D、P→ (Q → R) ⇔ ( P∧Q) →R。

5.若A1, A2, ⋯,A n和B为命题公式，且A1∧A2∧⋯∧A n⇒B，则（）。

A、称A1∧A2∧⋯∧A n为B的前件；

B、称B为A1∧A2∧⋯∧A n的后件

C、当且仅当A1∧A2∧⋯∧A n∧B ⇔F；

D、当且仅当A1∧A2∧⋯∧A n∧⌝B⇔F。

6.A，B为二合式公式，且A⇔B，考虑下列结论：

①A→B为重言式；②A*⇔B*；③A⇒B；④A↔B为重言式。

则正确结论个数是（）。

A、1；

B、2；

C、3；

D、4。

7.“人总是要死的”谓词公式表示为（）。

（论域为全总个体域）M(x)：x是人；D(x)：x是要死的。)

A 、M(x)→D(x)；

B 、M(x)∧D(x)

C 、∀x(M(x) →D(x))；

D 、∃x(M(x)∧D(x))

8.公式A=∃x(P(x)→Q(x))的解释I 为：个体域D={2}，P(x)：x>3, Q(x)：x=4则A 的真值为（ ）。 A 、1； B 、0； C 、可满足式； D 、无法判定。 9.下列等价关系正确的是（ ）。

A 、∀x(P(x)∨Q(x)) ⇔ ∀xP(x)∨∀xQ(x)；

B 、∃x(P(x)∨Q(x)) ⇔ ∃xP(x)∨∃xQ(x)；

C 、∀x(P(x)→Q) ⇔ ∀xP(x)→Q ；

D 、∃x(P(x)→Q) ⇔ ∃xP(x)→Q 。 10.下列推理步骤错在（ ）。 ① ∀x(F(x)→G(x)) P ② F(y)→G(y) T, ①, US ③ ∃xF(x) P ④ F(y)

T, ③, ES

⑤ G(y) T, ②, ④, 假言推理 ⑥ ∃xG(x) T ，⑤，EG

A 、②；

B 、④；

C 、⑤；

D 、⑥ 三、逻辑判断下列各题，并给出证明 30%

1. 用等值演算法和真值表法判断公式A= ((P →Q)∧(Q →P)) ↔ (P ↔Q)的类型。（10分）

2. 下列问题，若成立请证明，若不成立请举出反例：（10分） 已知A ∨C ⇔B ∨C ，问A ⇔B 成立吗？ 已知⌝A ⇔⌝B ，问A ⇔B 成立吗？

3. 如果厂方拒绝增加工资，那么罢工就不会停止，除非罢工超过一年并且工厂撤换了厂长。问：若厂方拒绝增加工资，而罢工刚开始，罢工是否能够停止（用表上作业证明）。（10分） 四、计算10%

1. 设命题A 1，A 2的真值为1，A 3，A 4真值为0，求命题公式(A 1∨(A 2→( A 3∧⌝A 1)))↔(A 2∨⌝A 4)的真值。（5分）

2. 利用主析取范式，求公式⌝(P →Q)∧Q ∧R 的类型。（5分） 五、谓词逻辑推理 15%

符号化语句：“有些人喜欢所有的花，但是人们不喜欢杂草，那么花不是杂草”。并推证其结论。 六、证明：（10%）

设论域D = {a , b , c}，求证：))()(()()(x B x A x x xB x xA ∨∀⇒∀∨∀。

答 案

一、填空 10%（每小题2分）

1、P 真值为1，Q 的真值为0；

2、)),()(()0,()((x y L y F y x L x F x ∧∃→∧∀；

3、析取式, 出现且出现一次；

4、约束变元；

5、)()(y A x xA ⇒∃，y 为D 的某些元素。 二、选择 25%（每小题2.5分）

三、逻辑判断 30% 1、（1）等值演算法

T Q P Q P Q P P Q Q P A ⇔↔↔↔⇔↔↔→∧→=)()()())()((

（2）真值表法

所以A 为重言式。 2、（1）不成立。

若取T C B C A T T B T T A T

C ⇔∨⇔∨⇔∨⇔∨=有则

但A 与B 不一定等价，可为任意不等价的公式。 （2）成立。 证明：T B A B

A ⇔⌝↔⌝⌝⇔⌝充要条件

即：

B

A A

B B A B A A B A B B A A B B A T ↔⇔→∧→⇔∨⌝∧∨⌝⇔⌝∨∧⌝∨⇔⌝→⌝∧⌝→⌝⇔)()()()()

()()()(

所以T B A ⇔↔ 故 B A ⇔。

3、解：设P ：厂方拒绝增加工资；Q ：罢工停止；R 罢工超过一年；R ：撤换厂长 前提：R P Q S R P ⌝⌝→∧⌝→,,))(( 结论：Q ⌝

①))((Q S R P ⌝→∧⌝→ P ②P

P