理论力学第六章

= (∑ M x ) 2 + ( ∑ M y ) 2 + ( ∑ M z ) 2
方向
Mx cos(M, i) = , M
cos(M, j) =
My M
,
Mz cos(M, k) = M
空间力偶系平衡的充分必要条件是 :合力偶矩矢等 于零， 于零，即
2 M = M x2 + M y + M z2
= (∑ M x ) 2 + (∑ M y ) 2 + (∑ M z ) 2 =0
Mz = bF cosθ sin β − F cosθ cos β = 8 N⋅ m
空间任意力系向一点的简化•主矢和主矩 §6-5 空间任意力系向一点的简化 主矢和主矩
1.空间任意力系向一点的简化
与平面任意力系向一点的简化相同， 与平面任意力系向一点的简化相同，空间任意力 系向一点的简化的理论根据也是力线平移定理 力线平移定理。 系向一点的简化的理论根据也是力线平移定理。
≠ 空间力偶的三要素
（1） 大小：力与力偶臂的乘积； ） 大小：力与力偶臂的乘积； （2） 方向：转动方向； ） 方向：转动方向； 方位； （3） 力偶作用面的方位； ） 力偶作用面的方位
力偶矩矢，M 力偶矩矢，
大小： 大小： 方位： 方位： 指向： 指向：
M = Fd = 2 A∆ABC
垂直于力偶所在平面 垂直于力偶所在平面 右手螺旋定则 M：自由矢量 ：
所以合力偶矩矢的大小
2 M = M x2 + M y + M z2 = 284.6 N ⋅ m
合力偶矩矢的方向余弦
cos(M, i ) = −0.6786 cos(M, j) = −0.2811
M2
A
M3 M4 M1
cos(M,k ) = −0.6786
§6–4 力对点的矩与力对轴的矩 4
1、 力对点的矩以矢量表示 —— 力矩矢，Mo(F) 力矩矢，
FR = ∑ F = 0
由FR的大小
2 2 2 FR = FRx + FRy + FRz
= (∑ Fx ) 2 + (∑ Fy ) 2 + (∑ Fz ) 2 可得平衡方程
∑ F =0, ∑ F =0, ∑ F =0
x y z
例2 如图所示为空气动力天平上测定模型所受阻力用的 一个悬挂节点O， 一个悬挂节点 ，其上作用有铅直载荷 F。钢丝 OA和 。 和 OB 所构成的平面垂直于铅直平面 Oyz,并与该平面相交 所构成的平面垂直于铅直平面 并与该平面相交 则沿水平轴y。 与轴z间的夹 于OD，而钢丝 则沿水平轴 。已知 与轴 间的夹 ，而钢丝OC则沿水平轴 已知OD与轴 角为β， =∠BOD =θ，试求各钢丝中的拉力。 试求各钢丝中的拉力 各钢丝中的拉力。 角为 ，又∠AOD =∠
第六章
空间力系
若力系中各力的作 用线不在同一平面内 不在同一平面内， 用线不在同一平面内， 则称为空间力系。 则称为空间力系。
迎面 风力
空间汇交力系
侧面 风力
b
空间任意力系 去了风力为空间平行力系 去了风力为空间平行力系
§6–1空间力系沿坐标轴的分解和投影 1
1、力在直角坐标轴上的投影 直接投影法
称为空间力偶系的平衡方程。 称为空间力偶系的平衡方程。
例3
工件如图所示， 工件如图所示，
它的四个面上同时钻五 个孔， 个孔 ， 每个孔所受的切 削力偶矩均为80 N·m。 削力偶矩均为 。 求工件所受合力偶的矩 求工件所受 合力偶的矩 轴上的投影 在x，y，z轴上的投影 x， ， ， 轴上的投影M My， Mz， 并求合力偶矩 矢的大小和方向。 矢的大小和方向。
Fx = F cosα
Fy = F cos β
Fz = F cos γ
Fx Fz Fy
间接（二次） 间接（二次）投影法
Fxy = F cos θ
Fz = F sin θ Fx = F cos θ cos ϕ
Fy = F cos θ sin ϕ
表示力沿直角坐标轴的投影， 若以 Fx , Fy , Fz 表示力沿直角坐标轴的投影，则：
故得： 故得：
FRx = ∑ Fx , FRy = ∑ Fy , FRz = ∑ Fz
空间合力投影定理： 空间力系的合力在任一轴上的投 空间合力投影定理： 等于各分力在同一轴上投影的代数和。 影，等于各分力在同一轴上投影的代数和。 合力矢FR的大小和方向余弦为 大小
2 2 2 FR = FRx + FRy + FRz
解： 将力 n向 z 轴和 将力F 轴和Oxy 平面投影
Fz = −Fn sin θ,
将力F 将力 xy向x，y 轴投影 ，
Fxy = Fn cosθ
Fx = −Fxy sin β = −F cosθ sin β n Fy = −Fxy cos β = −F cosθ cos β n
Fxy
§6–2空间汇交力系的合成与平衡 2
解：
取O点为研究对象，受力分析如图所示， 点为研究对象，受力分析如图所示， 这些力构成了空间共点力系。 这些力构成了空间共点力系。
从x轴看过去 轴看过去
列平衡方程
∑F = 0，
x
∑F
z
F2 sin θ − F3 sin θ = 0
y
= 0,
F − F2 cos θ sin β − F3 cos θ sin β = 0 1
x
z
F
B
O x h
A y Fx
B' F xy F A' y
y
M z (F) = M O (Fxy ) = M O (Fx ) + M O (Fy ) = xFy − yFx
注意：这里的 注意：这里的Fx、Fy是 有正负号的代数量
例4
手柄ABCE在平面 在平面Axy内，在D处作用一个力 ，如图 处作用一个力F， 手柄 在平面 内 处作用一个力
= (∑ Fx ) 2 + (∑ Fy ) 2 + (∑ Fz ) 2 方向
FR y FR x FR z cos α = , cos β == , cos γ = FR FR FR
空间汇交力系的平衡条件 的最终简化结果为一合力 合力， 由于一般空间汇交力系 的最终简化结果为一合力， 因此，空间汇交力系平衡的必要与充分条件为： 因此，空间汇交力系平衡的必要与充分条件为：该合力 等于零， 等于零，即
F2 cos θ cos β + F cos θ cos β − F = 0 3
∑F = 0,
§6–3 3
一、空间力偶的等效定理
空间力偶
作用在同一刚体的两平行平面的两个力偶， 作用在同一刚体的两平行平面的两个力偶，若它们的转向相 两平行平面的两个力偶 同，力偶矩的大小相等，则两个力偶等效。 力偶矩的大小相等，则两个力偶等效。
沿坐标轴的投影分别为： 解: 力F 沿坐标轴的投影分别为：
Fx = F sin θ Fy = 0 Fz = −F cosθ
由于力与轴平行或相 交时力对该轴的矩为零， 交时力对该轴的矩为零， 则有
Mx (F) = Mx (FZ ) = −Fz ( AB + CD) = −F(l + b) cos θ
F = Fx i + Fy j + Fz k
其中：i, j , k为沿坐标轴正向的单位矢量
力的大小
F =
Fx + F y + Fz
2 2
2
力的方向
Fz Fy Fx
Fy Fx Fz cos α = , cos β = , cos γ = F F F
如图所示圆柱斜齿轮，其上受啮合力F 的作用。 例1 如图所示圆柱斜齿轮，其上受啮合力 n的作用。 已知斜齿轮的啮合角(螺旋角 已知斜齿轮的啮合角 螺旋角) β 和压力角 θ ，试求 螺旋角 轴的分力。 力 Fn 沿 x，y 和 z 轴的分力。 ，
解：
将作用在四个面上的力偶用力偶矩矢表示， 将作用在四个面上的力偶用力偶矩矢表示， 并平移到A点 并平移到 点。可得
M x = − M 3 − M 4 cos 45o − M 5 cos 45o = −193.1 N ⋅ m M y = − M 2 = −80 N ⋅ m M z = − M 1 − M 4 cos 45o − M 5 cos 45o = −193.1 N ⋅ m
与平面汇交力系类似，空间汇交力系的合力等于各分力 与平面汇交力系类似，空间汇交力系的合力等于各分力 的矢量和，合力的作用线通过汇交点。 的矢量和，合力的作用线通过汇交点。即
FR = F1 + F2 + L + Fn = ∑ F
几何法——力多边形 几何法 力多边形
解析法
FR = ∑ F = ∑ ( Fx i + Fy j +Fz k ) = ∑ Fxi +∑ Fy j +∑ Fz k
三．空间力偶系的合成与平衡
任意个空间分布的力偶可以合成为一个合力偶， 任意个空间分布的力偶可以合成为一个合力偶，合力偶 矩矢等于各分力偶矩矢的矢量和。 等于各分力偶矩矢的矢量和 矩矢等于各分力偶矩矢的矢量和。
M = M1 + M 2 + L + M n = ∑ M
合力偶矢的大小
2 M = M x2 + M y + M z2
M y (F ) = M y (FZ ) = − Fz BC = − Fl cos θ
M z (F ) = M z (Fx ) = − Fx ( AB + CD ) = − F (l + b )sin θ
例5 在直角弯杆的 C端作用着力 ，试 端作用着力F， 端作用着力 求这力对三个坐标 求这力对三个坐标 轴的矩。已知 OA =a = 6 m， AB=b=4 ， m，BC=c=3 m，θ ， ， =30º, β=60º。 。
F3'
[证] ①作II//Ⅰ，cd // ab 证 Ⅰ
②作两对平衡力
F3'
合成一对平衡力， ③合成一对平衡力，R,R ' 内的力偶（ ④在I内的力偶（F1，F1 '） 内的力偶 等效变成II内的（ ， 等效变成 内的（ F2， F2 '） 内的
二、力偶矩以矢量表示 ， 力偶矩矢
F1 = F2 = F1′ = F2′
在平面中：力对点的矩是代数量。 在平面中：力对点的矩是代数量。 代数量 在空间中：力对点的矩是矢量。 在空间中：力对点的矩是矢量。 矢量
力矩矢的三要素
(1）大小: (1）大小: (2) 方位: 方位: (3) 指向
M O ( F ) = F ⋅ d = 2∆面积
通过矩心， 通过矩心，垂直作用面 右手定则
解：由图示可以求出力F 在各坐标轴上的投影 由图示可以求出力
Fx = F cosθcos β
对坐标轴之矩为： 力F 对坐标轴之矩为：
Fy = F cos θ sin β
Fz = F sin θ
Mx = aF sin θ + cF cos θ sin β =105 N⋅ m
My = −cF cos θ cos β −bF sin θ = −66 N⋅ m
z F Fz O
B’ xy F
轴有矩： 只有垂直 z 轴的分力 Fxy 对 z 轴有矩：
h
y A
x
M z (F ) = ± Fxy h = ±2 A∆OAB′ = M O (Fxy )
力对轴的矩=力在垂直于该轴平面 力对轴的矩 力在垂直于该轴平面 上的投影对于这个平面与该轴的交点的 矩。 因而它是一个代数量， 因而它是一个代数量，从轴的正向观 看，逆时针转动为“+”，如图所示。 逆时针转动为“ ，如图所示。 空间力对轴的矩与平面力对点的矩 类似， 类似，也可以用解析式表示如下
2.力对轴的矩 2.力对轴的矩
工程中，经常遇到刚体绕定轴转动的情形， 工程中，经常遇到刚体绕定轴转动的情形，为了度量力 使刚体绕定轴转动的效果，有必要了解力对轴的矩的概念。 使刚体绕定轴转动的效果，有必要了解力对轴的矩的概念。
轴转动的圆盘上， 现有一力 F 作用在可以绕 z 轴转动的圆盘上，如下图 所示。 所示。将力 F 分解为 Fxy 和 Fz 。 由于F 平行， 由于 z与转轴 z 平行，不能使 轴转动， 圆盘绕 z 轴转动，故Fz对 z 轴的 矩为零。 矩为零。
源自文库
设作用在刚体上有 空间一般力系 向O点简化 点简化 点任选） （O点任选） 点任选
空间汇交力系 空间力偶系
F1 , F2 , F3 K Fn
主矢 主矩
主矢：空间汇交力系中各力的矢量和 主矢：空间汇交力系中各力的矢量和FR’
所示，它在垂直于y轴的平面内 轴的平面内， 所示，它在垂直于 轴的平面内，偏离铅直线的角度为θ。 如果CD=b， 杆 BC平行于 轴， 杆 CE平行于 轴 ， AB和BC 平行于x轴 平行于y轴 如果 平行于 平行于 和 的长度都等于l。试求力 三轴的矩。 的长度都等于 。试求力F 对x，y和z三轴的矩。 ， 和 三轴的矩