数学物理方程概述课件

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§1 偏微分方程举例和基本 概念
✓自然科学和工程技术中，种种运动的变化发展过 程与平衡现象各自遵守一定的规律。描述这些规 律通常用关于某个或某些未知多元函数及其偏导 数的数学方程式或数学方程组。含有未知多元函 数及其偏导数（也可仅含有偏导数）的方程称为 偏微分方程。描述物理规律的偏微分方程称为数 学物理方程。
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2.1 弦振动方程的物理推导
➢设有一根拉紧的均匀柔软细弦，其线密度（单位长度质 量）为常数，长为l,两端被固定在O,A两点，且在单位 长度上受到垂直于OA向上的力F作用。当它在平衡位置 附近作垂直于OA方向的微小横向振动时，求弦上各点 的运动规律。
➢所谓微小振动是指振动的幅度及弦在任意位置处切线的 倾角都很小，弦在偏离平衡位置后，弦上任意一点的斜 率远小于1。横向振动是指弦上的点沿垂直于x轴的方向 运动。
• 定解问题:定解条件联立方程称之为定解问题。
• 并不是每个定解问题都有解。
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第一章 数学物理方程概述
➢§1 偏微分方程举例和基本概念 ➢§2 方程及定解问题的物理推导 ➢§3 两个重要原理
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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§2 方程及定解问题的物理推导
➢2.1 弦振动方程的物理推导 ➢2.2 薄膜平衡方程的物理推导 ➢2.3 热传导方程的物理推导 ➢2.4 定解条件和定解问题
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§1 偏微分方程举例和基本 概念
常见的数学物理方程有
• 热传导方程 • Laplace方程 • 弦振动方程 • 梁的横振动方程 • 水波研究中的KdV方程 • 电磁场中用到的二维Cauchy-Riemann方程组 • 空气动力学的连续性方程和动量方程
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常见的数学物理方程
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授课内容
• 第一章 数学物理方程概述 • 第二章 分离变量法和积分变换法 • 第三章 行波法 • 第四章 格林函数法 • 第五章 勒让德多项式 • 第六章 定解问题的适定性 • 第七章 有限单元法及有限元软件
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第一章 数学物理方程概述
➢§1 偏微分方程举例和基本概念 ➢§2 方程及定解问题的物理推导 ➢§3 两个重要原理
数学物理方程
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教材及教学参考书
• 教材
• 吉林大学数学学院袁洪君、许孝精,数学物理方程， 高等教育出版社，2006年6月第1版。
• 参考书
• 彭芳麟，数学物理方程的MATLAB解法与可视化,清 华大学出版社，2004年11月第1版。
• 购书地点
• 上海书城 （上海市福州路465号）
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2.1 弦振动方程的物理推导
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2.1 弦振动方程的物理推导
➢以OA为x轴，弦振动方向为另一坐标轴方向建立如 图坐标系，并以u(x,t)表示弦上x点处在t时刻垂直于x 方向的位移。
➢任取弦上一微段PQ，由于是微小振动，可近似认为 PQ的弧长为Δx，沿x方向和u方向力的平衡条件为
• 半线性偏微分方程：所有最高阶偏导数都是线性的，而且其系 数不含未知多元函数及其低阶偏导数的非线性偏微分方程；
• 拟线性偏微分方程：最高阶偏导数的系数含未知多元函数及其 低阶偏导数的非线性偏微分方程。
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§1 偏微分方程举例和基本概念
几个基本概念
• 非齐次项:在线性偏微分方程中,不含未知函 数及其偏导数的非零项称为非齐次项;
• 非齐次方程:含有非齐次项的方程称为非齐 次方程;
• 齐次方程:不含非齐次项的线性偏微分方程 称为齐次方程。
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§1 偏微分方程举例和基本概念
几个基本概念
• （古典）解:所谓一个m阶偏微分方程在某区 域内的（古典）解，是指这样的函数：它有 直到m阶的一切偏导数，且本身和这些偏导数 都连续，将它及其偏导数替代方程中的未知 函数及其对应的偏导数后，这个方程对其全 体自变量在该区域内成为一个恒等式;
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§2 方程及定解问题的物 理推导
➢若外力F=0，则方程（7）变为
➢utt = a2uxx
(8)
➢(8)称为弦的自由横振动方程。
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2.1 弦振动方程的物理推导
➢一些其它类型的物理问题，如管道中气体小扰动的 传播以及电报方程等问题也可以归结为偏微分方程 （7）、（8）的形式，只是其中未知函数表示的物 理意义不同，同一个方程反映的不是一个物理现象， 而是一类物理现象。
(4)
➢sinαdu(x,t)/dx=ux(x,t)
(5)
➢将（4）、（5）代入（3），两边同时除以Δx得
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2.1 弦振动方程的物理推导
➢Tuxx(x,t) +F= utt
(6)
➢两边同时除以得
➢utt = a2uxx + f
(7)
➢其中，a2 = T/, f = F/
➢这就是弦的强迫横振动方程。
➢TQcosβ-TPcosα= 0 ➢TQsinβ-TPsinα+FΔx= Δxutt
(1) (2)
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2.1 弦振动方程的物理推导
➢可近似认为TQ=TP=T，则(1)变成了cosβcosα 。 ➢（2）变为
➢Tsinβ-Tsinα+FΔx= Δxutt
(3)
➢sinβdu(x+ Δx,t)/dx=ux(x+ Δx, t)
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常见的数学物理方程
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§1 偏微分方程举例和基本 概念
几个基本概念
• 方程的阶：偏微分方程中未知函数的偏导数的最高阶数；
• 线性偏微分方程：一个偏微分方程F(u,Au)=0关于所有未知函 数及所有偏导数都是线性的，则称此方程为线性偏微分方程；
• 非线性偏微分方程：不满足线性偏微分方程条件的偏微分方程；
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§1 偏微分方程举例和基本概念
几个基本概念
• 定解条件:一个偏微分方程的解通常有无穷多个，而每个解都 表示一个特定的运动过程。为了从这无穷多个解中找出一个 我们所研究的具体实际问题要求的解，必须考虑研究对象所 处的周围环境和初始时刻的状态等其它因素对解产生的影响， 从而通过在这些方面的考虑，得到一些已知条件。这样就有 可能确定出一个特定解，这个解既满足方程本身，又满足我 们在考虑各种影响因素时所建立起来的条件。我们把这样的 已知条件称为定解条件;