数学分析之反常积分

第十一章反常积分

教学目的：

1.深刻理解反常积分的概念及其敛散性的含义；

2.熟练掌握无穷积分和瑕积分的性质与敛散性的判别。

教学重点难点：本章的重点是反常积分的含义与性质；难点是反常积分敛散性的判别。

教学时数：8学时

§ 1 反常积分概念（2学时）

教学目的：深刻理解反常积分的概念。

教学重点难点：反常积分的含义与性质

一问题的提出:例（P264）.

二两类反常积分的定义

定义1. 设函数定义在无穷区间上，且在任何有限

区间上可积，如果存在极限

（1）

则称此极限J为函数在上的无穷限反常积分（简称

无穷积分），记作,并称收敛.

如果极限（1）不存在，为方便起见，亦称发散.

定义2. 设函数定义在上，在点的任一右邻域内无界，但在任何内闭区间上有界且可积，如果存在

极

则称此极限为无界函数在上的反常积分，记作

并称反常积分收敛，如果极限不存在，这时也说反常积

分发散.

例1 ⑴讨论积分 , , 的敛散性 .

⑵计算积分.

例 2 讨论以下积分的敛散性 :

⑴; ⑵.

例3 讨论积分的敛散性 .

例4判断积分的敛散性 .

例5 讨论瑕积分的敛散性 ,并讨论积分的敛散性 .

三瑕积分与无穷积分的关系: 设函数连续 , 为瑕点. 有

, 把瑕积分化成了无穷积分;设, 有

，把无穷积分化成了瑕积分.

可见 , 瑕积分与无穷积分可以互化. 因此 ,它们有平行的理论和结果 .

§2. 无穷积分的性质与收敛判定（2学时）

教学目的：深刻理解反常积分敛散性的含义。

教学重点难点：反常积分敛散性的判别。

一无穷积分的性质

⑴在区间上可积 , — Const , 则函数在区间

上可积,且.

⑵和在区间上可积 , 在区间上可积 , 且.

⑶无穷积分收敛的Cauchy准则:

Th 积分收敛 .

⑷绝对收敛与条件收敛: 定义概念.

绝对收敛收敛, ( 证 )但反之不确.绝对型积分与非绝对型积分 .

二比较判别法

非负函数无穷积分判敛法: 对非负函数,有↗. 非负函数无穷

积分敛散性记法.

⑴比较判敛法: 设在区间上函数和非负且

，又对任何>, 和在区间上可

积 . 则 < , < ；, .

例6判断积分的敛散性.

推论1 （比较原则的极限形式） : 设在区间上函数

,. 则

ⅰ> < < , 与共敛散 : ⅱ> , < 时, < ；

ⅲ> , 时, . ( 证 )

推论2 （Cauchy判敛法）: (以为比较对象, 即取

.以下> 0 )设对任何>, , 且, < ；若且, .

Cauchy判敛法的极限形式 : 设是在任何有限区间可积的正值函数. 且. 则

ⅰ> < ；

ⅱ> . ( 证 )

例7讨论以下无穷积分的敛散性 :

ⅰ> ⅱ>

三狄利克雷判别法与阿贝尔判别法:

1.Abel判敛法: 若在区间上可积 , 单调有界 , 则积分收敛.

2.Dirichlet判敛法: 设在区间上有界，在

上单调，且当时，.则积分收敛.

例8 讨论无穷积分与的敛散性.

例9 证明下列无穷积分收敛 , 且为条件收敛 :

, , .

例10 ( 乘积不可积的例 ) 设, 。由例6的结果, 积分收敛 . 但积分却发散.

§3 瑕积分的性质与收敛判别（2学时）

教学目的：熟练掌握无穷积分和瑕积分的性质与敛散性的判别。

教学重点难点：无穷积分和瑕积分敛散性的判别。

类似于无穷积分的柯西收敛准则以及其后的三个性质，瑕积分同样可由函数极限的原意写出相应的命题.

Th ( 比较原则 ) P277 Th11.6.

系1 ( Cauchy判别法 ) P277 推论2.

系2 ( Cauchy判别法的极限形式 ) P277 推论3.

例11判别下列瑕积分的敛散性 :

⑴ ( 注意被积函数非正 ). ⑵.

例12讨论非正常积分的敛散性.

注记. C—R积分与R积分的差异:

1. R, 在上; 但在区间上可积 ,

在区间上有界 .

例如函数

2. R,||R,但反之不正确. R积分是绝对型积分.

||在区间上可积 , 在区间上可积 , 但反之

不正确. C—R积分是非绝对型积分.

3.,R, R; 但和在区间

上可积 , 在区间上可积. 可见,在区间

上可积 , 在区间上可积.

习题、小结（2学时）

第十二章数项级数

教学目的：1.明确认识级数是研究函数的一个重要工具；2.明确认识无穷级数的收敛问题是如何化归为部分和数列收敛问题的；3.理解并掌握收敛的几种判别法，记住一些特殊而常用的级数收敛判别法及敛散性。

教学重点难点：本章的重点是级数敛散性的概念和正项级数敛散性的判别；难点是一般级数敛散性的判别法。

教学时数：18学时

§1 级数的收敛性

一．概念：

1．级数：级数，无穷级数; 通项( 一般项, 第项), 前项部分和等概念( 与中学的有关概念联系). 级数常简记为.

2.级数的敛散性与和: 介绍从有限和入手, 引出无限和的极限思想 .

以在中学学过的无穷等比级数为蓝本, 定义敛散性、级数的和、余

和以及求和等概念 .

例1讨论几何级数的敛散性.（这是一个重要例题！）

解时, . 级数收敛;

时, 级数发散;

时, , , 级数发散;

时, , , 级数发散 .