数学卷·2015届北京市东城区高一下学期期末考试试题

北京市东城区（南片）2012－2013学年下学期高一期末考试

数学试卷

一、选择题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1. 直线l 经过原点和点(－3，1)，则它的斜率为 A. －3 B. 33- C. 3

3 D. 3

2. 不等式2x 2

－x －1>0的解集是 A. (21-

，1) B. (1，+∞) C. (－∞，1)∪(2，+∞) D. (－∞，2

1

-)∪(1，+∞) 3. 在ΔABC 中，已知D 是AB 边上一点，λ+=3

1

，则实数λ= A. －

32 B. －31 C. 31 D. 3

2 4. 已知点A(1，1，1)，点B(－3，－3，－3)，则线段AB 的长为 A. 4

3 B. 23 C. 42 D. 32

5. =-

17

cos 30cos 17sin 47sin A. －

23 B. －21 C. 21 D. 2

3

6. 直线l ：y=kx －3k 与圆C ：x 2

+y 2

－4x=0的位置关系是

A. l 与C 相交

B. l 与C 相切

C. l 与C 相离

D. 以上三个选项均有可能

7. 已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 3·a 9=2a 2

5，a 2=1，则a 1=

A.

21 B. 2

2

C. 2

D. 2

8. 设3

1

)4

sin(

=

+θπ

，则sin2θ= A. －

97 B. －91 C. 91 D. 9

7 9. 设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，||||16BC 2AC AB AC AB -=+=，，则=||AM

A. 8

B. 4

C. 2

D. 1

10. 设a ，b 为正实数，下列结论正确的是 ①若a 2

－b 2

=1，则a －b<1； ②若

11

b 1=-a

，则a －b<1； ③若1||=-b a ，则|a －b|<1； ④若|a 3

－b 3

|=1，则|a －b|<1. A. ①② B. ②④ C. ①③ D. ①④ 二、填空题共6小题，每小题3分，共18分．

11. 过点(－3，－1)，且与直线x －2y=0平行的直线方程为________．

12. 若x>0，则函数x

x 1

y 2+=的最小值是________．

13. 已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，若a 1=

2

1

，a 1+a 2+a 3，则S n =________． 14. 过点(－1，6)与圆x 2

+y 2

+6x －4y+9=0相切的直线方程是________． 15. 等比数列｛a n }中，a 1+a 3=5，a 2+a 4=4，则a 4+a 6=________．

16. 已知△ABC 的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC 的面积为________．

三、解答题共6小题，共52分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 17. (本小题共9分)

已知向量a=(1，2)，b=(－2，m)，m ∈R ． (Ⅰ)若a ∥b ，求m 的值； (Ⅱ)若a ⊥b ，求m 的值．

18. (本小题共9分)

某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克．求该公司从每天生产的甲、乙两种产品中，可获得的最大利润． 19. (本小题共9分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且满足c

a

C A =cos sin ． (Ⅰ)求角C 的大小； (Ⅱ)求)4

cos(sin 3π

+

-B A 的最大值，并求取得最大值时角A 的大小．

20. (本小题共9分)

已知O 为平面直角坐标系的原点，过点M(－2，0)的直线l 与圆x 2

+y 2

=1交于P 、Q 两点，且.2

1OP -=∙OQ

(Ⅰ)求∠PDQ 的大小；(Ⅱ)求直线l 的方程．

21. (本小题共8分)

已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =－n 2

+20n ，n ∈N *

． (Ⅰ)求通项a n ；

(Ⅱ)设{b n －a n }是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b n }的通项公式及其前n 项和T n ．

22. (本小题共8分)

在平面直角坐标系xOy 中，曲线y=x 2

－6x+1与坐标轴的交点都在圆C 上． (Ⅰ)求圆C 的方程；

(Ⅱ)试判断是否存在斜率为1的直线，使其与圆C 交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，若存在，求出该直线方程，若不存在，请说明理由．

参考答案及评分标准

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分. 1. B 2. D 3. D 4. A 5. C 6. A 7. B 8. A 9. C 10. D

二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分. 11. x －2y+1=0 12. 2 13. n n 4

141s 2n += 14. 3x －4y+27=0或x=－1. 15.

25

64

16. 315 三、解答题：本大题共6小题，共52分. 17. (共9分) 解(Ⅰ)因为a ∥b ，

所以1·m －2(－2)=0，m=－4. ……………………………5分 (Ⅱ)因为a ⊥b ，所以a·b=0，

所以1·(－2)+2m=0，m=1. …………………………………9分 18. (共9分)

解：设公司每天生产甲种产品x 桶，乙种产品y 桶，公司共可获得利润为z 元/天，则 由已知，得z=300x+400y ．

且⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+.

0,0,122,1226y x y x x 画可行域如图所示，

目标函数z=300x+400y 可变形为

.400

43y z x +-=

解方程组⎩⎨⎧=+=+.1226,122x y x 得，⎩

⎨⎧==44y x 即A(4，4).