浙江省嘉兴市高一上学期数学期末考试试卷

2023-2024学年浙江省嘉兴市高一(上)期末数学试卷【答案版】

2023-2024学年浙江省嘉兴市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．集合A ＝{x |2≤x ＜4}，B ＝{x |x ≥3}，则A ∩B ＝（） A ．[2，4）B ．[3，+∞）C ．[3，4）D ．[2，3）2．已知sin(π+α)=35，则sin α＝（）A ．45B ．35C ．−45D ．−353．已知函数f(x)={3x −1，x ≤1，12f(x −1)，x ＞1，则f （3）＝（）A ．14B ．12C ．2D ．44．已知a ，b ，m ∈（0，+∞），则“a ＞b ”是“b+m a+m ＞ba”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知α，β都是锐角，cos(α+β)=2√55，sinα=√1010，则cos β＝（） A ．9√210B ．7√210C ．√22D ．√2106．设函数f （x ）＝x 3﹣3x 2，则下列函数是奇函数的是（） A ．f （x +1）+2B ．f （x ﹣1）+2C ．f （x ﹣1）﹣2D ．f （x +1）﹣27．已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，△ABC 是等腰直角三角形，A ，B 为图象与x 轴的交点，C 为图象上的最高点，且|OB |＝3|OA |，则（）A ．f(6)=√22B ．f （1）+f （9）＝0C ．f （x ）在（3，5）上单调递减D ．函数f （x ）的图象关于点(−52，0)中心对称8．已知函数f （x ）＝e x +x ，g （x ）＝lnx +x ，若f （x 1）＝g （x 2）＝t ，则x 1+x 2+2−t 2的最大值为（） A ．94B ．2C ．2e−12D ．3e−1e 2二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2019-2020学年浙江省嘉兴市高一上学期期末考试数学试卷及答案

2
22、(1)当 a 1时, f x
x
1 1
1
x
1
0
,所以
2x x 1
x 1
1 x 2
x 2
所以
2 x x 1
x
或
1
x x
2 1
x 1,解得 x
1 2
5
或 x
( ) 所以当 a 1时,方程 f
x
= 0 的解集为 1
5 ；
2
(2)由题意令
f (x) = 0 得
x
1
1
a
x a ,记 g x
2
a kc a b ab
4k 6 , 2
解得 k 2 .
20、(1)因为
f
x
a 2x
1 2x
x
R 是偶函数,
所以
f
x
f
x ,即 a 2x
1 2x
a 2x
1 2x
,
化简得
a
1
2x
1 2x
0
,
所以 a 1 ；
(2)结论:
f
x
2x
1 2x
在(0,+∞)单调递增.证明如下：
任取 0 x1 x2 ,则
f
x1 f
x2
2 x1
1 2 x1
2
x2
1 2 x2
2 x1
2x2
2 x2 2 x1
2 x1 2x2
2x1 2x2 2x1 x2 1 2x1 x2
因为 0 x1 x2 ,所以 2x1 2x2 0, 2x1 x2 1 0 ,所以 2x1x2 1 0
所以
A．2
B．3
C． 2

2022-2023学年浙江省嘉兴市第一中学、湖州中学高一数学第一学期期末学业水平测试试题含解析

【解析】根据向量的数量积运算以及运算法则，直接计算，即可得出结果.
【详解】因为 a 1， b
3
，且a与bFra bibliotek的夹角为
6
，
所以 a b a b cos 3 ， 62
因此 a b 2a b 2 a 2 a b b 2 2 3 3 1 . 22
故选：A.
5、D
【解析】全称命题的否定是特称命题，把任意改为存在，把结论否定.
A. [0, 2]
B.[0, )
C. (0, 2]
D.[2, )
10．曲线
y
Asin x
a( A
0,
0) 在区间
0,
2π
上截直线
y
2
及
y
1 所得的弦长相等且不为
0
，则下列对
A ， a 的描述正确的是
A. a 1 ， A 3
2
2
B. a 1 ， A 3
2
2
C. a 1， A 1
D. a 1， A 1
直线(除 a 2 时外)与函数 y f (x) 在 (0, 5) 上的图象最多一个公共点，此时 a 0 或 a 2 或 a 不存在，将 a 2 时的直线(含 a 2 )绕 A 顺时针旋转到直线 y 2 (不含直线 y 2 )的位置，旋转过程中的直线与函数 y f (x) 在 (0, 5) 上的图象至少有两个公共点，此时 0 a 2 ，
8．若 x log2 3 1，求 3x 3x （）
A. 5
B. 13
2
6
C. 10
D. 3
3
2
9．定义在 R 上的函数 f (x) 满足 f (x) 2 f (x 2) ，且当 x (1,1] 时， f (x) (1)|x| ，若关于 x 的方程 2

2022-2023学年浙江省嘉兴市南湖区第一中学高一上数学期末统考试题含解析

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
【点睛】本题主要考查平面向量基本定理的应用，熟记平面向量基本定理即可，属于常考题型.
5、C
【解析】对于，当，故错误；对于，由题可知对于任意，为增函数，所以与的正负相同，则，故错误；对于，由，得对于任意，都有；对于，当时，，故错误.
故选C
D对任意，都有
6、D
【解析】A不正确，也有可能；
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）
18、（1），
（2）
【解析】（1）利用三角函数诱导公式将化简，将代入求值即可；
（2）利用将变形为，继而变形为，代入求值即可.
小问1详解】
则
【小问2详解】
由（1）知，
则
19、（1），；（2）
【解析】（1）根据已知的关系式以及函数的奇偶性列出另一个关系式，联立求出函数和的表达式；

2019-2020学年浙江省嘉兴市高一(上)期末数学试卷

2019-2020学年浙江省嘉兴市高一（上）期末数学试卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知A B ⊆，A C ⊆，{2B =-，0，1，9}，{1C =，3，6，9}，则集合A 可以为( ) A ．{1，3}B ．{1，9}C ．{2，0}D ．{2，3}2．（5分）已知正方形ABCD 的边长为1，则||(AB AD +=u u u r u u u r )A ．2B ．3C ．2D ．223．（5分）若点(sin ,tan )P αα在第二象限，则角α的终边所在的象限为( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．（5分）设函数1()()21x f x x R =∈+，则它的值域为( ) A ．(0,1)B ．(0,2)C ．(1,)+∞D ．(2,)+∞5．（5分）已知平面向量,a b r r 满足||23,||4a b ==r r ，且,a b rr 的夹角为30︒，则( )A ．()a a b ⊥+r r rB ．()b a b ⊥+r r rC ．()b a b ⊥-r r rD ．()a a b ⊥-r r r6．（5分）函数()sin()4f x x π=+，则()(f x )A ．在(0,)2π上单调递增B ．在3(,)44ππ上单调递增C ．在37(,)44ππ上单调递增 D ．在57(,)44ππ上单调递增 7．（5分）函数()f x 的图象如图所示，则它的解析式可能是( )A ．21()2xx f x -=B ．()2(||1)x f x x =-C ．()||||f x ln x =D ．()1x f x xe =-8．（5分）为了得到函数cos(4)3y x π=+的图象，可以将函数sin 4y x =的图象( )A ．向左平移524π个单位 B ．向右平移524π个单位C ．向左移动56π个单位 D ．向右平移56π个单位 9．（5分）已知||||1OA OB ==u u u r u u u r ，60AOB ∠=︒，OC OA OB λμ=+u u u r u u u r u u u r ，其中实数λ，μ满足12λμ+剟，0λ…，0μ…，则点C 所形成的平面区域的面积为( )A ．3B ．33C ．3 D ．3 10．（5分）若不等式(||)cos()023x a b x ππ--+…对[1x ∈-，3]恒成立，则(a b -= )A ．13B ．23C ．56D ．73二、填空题：11．（6分）若2log 3a =，3log 2b =，则a b =g ，lga lgb += ．12．（6分）设函数1,1,(),1,x e x f x lnx x ⎧-<=⎨⎩…则(0)f 的值为；若f （a ）2=，则a = ．13．（6分）已知向量(,12),(4,5),(,10)OA k OB OC k ===-u u u r u u u r u u u r ，若||||AB BC =u u u r u u u r，则k = ；若A ，B ，C 三点共线，则k = ．14．（6分）若tan 2α=，则sin 3cos sin cos αααα+=- ，sin cos αα= ．15．（5分）设函数22,0,()2,0,x x f x x x x -⎧=⎨-+>⎩„若(f f （a ）)30+…，则实数a 的取值范围是． 16．（5分）如图所示，2OD =，4OE =，60DOE ∠=︒，3,3AB AD AC AE ==u u u r u u u r u u u r u u u r ，则BC OE =u u u r u u u rg ．17．（5分）设()||f x x x a x =--，对任意的实数(1,2)a ∈-，关于x 的方程()f x tf =（a ）共有三个不相等的实数根，则实数t 的取值范围是．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（12分）已知集合2{|4120|}A x x x =--„，{|222|}B x a x a =-+剟．（Ⅰ）若1a =，求()U A B I ð；（Ⅱ）若[4A B =-U ，6]，求实数a 的值．19．（12分）已知平面向量(2,4),(3,5),(2,6)a b c ===-r r r．（Ⅰ）若a xb yc =+r r r，求x y +的值；（Ⅱ）若a kc +r r在a b -r r k ．20．（12分）已知函数1()2()2x xf x a x R =+∈g 是偶函数．（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）当(0,)x ∈+∞时，判断函数()f x 的单调性，并证明你的结论．21．（12分）已知函数()sin()(0,0)3f x A x A πωω=+>>的图象经过点，且图象上相邻两条对称轴之间的距离为2π．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式及它的单调递增区间；（Ⅱ）是否存在实数m ，使得不等式f f >成立？若存在，请求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由． 22．（13分）已知函数1()||1f x a x a x =--+-，(1,)x ∈+∞．（Ⅰ）若1a =，求方程()0f x =的解；（Ⅱ）若函数()y f x =恰有两个不同的零点1x ，212()x x x <，求12x x +的值．2019-2020学年浙江省嘉兴市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知A B ⊆，A C ⊆，{2B =-，0，1，9}，{1C =，3，6，9}，则集合A 可以为( ) A ．{1，3}B ．{1，9}C ．{2，0}D ．{2，3}【解答】解：由已知条件可得：{1B C =I ，9}，由A B ⊆，A C ⊆，所以{1A =，9}，故选：B ．2．（5分）已知正方形ABCD 的边长为1，则||(AB AD +=u u u r u u u r )A ．2B ．3CD ．【解答】解：Q 正方形ABCD 的边长为1，∴AB AD AC +=u u u r u u u r u u u r，||AC ==u u u r||||AB AD AC ∴+==u u u r u u u r u u u r故选：C ．3．（5分）若点(sin ,tan )P αα在第二象限，则角α的终边所在的象限为( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：由题意，点(sin ,tan )P αα位于第二象限，所以sin 0tan 0αα<⎧⎨>⎩，所以α在第三象限；故选：C ．4．（5分）设函数1()()21xf x x R =∈+，则它的值域为( ) A ．(0,1)B ．(0,2)C ．(1,)+∞D ．(2,)+∞【解答】解：20x >Q ，211x ∴+>，∴10121x<<+，即函数的值域为(0,1)．故选：A ．5．（5分）已知平面向量,a b r r 满足|||4a b ==r r ，且,a b rr 的夹角为30︒，则( )A ．()a a b ⊥+r r rB ．()b a b ⊥+r r rC ．()b a b ⊥-r r rD ．()a a b ⊥-r r r【解答】解：Q 平面向量,a b r r 满足||23,||4a b ==r r ，且,a b rr 的夹角为30︒， ∴对于22:()(23)234cos30240A a a b a a b +=+=+⨯⨯︒=≠r rr r r r gg ；对于22:()4423cos30280B b a b b a b +=+=+⨯⨯︒=≠r r r rr r g g；对于22:()4423cos3020C b a b b a b -=-=-⨯⨯︒=≠r r r rr r g g；对于22:()(23)234cos300D a a b a a b -=-=-⨯⨯︒=r rr r r r g g； ∴()a a b ⊥-rr r 故选：D ．6．（5分）函数()sin()4f x x π=+，则()(f x )A ．在(0,)2π上单调递增B ．在3(,)44ππ上单调递增C ．在37(,)44ππ上单调递增 D ．在57(,)44ππ上单调递增【解答】解：由于函数()sin()4f x x π=+，故在(0,)2π上，(44x ππ+∈，3)4π，函数()f x 没有单调性，故排除A ；在(4π，3)4π上，(42x ππ+∈，)π，函数()f x 单调第减，故排除B ；在3(4π，7)4π上，(,2)4x πππ+∈，函数()f x 没有单调性，故排除C ，在5(4π，7)4π上，3(42x ππ+∈，2)π，函数()f x 单调第增，故D 满足条件，故选：D ．7．（5分）函数()f x 的图象如图所示，则它的解析式可能是( )A ．21()2xx f x -=B ．()2(||1)x f x x =-C ．()||||f x ln x =D ．()1x f x xe =-【解答】解：由图象可知，函数的定义域为R ，故排除C ；由f （1）0=可知，故排除D ；当x →-∞时，()0f x →，故排除A ；故选：B ．8．（5分）为了得到函数cos(4)3y x π=+的图象，可以将函数sin 4y x =的图象( )A ．向左平移524π个单位 B ．向右平移524π个单位 C ．向左移动56π个单位 D ．向右平移56π个单位【解答】解：将函数sin 4y x =的图象向左平移524π个单位，得到5sin(4)cos(4)63y x x ππ=+=+的图象，故选：A ．9．（5分）已知||||1OA OB ==u u u r u u u r ，60AOB ∠=︒，OC OA OB λμ=+u u u r u u u r u u u r，其中实数λ，μ满足12λμ+剟，0λ…，0μ…，则点C 所形成的平面区域的面积为( )ABCD【解答】解：建立平面直角坐标系；因为||||1OA OB ==u u u r u u u r，60AOB ∠=︒，所以(1,0)A ，1(2B；设(,)C x yQ OC OA OB λμ=+u u u r u u u r u u u r，∴12x y λμ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩⇒x y y λμ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；Q 实数λ，μ满足12λμ+剟，0λ…，0μ…，∴0120x y x y y ⎧⎪⎪⎪⎪+⎨⎪⎩…剟…；对应区域如图：；由31(231x yA xy⎧-=⎪⎪⇒⎨⎪+=⎪⎩，3)；3(1,3)32x yBx y⎧-=⎪⎪⇒⎨⎪+=⎪⎩；3331123122OBD OACS S S∆∆∴=-=⨯⨯-⨯⨯=阴影；即点C所形成的平面区域的面积为33．故选：B．10．（5分）若不等式(||)cos()023x a b xππ--+…对[1x∈-，3]恒成立，则(a b-=) A．13B．23C．56D．73【解答】解：当113x-剟或733x剟时，cos()023xππ+…；当1733x剟时，cos()023xππ+„，∴当113x-剟或733x剟时||0x a b--…；当1733x剟时，||0x a b--„，设()||f x x a b =--，则()f x 在(,)a -∞上单调递减，在(,)a +∞上单调递增，且()f x 的图象关于直线x a =对称， 17()()033f f ∴==，1782333a ∴=+=，即43a =，又774()||0333f b =--=，故1b =．41133a b ∴-=-=．故选：A ．二、填空题：11．（6分）若2log 3a =，3log 2b =，则a b =g 1 ，lga lgb += ．【解答】解：2log 3a =Q ，3log 2b =，则32123lg lg a b lg lg ==g g ， 10lga lgb lgab lg +===．故答案为：1，0．12．（6分）设函数1,1,(),1,x e x f x lnx x ⎧-<=⎨⎩…则(0)f 的值为 0 ；若f （a ）2=，则a = ．【解答】解：根据题意，函数1,1,(),1,x e x f x lnx x ⎧-<=⎨⎩…，则0(0)1110f e =-=-=，若f （a ）2=，当1a <时，f （a ）12a e =-=，解可得31a ln =>，舍去；当1a …时，f （a ）2lna ==，解可得2a e =，符合题意；故2a e =，故答案为：0，2e ，13．（6分）已知向量(,12),(4,5),(,10)OA k OB OC k ===-u u u r u u u r u u u r ，若||||AB BC =u u u r u u u r ，则k = 32；若A ，B ，C 三点共线，则k = ．【解答】解：Q (,12),(4,5),(,10)OA k OB OC k ===-u u u r u u u r u u u r， ∴(4,7)AB OB OA k =-=--u u u r u u u r u u u r ，(4,5)CB OB OC k =-=+-u u u r u u u r u u u r ，Q 若||||AB BC =u u u r u u u r ，∴32k ==， A Q 、B 、C 三点共线，(5)(4)(7)(4)0k k ∴-⨯---⨯+=，解得23k =-．故答案为：32；23- 14．（6分）若tan 2α=，则sin 3cos sin cos αααα+=- 5 ，sin cos αα= ．【解答】解：sin 3cos tan 3235sin cos tan 121αααααα+++===---，222sin cos tan 22sin cos 1415sin cos tan αααααααα=∴===+++，故答案为：5，25． 15．（5分）设函数22,0,()2,0,x x f x x x x -⎧=⎨-+>⎩„若(f f （a ）)30+…，则实数a 的取值范围是3[,)2-+∞ ．【解答】解：根据()f x 的解析式作出其图象如图所示：由图可知当()3f x =-时仅有一解3x =，当()3f x =时仅有一解32x =-．令f （a ）t =，则(f f （a ）)30+…，即()3f t -…，3t ∴„，即f （a ）3„，32a ∴-…． a ∴的取值范围为3[,)2-+∞．故答案为：3[,)2-+∞．16．（5分）如图所示，2OD =，4OE =，60DOE ∠=︒，3,3AB AD AC AE ==u u u r u u u r u u u r u u u r ，则BC OE =u u u r u u u rg 36 ．【解答】解：连接DE ；Q 3,3AB AD AC AE ==u u u r u u u r u u u r u u u r ，//DE BC ∴且13DE BC =；∴2233()3334324cos6036BC OE DE OE OE OD OE OE OE OD ==-=-=⨯-⨯⨯⨯︒=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g g g ；故答案为：3617．（5分）设()||f x x x a x =--，对任意的实数(1,2)a ∈-，关于x 的方程()f x tf =（a ）共有三个不相等的实数根，则实数t 的取值范围是 (0,1) ．【解答】解：根据解析式可得f （a ）a =-，由题意得，关于x 的方程()f x tf =（a ）有三个不相等的实数根即()f x at =-有三个不相等的实数根；即()y f x =与y at =-有三个不同的交点； 22(1),()(1),x a x x af x x a x x a ⎧-+=⎨-+-<⎩…，（1）当12a <„时，1122a a a -+剟，则()f x 在1(,)2a --∞上单调递增，在1(2a -，)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增，故21(1)()24a a f x f --⎛⎫==⎪⎝⎭极大值，()f x f =极小值（a ）a =-，所以需满足(1)2/4a ata sup sup at -<-⎧⎪⎨-<><>>-⎪⎩对任意(1,2)a ∈恒成立，解得01t <<；（2）当11a -<<时，1122a a a -+<<，则()f x 在1(,)2a --∞上单调递增，在1(2a -，1)2a +上单调递减，在1(2a +，)+∞上单调递增，故21(1)()24a a f x f --⎛⎫== ⎪⎝⎭极大值，21(1)()24a a f x f ++⎛⎫==-⎪⎝⎭极小值，则需22(1)(1)44a a at +--<-<对任意11a -<<恒成立， ①当0a =时，11044-<<成立，此时t R ∈，②当01a <<时，112244a a a a t ++-+-<-<恒成立，解得01t 剟， ③当10a -<<时，112244a a a a t ++-+<<-恒成立，解得01t 剟，综上01t 剟，结合（1）（2）得(0,1)t ∈，故答案为(0,1)．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（12分）已知集合2{|4120|}A x x x =--„，{|222|}B x a x a =-+剟．（Ⅰ）若1a =，求()U A B I ð；（Ⅱ）若[4A B =-U ，6]，求实数a 的值．【解答】解：（Ⅰ）当1a =时，{|24}B x x =-剟，{|26}A x x =-剟，所以{|2U C B x x =<-或4}x >，所以(){|46}U A B x x =<I „ð．（Ⅱ）[4A B =-Q U ，6]，∴242226a a -=-⎧⎨-+⎩剟，即222a a =⎧⎨-⎩剟，解得2a =．19．（12分）已知平面向量(2,4),(3,5),(2,6)a b c ===-r r r ．（Ⅰ）若a xb yc =+r r r，求x y +的值；（Ⅱ）若a kc +r r在a b -r rk ．【解答】解：（Ⅰ）因为(2,4),(3,5),(2,6)a b c ===-r r r，所以(32,56)xb yc x y x y +=-+r r，又a xb yc =+r r r ，所以322564x y x y -=⎧⎨+=⎩，解得57114x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以1114x y +=（Ⅱ）由题意知(1,1),(22,46)a b a kc k k -=--+=-+r r r r，所以||)()(22)(46)46a b a kc a b k k k -+-=---+=--r rr r r r g，因为a kc +r r在a b -r r，()()||a kc a b a b +--rr r r g rr 解得2k =-20．（12分）已知函数1()2()2x x f x a x R =+∈g 是偶函数．（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）当(0,)x ∈+∞时，判断函数()f x 的单调性，并证明你的结论．【解答】解：（Ⅰ）因为1()2()2x xf x a x R =+∈g 是偶函数，所以()()f x f x -=，即112222x xx xa a --+=+g g ，化简得1(1)(2)02x xa --=，所以1a = （Ⅱ）结论：1()22x xf x =+在(0,)+∞单调递增．下证之．任取120x x <<，则2112121212121212121122(22)(21)()()2(2)2222222x x x x x x x x x x x x x x x x f x f x ++----=+-+=-+=g因为120x x <<，所以1212220,210x x x x +-<>>，所以12210x x +>>所以121212(22)(21)02x x x x x x ++--<，即12()()f x f x <所以1()22x x f x =+在(0,)+∞单调递增．21．（12分）已知函数()sin()(0,0)3f x A x A πωω=+>>的图象经过点，且图象上相邻两条对称轴之间的距离为2π．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式及它的单调递增区间；（Ⅱ）是否存在实数m ，使得不等式f f >成立？若存在，请求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）因为函数()sin()(0,0)3f x A x A πωω=+>>的图象经过点，所以(0)sin 3f A π=，解得2A =又函数图象上相邻两条对称轴之间的距离为2π得4T π=，又由2T πω=，得12ω=，所以1()2sin()23f x x π=+结合函数sin y x =的单调性，令122()2232k x k k Z πππππ-+++∈剟，解得54433k x k ππππ-++剟，所以函数()f x 的单调递增区间是5[4,4]()33k k k Z ππππ-++∈，（Ⅱ）由题意知222010m m m ⎧-+⎨-+⎩……，所以01m 剟，[0,1] 由函数()f x 的单调递增区间是5[4,4]()33k k k Z ππππ-++∈知，()f x 在[0，1]上单调递增，又f f >，所以>，解得12m >，结合01m 剟，得112m <„． 22．（13分）已知函数1()||1f x a x a x =--+-，(1,)x ∈+∞．（Ⅰ）若1a =，求方程()0f x =的解；（Ⅱ）若函数()y f x =恰有两个不同的零点1x ，212()x x x <，求12x x +的值．【解答】解：（Ⅰ）当1a =时，1()|1|101f x x x =--+=-，所以2||11xx x -=-- 所以12211x x x x <<⎧⎪-⎨=-⎪-⎩或2211x x x x ⎧⎪-⎨=-⎪-⎩…，解得x =x ∈∅所以当1a =时，方程()0f x =的解集为⎪⎪⎩⎭（Ⅱ）由题意令()0f x =得1||1a x a x -=--，记1()||,()1g x a h x x a x =-=--，作函数()g x 与()h x 的图象，由函数()y f x =在定义域(1,)+∞内恰有两个不同的零点1x ，212()x x x <，可知0a „不合题意，故0a >如图所示，要使函数()y f x =恰有两个不同的零点，则应有直线y x a =-与函数1()||1g x a x =--的图象相切或者直线y x a =-经过点1(1,0)a+，（1）当直线y x a =-与函数1()||1g x a x =--的图象相切时，联立方程11y x a y a x =-⎧⎪⎨=-⎪-⎩，消去y 得2(21)210x a x a -+++=，由△0=得2(21)4(21)0a a +-+=，所以12a =-（舍去）或32a =此时22x =，直线32y x =-，联立1312y x =--，解得115x +=所以1255x x ++=（2）当直线y x a =-经过点1(1,0)a +时，有101a a=+-，所以210a a --=，得15a += 此时直线方程为11515,y x x ++=-=联立151511y x y x ⎧+=-⎪⎪⎨+⎪=-⎪-⎩，消去y 解得235x +=，所以1225x x +=+．综上所述，当32a =时，1255x x ++=；当15a +=时，1225x x +=+．。

浙江省嘉兴市2023-2024学年高一上学期1月期末检测数学试题(含答案)

嘉兴市2023~2024学年第一学期期末检测高一数学试题卷（答案在最后）（2024.1）本试题卷共6页，满分150分，考试时间120分钟.考生注意：1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上.2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}24,3A x x B x x =≤<=≥，则A B = （）A.[)2,4 B.[)3,4 C.[)2,+∞ D.[)3,+∞【答案】B 【解析】【分析】由交集的定义求解即可.【详解】因为集合{}{}24,3A x x B x x =≤<=≥，所以A B ⋂{}34x x =≤<.故选：B .2.已知()3sin π5α+=，则sin α=（）A.45 B.35 C.45-D.35-【答案】D 【解析】【分析】应用诱导公式()sin πsin αα+=-，求解即可.【详解】由诱导公式()sin πsin αα+=-，且()3sin π5α+=，可得3sin 5α-=，即3sin 5α=-.故选：D.3.已知函数()()31,111,12x x f x f x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，则()3f =（）A.14B.12C.2D.4【答案】B 【解析】【分析】利用函数()f x 的解析式可求得()3f 的值.【详解】因为()()31,111,12x x f x f x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，则()()()113113212442f f f -====.故选：B.4.已知(),,0,a b m ∈+∞，则“a b >”是“b m ba m a+>+”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】利用作差法，得出b m ba m a+>+的等价条件()0()m a b a a m ->+，再分析充分性和必要性，即可得出结论.【详解】由于()()b m b m a b a m a a a m +--=++，则b m ba m a+>+成立，等价于()0()m a b a a m ->+成立，充分性：若a b >，且(),,0,a b m ∞∈+，则0,0a m a b +>->，则()0()m a b a a m ->+，所以b m ba m a+>+成立，满足充分性；必要性：若b m ba m a+>+，则()0()m a b a a m ->+成立，其中(),,0,a b m ∞∈+，且0a m +>，则可得0a b ->成立，即a b >成立，满足必要性；故选：C.5.已知,αβ都是锐角，()2510cos ,sin 510αβα+==，则cos β=（）A.10B.10 C.2D.10【答案】B 【解析】【分析】根据()βαβα=+-，结合同角三角关系以及两角和差公式运算求解.【详解】因为,αβ都是锐角，则()0,παβ+∈，则()sin ,cos 510αβα+==，所以()()()cos cos cos cos sin sin βαβααβααβα⎡⎤=+-=+++⎣⎦51051010=⨯+⨯=.故选：B.6.设函数()323f x x x =-，则下列函数是奇函数的是（）A.()12f x ++B.()12f x -+C.()12f x --D.()12f x +-【答案】A 【解析】【分析】化简各选项中函数的解析式，利用函数奇偶性的定义判断可得出合适的选项.【详解】因为()323f x x x =-，对于A 选项，()()()32322312131233136323f x x x x x x x x x x ++=+-++=+++---+=-，令()313f x x x =-，该函数的定义域为R ，()()()()331133f x x x x x f x -=---=-+=-，则()12f x ++为奇函数，A 满足要求；对于B 选项，()()()323221213123313632f x x x x x x x x -+=---+=-+--+-+32692x x x =-+-，令()322692f x x x x =-+-，该函数的定义域为R ，则()2020f =-≠，所以，函数()12f x -+不是奇函数，B 不满足条件；对于C 选项，()()()323221213123313632f x x x x x x x x --=----=-+--+--32696x x x =-+-，令()323696f x x x x =-+-，该函数的定义域为R ，则()3060f =-≠，所以，函数()12f x --不是奇函数，C 不满足条件；对于D 选项，()()()323223121312331363234f x x x x x x x x x x +-=+-+-=+++----=--，令()3434f x x x =--，该函数的定义域为R ，则()4040f =-≠，所以，函数()12f x +-不是奇函数，D 不满足要求.故选：A.7.已知函数()()sin (0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<的部分图象如图所示，ABC 是等腰直角三角形，,A B 为图象与x 轴的交点，C 为图象上的最高点，且3OB OA =，则（）A.()262f =B.()()190f f +=C.()f x 在()3,5上单调递减 D.函数()f x 的图象关于点5,02⎛⎫-⎪⎝⎭中心对称【答案】D 【解析】【分析】根据C 为图象上的最高点，且点C 的纵坐标为1，ABC 为等腰直角三角形可以求出2AB =，进而求出周期，即求出ω，将点C 代入即可求出ϕ，从而确定函数()f x 解析式，再逐项判断.【详解】由ABC 为等腰直角三角形，C 为图象上的最高点，且点C 的纵坐标为1，所以2AB =．则函数()f x 的周期为4，由2π4ω=，0ω>，可得π2=ω，又3OB OA =，所以13,0,,022A B ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则1,12C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，将点C 代入()πsin 2f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，得π1sin 4ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则ππ2π42k ϕ+=+，k ∈Z ．而0πϕ<<，则π4ϕ=，所以()ππsin 24f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭,则()2ππ6s n i 624f ⎛⎫⨯+=-⎪⎝=⎭，A 错误；()()419sin s ππππ3π3πsin sin 92424i 4n f f ⎛⎫⎛⎫++⨯++= ⎪ ⎪⎝⎭=⎝+=⎭，B 错误；若()3,5x ∈，则ππ7π11π,2444x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，显然函数不是单调的，C 错误；()5π5πsin sin π02224f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯-+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以函数()f x 的图象关于点5,02⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称，D 正确.故选：D.8.已知函数()e xf x x =+，()lng x x x =+，若()()12f x g x t ==，则2122x x t ++-的最大值为（）A.94B.2C.2e 12- D.23e 1e -【答案】A 【解析】【分析】由已知可得出()()ln g x f x =，分析函数()f x 的单调性，可得出12ln x x =，即可得出221222x x t t t ++-=+-，结合二次函数的基本性质可求得2122x x t ++-的最大值.【详解】因为函数e x y =、y x =均为R 上的增函数，所以，函数()e xf x x =+为R 上的增函数，()()ln ln e ln ln x g x x x x f x =+=+=，因为()()()122ln f x g x f x t ===，其中t ∈R ，所以，12ln x x =，故222212221992ln 22244x x t x x t t t t ⎛⎫++-=++-=+-=--+≤ ⎪⎝⎭，当且仅当12t =时等号成立，故2122x x t ++-的最大值为94.故选：A.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于利用指对同构思想结合函数单调性得出12ln x x =，将所求代数式转化为以t 为自变量的函数，将问题转化为函数的最值来处理.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.已知幂函数()f x x α=的图象经过点()4,2，则（）A.12α=B.()f x 的图象经过点()1,1C.()f x 在[)0,∞+上单调递增 D.不等式()f x x ≥的解集为{}1xx ≤∣【答案】ABC 【解析】【分析】根据题意，代入法确定函数解析式，从而依次判断选项即可.【详解】由幂函数()f x x α=的图象经过点()4,2，则24α=，得12α=，所以幂函数()12f x x ==，所以A 正确；又()11f ==，即()f x 的图象经过点()1,1，B 正确；且()f x 在[)0,∞+上单调递增，C 正确；不等式()f x x ≥x ≥，解得01x ≤≤，D 错误.故选：ABC.10.已知0a >，0b >，且1a b +=，则（）A.18ab ≥B.221a b +>C.11022a b ⎛⎫⎛⎫--≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭D.11lnln 1a b+>【答案】CD 【解析】【分析】利用特殊值法可判断A 选项；利用二次函数的基本性质可判断B 选项；利用不等式的基本性质可判断C 选项；利用基本不等式结合对数函数的单调性可判断D 选项.【详解】对于A 选项，取18a =，78b =，则71648ab =<，A 错；对于B 选项，因为0a >，0b >，且1a b +=，则10b a =->，可得01a <<，所以，111222a -<-<，则211024a ⎛⎫≤-< ⎪⎝⎭，因为()22222211112212,1222a b a a a a a ⎛⎫⎡⎫+=+-=-+=-+∈ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭，B 错；对于C 选项，21111111102222222a b a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=---=--=--≤ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当12a =时，等号成立，C 对；对于D 选项，因为21024a b ab +⎛⎫<≤= ⎪⎝⎭，当且仅当1a b a b =⎧⎨+=⎩时，即当12a b ==时，等号成立，所以，()1111lnln ln ln ln ln 414ab a b ab +==-≥-=>，D 对.故选：CD.11.已知函数()()22*sin cos kkk f x x x k =+∈N ，值域为kA ，则（）A.21,12A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ B.()*,k k f x ∀∈N 的最大值为1C.*1,k k k A A +∀∈⊆N D.*k ∃∈N ，使得函数()k f x 的最小值为13【答案】AB 【解析】【分析】对于A ，利用换元法与二次函数的单调性即可判断；对于B ，利用指数函数的单调性即可判断；对于C ，利用幂函数的单调性即可判断；对于D ，结合ABC 选项的结论，求得3A ，从而得以判断.【详解】对于A ，因为22sin cos 1x x +=，故()2222sin cos 1cos cos kk k k x x x x+=-+今2cos x t =，则22sin cos (1),[0,1]k k k k x x t t t +=-+∈，当2k =时，222211(1)221222t t t t t ⎛⎫-+=-+=-+ ⎪⎝⎭，因为[0,1]t ∈，211222y t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，所以21,12A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，故A 正确；对于B ，因为[0,1]t ∈，011t ≤-≤，则(1)(1)k t t -≤-且k t t ≤，故(1)11k k t t t t -+≤-+=，当且仅当0=t 或1t =时，(1)1k k t t -+=，所以()k f x 最大值为1，故B 正确；对于C ；因为[0,1]t ∈，011t ≤-≤，则11(1)(1),k k k k t t t t ++-≤-≤，即11(1)(1)k k k k t t t t ++-+≤-+，所以()()1min min k k f x f x +≤，由选项B 又知()1k f x +与()k f x 的最大值都为1，所以1k k A A +⊆，故C 错误；对于D ，当3k =时，233211(1)331324t t t t t ⎛⎫-+=-+=-+ ⎪⎝⎭，因为[0,1]t ∈，211324y t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，在10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，所以31,14A ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，又()()1min min k k f x f x +≤，所以当3k >时，()min 14k f x ≤，又21,12A ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，易知{}11A =，故不可能存在*N k ∈使()k f x 最小值为13，故D 错误.故选：AB.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于利用换元法将函数转化为二次函数，从而得解.12.设定义在R 上的函数()f x 满足()()()20,1f x f x f x ++=+为奇函数，当[]1,2x ∈时，()2=⋅+x f x a b ，若()01f =-，则（）A.()10f =B.12a b +=-C.()21log 242f =- D.()2f x +为偶函数【答案】ABD【解析】【分析】由题意可得()()110f x f x ++-+=可判断A ；由()01f =-可得()21f =，列方程组，解出,a b 可判断B ；由函数的周期性、对称性和对数函数的运算性质可判断C ；由()()()()2,2f x f x f x f x +=--=-得()()22f x f x +=-可判断D .【详解】选项A ：因为()1f x +为奇函数，所以()()110f x f x ++-+=，即()f x 关于()1,0对称，又()f x 是定义在R 上的函数，则()10f =，故A 正确；选项B ：由()01f =-可得()21f =，则有120124121a b a a b a b b ⎧+==⎧⎪⇒⇒+=-⎨⎨+=⎩⎪=-⎩，故B 正确；选项C ：因为()()2f x f x +=-，所以()()()42f x f x f x +=-+=，即()f x 的周期为4；因为224log 2450log 2441<<⇒<-<，即230log 12<<，所以()223log 24log 2f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭；因为()f x 关于()1,0对称，所以()()=2f x f x --，则2223381log 2log log 2233f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故C 错误；选项D ：由()()()()2,2f x f x f x f x +=--=-得()()22f x f x +=-，即()2f x +为偶函数，故D 正确．故选：ABD.【点睛】方法点睛：抽象函数的奇偶性、对称性、周期性常有以下结论（1）()()()f x a f b x f x +=-⇒关于2a bx +=轴对称，（2）()()()2f x a f b x c f x ++-=⇒关于,2a b c +⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，（3）()()()f x a f x b f x +=+⇒的一个周期为T a b =-，（4）()()()f x a f x b f x +=-+⇒的一个周期为2T a b =-.可以类比三角函数的性质记忆以上结论.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.一个扇形的弧长和面积都是2π3，则这个扇形的半径为________．【答案】2【解析】【分析】由扇形的面积公式求解即可.【详解】设扇形的弧长为l ，半径为r ，所以2π3l =，112π2π2233S rl r ===，解得：2r =.故答案为：2.14.函数()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调递增区间是________．【答案】(],0-∞【解析】【分析】根据指数函数的单调性即可得解.【详解】()1,01222,0xxx x f x x ⎧⎛⎫>⎪⎛⎫⎪==⎨⎝⎭⎪⎝⎭⎪≤⎩，所以函数()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调递增区间是(],0-∞.故答案为：(],0-∞.15.海洋潮汐是在太阳和月球的引力作用下，形成的具有周期性海面上升和下降的现象．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，停靠码头；在落潮时离开港口，返回海洋．已知某港口某天的水深()H t （单位：m ）与时间t （单位：h ）之间满足关系式：()()3sin 50H t t ωω=+>，且当地潮汐变化的周期为12.4h T =．现有一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为5m ，安全条例规定至少要有1.5m 的安全间隙（船底与洋底的距离）．若该船计划在当天下午到达港口，并在港口停靠一段时间后于当天离开，则它最多可停留________h ．【答案】6215【解析】【分析】根据函数周期性可得5π31ω=，令() 6.5H t >，结合正弦函数性质分析求解即可.【详解】由题意可得：2π5π12.431ω==，则()5π3sin 531H t t =+，令()5π3sin 5 6.531H t t =+>，则5π1sin 312t >，可得π5π5π2π2π,6316k t k k +<<+∈Z ，解得62316231,53056k t k k +<<+∈Z ，设该船到达港口时刻为1t ，离开港口时刻为2t ，可知121224t t <<<，则0k =，即1262316231,,53056t t ⎛⎫∈++⎪⎝⎭，所以最多可停留时长为62316231625653015⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭小时.故答案为：6215.16.若函数()212(0)11f x x x a a a x ⎛⎫=---> ⎪+-⎝⎭有两个零点，则实数a 的取值范围是________．【答案】102a +<<【解析】【分析】令1t x =-，则()2111g t t a a t ⎛⎫=---⎪+⎝⎭只有一个零点，即2211a t a t =-++，据此即可求解.【详解】函数的定义域为R ，令1t x =-，则()2111g t t a a t ⎛⎫=---⎪+⎝⎭只有一个零点，且该零点为正数，()22011ag t t a t =⇔=-++，根据函数()()210h t tt =≥和()()22101ah t a t t =-+≥+的图象及凹凸性可知，只需满足()()1200h h <即可，即：221515011022a a a a a -+<-++⇒--<⇒<<，又因为0a >，所以实数a 的取值范围是102a <<．故答案为：0a <<.【点睛】关键点点睛：本题令1t x =-，则()2111g t t a a t ⎛⎫=---⎪+⎝⎭只有一个零点，即2211a t a t =-++的分析.四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知集合{}{}2230,2A x x x B x x =--≥=≤．（1）求集合A ；（2）求()R A B ð．【答案】（1）{}13A x x x =≤-≥或（2）(){23}A B xx ⋃=-≤<R ∣ð【解析】【分析】（1）先求解2230x x -->，从而可得1x ≤-或3x ≥，从而可求解.（2）分别求出{}13A x x =-<<R ð，{}22B x x =-≤≤，再利用集合的并集运算从而可求解.【小问1详解】由题意得2230x x -->，解得3x ≥或1x ≤-，所以{1A xx =≤-∣或3}x ≥.【小问2详解】由（1）可得{}13A x x =-<<R ð，{}22B x x =-≤≤，所以(){23}A B xx ⋃=-≤<R ∣ð.18.如图，以Ox 为始边作角α与()0πββα<<<，它们的终边与单位圆O 分别交于P 、Q 两点，且OP OQ ⊥，已知点P 的坐标为43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭．（1）求sin sin αβ-的值；（2）求tan2β的值．【答案】（1）15-（2）247-【解析】【分析】（1）由三角函数的定义可得出α的正弦值和余弦值，分析可得π2βα=-，利用诱导公式可求得sin β的值，由此可得出sin sin αβ-的值；（2）利用诱导公式求出cos β的值，可求得tan β的值，再利用二倍角的正切公式可求得tan 2β的值.【小问1详解】解：由三角函数的定义可得4cos 5α=-，3sin 5α=，将因为0πβα<<<，且角α、β的终边与单位圆O 分别交于P 、Q 两点，且OP OQ ⊥，结合图形可知，π2βα=-，故π4sin sin cos 25βαα⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭.故341sin sin 555αβ-=-=-.【小问2详解】解：由（1）可知4sin 5β=，且π3cos cos sin 25βαα⎛⎫=-== ⎪⎝⎭，故sin 454tan cos 533βββ==⨯=，根据二倍角公式得22422tan 243tan21tan 7413βββ⨯===--⎛⎫- ⎪⎝⎭．19.已知函数()()()22log 1log 1f x x x =+--．（1）求函数()f x 的定义域，并根据定义证明函数()f x 是增函数；（2）若对任意10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，关于x 的不等式()211221x xx f t f ⎛⎫--⋅< ⎪+⎝⎭恒成立，求实数t 的取值范围．【答案】（1）定义域为()1,1-，证明见解析（2）(【解析】【分析】（1）由对数的真数大于零，可得出关于x 的不等式组，即可解得函数()f x 的定义域，然后利用函数单调性的定义可证得结论成立；（2）分析可知，210121xx -≤<+，由()211221x xx f t f ⎛⎫--⋅< ⎪+⎝⎭可得出1121211221xx x xt t ⎧-<-⋅<⎪⎨--⋅<⎪+⎩，结合参变量分离法可得出()222221x x x t <<+，利用指数函数的单调性可求得实数t 的取值范围.【小问1详解】解：对于函数()()()22log 1log 1f x x x =+--，则1010x x +>⎧⎨->⎩，可得11x -<<，所以，函数()f x 的定义域为()1,1-，证明单调性：设1211x x -<<<，则有()()()()()()1221212222log 1log 1log 1log 1f x f x x x x x -=+---+--⎡⎤⎣⎦，()()()()1221211log 11x x x x +-=-+，由于1211x x -<<<，所以120x x -<，()()12110x x +->，()()12110x x -+>，并且()()()()()()121211222121111111x x x x x x x x x x x x +---+=-+--+--()1220x x =-<，则()()()()12121111x x x x +-<-+，于是()()()()1212110111x x x x +-<<-+，所以()()()()1221211log 011x x x x +-<-+，即：()()12f x f x <，所以函数()f x 在定义域()1,1-上单调递增．【小问2详解】解：当10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2120112121x x x -≤=-<++，所以不等式()211221xxx f t f ⎛⎫--⋅< ⎪+⎝⎭恒成立等价于1121211221x x x xt t ⎧-<-⋅<⎪⎨--⋅<⎪+⎩对任意的10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，等价于()222221x x x t <<+在10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立．由10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得12x ≤≤222x≤≤，())222112x x≤+≤=+，则()221221x x≤≤+，于是实数t 的取值范围是(．20.噪声污染问题越来越受到人们的重视．我们常用声压与声压级来度量声音的强弱，其中声压p （单位：Pa ）是指声波通过介质传播时，由振动带来的压强变化；而声压级p L （单位：dB ）是一个相对的物理量，并定义020lgp p L p =⨯，其中常数0p 为听觉下限阈值，且50210Pa p -=⨯．（1）已知某人正常说话时声压p 的范围是0.002Pa 0.02Pa ~，求声压级p L 的取值范围；（2）当几个声源同时存在并叠加时，所产生的总声压p 为各声源声压()1,2,3,,i p i n = 的平方和的算术平方根，即p =现有10辆声压级均为80dB 的卡车同时同地启动并原地急速，试问这10辆车产生的噪声声压级p L 是多少？【答案】（1）[]40,60dB P L ∈（2）()90dB p L =【解析】【分析】（1）因为P L 是关于p 的增函数结合声压p 的范围是0.002Pa 0.02Pa ~，即可得出答案；（2）由题意可得出08020lg i p p =⨯求出i p ，代入可求出总声压p ，再代入020lg p pL p =⨯，求解即可.【小问1详解】当30.002210Pa p -==⨯时，3521020lg 40dB 210P L --⨯=⨯=⨯；当20.02210Pa p -==⨯时，2521020lg 60dB 210P L --⨯=⨯=⨯；因为P L 是关于p 的增函数，所以正常说话时声压级[]40,60dB P L ∈．【小问2详解】由题意得：()4008020lg 10Pa ii p p p p =⨯⇒=⨯（其中1,2,3,,10i = ）总声压：()4010Pa p ==⨯(40001020lg 20lg 20490(dB)P p L p p ⨯=⨯=⨯=⨯+=故这10辆车产生的噪声声压级()90dB p L =．21.设函数()22cos 2sin cos 1(04)f x x x x ωωωω=--<<，若将函数()f x 的图象向右平移12π个单位长度后得到曲线C ，则曲线C 关于y 轴对称．（1）求ω的值；（2）若直线y m =与曲线()y f x =在区间[]0,π上从左往右仅相交于,,A B C 三点，且2AB BC =，求实数m 的值．【答案】（1）32ω=（2）2【解析】【分析】（1）方法一：利用三角恒等变换化简可得()π24f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据图象变换结合对称性分析求解；方法二：利用三角恒等变换化简可得()π24f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由题意可知函数()f x 关于直线π12x =-对称，根据对称性分析求解；（2）方法一：根据题意结合图象可知：1π01,012m x <<<<且312π3x x T -==，进而结合对称性分析求解；方法二：根据题意结合图象可知：1π01,012m x <<<<且312π3x x T -==，1πππ3,442t x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，可得4π2π3t t ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，进而可得结果.【小问1详解】方法一：因为()()22cos 12sin cos f x x x xωωω=--cos2sin2x x ωω=-π24x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭，由题意可知：曲线C 为函数πππ212124y f x x ω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-+ ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦因为曲线C 关于y 轴对称，则ππ2π,124k k ω⎛⎫-+=∈ ⎪⎝⎭Z ，解得36,2k k ω=-∈Z ，又因为04ω<<，所以30,2k ω==；方法二：因为()()22cos 12sin cos f x x x xωωω=--cos2sin2x x ωω=-π24x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭，由题意可知：函数()f x 关于直线π12x =-对称，则ππ2π,124k k ω⎛⎫-+=∈ ⎪⎝⎭Z ，解得36,2k k ω=-∈Z ，又因为04ω<<，所以30,2k ω==.【小问2详解】方法一：由（1）可知：()π34f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据函数()f x 在[]0,π上的图象，如图所示：设()()()112233,,,,,A x y B x y C x y 可知：1π01,012m x <<<<且312π3x x T -==，由2AB BC =，得2124π39x x T -==①，又因为,A B 两点关于直线π4x =对称，则12π2x x +=②由①②可得121π3617π36x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，于是()1ππ33642m f x ⎛⎫==⨯+=⎪⎝⎭；方法二：由（1）可知：()π34f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，设()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，根据函数()f x 在[]0,π上的图象，如图所示：由题意可知：1π0,012m x ><<，且312π3x x T -==，又因为2AB BC =，得2124π39x x T -==，则214π9x x =+，而()()12f x f x =12ππ3344x x ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得111π4πππ4πcos 3cos 3cos 349443x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，令1πππ3,442t x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，则4πcos cos 3t t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，可得4π2π3t t ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，即π3t =，故()()112342m f x x t ==+==．22.已知函数()2π4cos2f x x x a x =--．（1）若1a =-，求函数()f x 在[]0,2上的值域；（2）若关于x 的方程()4f x a =-恰有三个不等实根123,,x x x ，且123x x x <<，求()()131278f x f x x --的最大值，并求出此时实数a 的值．【答案】（1）[]5,1-（2）12，2a =【解析】【分析】（1）根据2(2)4y x =--和πcos2y x =的单调性可得()f x 在[]0,2上单调递减，进而可求解；（2）构造()()4F x f x a =-+，根据()()4F x F x -=，可得()F x 关于直线2x =对称，进而可得13224x x x +==，即可代入化简得()()131278f x f x x --的表达式，即可结合二倍角公式以及二次函数的性质求解.【小问1详解】若()2π1,(2)cos42a f x x x =-=-+-，因为函数2(2)4y x =--和πcos 2y x =均在[]0,2上单调递减，所以函数()f x 在[]0,2上单调递减，故()()min max ()25,()01f x f f x f ==-==，所以函数()f x 在[]0,2上的值域为[]5,1-．【小问2详解】()2π4(2)cos 12f x a x a x ⎛⎫=-⇔-=+ ⎪⎝⎭，显然：当2x ≠时，2π(2)0,0cos122x x ->≤+≤，由于方程()4f x a =-有三个不等实根123,,x x x ，所以必有0a >，令()()4F x f x a =-+，则()2π4cos42F x x x a x a =---+，显然有()20F =，由()()()22ππ4(4)44cos 4444cos 22F x x x a x a x x a x a -=------+=-+--，得到()()4F x F x -=，所以函数()F x 关于直线2x =对称，由()()()1230F x F x F x ===，可得：13224x x x +==，于是()()231111π44cos2f x f x x x a x =-=--，()21111248cosπf x x x a x =--，()()221311111111π27848cosπ74cos 82f x f x x x x a x x x a x ⎛⎫--=------ ⎪⎝⎭()22111ππ32122cos 17cos 22x a x x ⎛⎫=--+--- ⎪⎝⎭①，由()10F x =可得：()211π2cos12x a x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭②，将②代入①式可得：()()2131111πππ2783cos 1122cos 17cos 222f x f x x a x a x ⎛⎫⎛⎫--=-++--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭211ππ2cos 4cos 21222a x x ⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭21π2cos 112122a x ⎛⎫=--+≤ ⎪⎝⎭，当且仅当1πcos12x =，即()14x k k =∈N 时等号成立，由于()4f x a =-恰有三个不等实根，22x =且123x x x <<，所以10x =，此时34x =，由()211π2cos 12x a x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭可得()4co 0s 1a =+，故2a =.【点睛】方法点睛：处理多变量函数最值问题的方法有：（1）消元法：把多变量问题转化单变量问题，消元时可以用等量消元，也可以用不等量消元.（2）基本不等式：即给出的条件是和为定值或积为定值等，此时可以利用基本不等式来处理，用这个方法时要关注代数式和积关系的转化.（3）线性规划：如果题设给出的是二元一次不等式组，而目标函数也是二次一次的，那么我们可以用线性规划来处理.。

2021-2022学年浙江省嘉兴市高一(上)期末数学试卷【答案版】

20212022学年浙江省嘉兴市高一（上）期末数学试卷一、选择题I ：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A ＝{x |0≤x ＜2}，B ＝{x |﹣1＜x ＜1}，则A ∪B ＝（）A ．（﹣1，0]2．在平面直角坐标系xOy 中，角θ的顶点与原点O 重合，它的始边与x 轴的非负半轴重合，终边OP 交单位圆O 于点P （−5，），则tan θ的值为（）534B ．（﹣1，2）C ．[0，1）D ．（0，1）A ．−53B ．54C ．−34D ．−433．已知命题p ：∃a ∈N ，a ≥100，则￢p 为（）A ．∃a ∈N ，a ≤1004．设a ，b ∈R ，则“a ＞b ＞0”是“＜”的（）ab11B ．∃a ∈N ，a ＜100C ．∀a ∈N ，a ≤100D ．∀a ∈N ，a ＜100A ．充分而不必要条件C ．充分必要条件B ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件5．将函数y ＝sin2x 的图象向左平移个单位，得到函数f （x ）的图象，则（）3πA ．f(x)=sin(2x +3)C ．f(x)=sin(2x +3)6．函数f （x ）＝（21+e x2ππB ．f(x)=sin(2x −3)D ．f(x)=sin(2x −3)2ππ−1）•sin x 的图象大致形状为（）A ．B ．C ．D ．−x 2+4x ，x ≤47．设函数f (x)={，若关于x 的方程f （x ）＝t 有四个实根x 1，x 2，x 3，x 4（x 1＜x 2＜x 3|log 2(x −4)|，x ＞4＜x 4），则x 1+x 2+2x 3+2x 4的最小值为（）A ．8．已知a ，b ，c 都是正实数，设M =a+b +b+c +c+a ，则下列判断正确的是（）A ．0＜M ≤1二、选择题II ：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2019-2020学年浙江省嘉兴市高一(上)期末数学试卷

2019-2020学年浙江省嘉兴市高一（上）期末数学试卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知A B ⊆，A C ⊆，{2B =-，0，1，9}，{1C =，3，6，9}，则集合A 可以为( ) A ．{1，3}B ．{1，9}C ．{2，0}D ．{2，3}2．（5分）已知正方形ABCD 的边长为1，则||(AB AD +=u u u r u u u r )A ．2B ．3C ．2D ．223．（5分）若点(sin ,tan )P αα在第二象限，则角α的终边所在的象限为( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．（5分）设函数1()()21x f x x R =∈+，则它的值域为( ) A ．(0,1)B ．(0,2)C ．(1,)+∞D ．(2,)+∞5．（5分）已知平面向量,a b r r 满足||23,||4a b ==r r ，且,a b rr 的夹角为30︒，则( )A ．()a a b ⊥+r r rB ．()b a b ⊥+r r rC ．()b a b ⊥-r r rD ．()a a b ⊥-r r r6．（5分）函数()sin()4f x x π=+，则()(f x )A ．在(0,)2π上单调递增B ．在3(,)44ππ上单调递增C ．在37(,)44ππ上单调递增 D ．在57(,)44ππ上单调递增 7．（5分）函数()f x 的图象如图所示，则它的解析式可能是( )A ．21()2xx f x -=B ．()2(||1)x f x x =-C ．()||||f x ln x =D ．()1x f x xe =-8．（5分）为了得到函数cos(4)3y x π=+的图象，可以将函数sin 4y x =的图象( )A ．向左平移524π个单位 B ．向右平移524π个单位C ．向左移动56π个单位 D ．向右平移56π个单位 9．（5分）已知||||1OA OB ==u u u r u u u r ，60AOB ∠=︒，OC OA OB λμ=+u u u r u u u r u u u r ，其中实数λ，μ满足12λμ+剟，0λ…，0μ…，则点C 所形成的平面区域的面积为( )A ．3B ．33C ．3 D ．3 10．（5分）若不等式(||)cos()023x a b x ππ--+…对[1x ∈-，3]恒成立，则(a b -= )A ．13B ．23C ．56D ．73二、填空题：11．（6分）若2log 3a =，3log 2b =，则a b =g ，lga lgb += ．12．（6分）设函数1,1,(),1,x e x f x lnx x ⎧-<=⎨⎩…则(0)f 的值为；若f （a ）2=，则a = ．13．（6分）已知向量(,12),(4,5),(,10)OA k OB OC k ===-u u u r u u u r u u u r ，若||||AB BC =u u u r u u u r，则k = ；若A ，B ，C 三点共线，则k = ．14．（6分）若tan 2α=，则sin 3cos sin cos αααα+=- ，sin cos αα= ．15．（5分）设函数22,0,()2,0,x x f x x x x -⎧=⎨-+>⎩„若(f f （a ）)30+…，则实数a 的取值范围是． 16．（5分）如图所示，2OD =，4OE =，60DOE ∠=︒，3,3AB AD AC AE ==u u u r u u u r u u u r u u u r ，则BC OE =u u u r u u u rg ．17．（5分）设()||f x x x a x =--，对任意的实数(1,2)a ∈-，关于x 的方程()f x tf =（a ）共有三个不相等的实数根，则实数t 的取值范围是．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（12分）已知集合2{|4120|}A x x x =--„，{|222|}B x a x a =-+剟．（Ⅰ）若1a =，求()U A B I ð；（Ⅱ）若[4A B =-U ，6]，求实数a 的值．19．（12分）已知平面向量(2,4),(3,5),(2,6)a b c ===-r r r．（Ⅰ）若a xb yc =+r r r，求x y +的值；（Ⅱ）若a kc +r r在a b -r r k ．20．（12分）已知函数1()2()2x xf x a x R =+∈g 是偶函数．（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）当(0,)x ∈+∞时，判断函数()f x 的单调性，并证明你的结论．21．（12分）已知函数()sin()(0,0)3f x A x A πωω=+>>的图象经过点，且图象上相邻两条对称轴之间的距离为2π．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式及它的单调递增区间；（Ⅱ）是否存在实数m ，使得不等式f f >成立？若存在，请求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由． 22．（13分）已知函数1()||1f x a x a x =--+-，(1,)x ∈+∞．（Ⅰ）若1a =，求方程()0f x =的解；（Ⅱ）若函数()y f x =恰有两个不同的零点1x ，212()x x x <，求12x x +的值．2019-2020学年浙江省嘉兴市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知A B ⊆，A C ⊆，{2B =-，0，1，9}，{1C =，3，6，9}，则集合A 可以为( ) A ．{1，3}B ．{1，9}C ．{2，0}D ．{2，3}【解答】解：由已知条件可得：{1B C =I ，9}，由A B ⊆，A C ⊆，所以{1A =，9}，故选：B ．2．（5分）已知正方形ABCD 的边长为1，则||(AB AD +=u u u r u u u r )A ．2B ．3CD ．【解答】解：Q 正方形ABCD 的边长为1，∴AB AD AC +=u u u r u u u r u u u r，||AC ==u u u r||||AB AD AC ∴+==u u u r u u u r u u u r故选：C ．3．（5分）若点(sin ,tan )P αα在第二象限，则角α的终边所在的象限为( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：由题意，点(sin ,tan )P αα位于第二象限，所以sin 0tan 0αα<⎧⎨>⎩，所以α在第三象限；故选：C ．4．（5分）设函数1()()21xf x x R =∈+，则它的值域为( ) A ．(0,1)B ．(0,2)C ．(1,)+∞D ．(2,)+∞【解答】解：20x >Q ，211x ∴+>，∴10121x<<+，即函数的值域为(0,1)．故选：A ．5．（5分）已知平面向量,a b r r 满足|||4a b ==r r ，且,a b rr 的夹角为30︒，则( )A ．()a a b ⊥+r r rB ．()b a b ⊥+r r rC ．()b a b ⊥-r r rD ．()a a b ⊥-r r r【解答】解：Q 平面向量,a b r r 满足||23,||4a b ==r r ，且,a b rr 的夹角为30︒， ∴对于22:()(23)234cos30240A a a b a a b +=+=+⨯⨯︒=≠r rr r r r gg ；对于22:()4423cos30280B b a b b a b +=+=+⨯⨯︒=≠r r r rr r g g；对于22:()4423cos3020C b a b b a b -=-=-⨯⨯︒=≠r r r rr r g g；对于22:()(23)234cos300D a a b a a b -=-=-⨯⨯︒=r rr r r r g g； ∴()a a b ⊥-rr r 故选：D ．6．（5分）函数()sin()4f x x π=+，则()(f x )A ．在(0,)2π上单调递增B ．在3(,)44ππ上单调递增C ．在37(,)44ππ上单调递增 D ．在57(,)44ππ上单调递增【解答】解：由于函数()sin()4f x x π=+，故在(0,)2π上，(44x ππ+∈，3)4π，函数()f x 没有单调性，故排除A ；在(4π，3)4π上，(42x ππ+∈，)π，函数()f x 单调第减，故排除B ；在3(4π，7)4π上，(,2)4x πππ+∈，函数()f x 没有单调性，故排除C ，在5(4π，7)4π上，3(42x ππ+∈，2)π，函数()f x 单调第增，故D 满足条件，故选：D ．7．（5分）函数()f x 的图象如图所示，则它的解析式可能是( )A ．21()2xx f x -=B ．()2(||1)x f x x =-C ．()||||f x ln x =D ．()1x f x xe =-【解答】解：由图象可知，函数的定义域为R ，故排除C ；由f （1）0=可知，故排除D ；当x →-∞时，()0f x →，故排除A ；故选：B ．8．（5分）为了得到函数cos(4)3y x π=+的图象，可以将函数sin 4y x =的图象( )A ．向左平移524π个单位 B ．向右平移524π个单位 C ．向左移动56π个单位 D ．向右平移56π个单位【解答】解：将函数sin 4y x =的图象向左平移524π个单位，得到5sin(4)cos(4)63y x x ππ=+=+的图象，故选：A ．9．（5分）已知||||1OA OB ==u u u r u u u r ，60AOB ∠=︒，OC OA OB λμ=+u u u r u u u r u u u r，其中实数λ，μ满足12λμ+剟，0λ…，0μ…，则点C 所形成的平面区域的面积为( )ABCD【解答】解：建立平面直角坐标系；因为||||1OA OB ==u u u r u u u r，60AOB ∠=︒，所以(1,0)A ，1(2B；设(,)C x yQ OC OA OB λμ=+u u u r u u u r u u u r，∴12x y λμ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩⇒x y y λμ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；Q 实数λ，μ满足12λμ+剟，0λ…，0μ…，∴0120x y x y y ⎧⎪⎪⎪⎪+⎨⎪⎩…剟…；对应区域如图：；由31(231x yA xy⎧-=⎪⎪⇒⎨⎪+=⎪⎩，3)；3(1,3)32x yBx y⎧-=⎪⎪⇒⎨⎪+=⎪⎩；3331123122OBD OACS S S∆∆∴=-=⨯⨯-⨯⨯=阴影；即点C所形成的平面区域的面积为33．故选：B．10．（5分）若不等式(||)cos()023x a b xππ--+…对[1x∈-，3]恒成立，则(a b-=) A．13B．23C．56D．73【解答】解：当113x-剟或733x剟时，cos()023xππ+…；当1733x剟时，cos()023xππ+„，∴当113x-剟或733x剟时||0x a b--…；当1733x剟时，||0x a b--„，设()||f x x a b =--，则()f x 在(,)a -∞上单调递减，在(,)a +∞上单调递增，且()f x 的图象关于直线x a =对称， 17()()033f f ∴==，1782333a ∴=+=，即43a =，又774()||0333f b =--=，故1b =．41133a b ∴-=-=．故选：A ．二、填空题：11．（6分）若2log 3a =，3log 2b =，则a b =g 1 ，lga lgb += ．【解答】解：2log 3a =Q ，3log 2b =，则32123lg lg a b lg lg ==g g ， 10lga lgb lgab lg +===．故答案为：1，0．12．（6分）设函数1,1,(),1,x e x f x lnx x ⎧-<=⎨⎩…则(0)f 的值为 0 ；若f （a ）2=，则a = ．【解答】解：根据题意，函数1,1,(),1,x e x f x lnx x ⎧-<=⎨⎩…，则0(0)1110f e =-=-=，若f （a ）2=，当1a <时，f （a ）12a e =-=，解可得31a ln =>，舍去；当1a …时，f （a ）2lna ==，解可得2a e =，符合题意；故2a e =，故答案为：0，2e ，13．（6分）已知向量(,12),(4,5),(,10)OA k OB OC k ===-u u u r u u u r u u u r ，若||||AB BC =u u u r u u u r ，则k = 32；若A ，B ，C 三点共线，则k = ．【解答】解：Q (,12),(4,5),(,10)OA k OB OC k ===-u u u r u u u r u u u r， ∴(4,7)AB OB OA k =-=--u u u r u u u r u u u r ，(4,5)CB OB OC k =-=+-u u u r u u u r u u u r ，Q 若||||AB BC =u u u r u u u r ，∴32k ==， A Q 、B 、C 三点共线，(5)(4)(7)(4)0k k ∴-⨯---⨯+=，解得23k =-．故答案为：32；23- 14．（6分）若tan 2α=，则sin 3cos sin cos αααα+=- 5 ，sin cos αα= ．【解答】解：sin 3cos tan 3235sin cos tan 121αααααα+++===---，222sin cos tan 22sin cos 1415sin cos tan αααααααα=∴===+++，故答案为：5，25． 15．（5分）设函数22,0,()2,0,x x f x x x x -⎧=⎨-+>⎩„若(f f （a ）)30+…，则实数a 的取值范围是3[,)2-+∞ ．【解答】解：根据()f x 的解析式作出其图象如图所示：由图可知当()3f x =-时仅有一解3x =，当()3f x =时仅有一解32x =-．令f （a ）t =，则(f f （a ）)30+…，即()3f t -…，3t ∴„，即f （a ）3„，32a ∴-…． a ∴的取值范围为3[,)2-+∞．故答案为：3[,)2-+∞．16．（5分）如图所示，2OD =，4OE =，60DOE ∠=︒，3,3AB AD AC AE ==u u u r u u u r u u u r u u u r ，则BC OE =u u u r u u u rg 36 ．【解答】解：连接DE ；Q 3,3AB AD AC AE ==u u u r u u u r u u u r u u u r ，//DE BC ∴且13DE BC =；∴2233()3334324cos6036BC OE DE OE OE OD OE OE OE OD ==-=-=⨯-⨯⨯⨯︒=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g g g ；故答案为：3617．（5分）设()||f x x x a x =--，对任意的实数(1,2)a ∈-，关于x 的方程()f x tf =（a ）共有三个不相等的实数根，则实数t 的取值范围是 (0,1) ．【解答】解：根据解析式可得f （a ）a =-，由题意得，关于x 的方程()f x tf =（a ）有三个不相等的实数根即()f x at =-有三个不相等的实数根；即()y f x =与y at =-有三个不同的交点； 22(1),()(1),x a x x af x x a x x a ⎧-+=⎨-+-<⎩…，（1）当12a <„时，1122a a a -+剟，则()f x 在1(,)2a --∞上单调递增，在1(2a -，)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增，故21(1)()24a a f x f --⎛⎫==⎪⎝⎭极大值，()f x f =极小值（a ）a =-，所以需满足(1)2/4a ata sup sup at -<-⎧⎪⎨-<><>>-⎪⎩对任意(1,2)a ∈恒成立，解得01t <<；（2）当11a -<<时，1122a a a -+<<，则()f x 在1(,)2a --∞上单调递增，在1(2a -，1)2a +上单调递减，在1(2a +，)+∞上单调递增，故21(1)()24a a f x f --⎛⎫== ⎪⎝⎭极大值，21(1)()24a a f x f ++⎛⎫==-⎪⎝⎭极小值，则需22(1)(1)44a a at +--<-<对任意11a -<<恒成立， ①当0a =时，11044-<<成立，此时t R ∈，②当01a <<时，112244a a a a t ++-+-<-<恒成立，解得01t 剟， ③当10a -<<时，112244a a a a t ++-+<<-恒成立，解得01t 剟，综上01t 剟，结合（1）（2）得(0,1)t ∈，故答案为(0,1)．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（12分）已知集合2{|4120|}A x x x =--„，{|222|}B x a x a =-+剟．（Ⅰ）若1a =，求()U A B I ð；（Ⅱ）若[4A B =-U ，6]，求实数a 的值．【解答】解：（Ⅰ）当1a =时，{|24}B x x =-剟，{|26}A x x =-剟，所以{|2U C B x x =<-或4}x >，所以(){|46}U A B x x =<I „ð．（Ⅱ）[4A B =-Q U ，6]，∴242226a a -=-⎧⎨-+⎩剟，即222a a =⎧⎨-⎩剟，解得2a =．19．（12分）已知平面向量(2,4),(3,5),(2,6)a b c ===-r r r ．（Ⅰ）若a xb yc =+r r r，求x y +的值；（Ⅱ）若a kc +r r在a b -r rk ．【解答】解：（Ⅰ）因为(2,4),(3,5),(2,6)a b c ===-r r r，所以(32,56)xb yc x y x y +=-+r r，又a xb yc =+r r r ，所以322564x y x y -=⎧⎨+=⎩，解得57114x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以1114x y +=（Ⅱ）由题意知(1,1),(22,46)a b a kc k k -=--+=-+r r r r，所以||)()(22)(46)46a b a kc a b k k k -+-=---+=--r rr r r r g，因为a kc +r r在a b -r r，()()||a kc a b a b +--rr r r g rr 解得2k =-20．（12分）已知函数1()2()2x x f x a x R =+∈g 是偶函数．（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）当(0,)x ∈+∞时，判断函数()f x 的单调性，并证明你的结论．【解答】解：（Ⅰ）因为1()2()2x xf x a x R =+∈g 是偶函数，所以()()f x f x -=，即112222x xx xa a --+=+g g ，化简得1(1)(2)02x xa --=，所以1a = （Ⅱ）结论：1()22x xf x =+在(0,)+∞单调递增．下证之．任取120x x <<，则2112121212121212121122(22)(21)()()2(2)2222222x x x x x x x x x x x x x x x x f x f x ++----=+-+=-+=g因为120x x <<，所以1212220,210x x x x +-<>>，所以12210x x +>>所以121212(22)(21)02x x x x x x ++--<，即12()()f x f x <所以1()22x x f x =+在(0,)+∞单调递增．21．（12分）已知函数()sin()(0,0)3f x A x A πωω=+>>的图象经过点，且图象上相邻两条对称轴之间的距离为2π．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式及它的单调递增区间；（Ⅱ）是否存在实数m ，使得不等式f f >成立？若存在，请求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）因为函数()sin()(0,0)3f x A x A πωω=+>>的图象经过点，所以(0)sin 3f A π=，解得2A =又函数图象上相邻两条对称轴之间的距离为2π得4T π=，又由2T πω=，得12ω=，所以1()2sin()23f x x π=+结合函数sin y x =的单调性，令122()2232k x k k Z πππππ-+++∈剟，解得54433k x k ππππ-++剟，所以函数()f x 的单调递增区间是5[4,4]()33k k k Z ππππ-++∈，（Ⅱ）由题意知222010m m m ⎧-+⎨-+⎩……，所以01m 剟，[0,1] 由函数()f x 的单调递增区间是5[4,4]()33k k k Z ππππ-++∈知，()f x 在[0，1]上单调递增，又f f >，所以>，解得12m >，结合01m 剟，得112m <„． 22．（13分）已知函数1()||1f x a x a x =--+-，(1,)x ∈+∞．（Ⅰ）若1a =，求方程()0f x =的解；（Ⅱ）若函数()y f x =恰有两个不同的零点1x ，212()x x x <，求12x x +的值．【解答】解：（Ⅰ）当1a =时，1()|1|101f x x x =--+=-，所以2||11xx x -=-- 所以12211x x x x <<⎧⎪-⎨=-⎪-⎩或2211x x x x ⎧⎪-⎨=-⎪-⎩…，解得x =x ∈∅所以当1a =时，方程()0f x =的解集为⎪⎪⎩⎭（Ⅱ）由题意令()0f x =得1||1a x a x -=--，记1()||,()1g x a h x x a x =-=--，作函数()g x 与()h x 的图象，由函数()y f x =在定义域(1,)+∞内恰有两个不同的零点1x ，212()x x x <，可知0a „不合题意，故0a >如图所示，要使函数()y f x =恰有两个不同的零点，则应有直线y x a =-与函数1()||1g x a x =--的图象相切或者直线y x a =-经过点1(1,0)a+，（1）当直线y x a =-与函数1()||1g x a x =--的图象相切时，联立方程11y x a y a x =-⎧⎪⎨=-⎪-⎩，消去y 得2(21)210x a x a -+++=，由△0=得2(21)4(21)0a a +-+=，所以12a =-（舍去）或32a =此时22x =，直线32y x =-，联立1312y x =--，解得115x +=所以1255x x ++=（2）当直线y x a =-经过点1(1,0)a +时，有101a a=+-，所以210a a --=，得15a += 此时直线方程为11515,y x x ++=-=联立151511y x y x ⎧+=-⎪⎪⎨+⎪=-⎪-⎩，消去y 解得235x +=，所以1225x x +=+．综上所述，当32a =时，1255x x ++=；当15a +=时，1225x x +=+．。

浙江省嘉兴市重点名校2022-2023学年高一上数学期末质量检测试题含解析

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）1．已知tan 2θ=，则22sin sin cos 2cos θθθθ+-= A.43- B.54 C.34- D.452．若幂函数()f x x α=的图象经过点(，则α的值为（）A.2B.2-C.12 D.12-3．已知22321x f x x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭，则13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（） A.29- B.14-C.5D.-54．已知集合{25},{0}A x x B x x =-<<=>∣∣，则A B ⋃=（）A.{05}x x <<∣B.{0}x x >∣C.{2}x x >-∣D.{5}x x <∣5．已知函数f (x )=log 3(x +1)，若f (a )=1，则a 等于（）A.0B.1C.2D.36．若m n 、表示空间中两条不重合的直线，αβ、表示空间中两个不重合的平面，则下列命题中正确的是（） A.若//,m n n α⊂，则//m α B.若,,//m n αβαβ⊂⊂，则//m nC.若,,m n m n αβ⊥⊥⊥，则αβ⊥D.若,,m n αβαβ⊥⊂⊂，则m n ⊥7．过点(3,2)M -且与直线290x y +-=平行的直线方程是（）A.280x y -+=B.270x y -+=C.240x y ++=D.210x y +-=8．七巧板，又称七巧图、智慧板，是中国古代劳动人民的发明，其历史至少可以追溯到公元前一世纪，到了明代基本定型，于明、清两代在民间广泛流传．某同学用边长为4 dm 的正方形木板制作了一套七巧板，如图所示，包括5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形．若该同学从5个三角形中任取出2个，则这2个三角形的面积之和不小于另外3个三角形面积之和的概率是（）A.12 B.15 C.25 D.310 9．已知直线:220l x y ，圆22:(1)(1)4C x y -+-=．点P 为直线l 上的动点，过点P 作圆C 的切线,PA PB ，切点分别为,A B ．当四边形PACB 面积最小时，直线AB 方程是（）A.210x y --=B.210x y ++=C.210x y +-=D.210x y -+=10．函数()2log 10f x x x =+-的零点所在区间为( )A.()5,6B.()6,7C.()7,8D.()8,911．所有与角α的终边相同的角可以表示为()360k k α⋅︒+∈Z ，其中角α（）A.一定是小于90°的角B.一定是第一象限的角C.一定是正角D.可以是任意角12．已知直线1:10l x y -+=和直线2:30l x y -+=，则1l 与2l 之间的距离是（） 2 B.22 C.2 D.22二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）13．如图，在空间四边形ABCD 中，平面ABD ⊥平面BCD ，90BAD ∠=，90BCD ∠=，且AB AD =，则AC 与平面BCD 所成角的度数为________14．若函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间(),2ππ上没有最值，则ω的取值范围是______. 15．函数()()21214f x ax a x =+-+的值域为[)0,+∞，则实数a 的取值范围是______ 16．已知函数()2log f x x =，正实数m ，n 满足m n <，且()()f m f n =，若()f x 在区间2,m n ⎡⎤⎣⎦上的最大值为2，则m n +=________.三、解答题（本大题共6个小题，共70分。

浙江省嘉兴市2020年(春秋版)高一上学期数学期末考试试卷C卷

浙江省嘉兴市2020年（春秋版）高一上学期数学期末考试试卷C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2018·梅河口模拟) 已知全集，集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分）(2014·安徽理) 设函数f（x）（x∈R）满足f（x+π）=f（x）+sinx．当0≤x＜π时，f（x）=0，则f（）=（）A .B .C . 0D . ﹣3. （2分）圆的半径为（）A . 1B .C . 2D . 44. （2分） (2017高一下·鞍山期末) 已知两条直线y=ax﹣2和y=x+1互相垂直，则a等于（）A . 2B . 1C . 0D . ﹣15. （2分）已知幂函数f（x）的图象经过点（2，8），则f（﹣）的值等于（）A . -B .C . -8D . 86. （2分） (2019高二上·余姚期中) 设、是两条不同的直线，、是两个不重合的平面，给定下列四个命题，其中真命题的是（）①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，则。

A . ①和②B . ②和③C . ③和④D . ①和④7. （2分）以点（2，﹣1）为圆心且与直线x+y+5=0相切的圆的半径为（）A .B .C . 18D . 508. （2分） (2018高三上·定州期末) 已知函数，若在区间上存在，使得，则的取值不可能为（）A . 1B . 2C . 3D . 49. （2分）函数在[﹣1，0]上的最小值是（）A . ﹣1B . 0C . 1D . 210. （2分）若一个三棱锥中，有一条棱长为a，其余棱长均为1，则其体积F（a）取得最大值时a的值为（）A . 1B .C .D .11. （2分） (2017高三上·南充期末) 如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的斜边长为，那么这个几何体的体积是（）A .B .C .D .12. （2分）定义域为R的函数满足，当时，则当时，函数恒成立，则实数t的取值范围为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高一上·珠海期中) 设函数 (t>0)的最大值为，最小值为，则 ________．14. （1分）下面有四个命题：其中正确命题的个数为 ________．①集合N中最小的数是1；②若﹣a不属N，a属N；③若a∈N，b∈N则a+b的最小值为2；④x2+1=2x的解可表示为{1，1}．15. （1分）在四棱柱ABCD﹣A′B′C′D′中，AA′⊥底面ABCD，四边形ABCD为梯形，AD∥BC且AD=AA′=2BC．过A′，C，D三点的平面与BB′交于点E，F，G分别为CC′，A′D′的中点（如图所示）给出以下判断：①E为BB′的中点；②直线A′E和直线FG是异面直线；③直线FG∥平面A′CD；④若AD⊥CD，则平面ABF⊥平面A′CD；⑤几何体EBC﹣A′AD是棱台．其中正确的结论是________ （将正确的结论的序号全填上）16. （1分） (2016高二上·云龙期中) 在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=1，O1：（x﹣4）2+y2=4，动点P在直线x+ y+b=0上，过P分别作圆O，O1的切线，切点分别为A，B，若满足PB=2PA的点P有且只有两个，则实数b的取值范围是________．三、解答题 (共6题；共55分)17. （10分） (2016高一上·南通期中) 设全集为实数集R，A={x|3≤x＜7}，B={x| ≤2x≤8}，C={x|x ＜a}．（1）求∁R（A∪B）（2）如果A∩C≠∅，求a的取值范围．18. （5分）已知点P（0，5）及圆C：x2+y2+4x﹣12y+24=0，若直线l过点P且被圆C截得的线段长为4，求l的方程．19. （10分） (2016高一上·高青期中) 已知a＞0且a≠1，函数f（x）=loga ．（1）求f（x）的定义域及其零点；（2）设g（x）=mx2﹣2mx+3，当a＞1时，若对任意x1∈（﹣∞，﹣1]，存在x2∈[3，4]，使得f（x1）≤g （x2），求实数m的取值范围．20. （10分） (2018高一上·阜城月考) 如图，四棱锥的底面为正方形，侧面底面，，分别为的中点.（1）求证：面；（2）求证：平面平面 .21. （10分） (2017高一下·河北期末) 在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4，设圆C 的半径为1，圆心在l上．（1）若圆心C也在直线y=x﹣3上，过点A作圆C的切线，求切线方程；（2）若圆C上存在点M，使|MA|=2|MO|，求圆心C的横坐标的取值范围．22. （10分） (2017高二上·如东月考) 若存在常数、、，使得无穷数列满足则称数列为“段比差数列”，其中常数、、分别叫做段长、段比、段差. 设数列为“段比差数列”.（1）若的首项、段长、段比、段差分别为1、3、、3.①当时，求；②当时，设的前项和为，若不等式对恒成立，求实数的取值范围；（2）设为等比数列，且首项为，试写出所有满足条件的，并说明理由.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共55分) 17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、。

浙江省嘉兴市高一上学期期末数学试卷

浙江省嘉兴市高一上学期期末数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2016·中山模拟) 设集合M={x|log2（x﹣1）＞0}，集合N={x|x≥﹣2}，则N∩∁RM=（）A . {x|x≤﹣2}B . {x|﹣2＜x≤2}C . {x|﹣2≤x≤3}D . {x|﹣2≤x≤2}2. （2分）给出下列各函数值：①sin100°；②cos（﹣100°）；③tan（﹣100°）；④．其中符号为负的是（）A . ①B . ②C . ③D . ④3. （2分）已知函数f（x）=，则f（f（2））等于（）A . 3B . -3C .D . -4. （2分）已知向量=（1，﹣1）则下列向量中与向量平行且同向的是（）A . （2，﹣2）B . （﹣2，2）C . （﹣1，2）D . （2，﹣1）5. （2分） (2018高一下·抚顺期末) 已知则cos(α+β)的值为（）A . -B . -C .D .6. （2分） (2018高三上·北京期中) 对定义域为D的函数，若存在距离为d的两条平行直线和．使得当时，恒成立，则称函数在有一个宽度为d的通道有下列函数：（1）；（2）；（3）；（4）．其中在上通道宽度为1的函数是（）A . （1）（3）B . （2）（3）C . （1）（3）（4）D . （2）（3）（4）7. （2分）(2019·河北模拟) 已知函数，，对任意恒有，且在区间上有且只有一个使，则的最大值为（）A .B .C .D .8. （2分）要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A . 向左平移个单位长度B . 向右平移个单位长度C . 向左平移个单位长度D . 向右平移个单位长度9. （2分） (2020高一上·长春期末) 下列各式中,值为的是（）A .B .C .D .10. （2分） (2017高三下·西安开学考) 已知函数f（x）=ln（﹣3x）+1，则f（lg2）+f（lg ）=（）A . ﹣1B . 0C . 1D . 211. （2分） (2016高一下·揭阳期中) 已知θ∈（﹣，）且sinθ+cosθ=a，其中a∈（0，1），则tanθ的可能取值是（）A . ﹣3B . 3或C .D . ﹣3或12. （2分）已知函数g（x）=a﹣x2（≤x≤e）（其中e为自然对数的底数）与h（x）=2lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的最大值与最小值之和为（）A . 0B . +3C . e2﹣1D . e2+二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）若直线l沿x轴向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，回到原来的位置，则直线l的斜率为________14. （1分） (2015高二下·湖州期中) 若函数f（x）=log2（a﹣2x）+x﹣1存在零点，则实数a的取值范围是________．15. （1分） (2016高二下·黑龙江开学考) 向量 =（m﹣2，m+3）， =（2m+1，m﹣2），若与的夹角为锐角，则m的取值范围是________．16. （1分） (2017高一下·河口期末) 已知非零向量满足，则 ________．三、解答题 (共6题；共50分)17. （10分）计算题（1）已知角α终边上一点P（﹣4，3），求的值．（2）若sinx= ，cosx= ，x∈（，π），求tanx．18. （5分）已知sinα=，α为第二象限．（1）求cosα，tanα的值；（2）设=（sinα，cosα），=（﹣3，4），求cos＜，＞．19. （5分）已知cos（α﹣）= ，则cos（α+ ）的值是± ．20. （5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜0，x∈R）的部分图象如图所示．（I）求函数y=f（x）的解析式；（II）当x∈[﹣2π，0]时，求f（x）的最大值、最小值及取得最大值、最小值时相应x的值．21. （10分） (2015高一下·新疆开学考) 已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0）的一系列对应值如下表：xy﹣1131﹣113（1）根据表格提供的数据求函数f（x）的一个解析式．（2）根据（1）的结果，若函数y=f（kx）（k＞0）周期为，当时，方程f（kx）=m恰有两个不同的解，求实数m的取值范围．22. （15分）已知函数是奇函数．（1）求a的值；（2）求证f（x）是R上的增函数；（3）求证xf（x）≥0恒成立．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分) 17-1、17-2、18-1、19-1、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、22-3、第11 页共11 页。

浙江省嘉兴市高一数学上学期期末考试试题(含解析)

C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据定义域排除，求出的值，可以排除，考虑排除 .
【详解】根据函数图象得定义域为，所以不合题意；
选项，计算，不符合函数图象；
对于选项，与函数图象不一致；
选项符合函数图象特征.
应选：B
【点睛】此题考查根据函数图象选择适宜的解析式，主要利用函数性质分析，常见方法为排除法.
故答案为：
点睛】此题考查根据函数解析式解不等式，涉及分段函数和复合函数，利用换元法结合图象处理问题，表达数形结合思想.
16.如下图, ,那么 =______.
【答案】36
【解析】
【分析】
根据向量的线性运算法那么，，即可计算求解.
【详解】 ,
.
故答案为：36
【点睛】此题考查平面向量的根本运算，涉及向量的线性运算，根据关系求数量积.
.
(1)假设 ,求方程的解集；
(2)假设函数恰有两个不同的零点 ,求的值.
【答案】(1) ；(2)当时, ；当时, .
【解析】
【分析】
〔1〕分类讨论解方程即可；
〔2〕将转化为讨论函数的公共点问题,分类讨论求解.
【详解】(1)当时, ,所以
所以或解得或
所以当时,方程的解集为；
【详解】由题：，
，即 .
应选：B
【点睛】此题考查求集合的交集，判断集合的包含关系，关键在于读懂题目所给的集合关系.
的边长为1,那么 =( )
A.2B.3C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
正方形中根据向量的加法法那么，即可得解.
【详解】由题正方形的边长为1,根据向量加法法那么，

浙江省嘉兴市2019-2020学年高一上学期期末数学试卷 (有解析)

浙江省嘉兴市2019-2020学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共50.0分）1. 若A ⊆B ，A ⊆C ，B ={0,1，2，3，4，5，6}，C ={0,2，4，6，8，10}，则这样的A 的个数为( )A. 4B. 15C. 16D. 322. 如图，已知|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3，，⟨OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⟩=30∘，若OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则x +y =( )A. 1B. 2C. 3D.43. 已知α是第二限角，则下列结论正确的是( )A. sinα⋅cosα>0B. sinα⋅tanα<0C. cosα⋅tanα<0D. 以上都有可能4. 函数y =1−2x 的值域为( )A. [1,+∞)B. (1,+∞)C. (−∞,1]D. (−∞,1)5. 已知a ⃗ =(3,4)，|b ⃗ |=2，两向量夹角θ=60°，则a ⃗ ·b ⃗ 的值是( )A. 7B. 12C. 5D. 256. 已知函数f(x)=2sin(π4−2x)，则函数f(x)的单调递减区间为( )A. [3π8+2kπ,7π8+2kπ](k ∈Z)B. [−π8+2kπ,3π8+2kπ](k ∈Z)C. [3π8+kπ,7π8+kπ](k ∈Z)D. [−π8+kπ,3π8+kπ](k ∈Z)7. 已知函数f(x)的图象如图所示，则该函数的解析式可能是( )A. f(x)=ln|x|e xB. f(x)=e x ln|x|C. f(x)=ln|x|xD. f(x)=(x −1)ln|x|8. 为了得到函数y =3sin(2x +π5)的图象，只需把y =3sin2x 上的所有的点( )A. 向左平行移动π10长度单位 B. 向右平行移动π10长度单位 C. 向右平行移动π5长度单位D. 向左平行移动π5长度单位9. 在平面直角坐标系中，o 是坐标原点，两定点A,B 满足|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2,则点集|P |=|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μOB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,|λ|+|μ|≤1,λ,μ∈R|所表示的区域的面积是( ) A. 2√2B. 2√3C. 4√2D. 4√310. 已知cos x =−12，且x ∈[0,2π]，则角x 等于( )．A. 2π3或4π3B. π3或2π3C. π6或5π6D. 5π6或11π6二、填空题（本大题共7小题，共39.0分） 11. 计算log 83⋅log 932=______．12. 已知函数f(x)={2x ,x >0x,x ≤0，则f(1)+f(−1)为________．13. 已知点A(1,−2)，若向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ 与a =(2,3)同向，且|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√13，则点B 的坐标为________． 14. 若tanα=13，则sinαcosα=________．15. 已知函数f(x)={2x ,x >0−x 2−2x +1,x ⩽0，若f(f(a))=4，则a =________．16. 已知△ABC 是等腰直角三角形，AC =BC =2，则AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ = ______ ． 17. 已知函数f(x)={2−x −1(x ≤0)f(x −1)(x >0)，若关于x 的方程f(x)=ax(a >0)有三个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是_________．三、解答题（本大题共5小题，共61.0分）18. 已知集合A ={x|a ≤x ≤a +8}，B ={x|x <−1或x >5}，(1)当a =0时，求A ∩B ，A ∪(C R B)； (2)若A ∪B =B ，求实数a 的取值范围．19. 已知a ⃗ =(1,2)，b ⃗ =(3,1)，c ⃗ =b ⃗ −k a ⃗ ，且a⃗ ⊥c ⃗ ． (1)求向量b ⃗ 在向量a ⃗ 的方向上的投影； (2)求实数k 的值及向量c ⃗ 的坐标．20. 已知函数f(x)=a⋅2x −2+a 2x +1,a ∈R ．(1)试判断f (x)的单调性，并证明你的结论； (2)若f (x)为定义域上的奇函数，求函数f (x)的值域．21. 函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)的图象关于直线x =3π8对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π．(1)求函数f(x)的解析式以及它的单调递增区间； (2)是否存在实数m ，满足不等式f(√m+18)>f(√−m+48)？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．22.求函数f(x)=x3−x2−x−2的零点．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：∵A ⊆B ，A ⊆C ， ∴A ⊆(B ∩C)，∵B ={0,1，2，3，4，5，6}，C ={0,2，4，6，8，10}， ∴B ∩C ={0,2，4，6}， ∴A 的个数为16，故选C ．利用A ⊆B ，A ⊆C ，可得A ⊆(B ∩C)，求出B ∩C ，即可得出结论．本题考查集合的运算与关系，考查学生的计算能力，比较基础．2.答案：C解析：本题考查平面向量的模，平面向量的数量积，属于中档题．根据OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，等式左右两端点乘OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，从而建立方程组，即可求解．解：由题意可知，， OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，．∵OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即3=32x ，①∴OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即32=x −12y ，②联立①②可得：{x =2y =1，故x +y =3．故选C ．3.答案：B解析：直接利用角的象限，判断正弦函数与余弦函数、正切函数的值的符号，然后判断选项．本题考查角的象限与三角函数值的符号的判断，考查计算能力．解：因为α是第二限角，所以sinα>0，cosα<0，tanα<0，所以sinα⋅tanα<0．故选B．4.答案：D解析：解：函数y=1−2x，其定义域为R．∵2x的值域为(0,+∞)，∴函数y=1−2x的值域为(−∞,1)，故选：D．利用指数函数的图象及性质求解即可．本题考查了值域的求法，利用了指数函数值域求解．比较基础．5.答案：C解析：本题考查了数量积的定义，属于基础题．利用数量积的定义即可得出．解：∵a⃗=(3,4)，∴|a⃗|=5．又|b⃗ |=2，两向量夹角θ=60°，=5．则a⃗⋅b⃗ =|a⃗||b⃗ |cos60°=5×2×12故选C．6.答案：D解析：本题主要考查诱导公式，正弦函数的单调性，属于基础题．利用诱导公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得函数f(x)的单调递减区间．解：∵函数f(x)=2sin(π4−2x)=−2sin(2x −π4)，令2kπ−π2≤2x −π4≤2kπ+π2，求得kπ−π8≤x ≤kπ+3π8，可得函数的减区间为[kπ−π8,kπ+3π8]，k ∈Z ，故选：D ．7.答案：A解析：解：由图象可知，当x →+∞时，f(x)→0，当x →−∞时，f(x)→+∞ 对于A ：满足要求，对于B ：当x →+∞时，f(x)=e x ln|x|→+∞，不满足，对于C ：当x →−∞时，f(x)=e x ln|x|→0，不满足，对于D ：当x →−∞时，f(x)=(x −1)ln|x|→−∞，不满足，故选：A ．通过函数的变化趋势即可判断．本题考查了函数图象的判断，函数值的变换趋势，零点等方面来判断．8.答案：A解析：解：把y =3sin2x 上的所有的点向左平行移动π10长度单位，可得函数y =3sin(2x +π5)的图象，故选：A ．利用y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，得出结论．本题主要考查y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，属于基础题．9.答案：D解析：本题考查了平面向量的基本定理及其意义，考查了二元一次不等式(组)所表示的平面区域，两定点A ，B 满足∣OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=∣OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2，说明O ，A ，B 三点构成边长为2的等边三角形，设出两个定点的坐标，再设出P 点坐标，由平面向量基本定理，把P 的坐标用A ，B 的坐标及λ，μ表示，把不等式|λ|+|μ|≤1去绝对值后可得线性约束条件，画出可行域可求点集P 所表示区域的面积，属中档题．解：由两定点A ，B 满足|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2|−2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=4，则|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，说明O ，A ，B 三点构成边长为2的等边三角形．不妨设A(√3,−1)，B(√3,1).再设P(x,y).由OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，得：(x,y)=(√3λ,−λ)+(√3μ,μ)=(√3(λ+μ),μ−λ). 所以{λ+μ=√33xμ−λ=y，解得{λ=√36x −12y μ=√36x +12y ①. 由|λ|+|μ|≤1.所以①等价于{ √36x −12y ≥0√36x +12y ≥0x ≤√3或{ √36x −12y ≥0√36x +12y <0y ≥−1或{ √36x −12y <0√36x +12y ≥0y ≤1或{ √36x −12y <0√36x +12y <0x ≥−√3. 可行域如图中矩形ABCD 及其内部区域，则区域面积为2×2√3=4√3. 故选D .10.答案：A解析：本题主要考查三角函数的求值问题，根据诱导公式以及余弦函数的图象和性质是解决本题的关键，根据余弦函数的图象和性质进行求解即可．比较基础，属中档题．解：∵cosx =−12<0， ∴x 在第二象限或第三象限． ∵cos(π−π3)=−cos π3=−12， ∴x =π−π3=2π3．∵cos(π+π3)=−cos π3=−12， ∴x =π+π3=4π3，∴满足条件的角x =2π3或4π3．故选A ．11.答案：56解析：本题考查对数式的计算，属于基础题．根据对数的换底公式以及运算性质计算，即可得到答案．解：．故答案为56．12.答案：1解析：本题考查了分段函数，将x 的值代入函数的解析式即可得答案．解：由函数f(x)={2x ,x >0x,x ⩽0 可得f(1)+f(−1)=2−1=1，故答案为1．13.答案：(5,4)解析：本题主要考查两向量间的共线问题，属基础题．先假设A 、B 点的坐标，表示出向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，再由向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与a ⃗ =(2,3)同向且|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√13，可确定点B 的坐标．解：设A 点坐标为(x A ,y A )，B 点坐标为(x B ,y B )， ∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与a⃗ 同向， ∴可设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λa ⃗ =(2λ,3λ)(λ>0)，∴|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(2λ)2+(3λ)2=2√13，∴λ=2，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x B −x A ,y B −y A )=(4,6)， ∴{x B −x A =4y B −y A =6，∵{x A =1y A =−2，解得{x B =5y B =4， ∴B 点坐标为(5,4)．故答案为(5,4)．14.答案：310解析：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．原式分母看做“1”，利用同角三角函数间的基本关系化简，将tanα的值代入计算即可求出值．解：∵tanα=13，∴sinαcosα=sinαcosαsin 2α+cos 2α=tanαtan 2α+1=1319+1=310，故答案为310．15.答案：1或−1解析：本题考查了分段函数的解析式，令m =f(a) ，则f(m)=4，分m >0，m <0可得m =2，即可得f(a)=2，分a >0和a ⩽0讨论，可得a 的值．解：令m =f(a) ，则f(m)=4，当m >0时，由2m =4，解得m =2；当m ⩽0时，由−m 2−2m +1=4，无解．故f(a)=2，当a >0时，由2a =2，解得a =1;当a ⩽0时，由−a 2−2a +1=2，解得a =−1．综上：a =1或a =−1．故答案为1或−1．16.答案：−4解析：解：∵△ABC 是等腰直角三角形，AC =BC =2，∴AB =2√2，<AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ >=135∘，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |×|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos135°=2√2×2×(−√22)=−4 故答案为：−4由已知得AB =2√2，<AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ >=135∘，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |×|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos135°，代入计算即可得到所求值．本题考查了向量的数量积运算，属于基础题。

2021-2022学年浙江省嘉兴市高一上学期期末数学试题(解析版)

2021-2022学年浙江省嘉兴市高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合{02},{11}A xx B x x =≤<=-<<∣∣，则A B ⋃=（） A ．(1,0]- B ．(1,2)- C ．[0,1) D ．(0,1)【答案】B【分析】直接根据集合运算求解即可.【详解】解：因为{02},{11}A xx B x x =≤<=-<<∣∣，所以A B ⋃={12}xx -<<∣，即A B ⋃=(1,2)-. 故选：B2．在平面直角坐标系xOy 中，角θ的顶点与原点O 重合，它的始边与x 轴的非负半轴重合，终边OP 交单位圆O 于点34,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则tan θ的值为A ．35B ．45C ．43-D ．34-【答案】C【解析】根据三角函数的定义，即可求解，得到答案.【详解】由题意，角θ的顶点与原点O 重合，它的始边与x 轴的非负半轴重合，终边OP交单位圆O 于点34,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，根据三角函数的定义可得445tan 335y x θ===--.故选：C.【点睛】本题主要考查了三角的函数的定义，其中解答中熟记三角函数的定义是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题. 3．已知命题:,100p a N a ∃∈≥，则¬p 为（） A ．,100a N a ∃∈≤ B ．,100a N a ∃∈< C ．,100a N a ∀∈≤ D ．,100a N a ∀∈<【答案】D【分析】根据特称命题与全称命题的关系，即可得到结果. 【详解】∵命题:,100p a N a ∃∈≥， ∴¬p ：为,100a N a ∀∈< 故选：D4．设,a b ∈R ，则“0a b >>”是“11a b<”的（） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据充分条件与必要条件的概念，直接判断，即可得出结果. 【详解】由0a b >>得110b aa b ab --=<，则11a b<；若1a =-，1b =，则11a b<，但不能推出0a b >>；因此“0a b >>”是“11a b<”的充分不必要条件. 故选：A.【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；（2）p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集；（3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含．5．将函数sin2y x =的图象向左平移3π个单位，得到函数f （x ）的图象，则（） A ．()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ D ．()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】C【分析】根据正弦函数图象变换的性质进行求解即可. 【详解】因为函数sin2y x =的图象向左平移3π个单位，得到函数f （x ）的图象，所以()2sin[2()]=sin 233f x x x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，故选：C6．函数()21sin 1xf x x e ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭的图象大致形状为（）． A ． B ．C ．D ．【答案】A【分析】首先判断函数的奇偶性，再根据特殊点的函数值判断可得；【详解】解：因为()21sin 1xf x x e ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，所以定义域为R ，且()()()221sin 1sin 11x xf x x x f x e e -⎛⎫⎛⎫-=--=-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，即()f x 为偶函数，函数图象关于y 轴对称，故排除C 、D ；当2x =时，222210111e e e--=<++，sin 20>，所以()2221sin 201f e ⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭，故排除B ；故选：A7．设函数()()224,4log 4,4x x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨->⎪⎩，若关于x 的方程()f x t =有四个实根1234,,,x x x x （1234x x x x <<<），则1234122x x x x +++的最小值为（） A ．312B ．16C ．332D ．17【答案】B【分析】作出函数()f x 的大致图象，可知124x x +=，由()y f x =与y t =的图象有四个交点可得()024t f <<=，计算2log (4)4t x =-=求得x 的值即可得4x 的范围，根据()()4232log 4log 40x x -+-=可得3x 与4x 的关系，再根据基本不等式计算34122x x +的最小值即可求解.【详解】作出函数()f x 的大致图象，如图所示：当4x ≤时，()24f x x x =-+对称轴为2x =，所以124x x +=，若关于x 的方程()f x t =有四个实根1x ，2x ，3x ，()41234x x x x x <<<，则()024t f <<=，由2log (4)(2)4t x f =-==，得6516x =或20x ，则4520x <<，又2423log (4)log (4)x x -=--，所以()()4232log 4log 40x x -+-=，所以()()43441x x -⋅-=，所以43144x x =+-，且44(1,16)x -∈，所以()4434441121224241412204x x x x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝+-⎭+=++-2101210≥+==，当且仅当()4412424x x -=-，即46x =时，等号成立，故123414x x x x +++的最小值为16. 故选：B.【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 8．已知a ，b ，c 都是正实数，设a b c M a b b c c a=+++++，则下列判断正确的是（） A ．01M <≤ B ．312M <≤C ．322M ≤< D ．12M <<【答案】D【分析】根据正数的性质，结合放缩法进行判断即可. 【详解】因为a ，b ，c 都是正实数，所以有： 1a b c M a b c a b c a b c >++=++++++，又2a c b a c bM a b c a b c a b c+++<++=++++++，故选：D. 二、多选题9．下列各组函数中，表示同一函数的是（）A ．()()22,f t t g x x ==B ．()()cos ,sin 2f x x g x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭C ．()()()20,(0)x x f x g x x x ⎧≥==⎨-<⎩D ．()()4lo ,log f x g x g x ==【答案】ABD【分析】先判断定义域是否相同，然后对解析式化简后判断对应关系可得.【详解】()()22,f t t g x x ==对应关系和定义域显然相同，故A 正确；B 选项中，因为()sin cos 2g x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以B 正确；C 选项中，()2f x =的定义域为[0,)+∞，()g x 的定义域为R ，故C 不正确；D 选项中，显然()(),f x g x 的定义域都为(0,)+∞，又()24221lo log log 2f x g x x x ===，()12221log log l 2og x x g x ===，故D 正确. 故选：ABD10．血压是指血液在血管内流动时作用单位面积血管壁的侧压力，它是推动血液在血管内流动的动力.血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压.在未使用抗高血压药的前提下，18岁以上成人收缩压140mmHg ≥或舒张压90mmHg ≥，则说明这位成人有高血压.设从未使用过抗高血压药的小王今年26岁，从某天早晨6点开始计算（即早晨6点起，0=t ），他的血压()p t （单位：）与经过的时间t （单位：h ）满足关系式()11622sin 63p t t ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则（）A ．血压()p t 的最小正周期为6B ．当天下午3点小王的血压为105C ．当天小王有高血压D ．当天小王的收缩压与舒张压之差为44【答案】BCD【分析】利用正弦型函数的周期公式可判断A 选项；计算出()9p 的值，可判断B 选项；计算出()p t 的最大值和最小值，结合题干条件可判断C 选项；计算出()()max min p t p t -，可判断D 选项.【详解】对于A 选项，血压()p t 的最小正周期为2126ππ=，A 错；对于B 选项，下午3点时，即9t =，可得()3911622sin 11622cos 105233p πππ⎛⎫=++=-= ⎪⎝⎭，B 对；对于C 选项，因为()max 11622138140p t =+=<，()min 116229490p t =-=≥，所以，当天小王有高血压，C 对；对于D 选项，当天小王的收缩压与舒张压之差为()()max min 1389444p t p t -=-=，D 对. 故选：BCD.11．已知函数()()2ln 1f x x ax a =---，下列说法正确的有（）A ．不存在实数a ，使f （x ）的定义域为RB ．函数f （x ）一定有最小值C ．对任意正实数a ，f （x ）的值域为RD ．若函数f （x ）在区间[2,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是(,1)-∞ 【答案】ACD【分析】A. 根据f （x ）的定义域为R ，由210x ax a --->，利用判别式判断；B. 取0a =判断；C.令21u x ax a =---，根据u 的值域判断；D.由2222210aa a ⎧≤⎪⎨⎪--->⎩求解判断.【详解】A. 若f （x ）的定义域为R ，则对于不等式210x ax a --->，()()()224120a a a ∆=-++=+<不成立，故正确；B. 当0a =时，()()2ln 1f x x =-，因为21u x =-能取遍()0,∞+所有的数，所以()f x R ∈，故错误；C.2221124a a u x ax a x a ⎛⎫=---=---- ⎪⎝⎭，因为2104a a ---<，所以u 能取遍()0,∞+所有的数，所以f （x ）的值域为R ，故正确；D. 若函数f （x ）在区间[2,)+∞上单调递增，则2222210aa a ⎧≤⎪⎨⎪--->⎩ ，即41a a ≤⎧⎨<⎩，解得 1a <，所以实数a 的取值范围是(,1)-∞，故正确.故选：ACD12．已知正实数x ，y 满足22x y +=，若不等式222326240x m xy y x y -+++>恒成立，则实数m 的值可以为（） A ．4- B ．2- C ．1 D ．3【答案】BC【分析】参变分离，构造齐次式，结合均值不等式可得结果. 【详解】∵()22424x y x y +==+，∴()2222222236236244104252,222x y x y x y x y x y xy x ym xy xy xy y x++++++++<===++而25x yy x+≥则22m <，故选：BC . 三、填空题13．我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”意思是：现有扇形田，弧长三十步，直径十六步，问面积多少？书中给出扇形面积计算方法：以径乘周，四而一，意思是：将直径乘以弧长再除以4.则此问题中，扇形的面积是___________平方步.【答案】120【分析】将扇形的直径乘以弧长再除以4，可得结果. 【详解】由题意可知，该扇形的面积为30161204S ⨯==（平方步）. 故答案为：120.14．计算：()0131lg4127lg502π-+++=___________.【答案】4【分析】根据对数计算公式lg lg lg M N MN +=及指数计算公式进行计算.【详解】解：()1301lg4127lg502π-+++12=lg413lg50-++ =2+lg2lg50+()=2lg 2504+⨯=故答案为：415．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()60f x f x ++=，且函数()1y f x =-的图象关于()1,0对称，则()2022f =___________. 【答案】0【分析】求出函数的周期为12，即可得到()()20220f f =-，又()00f =即可得解. 【详解】()()60f x f x ++=，()()6f x f x ∴+=-，()()()126f x f x f x ∴+=-+=，所以函数()f x 是以12为周期的函数， ()()()()202212168660f f f f ∴=⨯+==-又函数()1y f x =-的图象关于()1,0对称，利用函数图像平移知，函数()y f x =的图象关于()0,0对称，即()00f =，所以()20220f = 故答案为：0 16．设函数()(0af x x a x=->），若存在实数1x ，2x ，满足1212x x <<<，使()()124f x f x +≥成立，则实数a 的取值范围为___________.【答案】3a >【分析】原问题等价于()(){}max 1,22,f f >分类讨论即可得到结果. 【详解】由题知，(0)ay x a x=->在()1,2上单调递增，只需()(){}()()max 1,22,1|1|,2|2|2a f f f a f >=-=-（1）当2a ≥即4a ≥时，()()12f f >，则12,3a a ->>，所以4a ≥；（2）当12a <<即14a <<时，若()()12f f ≥，即12,22aa a -≥-≥时，12,3a a ->>，所以34a <<；若()()12f f <，即2a <时，22,02aa -><，所以a 无解；（3）当1a ≤即01a <≤时，()()12f f <，则22,02aa -><，所以a 无解；综上所述，3a >. 故答案为：3a >四、解答题17．已知集合{}260A x x x =--≤，集合{}122x aB x -=>.(1)若1a =，求A B ； (2)若RA B ⊆，求实数a 的取值范围.【答案】(1){}23x x <≤； (2)2a ≥.【分析】（1）当1a =时，求出集合A 、B ，利用交集的定义可求得结果；（2）求出集合B ，可得出集合RB ，再利用集合的包含关系可得出关于实数a 的不等式，由此可解得实数a 的取值范围. (1)解：当1a =时，{}{}{}1122112x B x x x x x -=>=->=>，又因为{}{}26023A x x x x x =--≤=-≤≤，因此，{}23A B x x ⋂=<≤.(2)解：{}{}{}12211x aB x x x a x x a -=>=->=>+，故{}R 1B x x a =≤+，因为RA B ⊆，则13a +≥，解得2a ≥.18．已知1tan 3α=，(0,2πα∈）.(1)求sin 3cos 2cos sin αααα+-的值；(2)若()cos αβ-=，求cos β的值. 【答案】(1)2(2)cos β=或cos β=【分析】（1）由1tan 3α=得到cos 3sin αα=，代入求解；另解：分子分母同除以cos α求解；.（2）根据1tan 3α=，得到sin ,cos αα，再根据()cos αβ-=，得到()sin αβ-，然后由cos cos[()]βααβ=--求解. (1)解：解法一：由题意，cos 3sin αα=，所以原式sin 9sin 10sin 26sin sin 5sin αααααα+===-.解法二：原式tan 322tan αα+==-.(2) 因为1tan 3α=，所以sin αα==又()cos αβ-=，所以()sin αβ-=，所以cos cos[()]cos cos()sin sin()βααβααβααβ=--=-+-⎛ ⎝⎭.所以cos β=或cos β=. 19．已知定义在R 上的函数()(1)x xk f x a a --=-（0a >且1a ≠）是奇函数.(1)求实数k 的值；(2)若函数f （x ）满足()10f <，且对任意1x >，不等式()()2log 2log 20x f x f t ++-<恒成立，求实数t 的取值范围. 【答案】(1)2k = (2)4t <【分析】（1）利用奇函数定义得到参数的值；（2）由()10f <，可知()x xf x a a -=-在R 上递减，结合奇偶性，原不等式等价于221log 2log x t x++>对x ∈R 恒成立，利用均值不等式得到结果. (1)因为f （x ）是定义在R 上的奇函数，所以()00f =，()0010a k a ---=则2k =.经检验满足题意， ∴实数k 的值为2； (2)由（1）知，()x xf x a a -=-，因为1(1)0f a a -=-<，又0a >且1a ≠，所以01a <<；所以()x xf x a a -=-在R 上递减，且f （x ）为奇函数，所以()()22log 2log 2,log 2log 2x x f x f t x t +<-+>-，即221log 2log x t x++>对x ∈R 恒成立，而1x >时21og 0x >，所以221log 2,2log x x x+≥=时取等号，所以4t <20．已知函数()44cos cos sin f x x x x x =--. (1)求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；(2)当,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的最值及取得最值时x 的值.【答案】(1)最小正周期为π，单调增区间为5,()36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ (2)当12x π=时，()f x 的最大值为0，当3x π=时，()f x 的最小值为2-【分析】（1）由三角恒等变换得()2cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再求函数的最小正周期和单调区间；（2）由题知42,323x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，再整体代换求解即可得答案. (1)解： ()()()()222424cos sin cos cos sin cos sin f x x x x x x x x x x =--=+-cos22cos 23x x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭. 所以最小正周期为22T ππ==，令2222,3k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，解得5()36k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 所以函数()f x 的单调增区间为5,()36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. (2) 解：因为,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以42,323x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以当232x ππ+=时，()f x 的最大值为0，当23x ππ+=时，()f x 的最小值为2- 所以当12x π=时，()f x 的最大值为0，当3x π=时，()f x 的最小值为2- 21．我国承诺2030年前达“碳达峰”，2060年实现“碳中和”，“碳达峰”就是我们国家承诺在2030年前，二氧化碳的排放不再增长，达到峰值之后再慢慢减下去；而到2060年，针对排放的二氧化碳，要采取植树，节能减排等各种方式全部抵消掉，这就是“碳中和”，嘉兴某企业响应号召，生产上开展节能减排.该企业是用电大户，去年的用电量达到20万度，经预测，在去年基础上，今年该企业若减少用电x 万度，今年的受损效益S (x )(万元)满足()250,0440*******,420x x S x x x x ⎧≤≤⎪=⎨-+<≤⎪⎩.为解决用电问题，今年该企业决定进行技术升级，实现效益增值，今年的增效效益Z (x )(万元)满足()()(),04800520,420S x x x Z x S x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨-⎪+<≤⎪⎩，政府为鼓励企业节能，补贴节能费()100n x x =万元.(1)减少用电量多少万度时，今年该企业增效效益达到544万元？(2)减少用电量多少万度时，今年该企业总效益最大？【答案】(1)减少用电量5万度时，增效效益达到544万元;(2)当减少用电8万度时，企业总效益最大.【分析】（1）首先求出()Z x ，令()544Z x =解出x 的值即可；（2）首先根据题意求出企业总收益Q (x )，然后只需要求分段函数Q (x )的最大值即可.(1)易知()25004400300620420x x Z x x x x ≤≤⎧⎪=⎨--+<≤⎪⎩，，，因为04x ≤≤时，()50200Z x x =≤，所以由2400300620544x x--+=，得219751000x x --=，解得5x =；即减少用电量5万度时，增效效益达到544万元.(2)设企业总收益为Q (x )万元，则()()()()225015004400100120420x x x Q x Z x S x n x x x x ⎧-+≤≤⎪=-+=⎨-++<≤⎪⎩，，，当04x ≤≤时，()232253225502222Q x x Q ⎛⎫⎛⎫=--+≤= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；当420x <≤时，()()2115055054008844Q x Q x ⎛⎫=--+≤= ⎪⎝⎭，因为22550524<，所以()382Q Q ⎛⎫< ⎪⎝⎭. 综上知，当减少用电8万度时，企业总效益最大.22．已知函数2()2(,,,0)f x ax bx c a b c a =++∈≠R .(1)若20a b c ++=，且(0)(1)0f f ⋅>，求c a的取值范围； (2)若()f x 在[1,1]-上有零点，求证：当1a ≥-时，|||1|c b a ≤+-.【答案】(1)01c a<< (2)证明见解析【分析】（1）由题知()20c a b c ++>，再结合已知得()0c c a -<，进而解得01c a <<. （2）根据题意0[1,1]x ∃∈-，满足02020ax bx c ++=，进而分0a >和10a -≤<两种情况求解即可.(1)解： ()()0(1)20f f c a b c ⋅=++>，由于20a b c ++=，则()0c c a -<，解得01c a<<. (2)解：由条件知，0[1,1]x ∃∈-，满足02020ax bx c ++=. ①当0a >时，20002|||||1|c ax bx bx b b a =--≤-≤≤+-，当且仅当10a -=，2020ax -=，0||c bx b =-=，即01,0,0a x b c ====时取等号； ②当10a -≤<时，2000222|||||1|c ax bx a bx a b b a =--≤--≤-+≤+-. 当且仅当1c a c ≤++，2022ax a -=-，0bx b -=，21a a -=-时取等号，即201,1a x =-=时取等号.。

浙江省嘉兴市高一数学上学期期末试卷(含解析)

浙江省嘉兴市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．（4分）如果M={1，2，3}，N={3，5}，则M∩N=（）A．{1，2，3，5} B．{1，2，3} C．{3，5} D．{3}2．（4分）2lg2+lg25=（）A．1 B．2 C．10 D．1003．（4分）不等式x2+5x﹣6＜0的解集为（）A．（﹣6，1）B．（﹣∞，6）∪（1，+∞）C．（﹣3，﹣2） D．（﹣∞，3）∪（2，+∞）4．（4分）平面向量与的夹角为60°且=2，=1，则向量+2的模为（）A．B．12 C．D．105．（4分）已知函数f（x）=x+，则下列说法正确的是（）A．f（x）是增函数B．f（x）是减函数C．f（x）是奇函数D．f（x）是偶函数（4分）如图，已知△ABC中，点D在边BC上，且|BD|=2|DC|，点E在线段AD上，且|AE|=2|ED|，6．设=，=，若=m+n，则m+n=（）A．﹣B．C．﹣3 D．37．（4分）函数f（x）=log a x+x﹣b（2＜a＜3＜b＜4）的零点所在的一个区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）8．（4分）若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为f（x）=|log2x|，值域为{1，2}的“孪生函数”共有（）A．10个B．9个C．8个D．7个9．（4分）如图，已知△ABC中，A=90°，B=30°，点P在BC上运动且满足=，当取到最小值时，λ的值为（）A．B．C．D．10．（4分）已知f（x）=log2（其中x＞1），g（x）=x2﹣2ax+a2+b（其中x∈R，a＞0，b＞1），则下列判断正确的是（）A．f（g（a﹣1））＞f（g（a））B．f（g（））＞f（g（））C．g（f（））＞g（f（3））（其中a≠0且a）D．g（f（））＞g（f（3））（其中a≠0，且a≠1）二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）11．（3分）已知2∈，则m=．12．（3分）函数f（x）=log2（2x+3）的定义域为．13．（3分）已知幂函数f（x）=x a，且f（4）=2，则f（6）=．14．（3分）若，是两个不共线的向量，已知=2+k，=+3，=2﹣，若A，B，D三点共线，则k=．15．（3分）已知奇函数y=f（x）满足当x＜0时，f（x）=x2，则=．16．（3分）已知定义在上的奇函数f（x）=a x﹣a﹣x（其中0＜a＜1），若m满足f（m2﹣4m）≥0，则m的取值范围为．17．（3分）已知△ABC是边长为2的正三角形，以AC为直径作半圆O（如图），P为半圆上任一点，则的最大值为．18．（3分）已知函数f（x）=，若f（f（a））≤0，则实数a的取值范围是．三、解答题（共4小题，满分36分）19．（8分）已知全集为U=R，集合A={x|x2﹣x﹣2＜0}，B={x|x（3﹣x）＞0}，M={x|2x﹣a ＜0}．（1）求A∩（∁U B）；（2）若（A∪B）⊆M，求实数a的取值范围．20．（8分）已知在Rt△ABC中，其中∠A为直角，向量=+，=2+3，=（2m+1）+（m﹣3），其中，是互相垂直的两个单位向量．（1）求实数m的值；（2）过A作AE⊥BC于E，延长AE至D，使四边形ABDC为直角梯形（其中AC、BD为底边），用，表示．21．（10分）已知函数f（x）=a﹣，x∈R．（1）若函数f（x）为奇函数，求a的值；（2）令g（x）=，若函数y=g（x）的图象始终在直线y=1的上方，求实数a的取值范围．22．（10分）已知二次函数f（x）=ax2﹣（3a﹣b）x+c，其中a＞0，f（1）=﹣a，若函数y=f（x）与x轴有两个交点A（x1，0）、B（x2，0），其中x1∈（﹣1，），x2∉（﹣1，）；（1）求证：﹣＜＜；（2）若函数y=f（x）的顶点为C，当|AB|取得最小值时，△ABC为等腰直角三角形，求此时的二次函数y=f（x）的解析式．（3）当x∈时，函数y=f（x）的最小值为﹣b，求的值．浙江省嘉兴市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．（4分）如果M={1，2，3}，N={3，5}，则M∩N=（）A．{1，2，3，5} B．{1，2，3} C．{3，5} D．{3}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：根据交集的定义进行求解．解答：解：∵M={1，2，3}，N={3，5}，∴M∩N={3}，故选：D点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（4分）2lg2+lg25=（）A．1 B．2 C．10 D．100考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：直接利用对数的运算法则求解即可．解答：解：2lg2+lg25=2lg2+2lg5=2．故选：B．点评：本题考查对数的运算法则的应用，考查计算能力．3．（4分）不等式x2+5x﹣6＜0的解集为（）A．（﹣6，1）B．（﹣∞，6）∪（1，+∞）C．（﹣3，﹣2） D．（﹣∞，3）∪（2，+∞）考点：一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：直接利用二次不等式的求法，求解即可．解答：解：不等式x2+5x﹣6＜0，化为：（x﹣1）（x+6）＜0．不等式的解集为：x∈（﹣6，1）．故选：A．点评：本题考查二次不等式的解法，考查计算能力．4．（4分）平面向量与的夹角为60°且=2，=1，则向量+2的模为（）A．B．12 C．D．10考点：平面向量数量积的性质及其运算律；向量的模．专题：计算题．分析：由与的夹角为60°且=2，=1，知+2|==，由此能求出结果．解答：解：∵与的夹角为60°且=2，=1，∴+2|====2．故选A．点评：本题考查平面向量的数量积及其运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．5．（4分）已知函数f（x）=x+，则下列说法正确的是（）A．f（x）是增函数B．f（x）是减函数C．f（x）是奇函数D．f（x）是偶函数考点：函数奇偶性的判断．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数的性质进行判断即可．解答：解：函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），则f（﹣x）=﹣x﹣=﹣（x+）=﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，故选：C点评：本题主要考查函数奇偶性的判断，根据定义是解决本题的关键．（4分）如图，已知△ABC中，点D在边BC上，且|BD|=2|DC|，点E在线段AD上，且|AE|=2|ED|，6．设=，=，若=m+n，则m+n=（）A．﹣B．C．﹣3 D．3考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：根据向量的减法，共线向量基本定理，向量的加法便容易得到，所以根据平面向量基本定理可得到．解答：解：根据已知条件，==；∴；又；∴根据平面向量基本定理得：m+n=．故选A．点评：考查向量减法、加法的几何意义，共线向量基本定理，以及平面向量基本定理．7．（4分）函数f（x）=log a x+x﹣b（2＜a＜3＜b＜4）的零点所在的一个区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）考点：函数零点的判定定理．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由2＜a＜3＜b＜4可判断f（2）=log a2+2﹣b＜0，f（3）=log a3+3﹣b＞0；从而可得f（2）f（3）＜0；从而判断零点的区间．解答：解：函数f（x）=log a x+x﹣b在定义域上连续，又∵2＜a＜3＜b＜4，∴0＜log a2＜1，1＜log a3，﹣2＜2﹣b＜﹣1，﹣1＜3﹣b＜0；∴f（2）=log a2+2﹣b＜0，f（3）=log a3+3﹣b＞0；故f（2）f（3）＜0；故选C．点评：本题考查了函数的零点的判断与应用，属于基础题．8．（4分）若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为f（x）=|log2x|，值域为{1，2}的“孪生函数”共有（）A．10个B．9个C．8个D．7个考点：函数的值域；函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：由|log2x|=1，|log2x|=2分别求出x的值，然后写出所有解析式为f（x）=|log2x|，值域为{1，2}的定义域得答案．解答：解：由|log2x|=1，得log2x=±1，当log2x=1时，x=2，当log2x=﹣1时，x=；由|log2x|=2，得log2x=±2，当log2x=2时，x=4，当log2x=﹣2时，x=．∴满足解析式为f（x）=|log2x|，值域为{1，2}的“孪生函数”的定义域有：{2，4}、{2，}、{，4}、{，}、{2，，4}、{2，，}、{2，4，}、{，4，}、{2，，4，}共9个．故选：B．点评：本题是新定义题，考查了函数的定义域及其值域的求法，是基础题．9．（4分）如图，已知△ABC中，A=90°，B=30°，点P在BC上运动且满足=，当取到最小值时，λ的值为（）A．B．C．D．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：如图所示，建立直角坐标系．不妨设BC=4，P（x，0），则A．（0≤x≤4）．可得=．利用二次函数的单调性可得当x=时，取到最小值．利用=，即可解出．解答：解：如图所示，建立直角坐标系．不妨设BC=4，P（x，0），则A．（0≤x≤4）．∴=•（4﹣x，0）=（3﹣x）（4﹣x）=x2﹣7x+12=．当x=时，取到最小值．∴=，∴=λ（﹣4，0），∴，解得λ=．故选：D．点评：本题考查了数量积运算性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．（4分）已知f（x）=log2（其中x＞1），g（x）=x2﹣2ax+a2+b（其中x∈R，a＞0，b＞1），则下列判断正确的是（）A．f（g（a﹣1））＞f（g（a））B．f（g（））＞f（g（））C．g（f（））＞g（f（3））（其中a≠0且a）D．g（f（））＞g（f（3））（其中a≠0，且a≠1）考点：命题的真假判断与应用；对数函数的单调性与特殊点．专题：函数的性质及应用；简易逻辑．分析：根据复合函数的单调性，先求出函数f（x）与g（x）的单调区间，再分别利用函数的单调性进行判断即可．解答：解：∵f（x）=log2=log2（1+），设t=1+，则t在（1，+∞）上单调递减，∴y=f（x）在（1，+∞）上单调递减，∵g（x）=x2﹣2ax+a2+b=（x﹣a）2+b，∴g（x）=（x﹣a）2+b，在（﹣∞，a）上单调递减，（a，+∞）上单调递增，对于A，∵g（a﹣1）﹣g（a）=1＞0，且g（a）＞1，∴g（a﹣1）＞g（a）＞1，∵y=f（x）在（1，+∞）单调递减，∴f（g（a﹣1））＜f（g（a），故A不正确对于B．∵g（）＜g（），且g（）＞1，∴f（g（））＞f（g（）），故B正确对于C，=1+，则1＜≤2，∴f（）＞f（3），∵f（3）=1，f（）＞1，∴无法比较g（f（））与g（f（3））的大小，对于D，=1+，则1＜≤3，∴f（）≥（f（3）），∵f（3）=1，f（）≥1∴无法比较g（f（））＞g（f（3））（其中a≠0，且a≠1）的大小，故选：B．点评：本题考查了利用函数的单调性比较大小，关键是求出函数f（x）与g（x）的单调区间，属于中档题．二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）11．（3分）已知2∈，则m=．考点：元素与集合关系的判断．专题：计算题；集合．分析：利用2∈{2m﹣1，﹣2}，可得2m﹣1=2，即可求出m的值．解答：解：∵2∈{2m﹣1，﹣2}，∴2m﹣1=2，∴m=，故答案为：．点评：本题考查元素与集合关系，考查学生的计算能力，比较基础．12．（3分）函数f（x）=log2（2x+3）的定义域为（﹣，+∞）．考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数成立的条件即可求函数的定义域．解答：解：要使函数有意义，则2x+3＞0，即x＞﹣，故函数的定义域为（﹣，+∞），故答案为：（﹣，+∞）点评：本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．13．（3分）已知幂函数f（x）=x a，且f（4）=2，则f（6）=．考点：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．专题：函数的性质及应用．分析：利用f（4）=2列出方程求出a的值，即可求出函数的解析式，再求出f（6）的值．解答：解：因为幂函数f（x）=x a，且f（4）=2，所以4a=2，解得a=，则=，所以f（6）=，故答案为：．点评：本题考查利用待定系数法求幂函数的解析式、函数值，属于基础题．14．（3分）若，是两个不共线的向量，已知=2+k，=+3，=2﹣，若A，B，D三点共线，则k=﹣8．考点：向量的共线定理．专题：计算题．分析：先求出，利用A，B，D三点共线，=，求出k即可．解答：解：=（2﹣）﹣（+3）=﹣4因为A，B，D三点共线，所以=，已知=2+k，=﹣4所以k=﹣8，故答案为：﹣8．点评：本题考查向量的共线定理，考查运算能力，是基础题．15．（3分）已知奇函数y=f（x）满足当x＜0时，f（x）=x2，则=﹣1．考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：由已知得，由此能求出=﹣1．解答：解：∵奇函数y=f（x）满足当x＜0时，f（x）=x2，∴，∴f（1）=﹣1，f（f（1））=f（﹣1）=1，f（f（f（1）））=﹣1，…其规律是法则为奇数层时为﹣1，为偶数层时函数值为1∴=﹣1．故答案为：﹣1．点评：本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．16．（3分）已知定义在上的奇函数f（x）=a x﹣a﹣x（其中0＜a＜1），若m满足f（m2﹣4m）≥0，则m的取值范围为∪．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数是奇函数，定义域关于原点对称求出t的值，然后研究函数f（x）的单调性，则即可列出关于m的不等式组解之即可．解答：解：因为原函数为奇函数，所以t﹣4+3t=0，解得t=1，所以定义域为，且f（0）=0又，因为0＜a＜1，所以lna＜0，所以f′（x）＜0，所以函数在上递减，则由f（m2﹣4m）≥0得f（m2﹣4m）≥f（0），即﹣3≤m2﹣4m≤0，解得∪．故答案为∪．点评：本题考查了利用函数的奇偶性、单调性解不等式的问题，要注意在列不等式组时不可忽视了定义域．17．（3分）已知△ABC是边长为2的正三角形，以AC为直径作半圆O（如图），P为半圆上任一点，则的最大值为5．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：如图所示，建立直角坐标系．取BC的中点D（1，0），A（1，），O，作⊙O的垂直于x轴的切线MN，切点为M．设P（x，y），则．可得=2x．即可得出．解答：解：如图所示，建立直角坐标系．取BC的中点D（1，0），A（1，），O，作⊙O的垂直于x轴的切线MN，切点为M．设P（x，y），则．则=（2，0）•（x，y）=2x=5．故答案为：5．点评：本题考查了向量的数量积运算性质、直角三角形的边角关系、圆的性质，考查了变形能力与计算能力，属于中档题．18．（3分）已知函数f（x）=，若f（f（a））≤0，则实数a的取值范围是．考点：分段函数的应用．专题：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：令t=f（a），则f（t）≤0，讨论t≤1，t＞1，解不等式可得﹣1≤f（a）≤1，再由a≤1，a＞1，结合二次不等式的解法和对数不等式的解法，求并集即可得到．解答：解：令t=f（a），则f（t）≤0，当t≤1时，有2t2﹣2≤0，解得﹣1≤t≤1；当t＞1时，lgt≤0，解得0＜t≤1，不成立．即有﹣1≤f（a）≤1，当a≤1时，﹣1≤2a2﹣2≤1，解得≤a≤或﹣≤a≤﹣，则有≤a≤1或﹣≤a≤﹣；当a＞1时，有﹣1≤lga≤1，解得≤a≤10，则有1＜a≤10．综上可得a的取值范围是．故答案为：．点评：本题考查分段函数的运用，考查不等式的解法，考查对数函数的单调性的运用，考查换元法及运算能力，属于中档题和易错题．三、解答题（共4小题，满分36分）19．（8分）已知全集为U=R，集合A={x|x2﹣x﹣2＜0}，B={x|x（3﹣x）＞0}，M={x|2x﹣a ＜0}．（1）求A∩（∁U B）；（2）若（A∪B）⊆M，求实数a的取值范围．考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：（1）求出集合A，B，根据集合的基本运算即可求A∩（∁U B）；（2）根据（A∪B）⊆M，建立条件关系即可求实数a的取值范围解答：解：（1）A={x|x2﹣x﹣2＜0}={x|﹣1＜x＜2}，B={x|x（3﹣x）＞0}={x|0＜x＜3}，∁U B={x|x≥3或x≤0}，则A∩（∁U B）={x|﹣1＜x≤0}；（2）A∪B={x|﹣1＜x＜3}，M={x|2x﹣a＜0}={x|x＜}若（A∪B）⊆M，则，解得a≥6，则实数a的取值范围分析：（1）奇函数f（x）在x=0处有定义，则f（0）=0，即可得到a；（2）判断g（x）为偶函数，则有g（x）＞1等价为f（x）＞1在时，函数y=f（x）的最小值为﹣b，求的值．考点：二次函数在闭区间上的最值；函数解析式的求解及常用方法；函数的最值及其几何意义；二次函数的性质．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：（1）代入x=1，求得c=a﹣b，再由f（﹣1）＞0，f（）＜0，解不等式即可得证；（2）运用韦达定理和弦长公式，配方求得最小值2，进而得到a=b，c=0，再由△ABC为等腰直角三角形，求得C（1，﹣1），即可得到f（x）的解析式；（3）由于f（x）的图象的开口向上，则f（x）在的最小值，可能为顶点或两端点．分别求f（0）=﹣b，或f（1）=﹣b，或f（）=﹣b，再检验对称轴和区间的关系，即可判断．解答：（1）证明：f（1）=﹣a，可得a﹣（3a﹣b）+c=﹣a，化简得c=a﹣b，由x1∈（﹣1，），可得f（﹣1）＞0，f（）＜0，即有a+（3a﹣b）+c＞0且a﹣（3a﹣b）+c＜0，即5a﹣2b＞0，且﹣a﹣2b＜0，解得﹣＜＜；（2）解：由f（x）=0的两根为x1、x2，则x1+x2=，x1x2=，则|AB|=|x1﹣x2|===，当=1∈时，|AB|取得最小值，且为2，即有f（x）=ax2﹣2ax+c=ax（x﹣2），即有A（0，0），B（2，0），则C的横坐标为1，由△ABC为等腰直角三角形，则C（1，﹣1），则有﹣1=a•（1﹣2），解得a=1，故f（x）=x2﹣2x；（3）解：由于f（x）的图象的开口向上，则f（x）在的最小值，可能为顶点处或两端点处．若f（x）的最小值为f（0）=﹣b，即为c=﹣b=a﹣b，解得=，则f（x）的对称轴为x==∈，则区间不为增区间，舍去；若f（x）的最小值为f（1）=﹣b，即为a﹣3a+b+c=﹣b，代入c=a﹣b，解得=，则f（x）的对称轴为x==∈，则区间不为减区间，舍去；若f（x）的最小值为f（）=﹣b，即为=﹣b，代入c=a﹣b，解得=2或，则f（x）的对称轴为x==∈，或∈，故成立．综上可得=2或．点评：本题考查二次函数的解析式的求法和最值的求法，主要考查二次方程的韦达定理和单调性的运用，运用分类讨论的思想方法是解题的关键，注意求最值时，讨论最值取得的可能之处，是简化解题的策略．。

浙江省嘉兴市高一上学期期末检测数学试题

嘉兴市2017—2018学年第一学期期末检测高一数学试题卷一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分．）1．已知集合R =U ，}11|{≤≤-=x x A ，}20|{≤≤=x x B ，则( A ∨=)B UA ．]0,1[-B ．)0,1[-C ．)0,1(-D ．]1,0[2．下列函数中，既是偶函数，又在),0(∞+上单调递增的是A ．3x y =B ．x y 2=C ．||2x y =D ．||lg x y -=3．已知)1,1(-A ，)4,3(-B ，平面向量AB 的坐标是A ．)3,2(B ．)3,2(--C ．)3,2(-D ．)3,2(- 4．函数x x x f 3log 82)(+-=的零点一定位于区间A ．)65(，B ．)43(，C ．)32(，D ．)21(，5．已知平面向量)3,12(+=m a ，),2(m b =，且a //b ，则实数m 的值等于A ．2-或23B ．23 C ．2或23-D ．72-6．若)56(log )(232+-=x x x f 在)(∞+，a 上是减函数，则a 的取值范围是A ．)3(∞+，B ．)5(∞+，C ．)3[∞+，D ．)5[∞+，7．若)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当0<x 时，x x f 2)(=，则=)9(log 4fA ．31B ．3C ．31-D ．3-8．已知函数c bx x y ++=2，且)()1(x f x f -=+，则下列不等式中成立的是A ．)2()0()2(f f f <<-B ．)2()2()0(f f f <-<C ．)2()2()0(-<<f f fD ．)2()0()2(-<<f f f9．已知△ABC 中，2==AC AB ，32=BC ，点P 为BC 边所在直线上的一个动点，则)(AC AB AP +⋅的取值A ．与P 的位置有关，最大值为2B ．与P 的位置无关，为定值2C ．与P 的位置有关，最大值为4D ．与P 的位置无关，为定值410．已知函数242)(++--=x t tx x f 在区间[]2,1-上的最大值为2，则t 的值等于A ．2或3B ．1或3C ．2D ．3二、填空题（本大题有8小题，每小题3分，共24分，请将答案写在答题卷上） 11．已知)1,1(=a ，)3,2(=b ，则=+||b a ▲ ． 12．函数αx x f =)(的图象过点)21,22(，则α的值为 ▲ ． 13．若0>a 且1≠a ，则函数11-=-x a y 的图像经过定点 ▲ ． 14．函数)12(log 2-=x y 的定义域是 ▲ ． 15．若1052==b a ，则=+ba 11 ▲ ． 16．已知⎩⎨⎧<≥+=)0(2)0(2)(3x x x x x f ，若10)(=a f ，则a 的值等于 ▲ ．17．若函数))(1()(22c bx x x x f ++-=的图像关于直线2-=x 对称，则c b +的值是 ▲ ．18．已知向量b a ,满足2|3||2|=+=-b a b a ，则||a 的取值范围是 ▲ ．三、解答题（本大题有4小题，共36分，请将解答过程写在答题卷上） 19．（本题8分）已知集合}12|{+<<-=m x m x A ，}51|{<<=x x B . （Ⅰ）若1=m ，求B A ；（Ⅱ）若A B A = ，求实数m 的取值范围．20．（本题8分）已知1e 、2e 是夹角为︒60的两个单位向量，2123e e a -=，2132e e b -=．（Ⅰ）求b a ⋅的值；（Ⅱ）求b a +与b a -的夹角．21．（本题10分）已知)0()(2≠++=a c bx ax x f ，满足条件x x f x f 2)()1(=-+（R ∈x ），且1)0(=f ．（Ⅰ）求)(x f 的解析式；（Ⅱ）设3)(-=mx x g ，已知当]3,21[∈x 时，函数)(x g y =的图像与)2(x f y =的图像有且只有一个公共点，求m 的取值范围．22．（本题10分）已知函数kka a x f xx --=)(（0>a 且1≠a ）是奇函数．（Ⅰ）求实数k 的值；（Ⅱ）若2=a ，)(2)(22x mf a a x g x x -+=-，且)(x g 在]1,0[上的最小值为1，求实数m 的值．嘉兴市2017～2018学年第一学期期末检测高一数学参考答案（2018.2）一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分．）1．B ； 2．C ； 3．D ； 4．B ； 5．A ； 6．D ；7．C ；8．C ；9．B ；10．A ．10.【解析】：242)(++--=x t tx x f 24++-=x t ，令m x =+24，则2m ax =-t m ，因为[]2,1-∈x ，则]4,1[∈m ,所以2=t ，或3=t . 二、填空题（本大题有8小题，每小题3分，共24分，）11.5；12．2；13．)0,1(； 14.),1[+∞；15.1；16．2； 17．23； 18．]2,52[18．解法一：因为|2|2a b -=，|3|2a b +=，所以|36|6a b -=，|26|4a b +=，所以|62||63|2b a b a +--=|6263|b a b a ++-≤|62||63|b a b a ++-≤10=，即1052≤≤a ，所以]2,52[∈a ．解法二：如图：b OB a OA 2,==，b OC 3-=，由已知得2==AC AB ,则A 一定在BC 中垂线上，以A 为圆心，2为半径作圆A ，平移BC 到11C B 处时52min=a，平移BC 到)0(22=b C B 处时BAb 2b3-a1B 1C )(22C B2max=a，所以]2,52[∈a ．三、解答题（本大题有4小题，共36分，） 19．（本题8分）已知集合}12|{+<<-=m x m x A ，}51|{<<=x x B . （Ⅰ）若1=m ，求B A ；（Ⅱ）若A B A = ，求实数m 的取值范围．解：(Ⅰ) 由1=m 得，{}12A x x =-<<，所以}51{<<-=x x B A ； ……4分（Ⅱ）因为A B A = ，所以B A ⊆，⎩⎨⎧≤+≥-5112m m ，解得43≤≤m . .......8分 20．（本题8分）已知1e 、2e 是夹角为︒60的两个单位向量，2123e e a -=，2132e e b -=．（Ⅰ）求b a ⋅的值；（Ⅱ）求b a +与b a -的夹角．解：(Ⅰ)因为1e 、2e 是夹角为60°的两个单位向量，所以2121=⋅e e ， ()()12123223a b e e e e ⋅=-⋅-2221216136e e e e +⋅-=21162136=+-=， …… 4分（Ⅱ）2155e e b a -=+，21e e b a +=-，设a b +与a b -的夹角为θ，则1212()()(55)()a b a b e e e e +⋅-=-⋅+0552221=-=e e ，所以()()cos 0a b a b a b a bθ+⋅-==+⋅-，即2πθ=，所以a b +与a b -的夹角为2π． …… 8分 21．（本题10分）已知)0()(2≠++=a c bx ax x f ，满足条件x x f x f 2)()1(=-+（R ∈x ），且1)0(=f ．（Ⅰ）求)(x f 的解析式；（Ⅱ）设3)(-=mx x g ，已知当]3,21[∈x 时，函数)(x g y =的图像与)2(x f y =的图像有且只有一个公共点，求m 的取值范围．解：（Ⅰ）由1)0(=f 得，1=c ，由)(2)()1(R x x x f x f ∈=-+，得x bx ax x x b x a 2)1(]1)1()1([22=++-++++，化简得，x b a ax 22=++，所以0,22=+=b a a ，则1,1-==b a .所以1)(2+-=x x x f . ……… 4分（Ⅱ）由（Ⅰ）得124)2(2+-=x x x f由题意得12432+-=-x x mx 在]3,21[∈x 上只有唯一解，2)1(44242-+=+-=xx x x x m ，令m y =，2)1(4)(-+=x x x h ，]3,21[∈x ，又)(x h 在]1,21[单调递减，在]3,1[单调递增，8)21(=h ，6)1(=h ，334)3(=h ，所以6=m 或3348≤<m .……… 10分 22．（本题10分）已知函数kka a x f xx --=)(（0>a 且1≠a ）是奇函数．（Ⅰ）求实数k 的值；（Ⅱ）若2=a ，)(2)(22x mf a a x g x x -+=-，且)(x g 在]1,0[上的最小值为1，求实数m 的值．解：(Ⅰ) ∵)(x f 是定义域为R 的奇函数，∴0)0(=f ，∴01=-k ，∴1=k 。