智能运维与健康管理 第3章

13
短时傅里叶变换
由加窗信号 x(t)h(t的傅) 里叶变换产生短时傅里叶变换。
STFTx( , f )
x(t)
h* (t
)
e
j2ft dt
x(t)
h(t
)e
j
2ft
dt
x(t), h(t )e j 2ft
h(t) 是中心位于 0，高度为 1、宽度有限的时窗函数，通过 h(t) 所观察到的 信号 x(t) 的部分是 x(t)h(t) 。 h(t )e j2ft 是 STFT的基函数。
12
短时傅里叶变换
傅里叶变换用平稳的正弦波作为基函数 e j2， ft通过内积运 算去变换信号 ，x(t得) 到其频谱 。X ( f )
X ( f ) x(t)e j2 ftdt x(t)(e j2 ft ) dt x(t), e j2 ft
❖ 这一变换建立了一个从时域到频域的谱分析通道。
a
x(at ),
*(t b )
a
随着尺度因子 a 的改变，通过一个恒定的滤波器 (t b / a) 观察到被伸展或压缩了的信号波形 x(at)。
尺度因子解释了信号在变换过程中尺度的变化，用大尺度 可观察信号的总体，用小尺度可观察信号的细节。
上式解释了为什么在S. G. Mallat的小波信号分解塔形快速 算法中，始终使用同样的低通与高通滤波器的道理。
1
N 1
x4 (n)
N n0
✓
熵最小化准则：S
D
j
L
pi
log
pi
直接衡量基函数与故障动态响应 波形相似性
i 1 L
S Fj pi log pi
i 1
针对具体研究对象，利用某一指 标间接评判基函数分析结果好坏
28
内积匹配评价准则
匹配评价
✓
峭度最大化准则： ~
1
N 1
x4 (n)
N n0
(f )2 H ( f ) 2df
H，( f则) 带宽 为 f
STFT的频率分辨率是 f。两个正弦波之间的频率间隔大 于 ，f则可区分这两个正弦波。
STFT的时间分辨率是 ，t 有
t2 h(t) 2 dt
(t)2 h(t) 2dt
两个脉冲的时间间隔大于，t 则可区分这两个脉冲。
16
短时傅里叶变换
x(t)h(t)
h(t) 1
h(t-τ)
x(t)
0
τ
t
14
短时傅里叶变换
窗函数 h(的t) 选取是关键。最优窗函数是高斯函数。
hG (t) 2
1
t2
e 4
0
高斯窗函数的形状是：
1 ，1/4 ，1/16 15
短时傅里叶变换
给定窗函数 h(和t) 它的傅里叶变换
f 2 H ( f ) 2 df
22
小波变换
小波函数族还可采用如下定义：
b,a (t)
1
a
t
b a
优点是在不同尺度下可以保持各 b,a (t)的频谱中幅频特性 大小一致。因为
设 (t) 的傅里叶变换是 () ，则 a 1ψ(a 1t)的傅里叶变换是
a1 a (a) (a)
与 ()相比，只有频率坐标比例变化，幅度没有变化。
23
小波变换
内积运算可以用卷积运算来表示。这是因为
内积： x(t), (t ) x(t) *(t )dt
5.2.4)
卷积：
x(t) (t) x( ) *(t )d
x(t) *( t)dt
或记作 两式相比较，只是将 (t ) 改成 ( t) [(t )] ，即
(t) 首尾对调。
时间分辨率 t 和频率分辨率 f 不可能同时任意小，根据 Heisenberg不确定性原理，有以下限制
tf 1
上式中，当且仅当采用了高4 斯窗函数，等式成立。 时间分辨率和频率分辨率一旦确定，则STFT在整个时频平 面上的时频分辨率保持不变。 短时傅里叶变换能够分析非平稳动态信号，其基础是傅里 叶变换，更适合分析准平稳(quasi-stationary)信号。 反映信号高频成份需要用窄时窗，而反映信号低频成份需 要用宽时窗。短时傅里叶变换不能同时满足这些要求。
-0.15
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Db10 小波基
频发生
核心零部件和重要机械结构将不可避免地发生 不同程度的故障
4
引言
2007年，因起重机控制系统 故障，清河特殊钢厂发生钢 水包脱落的特别重大事故
事故
2009年，因制动系统故障， 两列火车在湖南郴州相撞
2009年，波音客机因发动机连 接部断裂，在荷兰阿姆斯特丹 机场坠毁
2010年，美军F22战机因飞控 系统故障在阿拉斯加坠毁
STFT
Morlet小波变换 规范正交小波变换 多分辨分析理论
9
内积匹配原理
傅里叶变换
▪ 三角基函数 ei t
短时傅里叶
h(t )eit
共 性：基于Hilbert空 间完备的内积变换
提升小波变换
▪ 更新器与预测 器 P、U
小波变换
▪ 小波基函数 a, b (t)
10
内积匹配原理
傅里叶变换
短时傅里叶
▪ 三角基函数 ei t
h(t )eit
时
域 分
共 性：基于Hilbert空
析
间完备的内积变换
提升小波变换
▪ 更新器与预测 器 P、U
小波变换
▪ 小波基函数 a, b (t)
频 域 分 析
时
间
时
尺
频
度
分
分
析
析
11
内积匹配原理
➢ 在信号处理的各种运算中，内积发挥了重要作用。
内积值最大
x(t), y(t) x(t) y(t)dt
1 T
T 0
1 2
t 2
n
n
hn t n
dt
✓ 余弦函数评价指标： cos C, X
ci xi
i 1
1 n N
n
n
需要格外加装诸如声发射传感器、
ci2
xi 2
i 1
i 1
内嵌式传感器等传感设备采集真
实、纯正的故障动态响应波形。
27
内积匹配评价准则
匹配评价
✓
峭度最大化准则： ~
✓熵最小化准则：S源自DjLpi
log
pi
直接衡量基函数与故障动态响应 波形相似性
i 1 L
S Fj pi log pi
i 1
针对具体研究对象，利用某一指 标间接评判基函数分析结果好坏
这些指标包括时域统计指标、能量、 信息熵、奇异值分解、齿轮和轴承 等典型零部件的特征指标等。
优选的基函数并不一定是与故障特 征最相似，但可认为是在该评价规 范下对故障特征波形最敏感。
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小波变换
近年来在工具和方法上有重大突破的小波变换，为非平稳 信号分析展示了美好的前景。
“小波”就是小的波形。所谓“小”是指局部非零，波形 具有衰减性；“波”则是指它具有波动性，包含有频率的 特性。
小波分析的思想来源于伸缩和平移方法。
1910年A. Haar提出的规范正交系 1984年，J. Morlet在分析地震数据的局部性时引进了小波概念。 1986年，Y. Meyer构造出二进伸缩、平移小波基函数，掀起小波研究热潮。 1987年，S. G. Mallat将多分辨思想引入小波分析，提出快速塔形算法。 1988年，I. Daubechies构造了紧支集正交小波基，完善小波理论体系。 1989到1991年，R. R. Coifman、M. V. Wickerhauser等提出小波包及算法。 1997年，W. Sweldens提出第二代小波变换的概念和算法。
近一个世纪，特别是近二十年来，小波理论和算法发展突
飞猛进。为信号处理领域里各自独立开发的方法建立了一 个统一的框架
18
小波变换
由基本小波或母小波 (t) 通过伸缩 a 和平移 b 产生一个函
数族 b, a (t)称为小波。有
b,
a
(t)
a
1 /
2
t
a
b
式中 a是尺度因子，a 0，b 是时移因子。 a 1，波形收缩； a 1，波形伸展。 a1/ 2 保证在不同的 a 值下，即在小波函数的伸缩过程中能量保持相等。
为机器零部件故障特征频率的分离、微弱信息的提取以实 现早期故障诊断提供了高效、有力的工具。
特别要强调，这些优点来自小波变换的多分辨分析和小波 基函数的正交性。
25
内积匹配评价准则
匹配评价
直接衡量基函数与故障动态响应 波形相似性
针对具体研究对象，利用某一指 标间接评判基函数分析结果好坏
2
✓ 误差最小化准则：Erms
t
b a
的形式将信号
x(t
)分解
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小波变换
对信号 x(t) 进行小波变换相当于通过小波的尺度因子和时移 因子变化去观察信号。
c
c′
t
d′
d
时宽减小（频宽增大）
尺 度
时宽增大（频宽减小）
a 平 移b
小波变换的局部化是变化的，在高频处时间分辨率高，频 率分辨率低；在低频处时间分辨率低，频率分辨率高，即 具有“变焦”的性质，也就是具有自适应窗的性质。
❖ 频谱X(f) 显示了用正弦基函数分解出x(t) 中任一正弦频率f 的总强度。
❖ 傅里叶谱分析提供了平均的频谱系数，只与频率f 有关，而与时间t无关。
❖ 傅里叶分析还要求所分析的随机过程是平稳的.
1946年Gabor提出了窗口傅里叶变换，称为短时傅里叶 变换（Short Time Fourier Transform, STFT）。
如果 (t) 是关于 t 0 的对称函数，则计算结果无区别； 如 果是非对称，在计算方法上也无本质区别。
24
小波变换
当机器发生故障时，信号所包含机器不同零部件的故障特 征频率分布在不同的频带里。
如何提取这些被淹没的微弱信息而实现故障的早期诊断问 题，往往使传统的信号分析技术无能为力。
小波变换能够实现信号在不同频带、不同时刻的合理分离。 这种分离相当于同时使用一个低通滤波器和若干个带通滤 波器而不丢失任何原始信息。
智能运维与健康管理
讲义提纲
1 引言 2 故障诊断内积匹配诊断原理 3 基于小波的特征提取方法 4 基于小波的稀疏特征提取 5 本章小结
PART 01
引言
引言
重疲腐 高 载劳蚀 温
复杂恶劣工 况下运行
机械、运载、能源、冶金、石化、国防等国 民经济各重要行业的关键机械设备
因机械故障 所引起的灾 难性事故频
20
小波变换
WTx a,
1 a
xt t dt
a
xt, a, t
a0
(2.1)
伸缩
xt
镜头 推进 方向
t
以较高频 率作分析
平移
平移方向
以较低频 率作分析
202小2年3波月2多3日分辨分析原理
时频分析对比
21
小波变换
通过变量置换小波变换可改写为
WTx (b,
a) a1/2
x(at) *(t b )dt a1/2
基函数
最相关或相似
➢ 内积变换可视为信号 x(t) 与“基函数”y(t)关系紧密度或相似性 的一种度量。
物理本质：探求信号中包含与基函数最相似或相关的分量
关键技术：合理构造和选择与故障特征相似的基函数
✓ 使基函数与机械动态信号物理特征达到最佳匹配； ✓ 获得不同物理意义并符合工程实际的故障特征信息； ✓ 实现科学、正确的状态监测与故障诊断。
信号 x(t) 的小波变换为
WTx (b, a) a1/ 2
x(t
)
*
(
t
b
)dt
a
x(t), (t b)
a
小波变换是用小波基函数 (t)代替傅里叶变换中的基函数 e j2ft 以及短时傅里叶变 换中的基函数 h(t )e j2ft 而进行的内积运算。
小波变换的实质就是以基函数 为不同频带的子信号。
29
PART 03
基于小波的特征提取方法
小波变换内积运算的仿真验证
无噪混合信号
1
0.5
0
-0.5
-1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
正弦分量
1 0.8 0.6 0.4 0.2
0 - 0.2 - 0.4 - 0.6 - 0.8
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
微弱冲击分量
0.15
0.1
0.05
0
-0.05
-0.1
1 T
T 0
1 2
t 2
n
n
hn t n
dt
ci xi
✓ 余弦函数评价指标： cos C, X
i 1
n
n
1 n N
ci2
xi 2
i 1
i 1
26
内积匹配评价准则
匹配评价
直接衡量基函数与故障动态响应 波形相似性
针对具体研究对象，利用某一指 标间接评判基函数分析结果好坏
2
✓ 误差最小化准则：Erms
5
引言
风电事故
德国最近15年的统计，由行星齿轮箱、叶片等零部件 运行引起的风电机组故障率高达45%以上，严重影响了风电 装备的正常运行。
6
引言
现代机械设 备
故障信号
轴 承
测试
齿
信号
轮
转
机械结构复杂精密
子
早期、微弱故障的特征能量 小，不易识别
受到多种噪声源的干扰
噪声
早期、微弱故障特征提 取是长期的研究热点
7
PART 02
故障诊断内积匹配诊断原理
内积匹配原理
信号处理与故障特征提取技术
频域 分析
时频 分析
时间-尺度 分析
J.B. Fourier(1815) 傅里叶变换
I. Sweldens(1997) 第二代小波变换
D. Gabor(1946) J. Morlet(1982) I Daubechies(1988) S. Mallat(1992)