量子力学习题课-田浩
量子力学习题课-田浩
习题： 习题：讨论题，比较简单的计算题. 注意： 注意：波函数计算时的注意事项
A 例题4、有一粒子沿x方向运动，其波函数为 ϕ ( x) = 1 + ix （1）将此波函数归一化. （2）求出粒子按坐标的概率分布函数. （3）在何处找到粒子的概率最大？
1. 氢原子 r h2 ∇2 +U(r)] (r ) = Eψ (r ) [− ψ 氢原子的薛定谔方程 2µ
n = 1, 2, 3, LL
e2 U (r ) = − 4 rπε 0 r
l = 0,1,2, L, n − 1 m = 0, ± 1, ± 2, L, ± l
ms = ± 1 2
µ e4 1 En = − 2 ( 4 πε 0 n h ) 2
8ma
二.波函数与薛定谔方程
1. 量子力学的基本原理之一波函数 波函数 波恩的统计解释 波函数的标准条件及态叠加原理 2. 量子力学的基本原理之二薛定谔方程 r 2 r r ∂ψ(r , t ) 薛定谔方程 ih = [− h ∇2 +U(r , t )]ψ(r , t ) ∂t 2µ 定态薛定谔方程 2 3. 一维定态问题 一维无限深方势阱 线性谐振子 方势垒
例题8、求线性谐振子在第一激发态时，概率最大的位置. 解： 第一激发态波函数为
ψ 1 (ξ ) = A1e
−ξ
2
2
H1 ( ξ ) ,
ξ = α x, α =
mω h
H1 (ξ ) = 2ξ
2 d ψ1 (ξ ) = 0 令 dξ
可得ξ1 = 0, ξ2,3 = ±1
h x0 = ± m ω
量子力学——第二章作业参考答案
+
⎛ ⎜ ⎝
∂ψ ∂t
*
Vψ
+
∂ψ ∂t
Vψ
*
⎞ ⎟
，
⎠
（2）
ψ 、ψ * 满足薛定谔方程
i
∂ψ ∂t
=
⎛ ⎜ ⎝
−
2
2m
∇2
+V
⎞⎟ψ ⎠
，
−i
∂ψ * ∂t
=
⎛ ⎜
−
⎝
2
∇2 2m
+V
⎞⎟ψ * ， ⎠
（3） （4）
用 ∂ψ * 乘以（3）式加上用 ∂ψ 乘以（4）式得
∂t
∂t
∂ψ ∂t
Vψ *
dt
s
通常 < 2V2 >≠ 0 ，也就是说在整个区域找到粒子的概率随时间发生变化，概率守恒破缺；
即使 < 2V2 >= 0 ，由（8）式知概率守恒也存在局域破缺除非V2 (r ) = 0
（b）证明如下： 由（a）得
d dt
∫∫∫ d 3rψ τ
*ψ
=
−∫∫ dsi s
j
+
∫∫∫ d 3rψ τ
*
2V2 ψ
第二章作业参考答案
(曾谨言著《量子力学教程》(第二版) 习题 1 P24-P26)
∫ 1.1 证明：（a）能量的平均值 < E >= d 3rψ *Hˆψ ，
哈密顿量 Hˆ = Pˆ 2 2m +V (r ) ，波函数ψ =ψ (r ,t ) ，（1）式变为
（1）
∫ < E >=
d 3r
⎛ ⎜ψ
*
Pˆ 2
+
∂ψ ∂t
22.量子力学基础习题思考题
习题22-1．计算下列客体具有MeV 10动能时的物质波波长，(1)电子；（2）质子。
解：(1) 电子高速运动，设电子的总能量可写为：20K E E m c =+ 用相对论公式，222240E c p m c=+ 可得p ===h p λ==834-=131.210m -=⨯（2）对于质子，利用德布罗意波的计算公式即可得出：3415h 9.110m p λ--====⨯22-2．计算在彩色电 视显像管的加速电压作用下电子的物质波波长，已知加速电压为kV 0.25，（1）用非相对论公式；（2）用相对论公式。
解：（1）用非相对论公式：mmeU h mE h 123193134108.71025106.1101.921063.622p h ----⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯====λ（2）用相对论公式：420222c m c p +=EeU E E k ==-20c mm eU eU c m hmE h 12220107.722p h -⨯=+===）（λ22-3．一中子束通过晶体发生衍射。
已知晶面间距nm 1032.72-⨯=d ，中子的动能eV 20.4k =E ，求对此晶面簇反射方向发生一级极大的中子束的掠射角.解：先利用德布罗意波的计算公式即可得出波长：3411h 1.410m λ--====⨯再利用晶体衍射的公式，可得出：2sin d k ϕλ= 0,1,2k =…11111.410sin 0.095k λϕ--⨯=== ， 5.48ϕ= 22-4．以速度m/s 1063⨯=v 运动的电子射入场强为5V/cm =E 的匀强电场中加速，为使电子波长A 1=λ，电子在此场中应该飞行多长的距离？解：3410h 110p m λ--====⨯ 可得：U=150.9V ，所以 U=Ed ，得出d=30.2cm 。
22-5．设电子的位置不确定度为A 1.0，计算它的动量的不确定度；若电子的能量约为keV 1，计算电子能量的不确定度。
量子力学教程课后习题答案-高等教育出版社[1]
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量子力学习题及解答第一章 量子理论基础1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即m λ T=b （常量）； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。
解 根据普朗克的黑体辐射公式dv e chv d kThv v v 11833-⋅=πρ， （1）以及 c v =λ， （2）λρρd dv v v -=， （3）有,118)()(5-⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=kThc v v ehc cd c d d dv λλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。
本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。
但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：01151186'=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+--⋅=-kT hc kThce kT hc ehcλλλλλπρ⇒ 0115=-⋅+--kThc ekThcλλ⇒ kThcekThc λλ=--)1(5 如果令x=kThcλ ，则上述方程为 x e x =--)1(5这是一个超越方程。
首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhc T m =λ把x 以及三个物理常量代入到上式便知K m T m ⋅⨯=-3109.2λ这便是维恩位移定律。
据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。
1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。
解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv ，λh P =如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么ep E μ22= 如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0⨯，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有ph=λnmm m E c hc E h e e 71.01071.031051.021024.1229662=⨯=⨯⨯⨯⨯===--μμ在这里，利用了m eV hc ⋅⨯=-61024.1以及eV c e 621051.0⨯=μ最后，对Ec hc e 22μλ=作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。
《量子力学教程》_课后答案
(n 1, 2, 3,)
∴ 2 ( x) A sin
n x a
由归一化条件
得
( x) dx 1
2
A2
a
2 sin
0
n xdx 1 a
由
a
b
sin
m n a x sin xdx mn a a 2
14
A
2 a 2 n sin x a a
2 ( x)
23
2
23
T 100 K 时， E 1.381021 J 。
7
1.5 两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对，如果两个光子的能量相等，问要实现这种转化，光子 波长最大是多少？ 解：转化条件为 h ec 2 ，其中 e 为电子的静止质量，而
c h ，所以 ，即有 ec
A2 2 T A2 2T pdq A 0 cos t dt 2 0 (1 cost )dt 2 nh ， n 0,1,2,
2 2 T 2
A2 2 nh E nh ， n 0,1,2, 2 T
6
v 2 v （2）设磁场垂直于电子运动方向，受洛仑兹力作用作匀速圆周运动。由 evB ，得 R eB R
其解为
2 ( x) A sin kx B coskx
④
13
根据波函数的标准条件确定系数 A，B，由连续性条件，得
2 (0) 1 (0)
2 ( a ) 3 ( a)
⑤ ⑥ ⑥
⑤
B0 A sin ka 0
A0 s i n ka 0 ka n
max
0 h 6.626 1034 c 0.024A （电子的康普顿波长）。 31 8 e c 9.1 10 3 10
量子力学习题解答-第4章
[ri , p j ] = -[ pi , rj ] = ihdij ，[ri , rj ] = [ pi , p j ] = 0 ，
这里指标表示 x, y, z , rx = x, ry = y, rz = z 。
（b） 证明三维情况下的 Ehrenfest 定理：
（c）
d
r
1 =
p ,和
éë
pi2
,
ri
ùû
( ) éë
p
2 j
,
ri
ùû
=0,i
¹
j
{ } = 1
2m
pi [ pi , ri ] + [ pi , ri ] pi
=
1 2m
{-ihpi
-
ihpi}
=
-i
h m
pi
所以
d dt
ári ñ
=
i h
á- m
pi
上式对每一个分量都成立，从而有
d r =1 p.
[ ] 令 A = ri , B = p j ， 有 ri , p j = ihdij ，所以
s ri 2s
2 pj
³
æ çè
1 2i
ihdij
ö2 ÷ø
=
æ çè
h 2 d ij
ö2 ÷ø
即
s
x 2s
2 px
³
æ çè
h 2
ö2 ÷ ø
,s
y 2s
2 py
³
æ çè
h 2
ö2 ÷ ø
,s
z 2s
2 pz
ö ÷÷øy
=0
所以
éë pi , p j ùû = 0
中国石油大学华东 量子力学习题及解答综合版-new
12、 重要公式:
1) 光电效应方程： 1 2 m vm h 0 eU a eU 0 . 2 U0:逸出电压 2) 康普顿散射： h 0 (1 cos ). m0 c h E k A 反冲电子动能： Ek ( m m0 ) c 2 h ( 0 ). 3) 氢原子巴耳末公式： 1 1 ~ 1 R ( 2 2 ). ( n k ) k n ~ 1 E1 ( 1 1 ). ( n k ) h c k 2 n2
代入数值，得
1
k 2(巴耳末系)
1 1 再由 R( 2 2 )可求得， n 3 2 n
E1 En 2 n 始态 E3 1.51eV ; 终态 E2 3.4eV .
1
17. α 粒子在磁感应强度为 B= 0. 025 T 的均匀磁场 中沿半径为 R = 0. 83 cm 的圆形轨道运动。 （1）计算其德布罗意波长。 （2） 若使质量 m = 0. 1 g 的小球以与 α 粒子相同的速率运动，则 其波长为多少？ （mα =6. 64×10 -27 kg )
h 6. 63 10 34 J s 称为普朗克常量。
2、 玻尔氢原子理论三条基本假设：
(1). 定 态 假 设 . ( 2). 跃 迁 假 设 ： nk 1 En Ek . h
h ( 3). 量 子 化 条 件 假 设L mvr n ： n . 2
3、 爱因斯坦光子理论：
氢原子的能量完全由 n 决定。 L l (l 1) .
（2）角量子数 l 0, 1, 2, ..., (n 1).决定电子轨道角动量： (3) 磁量子数 ml 0, 1, 2, ...,l.决定电子轨道角动量 在外磁场方向的分量： Lz ml .
量子力学(二)习题参考答案
ψ 1 (− a ) = ψ 2 (− a ) → −C sin ka = A1e −α a
比较以上两式可以得到
B2 = − A1
A1eα x , x < − a 于是有 ψ 0 ( x) = C sin kx, −a < x < a − A e −α x , x > a 1
——奇宇称态！
+∞
( p x x − Et )
4） 、由归一化条件 ψ * ( x)ψ p ' ( x )dx = δ ( p ' − p '' ) 可定出归一化常数 p'
−∞
∫
A= 1
2π h h2 d 2 ,U = 0 2 I dϕ 2
µ =− 4、平面转子（见教科书）—— H
其解为： E m =
m2 h2 , m = 0, ±1, ±2 …… 2I 1 imϕ e ， 2π
比较得到：
B2 ＝ A1
于是得
A1eα x , x < − a ψ e ( x) = C cos kx, − a < x < a −α x A1e , x > a
——偶宇称态！
（23）
其中的 C，A1 可由归一化条件和连续性条件定出。 7、 δ 形势—— U ( x ) = f ( x )δ ( x) U(x) E 1 0 2 x （1）
①
②
由①和②消去 B
→ 2 A = (1 +
2k1 k2 k +k )C = 1 2 C → C = A k1 k1 k1 + k 2
③
由①和②消去 C
→
A − B k2 = → A + B k1
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a
1 2
2 sin x
aa
2 a
sin
3
a
x
c11 x c3 3 x,式中c1 c3
1 2
例题8、求线性谐振子在第一激发态时，概率最大的位置.
解： 第一激发态波函数为
1 A1e2 2 H1 , H1 2
x, m
h
令
d
d
1
2
0
可得1 0, 2,3 1
因此有
容纳最多电子数 2 6 10 14 18 ……
对给定的壳层 n = 1 2 3 4 5 …… K L M N O ……
容纳最多电子数 2 8 18 32 50 …...
量子力学
一.实物粒子的波粒二象性
1、德布罗意（物质波）假说
E h ph
,
当 v c 时， h h
p m0v
2、不确定关系（测不准原理）
动量与坐标： px x h 2 能量与时间： E t h 2
3、实物粒子的波粒二象性 颗粒性，叠加性
习题：计算德布罗意波长，不确定关系的简单应用. 注意：单位换算，相对论非相对论，不确定量的使用
x Axex x 0
例题9、设一维运动的粒子处在 x 0 x 0
的状态,其中>0,试求: (1) 归一化因子，(2) 粒子坐标的概率分布，(3) 在何处找到粒子的概率最大，(4)x和x2的平均值
解：（1）求归一化因子
A
2
2
x dx
0
2
Axe x
dx
A2
2
2
3
2
n x
2 a
sin
n
a
x
,
0
x
a
n x 0, x 0, x a ，计算动量和动能的平均值
解：动量算符 pˆ x ih 动量的平均值为
x
px
* n
x
pˆ x n
xdx
* n
x
ih
x
n
xdx
i
2h a
a 0
sin
n x
a
x
sin
n x
a
dx
i
2h a
n
a
a 0
h2 2m
2
U
r
C
r
EC
r
h2 2m
2
U
r
r
C
r
EC
r
EC C E
故波函数与时间无关的部分不改变,能量本征值 改变.
（1）在距内壁四分之一宽度内发现粒子的概率为
x 1 ' x ，其中
3a
3a
'x
a
4
2 a
sin 2
n
a
x
dx
1 a
x
a
2n
sin
2n x
a
a
4
4
4
1 1 sin n 2 n 2
2. 量子力学的基本原理之二薛定谔方程
薛定谔方程 定态薛定谔方程
i
ψ(r, t
t)
[
2 2
2
U(r,
t )]ψ(r,
t)
3. 一维定态问题
2
2
2 (r)
U (r) (r)
E (r)
一维无限深方势阱
线性谐振子
方势垒
习题：讨论题，比较简单的计算题. 注意：波函数计算时的注意事项
例题4、有一粒子沿x方向运动，其波函数为 (x) A
电子射线：Ek
h2c2 2
m02c4
m0c2
1.24109 eV
例题3、若一个电子处于原子某能态的时间为10-8s.试问这个
原子能态的能量最小不确定量是多少？如果这个原子
从上述能态跃迁到基态辐射的能量为3.39eV，计算所
辐射的光子波长并讨论这波长的最小不确定量。
能量最小不确定量： 光子波长：
所以 x 1 ' x 1 1 sin n
2 n 2
（2）n=3时上述区域找到粒子的概率最大,其值为:
x 1 1
n3 2 3
（3）
n
时
1 n
0,
x
1 2
与经典结果相同，在势阱内粒子在各处出现的概率相
等,量子力学过渡到经典力学.
例题7、设粒子处在[0,a]范围内的一维无限深方势阱中,
波函数为 量的可能mhx01x0 h
m
三.力学量与算符
1. 量子力学的基本原理之三力学量算符
在量子力学中，力学量用一个算符 Aˆ 表示，通过 Aˆ 的
本征方程 Aˆ n
当体系处在态
n时 n，可力求学得量本有征确函定数值，n 即和本n征。值n。
2. 量子力学的基本原理之四全同粒子体系
微观全同粒子体系的状态不因其粒子相互交换位置而 改变。这一规律称为微观粒子的全同性原理。换句话 说，系统内任意两个全同粒子互相交换，都不改变系 统的状态。
即2 xe2 x
2 x2e2x
dx
0,得x
1
找到粒子的概率最大.
（4）求 x和 x2 的平均值
x
x
xdx
0
x
43x2e2xdx
4 3
3!
2 31
x 3
2
x2 x2 x dx x2 4 3 x2e2xdx
0
x2
4 3
4!
2 41
3
2
例题10、粒子在一維无限深势阱中运动,其波函数为
波长的最小不确定量
E h 6.59108eV hc 3.67 107 m
t
E
hc E2 E
7.131015 m
附题1、证明：一个质量m的粒子，在边长为a的正立方盒子内
运动时，它的最小可能能量（零点能）为
Emin
3h2 8ma2
二.波函数与薛定谔方程
1. 量子力学的基本原理之一波函数 波函数 波恩的统计解释 波函数的标准条件及态叠加原理
3
注:式中运用定积分：a>0，n为整数时
0
xneax
n! a n 1
2
即
3
2 x
A 2
3
1,归一化因子为 2 2
A
（2）粒子坐标的概率分布函数(即几率密度函数)
x
2 32 x 2
2 32
2
Axe x
4 3 x2e2x x 0
A
A
x 0x 0
（3）若求粒子概率最大处,令 d x 0
x2
)
（3）找到粒子的概率最大，即
dP(x) dx
0,
d 2P(x) dx2
0.
于是 x=0
例题5、当势能U(r)改变一个常量c时，即U(r) U(r)+c,粒
子的波函数与时间无关的部分改变否?能量本征值
改变否?
解：由薛定谔方程
h2 2m
2
U
r
r
E
r
当势能函数 Ur Ur C
将U(r)+c代入方程中
sin
n x
a
cos
n x
a
dx
0
动能算符 Tˆ pˆ x2 h2 2
2m 2m x2
T
* n
x
Tˆ
n
x
dx
* n
x
h2 2m
2 x2
n
x dx
h2n2 2
2ma2
四.原子中的电子
1.
氢原子 氢原子的薛定谔方程
[
2
2
2
UU((rr))](r4)e20Er (r)
n 1, 2,3,
x
4 sin x cos2 x ，试求粒子能
aa
a
测量值及相应的概率.
解：在一维无限深方势阱中能量本征值
En
h2 2n2
2ma2
,n
1, 2,3
相应的能量本征函数为
n x
2 a
sin
n
a
x
,
0
x
a
题中所给波函数为本征函数的线性组合，
做变换如下:
x
4 sin x cos2 x
aa
l 0,1,2, , n 1
m 0, 1, 2, , l
ms
1 2
En
1 2
e4 (4π 0 n) 2
L l(l 1)
Lz m Sz ms
2. 原子的电子壳层结构 n , l , ml , ms
泡利不相容原理，能量最小原理 (n+0.7l ) 元素周期表各壳层最多能容纳的电子数
对给定的次壳层 l = 0 1 2 3 4 …… s p d f g ……
例题1、分别就非相对论和相对论的场合，求质量为m，电
荷为e的粒子在动能为Ek时的德布罗意波长.
非相对论： h h
相对论： h
h
p 2mEk
p
Ek2 2m0c2Ek
例题2、为了调查10-15m程度的原子核结构，伽玛射线和电子
射线的能量分别多大？
伽玛射线：
E h hc 1.24109 eV
（1）将此波函数归一化.
1 ix
（2）求出粒子按坐标的概率分布函数.
（3）在何处找到粒子的概率最大？
解：（1）由归一化条件
*dx 1
于是
A A dx A2 1 ix 1 ix
dx 1 x2
dx
A2
arctan
x
即 A2 1 A 1 .
（2）概率分布函数为： P
*
1 (1