高数应用题及答案

高等数学基础应用题及参考答案 2010.12 1.（17页例5）

圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？ 解：如图所示，圆柱体高h 与底半径r 满足

222h r L +=

圆柱体的体积公式为

h r V 2π=

将222r L h =-代入得

22()V L h h π=-

求导得

22222(2())(3)V h L h L h ππ'=-+-=-

令0='V 得33h L =

，并由此解出63r L =.即当底半径63r L =，高33

h L =时，圆柱体的体积最大.

2.17页例6

求曲线2y x =上的点，使其到点()3,0A 的距离最短． 解：曲线2

y x =上的点，到点()3,0A 的距离公式为 ()()()

2222222,,, ,(0)

3069590,

259

52

52

510 ,2510510,.2222P x y PA d y x x d x y x x x x x d x x x x y y P P ==≥-+-=-++=-+'==-+====⎛⎫⎛∴- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝

⎭设所求的点则＝令得易知，是函数d 的极小值点，也是最小值点.此时，所求的点为,或 即曲线2y x =上的点510510,22P P ⎛⎛ ⎝⎭⎝

⎭,或到点()3,0A 的距离最短。 L h r

3.17页例7 欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？ 解：设底边的边长为x ，高为h ，用材料为y ，由已知22108,108x

h h x == x x x x x xh x y 432108442222+=⋅

+=+= 令043222=-

='x x y ，解得6=x 是唯一驻点， 且04322263

>⨯+=''=x x y ，

说明6=x 是函数的极小值点，所以当6=x ，336108==

h 时用料最省。

4.35页第一题

求曲线上的点，使其到点的距离最短．

()()()

((222222223. ,,, 2,(0)

20442240,2242411 212,2,

1,2.

P x y PA d y x x d x y x x x x x d x x x x x x y y P P ==≥-+-=-++=-+'=

==-+-+===⨯==∴解：设所求的点则＝令得易知，是函数d 的极小值点，也是最小值点.

此时，所求的点为1,2或

即曲线22y x =上的点((1,2P P -1,2或到点()2,0A 的距离最短

5.35页第2题

某厂要生产一种体积为V 的无盖圆形铁桶，问怎样才能使用料最省？

解：设容器的底半径为r ，高为h ，则其表面积为

222π2ππV S r rh r r =+=+

222πV S r r '=-

由0='S ，得唯一驻点3

π2V r =，由实际问题可知，当3π2V r =时可使用料最省，此时3πV h =，即当容3π

V

6.35页第3题

欲做一个底为正方形，容积为62.5立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？ 解：设长方体的底边长为x 米，高为h 米，用材料为y . 则

2262.562.5x h h x ==

由已知得 222504y x xh x x

=+=+， 令32

250201255y x x x x '=-===得， 易知，5S x =是函数的极小值点，也是最小值点. 此时有，62.5 2.52.5

h =

= 答：当该长方体的底边长为5米，高为2.5米时用料最省。

7.形考作业册13页第5题

一体积为V 的圆柱体，问底半径与高各为多少时表面积最小？

解：设圆柱体半径为R ，高为h ，表面积为s ，则

2222,222V V h S Rh R R R R

ππππ==+=+

2240V S R R R π'=-==令

得0,0S S ⎛⎫''∈<∈+∞> ⎪ ⎪⎝⎭当R 时，当R 时，

S R ∴=的极小值点，也是最小值点.此时 答：当3

2πV R = 34π

V h =时表面积最大.

h