泛函分析H总结
泛函分析总结范文高中
泛函分析是现代数学分析的一个重要分支，它主要研究的是函数构成的函数空间以及这些空间上的线性算子。
相较于高中数学中的实变函数和复变函数，泛函分析更多地关注函数之间的相互关系和映射性质，为解决实际问题提供了新的视角和方法。
一、泛函分析的基本概念1. 函数空间：泛函分析研究的对象是函数，这些函数构成一个集合，称为函数空间。
常见的函数空间有实值函数空间、复值函数空间、有界函数空间、连续函数空间等。
2. 线性算子：函数空间上的线性算子是一种映射，它将一个函数映射到另一个函数，同时满足线性性质。
线性算子是泛函分析的核心概念，如积分算子、微分算子、傅里叶变换等。
3. 范数：范数是度量函数空间中函数“大小”的一种方式。
一个函数空间的范数满足以下性质：非负性、齐次性、三角不等式和归一性。
4. 内积：内积是度量函数空间中函数“夹角”的一种方式。
一个函数空间的内积满足以下性质：非负性、齐次性、共轭对称性和三角不等式。
二、泛函分析的主要理论1. 线性算子的谱理论：研究线性算子的特征值和特征向量，以及这些特征值和特征向量的性质。
2. 线性算子的有界性：研究线性算子是否具有有界性，以及有界性的条件。
3. 线性算子的连续性：研究线性算子是否具有连续性，以及连续性的条件。
4. 线性算子的可逆性：研究线性算子是否具有可逆性，以及可逆性的条件。
5. 线性算子的对偶性：研究线性算子的对偶算子，以及对偶算子的性质。
三、泛函分析的应用1. 微分方程：泛函分析为微分方程的求解提供了新的方法，如泛函微分方程、积分方程等。
2. 积分方程：泛函分析为积分方程的求解提供了新的方法，如变分法、迭代法等。
3. 函数论：泛函分析为函数论的研究提供了新的工具，如傅里叶分析、Sobolev空间等。
4. 线性代数：泛函分析为线性代数的研究提供了新的视角，如无穷维线性空间、线性算子等。
总之，泛函分析是一门具有广泛应用前景的数学分支。
通过对函数空间、线性算子、范数、内积等基本概念的研究，泛函分析为解决实际问题提供了新的思路和方法。
泛函分析课程总结
泛函分析课程总结数学与计算科学学院 09数本5班 符翠艳 2009224524 序号：26 一．知识总结 第七章 度量空间和赋范线性空间 1. 度量空间的定义：设X 是一个集合，若对于X 中任意两个元素,x y ，都有唯一确定的实数(),d x y 与之相对应，而且满足()()()()()()()1,0,,0=;2,,;3,,,,d x y d x y x y d x y d y x d x y d x z d z y z ≥=⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪≤+⎩⎭、的充要条件是、、对任意都成立。
则称d 为X 上的一个度量函数，（d X ,）为度量空间，),(y x d 为y x ,两点间的度量。
2. 度量空间的例子①离散的度量空间(),X d设X 是任意的非空集合，对X 中任意两点,x y X ∈,令()1,,0,x y d x y x y ≠⎧⎫=⎨⎬=⎩⎭当当②序列空间S令S 表示实数列（或复数列）的全体，对S 中任意两点()()12n 12,,...,,...,,...,,...n x y ξξξηηη==及，令()11,21i ii i i i d x y ξηξη∞=-=+-∑③有界函数空间B （A ）设A 是一给定的集合，令B （A ）表示A 上有界实值（或复值）函数全体，对B （A ）中任意两点,x y ，定义(),()()sup t Ad x y x t y t ∈=-④可测函数空间m(X)设m(X)为X 上实值（或复值）的L 可测函数全体，m 为L 测度，若()m X ≤∞，对任意两个可测函数()()f t g t 及，令()()(),1()()Xf tg t d f g dt f t g t -=+-⎰⑤[],C a b 空间令[],C a b 表示闭区间[],a b 上实值（或复值）连续函数的全体，对[],C a b 中任意两点,x y ，定义(),max ()()a t bd x y x t y t ≤≤=-⑥2l 空间 记{}12k k k x x x l ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭∞===<∞∑，设2k x x l ⎧⎫⎨⎬⎩⎭∈=，2y k y l ⎧⎫⎨⎬⎩⎭∈=，定义 ()1221,()k k k d x y y x ∞=⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦∑注：度量空间中距离的定义是关键。
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泛函分析知识总结与举例、应用学习泛函分析主要学习了五大主要内容：一、度量空间和赋范线性空间；二、有界线性算子和连续线性泛函；三、内积空间和希尔伯特空间；四、巴拿赫空间中的基本定理；五、线性算子的谱。
本文主要对前面两大内容进行总结、举例、应用。
一、 度量空间和赋范线性空间（一）度量空间度量空间在泛函分析中是最基本的概念，它是n 维欧氏空间n R （有限维空间）的推 广，所以学好它有助于后面知识的学习和理解。
1．度量定义：设X 是一个集合，若对于X 中任意两个元素x ，y,都有唯一确定的实数d(x,y)与之对应，而且这一对应关系满足下列条件：1°d(x,y)≥0 ，d(x,y)=0 ⇔ x=y （非负性）2°d(x,y)= d(y,x) （对称性）3°对∀z ，都有d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y) （三点不等式）则称d(x,y)是x 、y 之间的度量或距离（matric 或distance ），称为(X,d)度量空间或距离空间(metric space )。
（这个定义是证明度量空间常用的方法）注意:⑴ 定义在X 中任意两个元素x ，y 确定的实数d(x,y)，只要满足1°、2°、3°都称为度量。
这里“度量”这个名称已由现实生活中的意义引申到一般情况，它用来描述X 中两个事物接近的程度，而条件1°、2°、3°被认为是作为一个度量所必须满足的最本质的性质。
⑵ 度量空间中由集合X 和度量函数d 所组成，在同一个集合X 上若有两个不同的度量函数1d 和2d ，则我们认为(X, 1d )和(X, 2d )是两个不同的度量空间。
⑶ 集合X 不一定是数集，也不一定是代数结构。
为直观起见，今后称度量空间(X,d)中的元素为“点” ，例如若x X ∈，则称为“X 中的点” 。
⑷ 在称呼度量空间(X,d)时可以省略度量函数d ，而称“度量空间X ” 。
泛函分析知识总结
泛函分析知识总结泛函分析是数学中一个重要的分支领域，它研究的是无穷维空间和函数的性质。
在泛函分析中，我们考虑的对象是函数空间，而不是具体的函数。
泛函分析广泛应用于数学、物理学、工程学等领域。
1.线性空间与拓扑空间：泛函分析的基础是线性空间的理论。
线性空间是指具有加法和数乘运算，同时满足线性结构条件的集合。
泛函分析还引入了拓扑空间的概念，拓扑空间是指在线性空间的基础上引入了距离、收敛等概念，并给出了一些性质。
2.范数与内积：范数和内积是泛函分析中常用的两个概念。
范数是定义在线性空间上的一种非负实值函数，它满足正定性、齐次性和三角不等式。
范数可以用来度量向量的大小。
内积是将两个向量映射到实数的一个运算，它满足对称性、线性性和正定性。
3.完备性和紧性：完备性是指一个空间中的柯西序列收敛于空间内的一个点。
完备性是一个重要的性质，它可以用来判断一个空间是否是可度量空间，即能够定义距离的空间。
紧性是指一个空间内的每个序列都存在收敛的子序列。
紧性常用于分析序列在空间内的收敛性。
4.泛函空间和对偶空间：泛函分析中经常考虑的是函数空间，函数空间是指由一类满足特定条件的函数构成的空间。
常用的函数空间有连续函数空间、可积函数空间等。
函数空间还可以定义内积、范数等结构。
对偶空间是一个线性空间的对偶空间，它由该线性空间上的线性函数构成。
5.泛函的连续性和收敛性：泛函分析研究的是空间到实数域的映射，所以泛函的连续性和收敛性是一个重要的问题。
在泛函分析中，我们定义了一个泛函的连续性，当且仅当对于任意给定的序列，如果其收敛于一个点，那么其映射的泛函值也会收敛于该泛函值。
类似地，我们还可以定义泛函的收敛性。
6.算子：算子是泛函分析中一个重要的概念，它是一种将一个空间映射到另一个空间的映射。
线性算子是指满足线性性质的映射，而有界算子是指满足一定范围内的性质的映射。
算子可以是线性差分方程、微分算符等。
7.泛函分析在物理学和工程学中的应用：泛函分析在物理学和工程学中有广泛的应用。
泛函分析知识点总结
泛函分析知识点总结本页仅作为文档封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March泛函分析一，距离空间定义设X是任一非空集合，对于X中的任意两点x,y，均有一个实数d(x,y)与它对应，且满足：1）d(x,y)≥0（非负性）2）d(x,y)=0当且仅当x=y(严格正)3）d(x,y)=d(y,x)4）d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y)（三角不等式）则称d(x,y)为X中的一个距离，定义了距离d的集合称为一个距离空间，记为（X,d），有时简记为X。
设（X,d）是一个距离空间，X中的一个数列，存在X中的任意点，如果当n趋于无穷时，这个数列按照距离收敛到这个点，则称这个数列以这点收敛。
(x,y)是x,y的二元函数，若当存在一个x的数列收敛到x,存在一个y 的数列收敛到y，则这个距离关于x,y的二元函数也收敛。
(利用三角不等式证明)开球的定义（X,d）是一个距离空间，r>0，集合B(x0,r)={x∈X|d(x,x0)<r}则称以x0为中心，r为半径的开球。
有界集：称A为有界集，若存在一个开球，使得A属于这个开球。
内点：称x0为集合G的内点，若存在一个开球B(x0,r)属于G。
开集：称G为开集，若G中的每一个点都是它的内点。
闭集：开集的补集就是闭集。
（若用接触点定义闭集就是，A的接触点的全体称为A的闭包，也就是闭集。
）闭集的等价条件是这个集合中的收敛点列收敛到这个集合中的元素。
全空间和空集即使开集也是闭集。
任意个开集的并是开集，有限个开集的交是开集。
任意个闭集的交是闭集，有限个闭集的并是闭集。
等价距离：两个距离空间称为等价距离，如果它们之间可以互相表示。
连续映射：在两个距离空间之间存在一个映射：T，称T为连续映射。
若在定义域的距离空间中存在一个开集，经过映射T，在另一个距离空间定义的距离下是任意小的。
映射T是连续的等价于值域里的开集的原像仍然是开集。
泛函分析H总结
其他概念：聚点、闭包、有界集、拓扑空间
注：A的闭包是包含A的最小的闭集，A是闭集当且仅当A与其闭包相 等，取闭包运算满足分配律。
• 设A是X的子集，x是X中定点，x与A的关系： 1. x“附近”全是A中的点（内点） 2. x“附近”没有A中的点（外点） 3. x“附近”有A中点也有不是A中点（边界 点） 4. x的任意邻域都含A-{x}中点（A的聚点） 5. x的某个邻域不含A-{x}中点（孤立点） • 练习：设X是距离空间，A,B是X的子集，则
E E E
1 p
等号相等当且仅当它们线性相关
例子
• • • • • •
•
以出租车距离定义的平面距离空间; p l 序列空间 , l , p 1 函数空间C[a,b]; 离散距离空间; R上函数|x-y|^2；|x-y|^1/2是距离吗？ Hamming距离：X为所有0和1构成的三元序组所构成的集合
1
（4）式给出了用逼近解x的误差估计式。
以及隐函数存在定理
• 例：线性代数Ax=b均可写成x=Cx+D，如果 矩阵C满足条件|C|<1,则该方程有唯一解， 且可以由迭代求得 • 练习：利用压缩映像原理证明方程x=a sinx 只有唯一解x=0，其 中0<a<1。 • 隐函数定理：设函数 f(x,y)在带状区域D中 处处连续，且处处有关于y的偏导数。如果 存在常数m<M,满足 0 m f y '( x, y) M . 则方程f(x,y)=0在区间[a,b]上必有唯一的连 续函数y=g(x)作为解。其中
泛函分析总结
泛函分析知识点小结及应用§1 度量空间的进一步例子设X 是任一非空集合，若对于∈∀y x ,X ，都有唯一确定的实数()y x d,与之对应，且满足 1．非负性：()y x d,0≥，()y x d ,=0y x =⇔;2. 对称性：d(x,y)=d(y,x);3．三角不等式：对∈∀z y x ,,X ，都有()y x d ,≤()z x d ,+()z y d ,， 则称(X ，d )为度量空间，X 中的元素称为点。
欧氏空间n R 对nR 中任意两点()n x x x x ,,,21 =和()n y y y y ,,,21 =，规定距离为()y x d ,=()2112⎪⎭⎫⎝⎛-∑=n i i i y x .[]b a C ,空间 []b a C ,表示闭区间[]b a ,上实值(或复值)连续函数的全体.对[]b a C ,中任意两点y x ,，定义()y x d ,=()()t y t x b t a -≤≤max . p l （)1+∞<≤p 空间 记pl ={}⎭⎬⎫⎩⎨⎧∞<=∑∞=∞=11k p kk k x x x . 设{}∞==1k k x x ，{}∞==1k k y y ∈p l ，定义 ()y x d ,=p i p i i y x 11⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞=. 例1 序列空间S令S 表示实数列(或复数列)的全体，对{}∞==∀1k k x x ，{}∞==1k k y y ，令 ()y x d ,=∑∞=121k k k k k k y x y x -+-1. 例2 有界函数空间()A B设A 是一个给定的集合，令()A B 表示A 上有界实值(或复值)函数的全体. ∈∀y x ,()A B ，定义 ()y x d ,=()()t y t x At -∈sup .例3 可测函数空间()X M设()X M为X 上实值(或复值)的可测函数的全体，m 为Lebesgue 测度，若()X m ∞<，对任意两个可测函数()t f 及()t g ，由于()()()()11<-+-t g t f t g t f ，故不等式左边为X 上可积函数. 令 ()g f d,=()()()()t 1f t g t d Xf yg t -⎰+-.§2 度量空间中的极限设{}∞=1n n x 是()d X ,中点列，若X x ∈∃，s.t. ()0,lim =∞→x x d n n (*)则称{}∞=1n n x 是收敛点列，x 是点列{}∞=1n n x 的极限.收敛点列的极限是唯一的. 若设n x 既牧敛于x 又收敛y ，则因为()()()0,,,0→+≤≤n n x y d x x d y x d ()∞→n ，而有 ()y x d ,=0. 所以x =y .注 (*)式换一个表达方式：()x x d n n ,lim ∞→=()x x d n n ,lim ∞→. 即当点列极限存在时，距离运算与极限运算可以换序. 更一般地有 距离()y x d,是x 和y 的连续函数.具体空间中点列收敛的具体意义：1. 欧氏空间n R m x =()()()()m n m m x x x ,,,21 ， ,2,1=m ，为nR 中的点列，x =()n x x x ,,,21 ∈n R ，()x x d m ,=()()()()()()2222211n m n m m x x x x x x -++-+- . x x m → ()∞→m ⇔ 对每个n i ≤≤1，有 ()i m i x x → ()∞→m .2. []b a C , 设{}⊂∞=1n n x []b a C ,，∈x []b a C ,，则()x x d n ,=()()0max →-≤≤t x t x n bt a ()∞→n ⇔ {}∞=1n n x 在[]b a ,一致收敛于x .3. 序列空间S 设m x =()()()(),,,,21m n m m ξξξ， ,2,1=m ，及x =() ,,,,21n ξξξ分别是S 中的点列及点，则()()()∑∞=→-+-=10121,k k m kkm k k m x x d ξξξξ ()∞→m ⇔ m x 依坐标收敛于x .4. 可测函数空间()X M设{}∞=1n n f ⊂()X M ，f ⊂()X M ，则因()f f d n ,=()()()()⎰-+-X nn dm t f t f t f t f 1，有 f f n → ⇔ f f n ⇒. §3 度量空间中的稠密集 可分空间定义 设X 是度量空间，N 和M 是X 的两个子集，令M 表示M 的闭包，若N ⊂M ，则称集M 在集N 中稠密，当N =X 时，称M 为X 的一个稠密子集. 若X 有一个可数的稠密子集，则称X 是可分空间. 例1 n 维欧氏空间nR 是可分空间. 事实上，坐标为有理数的点的全体是nR 的可数稠密子集. 例2 离散距离空间X 可分 ⇔ X 是可数集. 例3 ∞l 是不可分空间.§4 连续映射 定义 设X =()d X ,，Y =()dY ~,是两个度量空间，T 是X 到Y 中的映射：X =()d X ,T→ Y =()d Y ~,. 0x ∈X ，若∀ε>0，∃δ>0，s.t. ∀x ∈X 且()0,x x d <δ，都有()0,~Tx Tx d <ε，则称T 在0x 连续：定理 1 设T 是度量空间()d X ,到度量空间()d Y ~,中的映射：()d X ,T →()d Y ~,， 则T 在0x 连续 ⇔ 当n x →0x 时，必有n Tx →0Tx .定理2 度量空间X 到Y 中的映照T 是X 上的连续映射 ⇔ 任意开集M ⊂Y ，M T 1-是X 中的开集.定理2' 度量空间X 到Y 中的映照T 是X 上的连续映照 ⇔ 任意闭集M ⊂Y ，M T 1-是X 中的闭集.§5 柯西点列和完备度量空间定义 1 设X =(X ，d )是度量空间，{}∞=1n n x 是X 中的点列. 若>∀ε0,()N ∈=∃εN N ，s.t.当N n m >,时，有()m n x x d ,<ε，则称{}∞=1n n x 是X 中的柯西点列或基本点列. 若度量空间(X ，d )中每个柯西点列都收敛，则称(X ，d )是完备的度量空间.在一般空间中，柯西点列不一定收敛，如点列1, 1.4, 1,41, ,412.1 在1R 中收敛于2，在有理数集中不收敛.但度量空间中每一个收敛点列都是柯西点列.定理1 完备度量空间X 的子空间M 是完备度量空间 ⇔ M 是X中的闭子空间.常见例子：(1)C （收敛的实或复数列的全体）是完备度量空间 (2) []b a C,是完备的度量空间(3) []b a P ,(实系数多项式全体) 是不完备的度量空间§6 度量空间的完备化 定义 1 设(X ,d )，(X ~,d ~)是两个度量空间，若存在X 到X ~上的保距映射T (∀1x ,2x ∈X ，有d ~(T 1x ,T 2x )=d (1x ,2x ))，则称(X ,d )和(X ~,d ~)等距同构，此时称T 为X 到X ~上的等距同构映照。
泛函分析报告知识的总结
泛函分析报告知识的总结泛函分析是数学中的一个重要分支领域，它研究的是无穷维空间上的函数及其性质。
泛函分析的应用广泛，包括函数空间、傅里叶分析、偏微分方程等等。
下面是我对泛函分析的一些知识进行总结。
首先，泛函分析的基础是线性代数和实分析。
线性代数研究的是向量空间及其线性关系，实分析则研究的是实数空间上的函数性质，例如收敛性、极限、连续性等等。
这两个基础学科为泛函分析的理论及应用打下了坚实的基础。
其次，泛函分析的核心是函数空间的研究。
函数空间是指一组函数的集合，其中的函数可以是有界函数、可积函数、连续函数等等。
泛函分析研究的是函数空间上的线性算子及其性质，例如范数、内积、完备性等等。
常见的函数空间有Lp空间、C(X)空间、Sobolev空间等等。
然后，泛函分析的重要工具是算子理论。
算子理论研究的是线性算子的性质和作用。
在泛函分析中，线性算子可以将一个函数映射到另一个函数，例如导数、积分等。
算子理论主要研究线性算子的性质，例如有界算子、紧算子、自伴算子等等。
算子理论在解析、几何等问题中有着广泛的应用。
此外，泛函分析也研究了拓扑结构及度量空间的性质。
拓扑结构是用来描述集合上点的邻域关系的概念，是泛函分析中重要的概念。
度量空间是带有度量函数的拓扑空间，度量函数可以度量空间中两个点之间的距离。
拓扑结构和度量空间的研究为泛函分析提供了一种统一的框架。
最后，泛函分析的应用广泛，特别是在数学的其他分支领域中。
在偏微分方程中，泛函分析可以用来研究问题的存在性、唯一性和稳定性；在概率论中，泛函分析可以用来研究随机过程的性质和收敛性；在图像处理中，泛函分析可以用来研究图像的压缩和恢复等等。
总之，泛函分析在数学及其应用领域中具有重要的地位和作用。
总结起来，泛函分析研究的是无穷维空间上的函数及其性质，它的基础是线性代数和实分析。
泛函分析的核心是函数空间的研究，它的重要工具是算子理论及拓扑结构和度量空间的性质。
泛函分析的应用非常广泛，涉及到数学的各个分支领域。
泛函分析总结范文
泛函分析总结范文泛函分析是数学中的一个重要分支领域，主要研究无穷维空间上的函数和算子的性质及其应用。
泛函分析是分析学、线性代数和拓扑学的交叉学科，涉及了大量的数学工具和理论。
本文将对泛函分析的基本概念、主要内容和一些典型应用进行总结。
泛函分析的基本概念主要包括：线性空间、范数、完备性等。
线性空间是泛函分析的基础，它是一个向量空间，具有加法和标量乘法运算，并且满足数乘和向量加法的线性性质。
范数是用来度量线性空间中向量的大小的一种方法，它满足非负性、齐次性和三角不等式等性质。
完备性是指拓扑空间中的序列具有极限，即序列的极限点也在该空间中。
泛函分析的主要内容包括：线性算子、连续算子、紧算子、Hilbert空间、巴拿赫空间等。
线性算子是将一个线性空间映射到另一个线性空间的映射，它保持向量的线性性质。
连续算子是一种满足一些特定性质的线性算子，它能够保持拓扑性质不变。
紧算子是一种特殊的连续算子，它将有界集映射为列紧集。
Hilbert空间是一种完备的内积空间，具有内积和范数的结构，它在量子力学和信号处理等领域有广泛应用。
巴拿赫空间是一种完备的范数空间，它在泛函分析和函数论中起着重要作用。
泛函分析的典型应用主要包括：函数逼近、偏微分方程、优化问题等。
函数逼近是利用泛函分析的方法来研究函数序列的极限性质，它在信号处理和图像处理等领域有广泛应用。
偏微分方程是描述自然界中各种现象的重要数学模型，通过泛函分析的方法可以研究其解的存在性和唯一性等性质。
优化问题是在给定一定条件下寻求最优解的问题，泛函分析可以提供寻找最优解的方法和工具。
总之，泛函分析是数学中重要的分析工具和理论体系，它对于理解和解决现实问题具有重要意义。
通过研究线性空间、范数、完备性、线性算子、连续算子、紧算子、Hilbert空间、巴拿赫空间等概念，可以建立起一套完整的理论框架。
通过应用泛函分析的方法和理论，可以解决函数逼近、偏微分方程、优化问题等实际问题。
泛函分析复习与总结
《泛函分析》复习与总结第一部分 空间及其性质泛函分析的主要内容分为空间和算子两大部分. 空间包括泛函分析所学过的各种抽象空间, 函数空间, 向量空间等, 也包括空间的性质, 例如完备性, 紧性, 线性性质, 空间中集合的各种性质等等。
以下几点是对第一部分内容的归纳和总结。
一．空间（1）距离空间 （集合+距离）！验证距离的三个条件：(,)X ρ称为是距离空间，如果对于,,x y z X ∈(i) 【非负性】(,)0x y ρ≥，并且(,)0x y ρ=当且仅当x y =【正定性】；(ii) 【对称性】(,)(,)x y y x ρρ=；(iii) 【三角不等式】(,)(,)(,)x y x y y z ρρρ≤+。
距离空间的典型代表：s 空间、S 空间、所有的赋范线性空间、所有的内积空间。
（2）赋范线性空间 （线性空间 + 范数）！验证范数的三个条件：(,||||)X ⋅称为是赋范线性空间，如果X是数域K =¡（或K =£）上的线性空间，对于a K ∈和,x y X ∈，成立(i) 【非负性】||||0x ≥，并且||||0x =当且仅当0x =【正定性】； (ii) 【齐次性】||||||||||ax a x =⋅；(iii) 【三角不等式】||||||||||||x y x y +≤+。
赋范线性空间的典型代表：n ¡空间（1,2,3,n =L ）、n £空间（1,2,3,n =L ）、p l 空间（1p ≤≤∞）、([,])p L ab 空间（1p ≤≤∞）、[,]Cab 空间、[,]k C a b 空间、Banach 空间、所有的内积空间（范数是由内积导出的范数）。
（3）内积空间 （线性空间 + 内积）！验证内积的四个条件：(,(,))X ⋅⋅称为是内积空间，如果X 是数域K =¡（或K =£）上的线性空间，对于a K ∈和,,x y z X ∈，成立(i) 【非负性】(,)0x x ≥，并且(,)0x x =当且仅当0x =【正定性】；(ii) 【第一变元可加性】(,)(,)(,)x y z x z x z +=+；(iii) 【第一变元齐次性】(,)(,)ax z a x z =；(iv) 【共轭对称性】(,)(,)x z z x =。
泛函分析之H空间上的有界线性算子
Hirbert空间上的有界线性算子LISE定理：H空间U上的每个有界线性泛函f 1∃ u∈U,ST,f(x)=(x,u)，||f||=||u|| 伴随算子：(Tx,y)=(x,T*y) ||T||=||T*||定理：T1,T2是H空间上的自伴算子，则T1T2是自伴算子的的充要条件是T1与T2可交换定理：T是H空间U上的自伴算子，M为T的值域，N为T的零空间，则N=M⊥定理：T是H空间U上的自伴算子，则T的任一特征值必为实数，且对应与不同特征值的特征向量相互正交定理：T是H空间U上的自伴算子，令m=inf{(Tx,x):x∈U,||x||=1}M=sup{(Tx,x):x∈U,||x||=1}则||T||=max{|m|,|M|}推论：T是H空间U上的自伴算子，则||T||=sup{|(Tx,x)|:x∈U,||x||=1}定义：U是实H空间，T∈B(U)为自伴算子，IF任意x∈U,(Tx,x)≥0,则T为正算子，记T≥0定义：{Tn}为自伴算子列，if任意n有Tn≤Tn+1,则{Tn}是单调上升列，单调上升及单调下降的自伴算子列统称为单调算子列。
定理：{Tn}为一致有界的单调自伴算子列，则1∃自伴算子T，ST,{Tn}按强算子拓扑收敛于T定理：T为正算子，则1∃正算子S,S2=T,S是T的某一多项式按强算子拓扑收敛的极限。
推论：T为正算子，x0∈U,if (Tx0,x0)=0,则Tx0=0推论：自伴算子T1≥T2正算子T与T1,T2均可换，则TT1≥TT2.特别的，T2=0时TT1≥0定义：U是内积空间，A()是定义在U的二元泛函，IF 任意x,y,z∈U,αβ∈C有A(αx+βy,z)=αA(x,z)+βA(y,z)A(x,αy+βz)=α~A(x,y)+β~A(x,z)则A()是U上的一个双线性泛函，IF任意x,y∈U,A(x,y)=A(x,y)~则A()是U上的一个双线性埃尔米特泛函定义：A()是内积空间U上的双线性泛函，IF 存在C>0,ST,|A(x,y)|≤C||x||||y|| 则A()是有界的，令||A||=sup|A(x,y)|称为其范数定理：T是H空间U上的有界线性算子，则由等式A(x,y)=(Tx,y)定义了U上的一个有界线性泛函且||A||=||T||推论：A是有界埃尔米特泛函的充要条件是任意x∈U,A()为实数且A()有界。
泛函分析知识总结汇总
泛函分析知识总结汇总
一、函数的概念
函数是把特定的输入映射到特定的输出的规律。
常用的函数有：实数
函数、复数函数、多元函数和函数序列等。
二、函数的极限
极限是指当自变量的值向其中一数趋近时，函数的值向另一数趋近。
极限可以用来推导函数的行为，它也对定义微积分有着重要的意义。
三、函数的微分
微分是指将函数的变量的值变化一点点，函数值也发生一点点的变化。
微分是运用微积分最基本的操作，也是后续科学研究的基础。
四、函数的积分
积分是指将函数的不断变化的变量值，加以积分，求出函数的总积分，又称为定积分。
在实际应用中，经常使用积分来解决一些问题，如了解随
机变量的概率分布、求参数方程的解等。
五、函数的反函数
反函数就是由变量x的函数f(x)的一个变量y取得，满足条件
f(x)=y的一个函数。
反函数也是函数的一种，它的研究也是微积分的重
要内容之一
六、函数的条件积分
条件积分是指由两变量函数给定的函数在满足其中一种条件的情况下，确定它的积分。
在现实应用中，条件积分也是常用的一种积分方法，用以
求解参数方程的解等。
七、函数的级数
级数是由一系列的数序列组成的，并且它们满足其中一特定的规律。
泛函知识点总结
泛函知识点总结一、泛函的基本概念1.1 泛函的定义泛函是函数的一个推广概念，它是对函数的一种广义的抽象和概括。
在数学中，泛函一般被定义为一个把函数空间中的函数映射到实数域或复数域的映射，这种映射被称为泛函。
泛函可以看作是一个“函数的函数”，它对函数进行了更高级别的抽象和泛化。
1.2 泛函的表示泛函通常用一般形式的积分或者其他函数操作来表示，这样的表示形式更加抽象和一般，可以适用于更广泛的函数空间和函数类别。
例如，一个泛函可以表示为关于函数f(x)的某种积分形式，如：\[J[f]=\int_{a}^{b} L(x,f(x),f'(x))dx\]其中L(x,f(x),f'(x))是关于函数f(x)及其导数的某种函数，称为被积函数，这种形式的泛函被称为积分型泛函。
1.3 泛函的性质泛函具有一般函数所具有的性质，如可微性、极值性、泛函空间的完备性等。
另外，泛函还具有一些特有的性质，如泛函运算的线性性、变分性等。
这些性质对于泛函的研究和分析具有重要意义。
二、泛函的理论基础2.1 变分法变分法是泛函研究的重要方法和基础理论，它是求解泛函的极值问题的一种基本工具。
变分法通过对函数的微小变动进行分析，得到泛函的极值条件和解的存在唯一性等结论，它在物理学、工程学等领域中具有重要应用。
2.2 泛函空间泛函空间是泛函分析的基本研究对象，它是一种特殊的函数空间，其中的元素是泛函。
泛函空间通常具有一定的结构和性质，如线性空间结构、度量空间结构等，它是研究泛函和泛函运算的重要工具和理论基础。
2.3 函数空间的拓扑结构函数空间是泛函空间的特殊情况，它是泛函研究中的另一个重要对象。
函数空间通常具有一定的拓扑结构，如紧性、连续性、收敛性等，这些拓扑性质对于泛函的收敛性和连续性等问题具有重要意义。
2.4 泛函分析的基本理论泛函分析是对泛函和泛函空间进行研究和分析的一个重要分支，它是泛函研究的基本理论之一。
泛函分析主要研究泛函空间的结构、性质和运算规律等问题，它为泛函的研究和应用提供了重要的理论基础和工具。
泛函分析学习心得体会
泛函分析学习心得体会院系：班别：姓名：学号：泛函分析是继实变函数论后的一门课程，是实变函数论的后继，主要涉及赋范空间，有界线性算子、泛函、内积空间、泛函延拓、一致有界性以及线性算子的谱分析理论等内容。
可以说数字到数字的映射产生函数，而函数到函数的映射产生泛函，因此泛函分析是一门十分抽象的课程，学起来比较吃力。
在本学期上半阶段我们主要跟邓博士学习了第一章距离空间和第二章Banach空间上的有界线性算子。
在距离空间里最主要是掌握距离空间的定义。
定义:设X是一集合，是x × x到R n的映射，满足：(1) （非负性） (x,y)≥0 且 (x,y)=0,当且仅当x=y(2) （对称性） (x,y)= (y,x)(3) （三角不等式） (x,z)≤ (x,y)+ (y,z)则称X为距离空间，记为（X, ），有时简记为X。
由距离空间可以进一步定义出线性距离空间，线性赋范空间，接着进一步研究距离空间的完备性，其中度量空间、赋范线性空间、巴拿赫空间之间关系弄清楚了那么本节课也就掌握了；度量空间、赋范线性空间、巴拿赫空间的区别与联系。
赋范线性空间一定是度量空间，反之不一定成立。
度量空间按照加法和数乘运算成为线性空间，而且度量空间中的距离如果是由范数导出的，那么这个度量空间就是赋范线性空间。
赋范线性空间与巴拿赫空间的联系与区别：完备的赋范线性空间是巴拿赫空间。
巴拿赫空间一定是赋范线性空间，反之不一定成立。
巴拿赫空间一定是度量空间，反之不一定成立。
巴拿赫空间满足度量空间的所有性质。
巴拿赫空间由范数导出距离，而且满足加法和数乘的封闭性。
满足完备性，则要求每个柯西点列都在空间中收敛。
度量空间中距离要满足三个性质：非负线性、对称性、三点不等式，因此距离 (x,y)的定义是重点。
赋范线性空间中范数要满足：非负性、正齐性、三角不等式，距离定义和范数的定义是关键。
在第一章中还有两个重要的空间，内积空间和希尔伯特空间，内积空间是特殊的线性赋范空间，而完备的内积空间被称为希尔伯特空间，其上的范数由一个内积导出。
[数学]泛函分析
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1.1.1 证明完备度量空间的闭子集是完备的子空间，而任一度量空间中的完备子空间必是闭子集．证明：(1) 设(X, ρ)是完备度量空间，A⊆X，A是X的闭子集．若{x n}是A中的Cauchy列，则{x n}也是X中的Cauchy列．因(X, ρ)完备，故{x n}收敛于X中某点x．而A是X的闭子集，且{x n}是A中的点列，故其极限x也在A中．因此，{x n}是子空间A中收敛列．所以，子空间(A, ρ)是完备的．(2) 设(X, ρ)是度量空间，B⊆X，B是X的完备子空间．若{x n}是B中的点列，且在X中收敛于x∈X．则{x n}是X中的Cauchy列，因此{x n}也是B中的Cauchy列．由B是X的完备子空间，故{x n}也是B中的收敛列．若{x n}在B中收敛于y∈B，则{x n}作为X中的点列也收敛于y．由极限的唯一性，x∈y．故x∈B．所以B是X中的闭子集．1.1.4 设T是度量空间上的压缩映射，求证T是连续的．证明：设(X, ρ)是度量空间，0 < α< 1，T : X→X是满足ρ(Tx, Ty) ≤α·ρ(x, y) (∀x, y∈X )的压缩映射．若{x n}是X中收敛于x的点列，则ρ(x n, x)→ 0．而ρ(Tx n, Tx) ≤α·ρ(x n, x)，故有ρ(Tx n, Tx) → 0．因此T连续．1.1.5 设T是压缩映射，求证T n (n∈N+)也是压缩映射，并说明逆命题不一定成立．证明：(1) 设(X, ρ)是度量空间，0 < α< 1，T : X→X是满足ρ(Tx, Ty) ≤α·ρ(x, y) (∀x, y∈X )的压缩映射．∀n∈N+，若S = T n是压缩映射，则∀x, y∈X，有ρ(T n+1x, T n+1y) = ρ(T n(Tx), T n(Ty)) = ρ(S(Tx), S(Ty)) ≤ρ(Tx, Ty) ≤α·ρ(x, y)．所以T n+1也是压缩映射．由数学归纳法原理，T n (n∈N+)都是压缩映射．(2) 逆命题不成立的例子：考虑T : [0, 2]→ [0, 2]，其中T定义如下：当x∈[0, 1]时，T(x) = 0；当x∈(1, 2]时，T(x) = x - 1．显然T不是压缩映射．但∀x∈[0, 2]，T(T(x)) = 0．因此，T2是压缩映射．1.1.6 设M是(P n, ρ)中的有界闭集，映射T : M→M满足：ρ(Tx, Ty) < ρ(x, y)(∀x, y∈M，x ≠y)．求证T在M中存在唯一的不动点．证明：(反证法) 假若T在M中没有不动点．显然，T在M上是连续的，故函数ρ(x, Tx)在M上连续且恒大于0．因M是(P n, ρ)中的有界闭集，故ρ(x, Tx)在M中某点x0处达到下确界．0 < ρ(x0 , Tx0 ) ≤ρ(Tx0 , T2x0 ) < ρ(x0 , Tx0)，矛盾．所以，T在M中存在不动点．根据1.1.3，该不动点是唯一的．1.1.7 对于积分方程x(t) -λ⎰[0, 1]e t–s x(s) ds = y(t)，其中y(t)∈C[0, 1]为一给定函数，λ为常数．| λ| < 1，求证存在唯一解x(t)∈C[0, 1]．证明：首先积分方程等价于e–t x(t) -λ⎰[0, 1]e–s x(s) ds = e–t y(t)，令z(t) = e–t x(t)，w(t) = e–t w(t)，则方程变为z(t) -λ⎰[0, 1]z(s) ds = w(t)．因此只要证明上面的方程有唯一解z(t)∈C[0, 1]．设T : C[0, 1] →C[0, 1]，(Tz)(t) = w(t) + λ⎰[0, 1]z(s) ds．则∀z1, z2∈C[0, 1]，| (Tz1)(t) - (Tz2)(t) | = | λ| · | ⎰[0, 1] (z1(s) -z2(s)) ds |≤ | λ| ·⎰[0, 1] | z1(s) -z2(s) | ds ≤ | λ| · max t∈[0, 1] | z1(t) -z2(t) |；故ρ(Tz1, Tz2) ≤ | λ| ·ρ(z1, z2)．因此，T是C[0, 1]上的压缩映射．故T在C[0, 1]上有唯一不动点．即存在唯一的z(t)∈C[0, 1]，使得z(t) = w(t) + λ⎰[0, 1]z(s) ds．1.2.2 在一个度量空间(X, ρ)上，求证：基本列是收敛列，当且仅当其中存在一串收敛子列．证明：必要性是显然的，只证明充分性．设{x n}是X中的一个Cauchy列，且{x n}有一个收敛子列{x n(k)}，记x n(k) →x．∀ε > 0，存在N∈N+，使得∀m, n≥N都有ρ(x n, x m) < ε /2．对此ε，存在K∈N+，使得∀k≥K都有ρ(x n(k), x) < ε /2．令L = max{K, N}，则ρ(x n(L), x) < ε /2，且n(L) ≥L ≥N．当n≥N时，ρ(x n, x n(L)) < ε /2．故ρ(x n, x) ≤ρ(x n, x n(L)) + ρ(x n(L), x) < ε /2 + ε /2 = ε．所以，x n→x ( n→∞)．因此{x n}是X中的收敛列．1.2.3 设F是只有有限项不为0的实数列全体，在F上引进距离ρ(x, y) = sup k ≥ 1 | ξk -ηk |，其中x = {ξk }∈F，y = {ηk }∈F．求证(F,ρ)不完备，并指出它的完备化空间．证明：(1) 首先，容易验证(F,ρ)是度量空间．∀n∈N+，令x n = {1, 1/2, 1/3, ..., 1/n, 0, 0, ...}，则x n∈F．当m > n时，ρ(x n, x m) = sup k ≥ 1 | ξk(n)-ξk(m)|= max{1/(n + 1), 1/(n + 2), ..., 1/m}= 1/(n + 1) → 0 ( n→∞)．故{x n}为F中的Cauchy列．下面证明{x n}不是F中的收敛列．若不然，设x n →x∈F．记x = ( ξ1, ξ2, ..., ξN, 0, 0, ... )．当n > N时，总有ρ(x n, x) ≥ | 1/(N + 1) – 0 | = 1/(N + 1)，故ρ(x n, x)不收敛于0，这与前面的假设x n →x相矛盾．因此，{x n}不是F中的收敛列．这就说明了(F,ρ)不是完备的．(2) 从前述的{x n}的构造可以看出，我们可以任意选定一个收敛于0的实数列{u k}，令y n = {u1, u2, ..., u n, 0, 0, ...}，则{y n}必为F中的Cauchy列．我们设c0是收敛于0的实数列全体，在c0上引进距离ρ(x, y) = sup k ≥ 1 | ξk -ηk |，其中x = ( ξ1, ξ2, ..., ξk, ... )∈c0，y = ( η1, η2, ..., ηk, ... )∈c0．首先我们证明(c0,ρ)是度量空间．事实上，我们只需要证明三角不等式．设x = (ξk), y = (ηk ), y = (ζk )∈c0，则ρ(x, y) = sup k ≥ 1 | ξk -ηk | ≤ sup k ≥ 1 (| ξk -ζk | + | ζk -ηk | )≤ sup k ≥ 1 | ξk -ζk | + sup k ≥ 1 | ζk -ηk | = ρ(x, z) + ρ(z, y)．所以，(c0,ρ)是度量空间．显然，(F,ρ)是(c0,ρ)的一个子空间．现在我们证明(c0,ρ)是完备度量空间．设{x n}是(c0,ρ)中的一个Cauchy列，记x n = ( ξ1(n), ξ2(n), ..., ξk(n), ... )．∀k∈N+，因为ρ(x n, x m) = sup k ≥ 1 | ξk(n)-ξk(m)| ≥ | ξk(n)-ξk(m)|，故{ξk(n)}n是P中的Cauchy列，故为收敛列．设ξk(n) →ξk ( n→∞)．并设x = ( ξ1, ξ2, ..., ξk, ... )．下面证明x∈c0．∀ε > 0，存在N∈N+，使得∀m, n≥N，有ρ(x n, x m) < ε/2．特别地，ρ(x n, x N) < ε/2．因此，∀k∈N+，有| ξk(n)-ξk(N)| < ε/2．令n→∞，得| ξk -ξk(N)| ≤ε/2．而x N = (ξ1(N), ξ2(N), ..., ξk(N), ... )是一个收敛于0的数列．故存在K∈N+，使得∀k≥K，| ξk(N)| < ε/2．因此，| ξk | ≤ | ξk -ξk(N)| + | ξk(N)| < ε/2 + ε/2 = ε．即x = ( ξ1, ξ2, ..., ξk, ... )为一个收敛于0的数列，因此，x∈c0．下面证明{x n}是c0中收敛于x的点列．∀ε > 0，存在N∈N+，使得∀m, n≥N，有ρ(x n, x m) < ε．因此∀k∈N+，有| ξk(n)-ξk(m)| < ε．令m→∞，得| ξk(n)-ξk | ≤ε．所以，ρ(x n, x) ≤ε．这样就证明{x n}收敛于x．综上所述，我们可以把(F,ρ)嵌入到完备度量空间(c0,ρ)中．最后，我们只要再证明F是c0的稠密子集即可．事实上，对照(2)的开始部分，对于任意x = ( ξ1, ξ2, ..., ξk, ... )∈c0，令y n = {ξ1, ξ2, ..., ξn, 0, 0, ...}，则{y n}是F中的点列，而且是c0中的Cauchy列．根据c0的完备性的证明，我们知道，{y n}必然收敛于x = ( ξ1, ξ2, ..., ξk, ... )．所以F在(c0,ρ)中稠密．根据教材p11命题1.2.5，(c0,ρ)是(F,ρ)的完备化．1.2.4 求证：[0, 1]上的多项式全体按照距离ρ1( p, q ) = ⎰[0, 1] | p(x) -q(x) | dx ( p, q是多项式)是不完备的，并指出它的完备化空间．证明：记[0, 1]上的多项式全体为P，连续函数全体为C，Lebesgue可积函数全体为L1，则有P⊆C⊆L1．记C上的度量为ρ( f, g ) = max x∈[0, 1] | f(x) -g(x) |．(1) 令f n(x) = arctan( x- 1/2 )，h(x) = (π/2) sign( x- 1/2 )，x∈[0, 1]．则f n∈C，且{ f n}在(L1, ρ1)中收敛于h，因此{ f n}是(L1, ρ1)中的基本列．根据数学分析中的Weierstrass定理，P在(C, ρ)中稠密．故∀n∈N+，存在p n∈P，使得ρ( p n, f n) < 1/n．因此ρ1( p n, f n) = ⎰[0, 1] | p n(x) -f n(x) | dx ≤ρ( p n, f n) < 1/n．所以，ρ1( p n, h) ≤ρ1( p n, f n) + ρ1( f n, h) → 0 ( n→∞)．这说明{ p n}是(L1, ρ1)中的收敛列，从而{ p n}是(L1, ρ1)中的基本列．因此{ p n}也是(P, ρ1)中的基本列．假如{ p n}在(P, ρ1)中收敛于g∈P，则{ p n}在(L1, ρ1)中也收敛于g∈P．故g和h是(L1, ρ1)中的同一点(几乎处处相等)．显然，h不能与连续函数几乎处处相等，故h∉C，因此h∉P．从而g∉P．矛盾．这样我们就找到了(P, ρ1)中的基本列，而它不是(P, ρ1)中的收敛列．所以(P, ρ1)不完备．(2) 根据实分析中的结论，C在(L1, ρ1)中稠密．设ϕ∈L1．则∀ε > 0，存在f∈C，使得ρ1( f, ϕ) < ε/2．而P在(C, ρ)中稠密，故存在p∈P，使得ρ( p, f ) < ε/2．ρ1( p, f) = ⎰[0, 1] | p(x) -f(x) | dx ≤ρ( p, f ) < ε/2．所以，ρ1( p, ϕ) ≤ρ1( p, f ) +ρ1( f, ϕ) < ε．因此P在(L1, ρ1)中稠密．根据教材p11命题1.2.5以及(L1, ρ1)的完备性得知(L1, ρ1)是(P, ρ1)的完备化．1.2.5 在完备度量空间(X, ρ)中给定点列{x n}，如果∀ε > 0，存在基本列{y n}，使得ρ( x n, y n) < ε (n∈N+)．求证{x n}收敛．证明：只要证明{x n}也是基本列即可．事实上，∀ε > 0，存在基本列{y n}，使得ρ( x n, y n) < ε/3 (n∈N+)．存在N∈N+，使得∀m, n≥N，有ρ(y n, y m) < ε/3．此时，ρ( x n, x m) ≤ρ(x n, y n) + ρ(y n, y m) + ρ(y m, x m) < ε．故{x n}是基本列，所以{x n}收敛．1.3.2 在度量空间中，求证：紧集上的连续函数必是有界的，并且能达到它的上、下确界．证明：设(X, ρ)是度量空间，D是紧子集，f : D→P是连续函数．(1) 若f无上界，则∀n∈N+，存在x n∈D，使得f (x n) > 1/n．因D是紧集，故D是自列紧的．所以{x n}存在收敛子列x n(k) →x0∈D (k→∞)．由f的连续性，f (x n(k))→f (x0) (k→∞)．但由f (x n) > 1/n知f (x n)→ +∞(n→∞)，所以f (x n(k))→ +∞ (k→∞)，矛盾．故f有上界．同理，故f有下界．(2) 设M = sup x∈D f(x)，则∀n∈N+，存在y n∈D，使得f (y n) > M- 1/n．{y n}存在子列y n(k) →y0∈D (k→∞)．因此f ( y0 ) ≥M．而根据M的定义，又有f ( y0 ) ≤M．所以f ( y0 ) = M．因此f能达到它的上确界．同理，f能达到它的下确界．1.3.3 在度量空间中，求证：完全有界的集合是有界的，并通过考虑l 2的子集E= {e k }k≥e k = { 0, 0, ..., 1, 0, ... } (只是第k个坐标为1，其余都是0 )，来说明一1，其中个集合可以是有界的但不完全有界的．证明：(1) 若A是度量空间(X, ρ)中的完全有界集．则存在A的有限1-网N = { x0, x1, x2, ..., x n }．令R = ∑1 ≤j≤nρ(x0, x j) + 1．则∀x∈A，存在某个j使得 0 ≤j≤n，且ρ(x, x j) < 1．因此，ρ(x, x0) ≤ρ(x, x j) + ρ(x j, x0) ≤ 1 + ∑1 ≤j≤nρ(x0, x j) = R．所以A是度量空间(X, ρ)中的有界集．(2) 注意到ρ(e k , e j) = 21/2 ( ∀k ≠ j )，故E中任意点列都不是Cauchy列．所以，E中任意点列都没有收敛子列(否则，该收敛子列就是Cauchy列，矛盾)．因此，E不是列紧集．由l 2是完备的，以及Hausdorff定理，知E不是全有界集．但E显然是有界集．1.3.4 设(X, ρ)是度量空间，F1, F2是它的两个紧子集，求证：∃x i ∈F i( i = 1, 2)，使得ρ(F1, F2) = ρ(x1, x2)．其中ρ(F1, F2) = inf {ρ(x, y) | x∈F1, y∈F2 }证明：由ρ(F1, F2)的定义，∀n∈N+，∃x i(n)∈F i( i = 1, 2)，使得ρ(x1(n), x2(n)) < ρ(F1, F2) + 1/n．因F1, F2紧，故不妨假设{x1(n)}, {x2(n)}都是收敛列．设它们的极限分别为x1, x2，则ρ(x1, x2) ≤ρ(F1, F2)．因此ρ(F1, F2) = ρ(x1, x2)．1.3.5 设M是C[a, b]中的有界集，求证集合{F(x) =⎰[a, x]f(t) dt | f∈M }是列紧集．证明：设A = {F(x) =⎰[a, x]f(t) dt | f∈M }．由M有界，故存在K > 0，使得∀f∈M，ρ( f, 0) ≤K．先证明A是一致有界的和等度连续的．∀F∈A，存在f∈M，使得F(x) =⎰[a, x]f(t) dt．由于ρ(F, 0) = max x∈[a, b] | F(x) | = max x∈[a, b] | ⎰[a, x]f(t) dt |≤ max x∈[a, b] | f(t) | · (b -a ) = ρ( f, 0) · (b -a ) ≤K (b -a )．故A是一致有界的．∀ε > 0，∀s, t∈[a, b]，当| s-t| < ε/K时，∀F∈A，存在f∈M，使得F(x) =⎰[a, x]f(u) du．| F(s) -F(t) | = | ⎰[s, t]f(u) du | ≤ max u∈[a, b] | f(u) | · | s -t |= ρ( f, 0) · | s -t | ≤K· (ε/K) = ε．故A是等度连续的．由Arzela-Ascoli定理，A是列紧集．1.3.6 设E = {sin nt}n≥ 1，求证：E在C[0, π]中不是列紧的．证明：显然E是一致有界的．根据Arzela-Ascoli定理，我们只要证明E不是等度连续的即可．我们的想法是找一个E中的点列f n，以及[0, π]中的两个点列s n和t n，使得| s n -t n | → 0，但| f n(s n)-f n(t n)|不收敛于0．事实上，这是可以做到的，只要令f n (u) = sin (2n u)，s n = (π/2)(1 + 1/(2n))，t n = (π/2)(1 - 1/(2n))．则s n + t n = π；s n -t n = π/(2n)→ 0 (n→∞)．因此，| f n(s n)-f n(t n)| = 2 | sin (2n s n) - sin (2n t n) |= 2 | sin (n (s n -t n)) cos (n (s n + t n)) |= 2 | sin (π/2) cos (n π) | = 2．所以，E不是等度连续的．进而，E在C[0, π]中不是列紧的．.3.7 求证S空间的子集A是列紧的充要条件是：∀n∈N+，∃C n> 0，使得∀x = (ξ1, ξ2, ..., ξn, ...)∈A，都有| ξn | ≤C n ( n = 1, 2, ...)．证明：(⇐) 设x k = (ξ1(k), ξ2(k), ..., ξn(k), ...) ( k = 1, 2, ... )是A中的点列．存在{x k}的子列{x1, k}使得其第1个坐标ξ1(1, k)收敛；存在{x1, k}的子列{x2, k}使得其第2个坐标ξ2(2, k)收敛；如此下去，得到一个{x k}的子列的序列，第( j +1)个子列是第j个子列的子列，且第j个子列的第j个坐标是收敛的．选取对角线构成的点列{x j, j}，则{x j, j}是{x k}的子列，且每个坐标都收敛．根据习题1.2.1的证明可知，S空间的点列收敛的充要条件是坐标收敛．故{x j, j}是收敛点列．所以，A是列紧的．(⇒) 我们只要证明，∀n∈N+，A中的点的第n个坐标所构成的集合是有界集．若不然，设A中的点的第N个坐标所构成的集合是无界的．则存在A中的点列x k = (ξ1(k), ξ2(k), ..., ξn(k), ...) ( k = 1, 2, ... )，使得| ξN(k) | > k．显然，{ ξN(k) }无收敛子列，故{ x k }也无收敛子列，这与A列紧相矛盾．这样就完成了必要性的证明．1.3.8 设(X, ρ)是度量空间，M是X中的列紧集，映射f : X →M满足ρ( f (x1), f (x2)) < ρ( x1, x2 ) (∀x1, x2∈M, x1≠x2)．求证：f在X中存在唯一的不动点．证明：(1) 首先证明cl(M)是紧集．为此只要证明cl(M)列紧即可．设{ x n }是cl(M)中的点列，则存在M中的点列{ y n }使得ρ( x n, y n) < 1/n．因M列紧，故{ y n }有收敛子列{ y n(k)}，设y n(k) →u∈cl(M)．显然{ x n(k)}也是收敛的，并且也收敛于u∈cl(M)．所以cl(M)是自列紧的，因而是紧集．(2) 令g(x) = ρ( x, f (x))，则g是X上的连续函数．事实上，由ρ( f (x1), f (x2)) < ρ( x1, x2 )可知f : X →M是连续的，因而g也连续．由习题1.3.2知存在x0∈cl(M)，使得g(x0) = inf {ρ( x, f (x)) | x∈cl(M) }．(3) 若g(x0) > 0，则ρ( x0, f (x0)) > 0，即x0≠f (x0)．故ρ( x0, f (x0)) = g(x0) ≤g( f (x0)) = ρ( f (x0), f ( f (x0))) < ρ( x0, f (x0))，矛盾．所以，必有g(x0) = 0，即ρ( x0, f (x0)) = 0，因此x0就是f的不动点．1.3.9 设(M, ρ)是一个紧距离空间，又E⊆C(M)，E中的函数一致有界并且满足下列的Hölder 条件：| x(t1) -x(t2) | ≤Cρ(t1, t2)α(∀x∈E，∀t1, t2∈M )，其中0 < α≤ 1，C > 0．求证：E在C(M)中是列紧集．证明：由Hölder条件易知E是等度连续的．又E中的函数一致有界，由Arzela-Ascoli定理知E是C(M)中的列紧集．1.4.2 设c[0, 1]表示(0, 1]上连续且有界的函数x(t)全体．∀x∈c[0, 1]，令|| x || = sup{| x(t) | | 0 < t≤ 1}．求证：(1) || ·||是c[0, 1]空间上的范数．(2) l∞与c[0, 1]的一个子空间是等距同构的．证明：(1) 正定性和齐次性都是明显的，我们只证明三角不等式．|| x || = sup{| x(t) | | 0 < t≤ 1}．|| x || + || y || = sup{| x(t) | | 0 < t≤ 1} + sup{| y(t) | | 0 < t≤ 1}≥ sup{| x(t) + y(t) | 0 < t≤ 1} = || x + y ||．所以|| ·||是c[0, 1]空间上的范数．(2) 任意取定(0, 1]中的一个单调递减列{a k }，满足(i) a1 = 1；(ii) lim k→∞a k = 0．显然，在每个[a k + 1, a k]上为线性函数的f∈c[0, 1]是存在的．设X = { f∈c[0, 1] | f在每个[a k + 1, a k]上为线性函数 }．容易验证X是c[0, 1]的子空间．定义ϕ : X →l∞，f #ϕ ( f ) = ( f (a1), f (a2), ...)．则ϕ : X →l∞是线性双射，且|| ϕ ( f ) ||∞= sup k ≥ 1 | f (a k) | = sup0 < t≤ 1 { | f (t ) | } = || f ||．所以，ϕ : X →l∞是等距同构．因此，l∞与c[0, 1]的一个子空间是等距同构的．1.4.3 在C1[a, b]中，令|| f ||1 = (⎰[a, b] ( | f(x) |2 + | f’(x) |2) dx )1/2 (∀f∈C1[a,b])．(1) 求证：|| · ||1是C1[a, b]上的范数．(2) 问(C1[a, b], || · ||1)是否完备？证明：(1) 正定性和齐次性都是明显的，和前面的习题一样，只验证三角不等式．我们先来证明一个比较一般的结果：若线性空间X上的非负实值函数p, q都满足三角不等式：p(x) + p(y) ≥p(x +y)，q(x) + q(y) ≥q(x +y)，∀x, y∈X；则函数h = ( p2 + q2 )1/2也满足三角不等式．事实上，∀x, y∈X，由Minkowski不等式，我们有h(x) + h(y) = ( p(x)2 + q(x)2 )1/2 + ( p(y)2 + q(y)2 )1/2≥ (( p(x)+ p(y))2 + ( q(x) + q(y))2 )1/2 ≥ ( p(x + y)2 + q(x + y)2 )1/2 = h(x + y)．回到本题：若令p( f ) = (⎰[a, b] | f(x) |2dx )1/2，q( f ) = (⎰[a, b] | f’(x) |2dx )1/2，则( p( f ) + p( g ))2 = ((⎰[a, b] | f(x) |2dx )1/2 + (⎰[a, b] | g(x) |2dx )1/2)2= ⎰[a, b] | f(x) |2dx + 2(⎰[a, b] | f(x) |2dx )1/2 · (⎰[a, b] | g(x)|2dx )1/2 + ⎰[a, b] | g(x) |2 dx≥⎰[a, b] | f(x)|2dx + 2 ⎰[a, b] | f(x) | · | g(x)| dx + ⎰[a, b] | g(x)|2dx= ⎰[a, b] ( | f(x) | + | g(x)| )2dx ≥⎰[a, b] ( | f(x) + g(x)| )2dx = ( p( f + g ))2．所以有p( f ) + p( g ) ≥p( f + g )．特别地，p( f’) + p( g’) ≥p( f’+ g’)，即q( f ) + q( g ) ≥q( f + g )．因此，线性空间C1[a, b]上的非负实值函数p, q都满足三角不等式．根据开始证明的结论，|| · ||1也满足三角不等式．所以，|| · ||1是C1[a, b]上的范数．(2) 在C1[- 1, 1]中，令f n(x) = (x2 + 1/n2 )1/2 ( ∀x∈[- 1, 1] )．则f’n(x) = 2x (x2 + 1/n2 )-1/2 ( ∀x∈[- 1, 1] )．显然，f n(x)几乎处处收敛于| x |，f’n(x)几乎处处收敛于2sign( x )．因此，f n(x)依测度收敛于| x |，f’n(x)依测度收敛于2sign( x )．则f’n(x) = 2x (x2 + 1/n2 )-1/2 ( ∀x∈[- 1, 1] )．显然，f n(x)几乎处处收敛于| x |，f’n(x)几乎处处收敛于2sign( x )．因此，f n(x)依测度收敛于| x |，f’n(x)依测度收敛于2sign( x )．故在L2[- 1, 1]中，f n(x) → | x |，f’n(x) → 2sign( x )．因此，它们都是L2[- 1, 1]中的基本列，故⎰[- 1, 1] | f n(x) -f m(x) |2 dx → 0 (m, n→∞)；⎰[- 1, 1] | f’n(x) -f m’(x) |2 dx → 0 (m, n→∞)．故|| f n-f m ||1 = (⎰[- 1, 1] ( | f n(x) -f m(x) |2 + | f’n(x) -f m’(x) |2 ) dx )1/2→ 0 (m, n→∞)．即{ f n }是C1[- 1, 1]中的基本列．下面我们证明{ f n }不是C1[- 1, 1]中的收敛列．若不然，设{ f n }在C1[- 1, 1]中的收敛于f∈C1[- 1, 1]．因|| f n-f ||1 = (⎰[- 1, 1] ( | f n(x) -f(x) |2 + | f’n(x) -f’(x) |2 ) dx )1/2≥ (⎰[- 1, 1] | f n(x) -f(x) |2dx )1/2，故在L2[- 1, 1]中，f n(x) →f．而在前面已说明L2[- 1, 1]中，f n(x) → | x |；由L2[- 1, 1]中极限的唯一性以及f的连续性，知f(x) = | x |．这样就得到f∉C1[- 1, 1]，矛盾．所以，{ f n }不是C1[- 1, 1]中的收敛列．这说明C1[- 1, 1]不是完备的．对一般的C1[a, b]，只要令f n(x) = (x - (a + b )/2)2 + 1/n2 )1/2 ( ∀x∈[a, b] )就可以做同样的讨论，就可以证明C1[a, b]不是完备空间．1.4.4 在C[0, 1]中，对每个f∈C[0, 1]，令|| f ||1 = (⎰[0, 1] | f(x) |2dx )1/2，|| f ||2 = (⎰[0, 1] ( 1 + x) | f(x) |2dx )1/2．求证：|| · ||1和|| · ||2是C[0, 1]中的两个等价范数．证明：(1) 在习题1.4.3的证明中已经包含了|| · ||1是C[0, 1]中的范数的证明．下面我们证明|| · ||2是C[0, 1]中的范数，我们仍然只要验证三角不等式．|| f ||2 + || g ||2 = (⎰[0, 1] ( 1 + x) | f(x) |2dx )1/2 + (⎰[0, 1] ( 1 + x) | g(x) |2dx )1/2 = || (1 + x)1/2f(x) ||1 + || (1 + x)1/2g(x) ||1≥ || (1 + x)1/2f(x) + (1 + x)1/2g(x) ||1= || (1 + x)1/2 ( f(x) + g(x) ) ||1≥ (⎰[0, 1] (1 + x) | f(x) + g(x) |2dx )1/2 = || f + g ||2．所以，|| · ||2也是C[0, 1]中的范数．(2) 我们来证明两个范数的等价性．∀f∈C[0, 1]|| f ||1 = (⎰[0, 1] | f(x) |2dx )1/2 ≤ (⎰[0, 1] ( 1 + x) | f(x) |2dx )1/2 = || f ||2，|| f ||2 = (⎰[0, 1] ( 1 + x) | f(x) |2dx )1/2 ≤ 2 (⎰[0, 1] | f(x) |2dx )1/2 = 2 || f ||1．因此两个范数等价．1.4.10 求证范数的严格凸性等价于下列条件：|| x + y || = || x || + || y || ( ∀x≠θ, y≠θ) ⇒x = c y ( c > 0)．证明：(⇒) 设范数是严格凸的，若x, y ≠θ满足|| x + y || = || x || + || y ||，事实上，我们总有|| (x/|| x ||) || = || (y/|| y ||) || = 1．因x, y ≠θ，故|| x || + || y || > 0，所以|| x + y || ≠ 0．于是|| x ||/|| x + y || + || y ||/|| x + y || = 1．假若x/|| x || ≠y/|| y ||，由严格凸性，得到|| (|| x ||/|| x + y ||)(x/|| x ||) + (|| y ||/|| x + y ||)(y/|| y ||) || < 1，即|| (( x + y )/|| x + y ||) || < 1，矛盾．因此必然有x/|| x || = y/|| y ||，即x = (|| x ||/|| y ||) y．(⇐) 设∀x, y ≠θ，|| x + y || = || x || + || y ||蕴涵x = c y ( c > 0)．下面证明范数是严格凸的．设x≠y，且|| x || = || y || = 1，又设α, β∈(0, 1)，且α + β= 1．我们知道|| α x + β y || ≤ || α x || + || β y || = α || x || + β|| y || = α + β= 1．假若|| α x + β y || = 1，根据我们的条件，就得到α x = c (β y)，其中c > 0．那么，就有|| α x || = || c (β y) ||，而|| x || = || y || = 1，所以α= c β；故x = y，这就与x≠y相矛盾．所以必然有|| α x + β y || < 1，即范数是严格凸的．1.4.11 设X是线性赋范空间，函数ϕ : X →P1称为凸的，如果不等式ϕ( λ x + (1 -λ) y ) ≤λϕ( x ) + (1 -λ)ϕ( y ) ( ∀ 0 ≤λ≤ 1) 成立．求证凸函数的局部极小值必然是全空间的最小值．证明：设x0是凸函数ϕ的一个局部极小点．如果存在x∈X，使得ϕ( x ) < ϕ( x0)，则∀ t ∈(0, 1)，ϕ( t x + (1 -t ) x0) ≤t ϕ( x ) + (1 -t )ϕ( x0) < t ϕ( x0) + (1 -t )ϕ( x0) = ϕ( x0)．而对x0的任意邻域U，都存在t ∈(0, 1)，使得t x + (1 -t ) x0∈U．这就与x0是局部极小点相矛盾．因此∀x∈X，都有ϕ( x0) ≤ϕ( x )，即x0是ϕ的最小点．1.4.12 设(X, || · ||)是一线性赋范空间，M是X的有限维子空间，{e1, e2, ..., e n}是M的一组基，给定g∈X，引进函数F : K n →K1．对∀c = (c1, c2, ..., c n)∈K n，规定F(c) = F(c1, c2, ..., c n) = || ∑1 ≤i≤n c i e i-g ||．(1) 求证F是一个凸函数；(2) 若F的最小值点是c = (c1, c2, ..., c n)，求证f = ∑1 ≤i≤n c i e i给出g在M中的最佳逼近元．证明：(1) 设c = (c1, c2, ..., c n), d = (d1, d2, ..., d n)∈K n, λ∈[0, 1]，则F(λ c + ( 1 -λ) d ) = || ∑1 ≤i≤n ( λ c i + ( 1 -λ) d i ) e i-g ||= || λ∑1 ≤i≤n c i e i + ( 1 -λ) ∑1 ≤i≤n d i e i- (λ g+ ( 1 -λ)g )||= || λ(∑1 ≤i≤n c i e i -g) + ( 1 -λ) ( ∑1 ≤i≤n d i e i-g )||≤λ|| ∑1 ≤i≤n c i e i -g || + ( 1 -λ) || ∑1 ≤i≤n d i e i-g ||= λ F(c)+ ( 1 -λ)F(d)，故F是一个凸函数．(2) 因为{e1, e2, ..., e n}是M的一组基，故M中的每个元h都可表示为h = ∑1 ≤i≤n d i e i，其中d = (d1, d2, ..., d n)∈K n．因为F(c) ≤F(d)，故|| f-g || = F(c) ≤F(d) = || h-g ||．那么f就是g在M中的最佳逼近元．1.4.15 设X是B*空间，M是X的有限维真子空间，求证：∃y∈X，|| y|| = 1，使得|| y–x || ≥ 1 ( ∀x ∈M )．证明：取定z∈X \ M，令Y = span{z} + M．记S = { y∈Y | || y || = 1 }．则M是Y的真闭子空间，而S是Y中的单位球面．由Riesz引理，∀n∈N+，存在y n∈S，使得d( y n, M ) ≥ 1 - 1/n．因为Y也是有限维的，故其中的单位球面为自列紧集．存在{y n}的收敛子列．不妨设y n(k) →y∈S．则d( y n(k), M ) ≥ 1 - 1/n(k)，故有d( y, M ) ≥ 1．即|| y–x || ≥ 1 ( ∀x ∈M )．1.4.17 (商空间) 设X是线性赋范空间，X0是X的闭线性子空间，将X中的向量分类，凡是适合x’-x’’∈X0的两个向量x’, x’’归于同一类，称其为等价类，把一个等价类看成一个新的向量，这种向量的全体组成的集合为X/X0表示，并称其为商空间．下列是关于商空间的命题．(1) 设[ y ]∈X/X0，x∈X，求证：x∈[ y ]的充分必要条件是[ y ] = x + X0．证明：设x’, x’’∈X，若它们归于同一类，则记为x’～x’’．我们用[ x ]表示x所在的等价类（大家注意，题目形式已经作了相应的修改）．(⇒) 若x∈[ y ]，则x～y．∀u ∈[ y ]，u～y，故u～x，即u –x∈X0．因此u ∈x + X0．所以[ y ] ⊆x + X0．反过来，∀u ∈x + X0，则u～x，故u～y．因此u ∈[ y ]．所以x + X0 ⊆ [ y ]．所以[ y ] = x + X0．(⇐) 若[ y ] = x + X0，则y –x∈X0，即y～x．从而x∈[ y ]．(2) 在X/X0中定义加法与数乘如下：[ x ] + [ y ] = x + y + X0(∀[ x ], [ y ] ∈X/X0 )λ[ x ] = λ x + X0(∀[ x ]∈X/X0 , ∀λ∈K )其中x和y分别表示属于等价类[ x ]和[ y ]的任一元素．又规定范数|| [ x ] ||0 = inf z∈[ x ] || z || ( ∀[ x ]∈X/X0 )求证：(X/X0, || · ||0)是一个B*空间．证明：第(1)部分说明了[ x ] = x + X0．容易看出加法与乘法的定义是合理的．进一步可以证明X/X0 构成数域K上的线性空间，且其零元为[ θ] = X0．下面证明|| · ||0是X/X0 上的范数．显然，∀[ x ]∈X/X0，|| [ x ] ||0≥ 0．若[ x ] = [ θ] = X0，则|| [ x ] ||0 = 0．若|| [ x ] ||0 = 0，则inf z∈[ x ] || z || = 0．存在z n∈[ x ]使得|| z n || → 0，即z n→θ (n→∞)．那么，x-z n∈X0，x-z n→x (n→∞)，而X0是闭集，故x∈X0．所以x～θ，即[ x ] = X0．因此|| · ||0有正定性．∀[ x ]∈X/X0，∀λ∈K，|| λ[ x ]||0 = || [ λ x ] ||0 = inf y∈[ x ] || λ y || = inf y∈[ x ] | λ| · || y || = | λ| · inf y∈[ x ] || y || = | λ| · ||[ x ]||0．因此|| · ||0有齐次性．∀[ x ], [ y ]∈X/X0，|| [ x ] + [ y ] ||0 = inf z∈[ x ] + [ y ] || z || = inf u∈[ x ], v∈[ y ] || u + v ||≤ inf u∈[ x ], v∈[ y ] { || u || + || v || } ≤ inf u∈[ x ] { inf v∈[ y ] { || u || + || v ||} } ≤ inf u∈[ x ] { inf v∈[ y ] { || u || + || v ||} } = inf u∈[ x ] { || u || + inf v∈[ y ] || v || } = inf u∈[ x ] || u || + inf v∈[ y ] || v || = || [ x ] ||0 + || [ y ] ||0．因此|| · ||0的三角不等式成立．所以，(X/X0, || · ||0)是一个B*空间．(3) 设[ x ]∈X/X0, 求证对∀y∈[ x ]有inf { || y -z || | z∈X0 } = || [ x ] ||0．证明：|| [ x ] ||0 = inf u∈[ x ] || u || = inf u∈[ y ] || u || = inf { || u || | u∈y + X0 }= inf { || y + v || | v∈X0 } = inf { || y -z || | z∈X0 }．(4) 定义映射ϕ : X →X/X0为ϕ (x) = [ x ] = x + X0 (∀x∈X )．求证ϕ是线性连续映射．证明：∀x, y∈X，∀α, β∈K，ϕ( α x + β y ) = [α x + β y ] = [α x ] + [ β y ] = α [ x ] + β[ y ] = αϕ (x) + βϕ (y)．|| ϕ (x) -ϕ (y) ||0 = || [ x ] - [ y ] ||0 = || [ x-y ] ||0 = inf z∈[ x-y ] || z || ≤ || x-y ||．所以，ϕ是线性连续映射．(5) ∀[ x ]∈X/X0，求证∃y∈X，使得ϕ (y) = [ x ]，且|| y || ≤ 2|| [ x ] ||0．证明：因为|| [ x ] ||0 = inf z∈[ x ] || z ||，若|| [ x ] ||0 = 0，则由|| · ||0的正定性，知[ x ] = X0，取y = θ即满足要求．若|| [ x ] ||0≠ 0，则inf z∈[ x ] || z || = || [ x ] ||0 < 2 || [ x ] ||0，存在∃y∈[ x ]，使得|| y || ≤ 2|| [ x ] ||0．此时显然有ϕ (y) = [ x ] = [ y ]．(6) 设(X, || · ||)完备，求证(X/X0, || · ||0)也是完备的．证明：设{ [ x ]n }是X/X0中的基本列．为证明它是收敛列，只需证明它存在收敛子列．由基本列性质，可选出子列{ [ x ]n(k)}使得|| [ x ]n(k) - [ x ]n(k+1) ||0 ≤ 1/2k．故∑k ≥ 1 || [ x ]n(k) - [ x ]n(k+1) ||0 收敛．根据(5)，∀k∈N+，∃y k∈[ x ]n(k+1) - [ x ]n(k)，使得|| y k || ≤ 2|| [ x ]n(k+1) - [ x ]n(k) ||0．那么，∑k ≥ 1|| y k ||收敛．由X的完备性，s k = ∑ 1 ≤j ≤k y j是X中的收敛列．设其极限为s．由(5)中ϕ的连续性，在X/X0中，ϕ(s k) →ϕ(s) ( k→∞ )．而ϕ(s k) = ϕ( ∑ 1 ≤j ≤k y j ) = ∑ 1 ≤j ≤k ϕ( y j )= ∑ 1 ≤j ≤k ( [ x ]n(j+1) - [ x ]n(j)) = [ x ]n(k+1) - [ x ]n(1)．故{[ x ]n(k+1) - [ x ]n(1)}收敛，因而{[ x ]n(k)}是收敛列．因此X/X0中的基本列{ [ x ]n }存在收敛子列{[ x ]n(k)}，所以，{ [ x ]n }是X/X0中的收敛列．因此，(X/X0, || · ||0)是完备的．(7) 设X = C[0, 1]，X0 = { f∈X | f (0) = 0 }，求证：X/X0 ≅K，其中记号“≅”表示等距同构．证明：显然，X0是C[0, 1]中的线性子空间．记X0所确定的等价关系为～，则f～g ⇔ f (0) = g (0)．定义Φ : X/X0 →K，Φ([ f ]) = f (0)．显然定义是合理的．∀f, g∈X，∀α, β∈K，Φ(α[ f ] + β[ g ]) = Φ([αf + β g ]) = (αf + β g )(0)= αf (0)+ β g (0) = αΦ([ f ])+ βΦ([ g ])．因此Φ是线性映射．因Φ(X0) = 0，故Φ是单射．而∀c∈K，若记所对应的常值函数为h c∈C[0, 1]，则Φ( [ h c] ) = c．故Φ是满射．综上所述，Φ : X/X0 →K是线性同构．∀f∈X，|| [ f ]||0 = inf g∈[ f ] { || g || } ≥ inf g∈[ f ] { | g (0) | }= inf g∈[ f ] { | f (0) | } = | f (0) | = | Φ([ f ]) |．另一方面，因为常值函数h f (0)∈[ f ]，故|| [ f ]||0 = inf g∈[ f ] { || g || } ≤ || h f (0) || = | f (0) | = | Φ([ f ]) |．所以，∀f∈X，都有|| [ f ]||0 = | Φ([ f ]) |，因此Φ : X/X0 →K是等距同构．1.5.1 设X是B*空间，E是以θ为内点的真凸子集，P是由E产生的Minkowski泛函，求证：(1) x∈int(E) ⇔P(x) < 1；(2) cl(int(E)) = cl(E)．证明：(1) (⇒) 若x∈int(E)，存在δ > 0，使得Bδ(x) ⊆E．注意到x + x/n→x ( n→∞ )，故存在N ∈N+，使得x + x/N ∈Bδ(x) ⊆E．即x/( N/( 1 + N ) ) ∈E．因此P(x) ≤N/( 1 + N ) < 1．(⇐) 若P(x) < 1．则存在a > 1，使得y = a x∈E．因θ∈int(E)，故存在δ > 0，使得Bδ(θ) ⊆E．令η = δ(a - 1)/a，∀z∈Bη(x)，令w = (a z-y )/(a - 1)，则|| w || = || (a z-y )/(a - 1) || = || a z-y ||/(a - 1)= || a z-a x ||/(a - 1) = a || z-x ||/(a - 1) < aη/(a - 1) = δ．故w∈Bδ(θ) ⊆E．故z = ((a - 1)w + y )/a ∈E，因此，Bη(x) ⊆E．所以x∈int(E)．(2) 因int(E) = E，故有cl(int(E)) ⊆ cl(E)．下面证明相反的包含关系．若x∈cl(E)，则∀ε > 0，存在y∈E，使得|| x -y || < ε/2．因ny/(n + 1) →y ( n →∞ )．故存在N ∈N+，使得|| Ny/(N + 1) -y || < ε/2．令z = Ny/(N + 1)，则z∈E，且P(z) ≤N/(N + 1) < 1，由(1)知z∈int(E)．而|| z -x || ≤ || z -y || + || y -x || < ε/2 + ε/2 = ε．故x∈cl(int(E))，因此cl(E) ⊆ cl(int(E))所以cl(int(E)) = cl(E)．1.5.2 求证在B空间中，列紧集的凸包是列紧集．证明：设A是B空间X中的列紧集，∀ε > 0，存在A的有限ε /3网B．设B = {b1, b2, ..., b n}，M = max j{ || b j || }，取δ > 0，使得n δ M < ε /3．设[0, 1]分划D为0 = t0 < t1 < t2 < ... < t m = 1，使得max 1 ≤j ≤m {| t j–t j–1|} < δ．设∀x∈co(A)，设x= λ1 a1 + λ2 a2+ ... + λ k a k，其中a j∈A，λ j > 0，∑ j λ j = 1．对每个j ≤k，存在b i( j )∈B使得|| a j-b i( j ) || < ε /3；令y= λ1 b i(1) + λ2 b i(2)+ ... + λ k b i(k)，则|| x - y || = || λ1 (a1 -b i(1)) + λ2 (a2 -b i(2))+ ... + λ k (a k-b i(k))||，≤λ1· || a1 -b i(1) || + λ2 · || a2 -b i(2) || + ... + λ k· || a k-b i(k) ||≤ ( λ1 + λ2 + ... + λ k ) · (ε /2) = ε /3．将y= λ1 b i(1) + λ2 b i(2)+ ... + λ k b i(k)中的那些含有相同b j的项合并起来，于是，y可表示为y= μ1 b1 + μ2 b2+ ... + μ n b n，其中μj ≥ 0，且∑ j μj = 1．对每个l ≤n，存在t s( l )∈D，使得|| μl-t s( l ) || < δ；令z= t s(1) b1 + t s(2) b2+ ... + t s(n) b n，则|| y - z || = || (μ1 -t s(1))b1 + (μ2 -t s(2))b2+ ... + (μn -t s(n))b n ||≤∑ l | μl-t s( l ) | · max j{ || b j || } ≤n δ M < ε /3；令C = {t s(1) b1 + t s(2) b2+ ... + t s(n) b n | t s(i)∈D，1 ≤i≤n}，则C是有限集，且C是co(A)的有限ε网．因空间是完备的，故co(A)是列紧集．1.5.3 设C是B*空间X中的一个紧凸集，映射T : C →C连续，求证T在C上有一个不动点．证明：因为C是紧集，所以C是闭集．因为C是紧集，故C的任意子集都列紧．而T(C) ⊆C，故T(C)列紧．于是，由Schauder不动点定理，T在C上有一个不动点．[Schauder定理：B*空间中闭凸集C上使T(C)列紧的连续自映射T必有不动点]1.5.4 设C是B空间X中的一个有界闭凸集，映射T i : C→X (i = 1, 2)适合(1) ∀x, y∈C ⇒T1x + T2y∈C；(2) T1是一个压缩映射，T2是一个紧映射．求证：T1 + T2在C上至少有一个不动点．证明：[邸双亮老师解] 设压缩映射T1的压缩系数为α∈(0, 1)．∀y∈C，映射K y : C→C，x#T1x + T2y是压缩映射，因此K y有唯一不动点u y∈C (即u y满足u y = T1 u y + T2 y)．故可定义映射U : C→C，y #u y；考察映射I–T1 : C→X，x#x -T1x，则∀x, y∈C，||( I–T1 ) x - ( I–T1 )y || = ||( x -y) – (T1 x -T1y) ||≥ || x -y || – || T1 x -T1y || ≥ || x -y || –α|| x -y || = (1 –α) || x -y ||；故I–T1为单射．因此存在逆映射( I–T1 )–1 : (I–T1)(C) →C．而不等式||( I–T1 ) x - ( I–T1 )y || ≥ (1 –α) || x -y ||表明，( I–T1 )–1还是连续的．因∀y∈C，U(y)= u y ∈C满足U(y) = T1(U(y)) + T2 y，即( I–T1 )U(y) = T2 y；故U(y) = ( I–T1 )–1 T2 y，即U = ( I–T1 )–1 ◦T2．因T2紧且( I–T1 )–1连续，故U = ( I–T1 )–1 ◦T2是紧映射．由Schauder不动点定理，U有不动点．即存在u∈C，使得( I–T1 )–1 T2 u = u；即T2 u = ( I–T1 )u；也就是T1u + T2u = u．1.6.4 设M, N是内积空间中的两个子集，求证：M⊆N ⇒N⊥⊆M⊥．证明：若x∈N⊥，则∀y∈N，(x, y) = 0．而M⊆N，故∀y∈M，也有(x, y) = 0．因此x∈M⊥．所以，N⊥⊆M⊥．1.6.13 设X是内积空间，∀x0 ∈X，∀r > 0，令C = { x ∈X | || x - x0 || ≤r }．(1) 求证：C是X中的闭凸集；(2) ∀x∈X，令y = x0 + r (x - x0)/|| x - x0 || (当x ∉C )；y = x (当x ∈C )．求证：y是x在C中的最佳逼近元．证明：(1) 因范数是连续函数，故C = { x ∈X | || x - x0 || ≤r }是闭集．∀x, y∈C，因|| x - x0 || ≤r，|| x - x0 || ≤r }，故∀λ∈[0, 1]，|| (λ x + (1-λ) y ) - x0 || = || λ( x-x0 ) + (1-λ) (y - x0)||≤ || λ( x-x0 ) + (1-λ) (y - x0)|| ≤λ|| x-x0 || + (1-λ) || y - x0 ||≤λ r + (1-λ) r = r．所以，C是X中的闭凸集．(2) 当x ∈C时，y = x．显然y是x在C中的最佳逼近元．当x ∈C时，y = x0 + r (x - x0)/|| x - x0 ||．∀z∈C，|| x-y || = || ( x-x0 -r (x - x0)/|| x - x0 ||) ||= || (1 -r/|| x - x0 ||) (x - x0) || = || x - x0 || -r．≤ || x - x0 || - || z - x0 || ≤ || x - z||．因此，y是x在C中的最佳逼近元．1.在P1中令ρ1(x, y) = (x -y)2，ρ2(x, y) = | x -y |1/2，，问ρ1, ρ2是否为P1上的距离？[解] 显然ρ1, ρ2满足距离空间定义中的非负性和对称性．但ρ1不满足三角不等式：取点x = -1, y= 0, z = 1，则ρ1(x, z) = 4 > 2 = ρ1(x, y) + ρ1(y, z)，所以ρ1不是P1上的距离。
研究生泛函分析总结
研究生泛函分析总结泛函分析是数学中的一个重要分支，是研究无限维空间上的函数和函数空间的理论。
它的应用涉及到许多领域，如量子力学、信号处理、图像处理等。
在研究生阶段，我们对泛函分析进行了深入学习和研究，下面是我对泛函分析的总结：一、泛函的概念和基本理论：1.泛函的定义：泛函是定义在一个函数空间上的函数，它将函数映射到实数集上。
2.泛函的性质：线性、有界、正则。
3.泛函的例子：函数的积分、导数、极大极小值等都可以视作泛函。
4.函数空间的定义：函数空间是一组满足一定性质的函数的集合。
5.多个函数空间的关系：包含关系、并集、交集等。
二、线性算子和函数空间：1.线性算子的定义：线性算子是将一个函数空间映射到另一个函数空间的线性变换。
2.线性算子的性质：线性、有界、正则。
3.压缩映射定理：压缩映射在完备度量空间上具有不动点，且不动点唯一4.单正则线性算子：定义、性质、例子。
三、Hilbert空间：1. Hilbert空间的定义：Hilbert空间是一个完备的内积空间。
2.内积的定义和性质：正定性、对称性、线性性等。
3. Hilbert空间的例子：L2空间、离散函数空间等。
4.切比雪夫不等式：内积的有界性和L2空间中的函数收敛性。
5. 基映射和完备性：基映射是将元素展开为基函数的系数，Hilbert 空间的完备性意味着可以用无限维的元素表示。
四、广义函数和分布理论：1.广义函数的定义：广义函数是泛函的推广，它是一种对一般函数进行推广的概念。
2.分布的性质：线性、有界、正则。
3. 分布的例子：Dirac函数、Heaviside函数等。
4.分布的导数和积分：广义函数的导数和积分的定义和性质。
五、Sobolev空间：1. Sobolev空间的定义：Sobolev空间是一组定义在Lp空间中，具有弱导数的函数的集合。
2. Sobolev空间的性质：线性、有界、正则。
3. Sobolev空间的例子：H1空间、H2空间等。
泛函分析部分知识总结
泛函分析单元知识总结与知识应用一、单元知识总结第七章、 度量空间和赋范线性空间 §1 度量空间§1.1定义：若X 是一个非空集合，:dX X R ⨯→是满足下面条件的实值函数，对于,x y X ∀∈，有（1）(,)0d x y =当且仅当xy =；（2）(,)(,)d x y d y x =；（3）(,)(,)(,)d x y d x z d y z ≤+，则称d 为X 上的度量，称(,)X d 为度量空间。
例：1、设X 是一个非空集合，,x y X ∀∈，当1,(,)0,=x y d x y x y≠⎧=⎨⎩当当，则(,)X d 为离散的度量空间。
2、序列空间S ，i =1i |-|1(,)21+|-|i ii i d x y ξηξη∞=∑是度量空间 3、有界函数全体()B A ，(,)sup|(t)-(t)|t Ad x y x y ∈=是度量空间4、连续函数[a,b]C ，(,)max|(t)-(t)|a t bd x y x y ≤≤=是度量空间5、空间2l ，122=1(,)[(-)]kki d x y y x ∞=∑是度量空间§2 度量空间中的极限，稠密集，可分空间 §2.1收敛点列：设{}n x 是(,)X d 中点列，如果∃x X ∈，使n lim (,)=0n d x x →∞，则称点列{}n x 是(,)X d 中的收敛点列。
例：1、nn x R ∈，{}n x 按欧氏距离收敛于x 的充要条件为1,i n ∀≤≤各点列依分量收敛。
2、[a,b]C 中(,)0k d x y x x →⇔→（一致）3、可测函数空间()M X 中点列(,)0n n d f f f f→⇔⇒（依测度）稠密子集与可分空间:设X 是度量空间，E 和M 是X 中两个子集，令M M M ⊂表示的闭包，如果E ,那么称集M 在集E 中稠密，当E=X 时，称M 为X 的一个稠密子集，如果X 有一个可数的稠密子集，则称X 是可分空间。
泛函分析知识总结讲解
泛函分析知识总结讲解泛函分析是数学的一个分支，研究无限维空间中的函数与函数序列的性质以及它们之间的关系。
它是实数分析和复数分析的推广与深化，是现代数学的基石之一，对于几乎所有分支的数学都具有极高的重要性。
以下是对泛函分析的知识总结和讲解。
1.范数空间与内积空间：泛函分析的基础概念是线性空间，进一步的，我们将线性空间中的向量赋予一定的范数或内积，得到范数空间和内积空间。
范数空间是指一个线性空间中存在一个范数，满足向量加法、标量乘法和范数运算的线性性质。
常见的范数空间有欧几里得空间、无穷范数空间和Lp空间等。
内积空间是指一个线性空间中存在一个内积，满足线性性质、对称性和正定性。
内积定义了向量之间的夹角和长度，并且可以衡量向量的相似度和正交性。
常见的内积空间有欧几里得空间和希尔伯特空间等。
2.完备性与紧性：完备性是指一个度量空间中的柯西序列在该空间中有一个极限点。
具有完备性的空间被称为“完备度量空间”或“巴拿赫空间”。
典型的完备度量空间包括实数集和复数集。
紧性是指一个度量空间中存在一个有限的覆盖，可以从中选取有限个开球覆盖整个空间。
紧性是度量空间的一个重要性质，表明空间的元素具有收敛性质。
3.可分性与连续性：可分性是指一个度量空间中存在一个可数的稠密子集。
可分性是度量空间的一个重要性质，表明空间的元素可以用可数个元素逼近。
连续性是指线性空间和范数空间中的映射保持了基本的运算和距离的一致性。
连续性是一个重要的概念，它描述了元素的连续变化和收敛性质。
4.泛函与算子：泛函是指一个线性空间到实数或复数的映射。
泛函可以是线性的，也可以是非线性的，常见的泛函有线性泛函和连续泛函等。
算子是指一个线性空间到另一个线性空间的映射。
算子可以是线性的，也可以是非线性的。
常见的算子有线性算子和连续算子等。
5.特征空间与对偶空间：特征空间是指一个线性算子的定义域，它是算子的作用空间的一种表达形式。
特征空间可以是有限维空间，也可以是无限维空间。
泛函分析知识点范文
泛函分析知识点范文泛函分析是数学中的一门学科，研究向量空间上的函数和函数空间的性质，涉及到实数或复数域上的向量空间。
泛函分析包括线性代数、实变函数分析和拓扑学等多个学科的内容，因此具有广泛的应用领域，如物理、工程、经济等。
泛函分析的核心内容包括线性空间、拓扑空间和连续映射等概念、线性算子和泛函的基本性质以及泛函分析中的基本定理等。
1.线性空间：泛函分析的基础是线性空间，也就是向量空间。
线性空间满足线性组合和分配律等性质，例如实数域或复数域上的向量空间。
线性空间中的向量可以是函数、矩阵等不同的对象。
2.拓扑空间：泛函分析中的向量空间往往是赋予了拓扑结构的空间，即拓扑向量空间。
拓扑空间是一种具有连续性质的空间，它引入了开集、闭集和收敛性等概念。
拓扑空间的拓扑结构可以通过开集、闭集、邻域、基等方式来定义。
3.连续映射：泛函分析中的重要概念是映射的连续性。
连续映射是保持拓扑结构的映射，即对于拓扑空间中的开集，其原像仍然是开集。
连续映射可以用来描述泛函和线性算子的性质。
4.线性算子和泛函：线性算子是线性空间之间的映射，它可以是有界算子或无界算子。
线性算子的基本性质包括线性性、有界性、闭图像性等。
泛函是线性空间到数域的映射，它可以看作是线性算子的特殊情况。
泛函的基本性质包括线性性、有界性、连续性等。
5. Hahn-Banach定理：Hahn-Banach定理是泛函分析中的基本定理，它是关于泛函延拓的定理。
该定理说明了任意线性子空间上的有界泛函可以延拓到整个空间上，并且保持原有泛函的范数不变。
6.可分性：可分性是拓扑空间的一个重要性质，它指的是拓扑空间中存在可数稠密子集。
可分性保证了拓扑空间中存在足够多的元素，使得在拓扑空间上可以进行良定义的运算。
7.反射空间：反射空间是泛函分析中的一类特殊线性空间，它是线性空间和拓扑空间的交叉概念。
反射空间具有良好的性质，例如有界闭集外包性、扩张定理等。
8.紧算子和迹类算子：紧算子是对有界算子的一种推广，它在泛函分析中具有重要的地位。
泛函分析知识点汇总
泛函分析知识点知识体系概述（一）、度量空间和赋线性空间 第一节 度量空间的进一步例子1.距离空间的定义：设X 是非空集合，若存在一个映射d ：X ×X →R ，使得∀x,y,z ∈X,下列距离公理成立：（1）非负性：d(x,y)≥0，d(x,y)=0⇔x=y;（2）对称性：d(x,y)=d(y,x);（3）三角不等式：d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y);则称d(x,y)为x 与y 的距离，X 为以d 为距离的距离空间，记作（X ，d ） 2.几类空间例1 离散的度量空间 例2 序列空间S例3 有界函数空间B(A) 例4 可测函数空M(X)例5 C[a,b]空间 即连续函数空间 例6 l 2第二节 度量空间中的极限，稠密集，可分空间 1. 开球定义 设（X,d ）为度量空间，d 是距离，定义U(x 0, ε)＝{x ∈X | d(x, x 0) <ε}为x 0的以ε为半径的开球，亦称为x 0的ε一领域. 2. 极限定义 若{x n }⊂X, ∃x ∈X, s.t. ()lim ,0n n d x x →∞= 则称x 是点列{x n }的极限.3. 有界集定义 若()(),sup ,x y Ad A d x y ∀∈=<∞，则称A 有界4. 稠密集定义 设X 是度量空间，E 和M 是X 中两个子集，令M 表示M 的闭包，如果E M ⊂,那么称集M 在集E 中稠密，当E=X 时称M 为X 的一个稠密集。
5. 可分空间定义 如果X 有一个可数的稠密子集，则称X 是可分空间。
第三节 连续映射1.定义 设X=(X,d),Y=(Y, ~d )是两个度量空间，T 是X 到Y 中映射，x0X ∈,如果对于任意给定的正数ε，存在正数0δ>，使对X 中一切满足()0,d x x δ<的x ，有()~0,d Tx Tx ε<，则称T 在x 连续.2.定理1 设T 是度量空间（X,d ）到度量空间~Y,d ⎛⎫ ⎪⎝⎭中的映射，那么T 在0x X∈连续的充要条件为当()0n x x n →→∞时，必有()0n Tx Tx n →→∞3.定理2 度量空间X 到Y 中的映射T 是X 上连续映射的充要条件为Y 中任意开集M 的原像1T M -是X 中的开集.第四节 柯西（cauchy ）点列和完备度量空间1.定义 设X=(X,d)是度量空间，{}n x 是X 中点列，如果对任意给定的正数0ε>，存在正整数()N N ε=,使当n,m>N 时，必有(),n m d x x ε<，则称{}n x 是X 中的柯西点列或基本点列。
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1 p
等号相等当且仅当它们线性相关
例子
• • • • • •
•
以出租车距离定义的平面距离空间; p l 序列空间 , l , p 1 函数空间C[a,b]; 离散距离空间; R上函数|x-y|^2；|x-y|^1/2是距离吗？ Hamming距离：X为所有0和1构成的三元序组数。 在开关和自动化理论以及编码理论中都有重要的应用。
距离空间的拓扑
• 空间引入距离，才有了空间上映射的连续性概念 （开集的原像是开集） • 称X的子集B(x,r)={y;p(x,y)<r}为以x为心半径为r的 开球 • 称X的子集S(x,r)={y; p(x,y)=r}为以x为心半径为r的 球面
等号相等当且仅当它们线性相关
常用的几个公式
• Minkowski不等式：设p不小于1,则
级数形式： ( (ai bi ) ) ( | ai | ) ( | bi | )
i 1 i 1 i 1 1 p 1 p 1 p p 1 p p 1 p p
积分形式： ( | x(t ) y(t ) | p dt ) ( | x(t ) | p dt ) ( | y(t ) | p dt )
• 我们还希望完备化后得到的空间能是唯一 的最好，相差不多也好。 • 等距映射、距离空间X，Y是等距的
等距映射一定是同胚的；等距的距离空间，由距离导出的性质全一 样，故当仅限于考虑与距离有关的性质时，彼此可以不加区分。
距离空间的紧性
• 设A的距离空间X的子集，称A是紧的，如果A的任 意一个开覆盖都存在有限子覆盖（如果A中任意 一个序列都存在一个子列收敛于A中某点）；称A 是列紧的，如果A中任意一个序列都存在一个子 列收敛于X中某点。 • 若空间X本身是紧（列紧）集，则称X是紧（列紧） 空间。 • 例：实直线R是完备的距离空间，但不是紧的， 也不是列紧的；R中任意有界闭集M按R的距离是 紧空间，有界开集N是列紧的。 • 在欧式空间中，有界性和列紧性是一致的。
第一章 距离空间
• • • • • • • 1.1 距离空间的定义和例子 1.2 距离空间的拓扑 1.3 距离空间的稠密性 1.4 距离空间的可分性 1.5 距离空间的完备性 1.6距离空间的紧性 1.7 不动点定理及其应用
常用的几个公式
• 赫尔德不等式：p,q>1,1/p+1/q=1,则
有理数点构成的距离空间也不完备
距离空间的完备化
• 我们知道有理直线Q是不完备的，但可以扩 展为完备的实直线R。 • 空间不完备时，考虑问题就要特别小心， 将不完备空间完备化是个有意义的工作
• 处理方程解的存在性问题时，在不完备的距离空间中解方程，即使近似解的 序列是基本列，也不能保证该序列有极限，从而不能保证方程在该空间内有 解。
例子
• 实直线、复平面都是可分的完备的距离空间 • 离散距离空间X是可分的当且仅当X是可数集 • L^p[a,b]（p>1）在上面定义的距离意义下都是完 备的、可分的 • 不可分距离空间，例如有界序列空间 l
（利用[0，1]中点是不可数多个）
• C[a,b]按L^1距离就不是完备的,它的完备化空间是 L^1（存在连续函数序列，L^1收敛到不连续的可积函数）
级数形式： aibi ( a ) ( b ) , ai , bi 0
i 1 i 1 i 1 p q 积分形式： | x ( t ) y ( t ) | dt ( | x ( t ) | dt ) ( | y ( t ) | dt ) E E E 1 p 1 q 1 p p i 1 q q i
注：在研究距离空间中，沿用了大家熟悉的欧式空间中类似的术语， 有着很大优越和方便之处，但并不完全一致。如:离散距离空间中的球 面只有两种可能：空集或全空间
其他概念：聚点、闭包、有界集、拓扑空间
注：A的闭包是包含A的最小的闭集，A是闭集当且仅当A与其闭包相 等，取闭包运算满足分配律。
• 设A是X的子集，x是X中定点，x与A的关系： 1. x“附近”全是A中的点（内点） 2. x“附近”没有A中的点（外点） 3. x“附近”有A中点也有不是A中点（边界 点） 4. x的任意邻域都含A-{x}中点（A的聚点） 5. x的某个邻域不含A-{x}中点（孤立点） • 练习：设X是距离空间，A,B是X的子集，则
证明稠密性具有传递性，即若A在B中稠密，B在C中稠密，则A 在C中稠密。
不可分空间的例子：有界数列空间在最大值定义的距离下 是不可分的。
注： Cauchy序列一定是有界序列，如果有收敛的子列，那么 Cauchy序列必是收敛的
空间的完备性的判定
• 欧式空间、C[a,b](按极大模)都是完备的。 （后者的证明用到函数列收敛的有关结论） • 距离空间的完备子空间是闭集，一个完备 的距离空间的闭子空间是完备的 • 闭球套定理：给出了距离空间X是完备的一 个充分必要条件。
1.若A B, 则 A B； 2. A A; 3. A B A B; 4. A B A B。
距离空间上的连续映射
• 概念：映射T在x点连续；连续映射；同胚 • T在x处连续的判定：定义，海涅定理 • T是连续的判定：开集的原象是开集；闭集 的原象是闭集；定义 • 同胚的几何解释：拓扑空间的拓扑性质在 同胚变化下是保持不变的 • 练习：证明从离散空间X到任意距离空间Y 的映射T是连续映射。
距离空间的紧性
• 直接从定义判定一个集合的紧性比较困难。 • 称距离空间X的子集A是全有界的，对任意 r>0，都有A中有限个点，满足以其为心，r为 半径的开球的并覆盖了A。 • 相关结论：1.全有界集是有界的，可分的； 2.列紧集是全有界的；（反证法） 3.若X是完备距离空间，列紧等价于全有界。 • C[a,b]的子集A是列紧的充要条件是A是一致 有界且等度连续的。