量子力学习题课-田浩

波长的最小不确定量
E h 6.59108eV hc 3.67 107 m
t
E
hc E2 E
7.131015 m
附题1、证明：一个质量m的粒子，在边长为a的正立方盒子内
运动时，它的最小可能能量（零点能）为
Emin
3h2 8ma2
二.波函数与薛定谔方程
1. 量子力学的基本原理之一波函数 波函数 波恩的统计解释 波函数的标准条件及态叠加原理
sin
n x
a
cos
n x
a
dx
0
动能算符 Tˆ pˆ x2 h2 2
2m 2m x2
T
* n
x
Tˆ
n
x
dx
* n
x
h2 2m
2 x2
n
x dx
h2n2 2
2ma2
四.原子中的电子
1.
wk.baidu.com
氢原子 氢原子的薛定谔方程
[
2
2
2
UU((rr))](r4)e20Er (r)
n 1, 2,3,
3
注:式中运用定积分：a>0，n为整数时
0
xneax
n! a n 1
2
即
3
2 x
A 2
3
1,归一化因子为 2 2
A
（2）粒子坐标的概率分布函数(即几率密度函数)
x
2 32 x 2
2 32
2
Axe x
4 3 x2e2x x 0
A
A
x 0x 0
（3）若求粒子概率最大处,令 d x 0
容纳最多电子数 2 6 10 14 18 ……
对给定的壳层 n = 1 2 3 4 5 …… K L M N O ……
容纳最多电子数 2 8 18 32 50 …...
所以 x 1 ' x 1 1 sin n
2 n 2
（2）n=3时上述区域找到粒子的概率最大,其值为:
x 1 1
n3 2 3
（3）
n
时
1 n
0,
x
1 2
与经典结果相同，在势阱内粒子在各处出现的概率相
等,量子力学过渡到经典力学.
例题7、设粒子处在[0,a]范围内的一维无限深方势阱中,
波函数为 量的可能
例题1、分别就非相对论和相对论的场合，求质量为m，电
荷为e的粒子在动能为Ek时的德布罗意波长.
非相对论： h h
相对论： h
h
p 2mEk
p
Ek2 2m0c2Ek
例题2、为了调查10-15m程度的原子核结构，伽玛射线和电子
射线的能量分别多大？
伽玛射线：
E h hc 1.24109 eV
（1）将此波函数归一化.
1 ix
（2）求出粒子按坐标的概率分布函数.
（3）在何处找到粒子的概率最大？
解：（1）由归一化条件
*dx 1
于是
A A dx A2 1 ix 1 ix
dx 1 x2
dx
A2
arctan
x
即 A2 1 A 1 .
（2）概率分布函数为： P
*
1 (1
电子射线：Ek
h2c2 2
m02c4
m0c2
1.24109 eV
例题3、若一个电子处于原子某能态的时间为10-8s.试问这个
原子能态的能量最小不确定量是多少？如果这个原子
从上述能态跃迁到基态辐射的能量为3.39eV，计算所
辐射的光子波长并讨论这波长的最小不确定量。
能量最小不确定量： 光子波长：
m
h
x0
1
x0
h
m
三.力学量与算符
1. 量子力学的基本原理之三力学量算符
在量子力学中，力学量用一个算符 Aˆ 表示，通过 Aˆ 的
本征方程 Aˆ n
当体系处在态
n时 n，可力求学得量本有征确函定数值，n 即和本n征。值n。
2. 量子力学的基本原理之四全同粒子体系
微观全同粒子体系的状态不因其粒子相互交换位置而 改变。这一规律称为微观粒子的全同性原理。换句话 说，系统内任意两个全同粒子互相交换，都不改变系 统的状态。
a
1 2
2 sin x
aa
2 a
sin
3
a
x
c11 x c3 3 x,式中c1 c3
1 2
例题8、求线性谐振子在第一激发态时，概率最大的位置.
解： 第一激发态波函数为
1 A1e2 2 H1 , H1 2
x, m
h
令
d
d
1
2
0
可得1 0, 2,3 1
因此有
n x
2 a
sin
n
a
x
,
0
x
a
n x 0, x 0, x a ，计算动量和动能的平均值
解：动量算符 pˆ x ih 动量的平均值为
x
px
* n
x
pˆ x n
xdx
* n
x
ih
x
n
xdx
i
2h a
a 0
sin
n x
a
x
sin
n x
a
dx
i
2h a
n
a
a 0
即2 xe2 x
2 x2e2x
dx
0,得x
1
找到粒子的概率最大.
（4）求 x和 x2 的平均值
x
x
xdx
0
x
43x2e2xdx
4 3
3!
2 31
x 3
2
x2 x2 x dx x2 4 3 x2e2xdx
0
x2
4 3
4!
2 41
3
2
例题10、粒子在一維无限深势阱中运动,其波函数为
2. 量子力学的基本原理之二薛定谔方程
薛定谔方程 定态薛定谔方程
i
ψ(r, t
t)
[
2 2
2
U(r,
t )]ψ(r,
t)
3. 一维定态问题
2
2
2 (r)
U (r) (r)
E (r)
一维无限深方势阱
线性谐振子
方势垒
习题：讨论题，比较简单的计算题. 注意：波函数计算时的注意事项
例题4、有一粒子沿x方向运动，其波函数为 (x) A
x
4 sin x cos2 x ，试求粒子能
aa
a
测量值及相应的概率.
解：在一维无限深方势阱中能量本征值
En
h2 2n2
2ma2
,n
1, 2,3
相应的能量本征函数为
n x
2 a
sin
n
a
x
,
0
x
a
题中所给波函数为本征函数的线性组合，
做变换如下:
x
4 sin x cos2 x
aa
l 0,1,2, , n 1
m 0, 1, 2, , l
ms
1 2
En
1 2
e4 (4π 0 n) 2
L l(l 1)
Lz m Sz ms
2. 原子的电子壳层结构 n , l , ml , ms
泡利不相容原理，能量最小原理 (n+0.7l ) 元素周期表各壳层最多能容纳的电子数
对给定的次壳层 l = 0 1 2 3 4 …… s p d f g ……
x2
)
（3）找到粒子的概率最大，即
dP(x) dx
0,
d 2P(x) dx2
0.
于是 x=0
例题5、当势能U(r)改变一个常量c时，即U(r) U(r)+c,粒
子的波函数与时间无关的部分改变否?能量本征值
改变否?
解：由薛定谔方程
h2 2m
2
U
r
r
E
r
当势能函数 Ur Ur C
将U(r)+c代入方程中
量子力学
一.实物粒子的波粒二象性
1、德布罗意（物质波）假说
E h ph
,
当 v c 时， h h
p m0v
2、不确定关系（测不准原理）
动量与坐标： px x h 2 能量与时间： E t h 2
3、实物粒子的波粒二象性 颗粒性，叠加性
习题：计算德布罗意波长，不确定关系的简单应用. 注意：单位换算，相对论非相对论，不确定量的使用
h2 2m
2
U
r
C
r
EC
r
h2 2m
2
U
r
r
C
r
EC
r
EC C E
故波函数与时间无关的部分不改变,能量本征值 改变.
（1）在距内壁四分之一宽度内发现粒子的概率为
x 1 ' x ，其中
3a
3a
'x
a
4
2 a
sin 2
n
a
x
dx
1 a
x
a
2n
sin
2n x
a
a
4
4
4
1 1 sin n 2 n 2
x Axex x 0
例题9、设一维运动的粒子处在 x 0 x 0
的状态,其中>0,试求: (1) 归一化因子，(2) 粒子坐标的概率分布，(3) 在何处找到粒子的概率最大，(4)x和x2的平均值
解：（1）求归一化因子
A
2
2
x dx
0
2
Axe x
dx
A2
2
2
3
2