电路基础-§6-4 三要素法

第六章动态电路§6-4 三要素法

全响应是由外施激励和动态元件的初始储能共同引起的响应。

如图所示电路中，电容C 在开关S 闭合前已充电，其电压为U 0。开关闭合后，电路中的响应是由直流电压源和电容的初始储能共同引起，故属全响应。

一、全响应

我们用经典法来分析计

算这个电路，首先以为u c 变

量，根据KVL 列出换路后的微分方程

S C C U u dt

du RC =+这是一个一阶常系数非齐次微分方程，它的解由特解和对应的齐次微分方程的通解组成，即C

u 'C

u ''C C

C u u u ''+'=满足非齐次微分方程的任一个解都可以作为特解，通常取换路后的稳态值作为该方程的特解，即

S C

U u ='

对应的齐次微分方程0=+C C u dt

du RC 的通解为τ-=''t C

Ae u 其中τ=RC 。因此τ-+=''+'=t S C C C Ae U u u u 将初始条件0)0()0(U u u C C ==-+代入上式，可求得

于是, 得u C 、u R 和i 为S

U U A -=0τ

--+=t S S C e U U U u )(0τ--=-=t S C S R e

U U u U u )(0τ

--==t S R e R U U R u i 0

的曲线如图所示；

0U S

u C

t

U 0

线如图所示：0

U S

u C

U 0

t

如U 0=U S ，电容在换路后既不充电也不放电，电路不发生过渡过程，u C 随时间变化的曲线如图所示：0U 0=U S

u C

t

二、一阶电路全响应的两种分解

全响应是由外施激励和动态元件的初始储能共同引起的响应。根据叠加定理，线性电路的全响应等于仅由动态元件的初始储能引起的零输入响应和仅由外施激励引起的零状态响应的叠加，即

全响应=零输入响应+零状态响应

用经典法求解一阶电路的全响应，建立的微分方程是一阶常系数非齐次微分方程，它的解由特解和对应的齐次微分方程的通解两部分组成。特解为换路后的稳态值，称为稳态分量。通解为一指数函数，随时间而衰减，最终趋于零，是一个暂时存在的分量，称为暂态分量。因此，全响应又等于稳态分量与暂态分量的叠加，即

全响应=稳态分量+暂态分量

换路后，既有稳态分量，又有暂态分量，电路进入过渡过程，等到暂态分量衰减为零时，只剩下稳态分量，过渡过程结束，进入新的稳态。暂态分量衰减越慢，过渡过程持续的时间越长。如果换路后，没有暂态分量，电路就不出现过渡过程，立即进入稳态。

把全响应分解为稳态分量与暂态分量，便于分析电路的工作状态。把全响应分解为零输入响应和零状态响应，便于分析响应与激励的因果关系。

因为一阶非齐次微分方程的解由特解和对应的齐次微分方程的通解组成，特解为换路后的稳态值，通解为一指数函数，所以一阶电路的响应

τ

-+'=''+'=t Ae

t f t f t f t f )()()()(常数A 由初始值确定：由A f f +'=++)0()0(得)

0()0(++'-=f f A 因此，一阶电路响应的一般表达式为

τ-++'-+'=t e f f t f t f )]0()0([)()(三、一阶电路的三要素法

τ

-++'-+'=t e

f f t f t f )]0()0([)()(只要求出稳态分量、初始值、时间常数这三要素，代入上式便可得到一阶电路的响应，这种方法称为三要素法。

在直流电源作用下，稳态分量和稳态分量的初始值是相同的，即

)

()0()(∞='='+f f t f 因此，直流一阶电路响应的一般表达式为

τ

-+∞-+∞=t e

f f f t f )]()0([)()(

注意：

•三要素法仅适用于一阶线性电路。•一阶电路的任何响应都具有上式的形式。

•在同一个一阶电路中的各响应具有相同的时间常数。

τ

-++'-+'=t e

f f t f t f )]0()0([)()(

【例6-5】如图所示电路原已稳定，U S1=30V ，R 1=2kΩ，U S2=40V ，R 2=2kΩ，C=2uF 。试用三要素法求换路后的i 1、i 2和i 3。

解：（1）求初始值。先求独立初始值

V

U u u S C C 30)0()0(1===-+然后画t=0+时刻的等效电路，再求相关初始值

2000

30

30)0()0(111=-=-=++R u U i C S mA

A R u U i C S 5005.0200030

40)0()0(223==-=

-=++mA

i i i 550)0()0()0(312=+=+=+++

（2）求稳态分量。

mA

A R R U U i S S 5.20025.0200020004030)(21211-=-=+-=

+-=∞0

)(2=∞i mA

i i 5.2)()(13=∞-=∞（3）求时间常数。把电容C 看作外电路，其余部分为一有源二

端网络，等效电阻为

Ω

=+⨯=+=10002000

2000200020002121R R R R R i s

C R i 3

6

10210

21000--⨯=⨯⨯==τ