常微分方程第三版
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f'(x)2x,
即 f(x)2xd x C x2C .
给出了未知函数的导数与未知函数之间的关系式.如何由此式
子求得 u与 t 之间的关系式, 以后再介绍.
.
例3 R-L-C电路
如图所示的R-L-C电路. 它包含电感L,电阻R,电容C及电源e(t). 设L,R,C均为常数,e(t)是时间t的已知函数.试求当开关K合上后,电 路中电流强度I与时间t之间的关系.
因为 I dQ , 于是得到 dt
d2I RdI I 1d(et)
d2tLdtLC L
. dt
这就是电流强度I与时间t所满足的. 数学关系式.
例4 传染病模型: 长期以来,建立传染病的数学 模型来描述传染病的传播过程,一直是各国有关专 家和官员关注的课题.人们不能去做传染病传播的 试验以获取数据,所以通常主要是依据机理分析的 方法建立模型.
第一章 绪论
常微分方程是现代数学的一个重要分支,是人们解决各 种实际问题的有效工具,它在几何,力学,物理,电子技术,自 动控制,航天,生命科学,经济等领域都有着广泛的应用,本 章将通过几个具体例子,粗略地介绍常微分方程的应用,并 讲述一些最基本概念.
.
§1.1 微分方程模型
微分方程:
联系着自变量,未知函数及其导数的关系式.
.
解: 电路的Kirchhoff第二定律:
在闭合回路中,所有支路上的电压的代数和为零.
设当开关K合上后, 电路中在时刻t的电流强度为I(t), 则电流 经过电感L, 电阻R和电容的电压降分别为 L dI , RI, Q, 其中Q 为电量,于是由Kirchhoff第二定律, 得到 dt C
e(t)LdIR IQ0. dt C
.
解: 设t时该时镭元素的量为R(t),
由于镭元素 是 R 的 (t)对 衰时 变间 律的 d就 (R t变 ), dt
依题目中给出镭元衰 素变 的律可:得
dR
dt
k R,
R(0)R0
这里 k0,是由R于 (t)随时间的增加.而减少
解之得: R(t)R0ekt
即镭元素的存量是指数规律衰减的.
.
假设在疾病传考 播察 期地 内区 所的N不 总变 ,人数 时间以天为计 ,假量 设单 条位 :件为
(1 )在 时 刻 t人 群 中 易 感 染 者 (健 康 )和 已 感 染 者 (病 人 )在 总 人 数 中 所 占 比 例 分 别 为 s(t)和 i(t).
(2)每个病人每天的 有平 效均 接人 触 , 数是 称日接.触率 .
教材及参考资料 教 材：常微分方程，(第二版）（97年国家教委一等奖），
王高雄等编（中山大学), 高教出版社。 参考书目： 常微分方程,东北师大数学系编，高教出版社
常微分方程讲义，王柔怀、伍卓群编，高教出版社。
常微分方程及其应用，周义仓等编，科学出版社。
常微分方程稳定性理论. ，许松庆编上海科技出版社。 常微分方程定性理论，张芷芬等编，科学出版社。
解: 根据题设,每个病人每天可使
s(t)个健康者变为病人.
由于病人总人数为 Ni(t),
所以每天共ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ Ns(t)个健康者被感染.
于是病人增加率为
N di Nsi,
dt
又因 s(t)i(t)1,再由初始条件得
di i(1i)
dt
i(0) i0 .
思考与练习
1.曲线上任一点的切线与两坐标轴所围成的三角形
物体的温度与其所在的介质的温度之差成正比.
.
解: 设物体在时刻 t 的温度为 u (t ). 根据导数的物理意义, 则
温度的变化速度为 du . 由Newton冷却定律, 得到 dt
ddut k(uua),
其中 k 0为比例系数. 此数学关系式就是物体冷却过程的数
学模型.
u 注意:此式子并不是直接给出 和 t 之间的函数关系,而只是
常微分方程
常微分方程课程简介 常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、物体和 现象运动、演化和变化规律的最为基本的数学理论和方法。物 理、化学、生物、工程、航空航天、医学、经济和金融领域中 的许多原理和规律都可以描述成适当的常微分方程，如牛顿运 动定律、万有引力定律、机械能守恒定律，能量守恒定律、人 口发展规律、生态种群竞争、疾病传染、遗传基因变异、股票 的涨伏趋势、利率的浮动、市场均衡价格的变化等，对这些规 律的描述、认识和分析就归结为对相应的常微分方程描述的数 学模型的研究。因此，常微分方程的理论和方法不仅广泛应用 于自然科学，而且越来越多的应用于社会科学的各个领域。
为了定量地研究一些实际问题的变化规律,往往是 要对所研究的问题进行适当的简化和假设,建立数学 模型,当问题涉及变量的变化率时,该模型就是微分方 程,下面通过几个典型的例子来说明建立微分方程模 型的过程.
.
例1 镭的衰变规律:
设镭的衰变规律该 与现 该有 时的量成, 正比 且已知 t 0时,镭元素的量 R0克 为,试确定在 任意t时该时镭元素. 的量
例2 物理冷却过程的数学模型
将某物体放置于空气中, 在时刻 t 0 时, 测得它的温度为
u0 150C,10分钟后测量得温度为u1100C.试决定此物
体的温度 u和时间 t 的关系.
Newton 冷却定律: 1. 热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导; 2. 在一定的温度范围内,一个物体的温度变化速度与这一
的面积都等于常数 a 2 ,求该曲线所满足的微分方程.
解: 过点(x, y)的切线的横截距与距纵分截别:为
x
y y'
和y
x
y'.
由题目条件有: 12(xyy' )(yxy')a2
.
2. 求平面上过点(1,3)且每点切线斜率为横坐标2倍的曲 线所满足的微分方程.
解: 设所求的曲线方程为 y f(x). 由导数的几何意义, 应有
.
学习《常微分方程》的目的是用微积分的思想，结合线性代 数，解析几何等的知识，来解决数学理论本身和其它学科中出 现的若干最重要也是最基本的微分方程问题，使学生学会和掌 握常微分方程的基础理论和方法，为学习其它数学理论，如数 理方程、微分几何、泛函分析等后续课程打下基础；同时，通 过这门课本身的学习和训练，使学生学习数学建模的一些基本 方法，初步了解当今自然科学和社会科学中的一些非线性问题， 为他们将来从事相关领域的科学研究工作培养兴趣，做好准备。
即 f(x)2xd x C x2C .
给出了未知函数的导数与未知函数之间的关系式.如何由此式
子求得 u与 t 之间的关系式, 以后再介绍.
.
例3 R-L-C电路
如图所示的R-L-C电路. 它包含电感L,电阻R,电容C及电源e(t). 设L,R,C均为常数,e(t)是时间t的已知函数.试求当开关K合上后,电 路中电流强度I与时间t之间的关系.
因为 I dQ , 于是得到 dt
d2I RdI I 1d(et)
d2tLdtLC L
. dt
这就是电流强度I与时间t所满足的. 数学关系式.
例4 传染病模型: 长期以来,建立传染病的数学 模型来描述传染病的传播过程,一直是各国有关专 家和官员关注的课题.人们不能去做传染病传播的 试验以获取数据,所以通常主要是依据机理分析的 方法建立模型.
第一章 绪论
常微分方程是现代数学的一个重要分支,是人们解决各 种实际问题的有效工具,它在几何,力学,物理,电子技术,自 动控制,航天,生命科学,经济等领域都有着广泛的应用,本 章将通过几个具体例子,粗略地介绍常微分方程的应用,并 讲述一些最基本概念.
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§1.1 微分方程模型
微分方程:
联系着自变量,未知函数及其导数的关系式.
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解: 电路的Kirchhoff第二定律:
在闭合回路中,所有支路上的电压的代数和为零.
设当开关K合上后, 电路中在时刻t的电流强度为I(t), 则电流 经过电感L, 电阻R和电容的电压降分别为 L dI , RI, Q, 其中Q 为电量,于是由Kirchhoff第二定律, 得到 dt C
e(t)LdIR IQ0. dt C
.
解: 设t时该时镭元素的量为R(t),
由于镭元素 是 R 的 (t)对 衰时 变间 律的 d就 (R t变 ), dt
依题目中给出镭元衰 素变 的律可:得
dR
dt
k R,
R(0)R0
这里 k0,是由R于 (t)随时间的增加.而减少
解之得: R(t)R0ekt
即镭元素的存量是指数规律衰减的.
.
假设在疾病传考 播察 期地 内区 所的N不 总变 ,人数 时间以天为计 ,假量 设单 条位 :件为
(1 )在 时 刻 t人 群 中 易 感 染 者 (健 康 )和 已 感 染 者 (病 人 )在 总 人 数 中 所 占 比 例 分 别 为 s(t)和 i(t).
(2)每个病人每天的 有平 效均 接人 触 , 数是 称日接.触率 .
教材及参考资料 教 材：常微分方程，(第二版）（97年国家教委一等奖），
王高雄等编（中山大学), 高教出版社。 参考书目： 常微分方程,东北师大数学系编，高教出版社
常微分方程讲义，王柔怀、伍卓群编，高教出版社。
常微分方程及其应用，周义仓等编，科学出版社。
常微分方程稳定性理论. ，许松庆编上海科技出版社。 常微分方程定性理论，张芷芬等编，科学出版社。
解: 根据题设,每个病人每天可使
s(t)个健康者变为病人.
由于病人总人数为 Ni(t),
所以每天共ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ Ns(t)个健康者被感染.
于是病人增加率为
N di Nsi,
dt
又因 s(t)i(t)1,再由初始条件得
di i(1i)
dt
i(0) i0 .
思考与练习
1.曲线上任一点的切线与两坐标轴所围成的三角形
物体的温度与其所在的介质的温度之差成正比.
.
解: 设物体在时刻 t 的温度为 u (t ). 根据导数的物理意义, 则
温度的变化速度为 du . 由Newton冷却定律, 得到 dt
ddut k(uua),
其中 k 0为比例系数. 此数学关系式就是物体冷却过程的数
学模型.
u 注意:此式子并不是直接给出 和 t 之间的函数关系,而只是
常微分方程
常微分方程课程简介 常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、物体和 现象运动、演化和变化规律的最为基本的数学理论和方法。物 理、化学、生物、工程、航空航天、医学、经济和金融领域中 的许多原理和规律都可以描述成适当的常微分方程，如牛顿运 动定律、万有引力定律、机械能守恒定律，能量守恒定律、人 口发展规律、生态种群竞争、疾病传染、遗传基因变异、股票 的涨伏趋势、利率的浮动、市场均衡价格的变化等，对这些规 律的描述、认识和分析就归结为对相应的常微分方程描述的数 学模型的研究。因此，常微分方程的理论和方法不仅广泛应用 于自然科学，而且越来越多的应用于社会科学的各个领域。
为了定量地研究一些实际问题的变化规律,往往是 要对所研究的问题进行适当的简化和假设,建立数学 模型,当问题涉及变量的变化率时,该模型就是微分方 程,下面通过几个典型的例子来说明建立微分方程模 型的过程.
.
例1 镭的衰变规律:
设镭的衰变规律该 与现 该有 时的量成, 正比 且已知 t 0时,镭元素的量 R0克 为,试确定在 任意t时该时镭元素. 的量
例2 物理冷却过程的数学模型
将某物体放置于空气中, 在时刻 t 0 时, 测得它的温度为
u0 150C,10分钟后测量得温度为u1100C.试决定此物
体的温度 u和时间 t 的关系.
Newton 冷却定律: 1. 热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导; 2. 在一定的温度范围内,一个物体的温度变化速度与这一
的面积都等于常数 a 2 ,求该曲线所满足的微分方程.
解: 过点(x, y)的切线的横截距与距纵分截别:为
x
y y'
和y
x
y'.
由题目条件有: 12(xyy' )(yxy')a2
.
2. 求平面上过点(1,3)且每点切线斜率为横坐标2倍的曲 线所满足的微分方程.
解: 设所求的曲线方程为 y f(x). 由导数的几何意义, 应有
.
学习《常微分方程》的目的是用微积分的思想，结合线性代 数，解析几何等的知识，来解决数学理论本身和其它学科中出 现的若干最重要也是最基本的微分方程问题，使学生学会和掌 握常微分方程的基础理论和方法，为学习其它数学理论，如数 理方程、微分几何、泛函分析等后续课程打下基础；同时，通 过这门课本身的学习和训练，使学生学习数学建模的一些基本 方法，初步了解当今自然科学和社会科学中的一些非线性问题， 为他们将来从事相关领域的科学研究工作培养兴趣，做好准备。