人教版 七年级下册第六章 实数— 平方根立方根讲义设计

平方根；立方根

一、学习目标：

1. 了解一个数的平方根和算术平方根的意义，理解和掌握平方根的性质；

2. 会求一个非负数的平方根、算术平方根；

3. 掌握立方根的意义，会求一个数的立方根；

4. 理解开立方与立方的关系。

二、重点、难点：

重点：算术平方根、平方根以及立方根的概念和性质。

难点：算术平方根与平方根的区别与联系。

三、考点分析：

中考命题以考查对平方根、算术平方根、立方根的概念的理解程度和估算为主，多以选择题和填空题的形式出现，试题的难度不大，只要对平方根、算术平方根、立方根的有关概念和性质熟练掌握，就能解决中考试题，比较容易得分。

一. 平方根：

1. 算术平方根的概念及表示方法

如果一个正数x的平方等于a，即2x a

a≥

=，那么这个正数x叫做a的算术平方根。当0

时，a a”，a叫做被开方数。

2. 平方根的概念及其性质

（1）平方根的定义

如果一个数的平方等于a，即2x a

=，那么这个数叫做a的平方根或二次方根。即如果2

=，那么x叫做a的平方根。

x a

（2）一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。当

a≥时，a的平方根表示为。

（3）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，其中a叫做被开方数。

3. 用计算器求一个正数的算术平方根

用计算器可以求出任何一个正数的算术平方根（或其近似值）。

二. 立方根：

1. 立方根的概念及表示方法

如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根。即如果3x a

=，那

么x叫做a的立方根，记作0的立方根是0。

2. 开立方的概念

求一个数的立方根的运算，叫做开立方。正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为逆运算。

3. 用计算器求立方根

很多有理数的立方根是无限不循环小数，我们可用计算器求出它们的近似值。

知识点一：算术平方根

例1.下列各数有算术平方根吗？如果有，求出它的算术平方根；如果没有，请说明理由。

（1）81；（2）16

-；（3）0；

（4）25

4

；（5）2

(2)

-；（6）3

(2)

-。

思路分析：根据“正数和0都有算术平方根，负数没有算术平方根”知，（1）、（3）、（4）、（5）有算术平方根，（2）、（6）没有算术平方根。

解答过程：（1）因为81是正数，所以它有算术平方根。又因为2981

=，所以81的算术平方根是9；

（2）因为16

-是负数，所以它没有算术平方根；

（3）0有算术平方根，就是0；

（4）因为25

4

是正数，所以它有算术平方根。又因为2

525

()

24

=，所以

25

4

的算术平方根

是5

2

；

（5）因为2(2)4-=是正数，所以它有算术平方根。又因为224=，所以2(2)-的算术平方根是2；

（6）3(2)8-=-，是负数，所以3(2)-没有算术平方根。

解题后的思考：要判断一个数有没有算术平方根，要根据算术平方根的概念确定这个数是不是非负数，只有非负数才有算术平方根。

以上结论不要死记硬背，同学们要理解为什么负数没有算术平方根？

例2. 已知2(2)|3|0x y -+-，求,,x y z 的值。

思路分析：考虑2(2)x -、|3|y -此题。

解答过程：Q 2(2)|3|0x y -+-

又Q 2(2)0,|3|0x y -≥-≥

∴2(2)0,|3|0x y -=-= ∴20,30,40x y z -=-=-=

解得2,3,4x y z ===。

解题后的思考：一个数的平方、绝对值、非负数的算术平方根都是非负数，如果几个非负数的和为零，那么这几个非负数都为零。这是解决这类问题的出发点。

小结：

1. 只有非负数才有算术平方根，并且只有一个；

2. 一个非负数的算术平方根是一个非负数。

知识点二：平方根的概念及其性质

例3. 求下列各数的平方根和算术平方根： （1）3600；

（2）11

1

25

； （3）0.0001；

（4）2(7)-。

思路分析：因为求一个非负数的平方根的运算与平方运算是互逆运算，所以可借助平方运算来求这些数的平方根和算术平方根。

解答过程：（1）因为2(60)3600±=，所以3600的平方根是60±，即60=±。

3600的算术平方根是6060。

（2）因为11361

2525=

，2636()525±=，所以11125的平方根是6

5

±，即65=±。

111

25的算术平方根是6

5

65。

（3）因为2(0.01)0.0001±=，所以0.0001的平方根为0.01±，即0.01=±。

0.0001的算术平方根为0.010.01=。

（4）因为2(7)49-=，2(7)49±=，所以2(7)-的平方根为7±，即7±。

2(7)-的算术平方根为77=。

解题后的思考：运用平方运算求一个非负数的平方根和算术平方根是常用的方法。如果被开方数是小数，要注意小数点的位置，也可以先将小数化为分数，再求它的平方根和算术平方根；如果被开方数是带分数，要先将带分数化成假分数，再求它的平方根和算术平方根。

例5. 若一个正数a 的两个平方根分别为1x +和3x +，求2008a 的值。

思路分析：由平方根的性质知：一个正数有两个平方根，且它们互为相反数，因而可构

造方程，求出x 的值，而2

)1x (a +=或2)3x (a +=，据此可求出a 的值。

解题后的思考：本题利用平方根的性质，构造一元一次方程，先求出其平方根，再进一步求出a 。这里用到了方程思想，它是初中阶段一种重要的数学思想。

例6. 若,,x y m ，

试求m 的值。

思路分析：从已知关系式看似乎无从下手，但关系式要成立先要有意义，此题从被开方数必须非负入手就能迎刃而解。

解题后的思考a 必须非负，即0a ≥；二是

a 0。

小结：负数没有平方根；一个正数有两个互为相反数的平方根；0的平方根是0

知识点三：平方根的估算

例7. 已知x 2的整数部分，1y -是9的平方根，且||x y y x -=-，求x y +的值。