二次函数的最值、单调性

二次函数的最值以及单调性

（唐翔）

（陕西师范大学陕西西安710062）

摘要二次函数在闭区[A,B]上的最值、单调性是我们的难点，我们要掌握它，并且运用它

关键词二次函数、最大值、最小值、单调性、

单调函数

引言二次函数虽然是初中的内容，但它一直贯穿于我们的学习中，是我们数学中的一大难点，要想学好数学，必须要掌握和运用二次函数。

正文

定义：最高次数为2次的函数叫做二次函数

定理：设f（x）是定义在[A,B]上的二次函数

则- f（x）与f（x）关于（即x轴）对称。

由以上定理，要知道二次函数的最大值、最小值、单调性，我们只需知道其中另一种。

易见，最大值、最小值、单调性与对称轴密切相关。

不妨设f（x）=a+bx+c（a>0）且a，b，c为常数，则对称轴l：x=-顶点坐标（-，）

（1）当x=-≥B时f（x）在闭区[A,B]上单调递减

f（x）的最大值是f（A）=+bA+c

f（x）的最小值是f（B）=+bB+c

（2）当x=-≤A时f（x）在闭区[A,B]上单调递增

f（x）的最大值是f（B）=+bB+c

f（x）的最小值是f（B）=+bB+c

（3）当A<-

f（x）的最小值是f（-）=

i）当--A≥B-(-)时，

f（x）的最大值是f（A）=+bA+c

ii）--A＜B-(-)时，

f（x）的最大值是f（B）=+bB+c

总结二次函数在闭区[a,b]上必有的最大值、最小最、在对称轴两边分别单调，为了简便算最大值、最小值，当区间不包括对称轴时分别作出f（A）f（B）作比较得出结果;当区间不包括对称轴时做出顶纵坐标f（A）f（B）作比较得出结果

（注：这是用既求单调性又求最值的问题）

参考文献

1）北京大学数学系几何与代数研室前代数小组编《高等代数》（第三版）王萼芳石生明修订高等教育出版社出版。

2）曹崇光张显唐孝敏编著《高等代数方法选讲》科学出版社出版（M）。

3) 白术伟《高等代数选讲》哈尔滨：黑龙江教育出版社出版。

4) 东北师范大学数学系编《数学分析》高等教育出版社出版[M].

注：数学中没有一种方法是绝对的，更多的是用于自己的方法有待于广大师生在实际做题中提炼出，只有自己提炼出的才真正属于自己，真正理解、掌握。