最新(选修1-1)《椭圆的简单性质》教案
高中数学选修1-1教学设计-椭圆的简单几何性质
§2.1.2椭圆的简单几何性质3
【学情分析】：
学生已经掌握了椭圆的概念、标准方程的概念，也能够运用标准方程中的a,b,c的关系解决题目，但还不够熟练。
另外对于求轨迹方程、解决直线与椭圆关系的题目，还不能很好地分析、解决。
【三维目标】：
1、知识与技能：
①进一步强化学生对于椭圆标准方程中a,b,c关系理解，并能运用到解题当中去。
②强化求轨迹方程的方法、步骤。
③解决直线与椭圆的题目，强化数形结合的运用。
2、过程与方法：
通过习题、例题的练讲结合，达到学生熟练解决椭圆有关问题的能力。
3、情感态度与价值观：
通过一部分有难度的题目，培养学生克服困难的毅力。
【教学重点】：
知识与技能②③
【教学难点】：
知识与技能②③
【课前准备】：
学案
【教学过程设计】：。
高中数学选修1-1《椭圆》教案
高中数学选修1-1《椭圆》教案教学目标：1. 能够了解椭圆的定义及基本性质。
2. 能够掌握椭圆的标准方程和参数方程，并能够根据给定条件确定椭圆的方程。
3. 能够掌握椭圆的离心率、焦点和直径等基本概念。
4. 能够熟练地应用椭圆的相关知识解决相关问题。
教学重难点：1. 椭圆的基本概念和性质。
2. 椭圆的标准方程和参数方程的掌握。
3. 熟练应用椭圆的相关知识解决相关问题。
教学方法：教师讲授+学生自主学习+课堂练习+互动讨论。
教学过程：一、导入新课：邀请学生根据图片、视频、动画等展示椭圆的形状和特点，并引导学生探讨椭圆和圆的相同和不同之处。
二、概念解释：1. 什么是椭圆？学生结合图例理解椭圆的定义及基本性质。
2. 椭圆的性质有哪些？学生列出椭圆的基本性质，如对称性、离心率、焦点等等。
三、标准方程和参数方程：1. 什么是椭圆的标准方程和参数方程？学生结合图例，了解椭圆的标准方程和参数方程的含义和区别。
2. 如何根据给定条件确定椭圆的方程？学生结合具体例题，掌握如何根据给定条件确定椭圆的方程。
四、椭圆的离心率、焦点和直径等基本概念：1. 什么是椭圆的离心率？学生理解椭圆离心率的含义，并掌握如何计算。
2. 什么是椭圆的焦点？学生理解椭圆焦点的含义，并掌握如何计算。
3. 什么是椭圆的直径？学生结合图例掌握椭圆直径的含义，并掌握如何计算。
五、课堂练习：1. 练习掌握椭圆的标准方程和参数方程。
2. 练习计算椭圆的离心率、焦点和直径等基本概念。
六、课堂小结：通过本节课的学习，我们了解了椭圆的定义及基本性质，掌握了椭圆的标准方程和参数方程，并熟练应用椭圆的相关知识解决相关问题。
七、作业布置：1. 完成课堂上的练习题。
2. 完成教材上与本节课相关的习题。
3. 自主查阅相关资料，了解椭圆在实际生活和工作中的应用。
教学反思：此次数学选修1-1《椭圆》的教学目标简明明确，并且教学过程也紧密配合教学目标，对学生椭圆的认识和掌握搭建的基础更为牢固。
高中数学选修1-1《椭圆的简单几何性质》教案
课题：椭圆的简单几何性质（第一课时）一、教学目标：1、知识与技能（1）探究椭圆的简单几何性质，初步学习利用方程研究曲线性质的方法；（2）掌握椭圆的简单几何性质，理解椭圆方程与椭圆曲线间互逆推导的逻辑关系及利用数形结合思想方法解决实际问题。
2、过程与方法（1）通过椭圆的方程研究椭圆的简单几何性质，使学生经历知识产生与形成的过程，培养学生观察、分析、逻辑推理，理性思维的能力。
（2）通过掌握椭圆的简单几何性质及应用过程，培养学生对研究方法的思想渗透及运用数形结合思想解决问题的能力。
3、情感、态度与价值观通过数与形的辩证统一，对学生进行辩证唯物主义教育，通过对椭圆对称美的感受，激发学生对美好事物的追求。
二、教学重难点：1、教学重点：椭圆的简单几何性质及其探究过程2、教学难点：利用曲线方程研究曲线几何性质的基本方法和离心率定义的给出过程。
三、教学方法：本节课以启发式教学为主，综合运用演示法、讲授法、讨论法、有指导的发现法及练习法等教学方法。
先通过多媒体动画演示，创设问题情境；在椭圆简单几何性质的教学过程中，通过多媒体演示，有指导的发现问题，然后进行讨论、探究、总结、运用，最后通过练习加以巩固提高。
四、教学过程：（一）创设情景,揭示课题多媒体展示：模拟“嫦娥一号”升空,进入轨道运行的动画. 解说：2007年10月24日，随着中国自主研制的第一个月球探测器——嫦娥一号卫星飞向太空，自强不息的中国航天人，又将把中华民族的崭新高度镌刻在太空中。
绕月探测，中国航天的第三个里程碑。
它标志着，在实现人造地球卫星飞行和载人航天之后，中国航天又向深空探测迈出了第一步。
“嫦娥一号”卫星发射后首先将被送入一个椭圆形地球同步轨道，这一轨道离地面最近距离为200公里，最远为5.1万公里，,而我们地球的半径R=6371km.根据这些条件,我们能否求出其轨迹方程呢?要想解决这个问题,我们就一起来学习“椭圆的简单几何性质”。
（教师结合多媒体动画展示，生动解说，提出问题。
椭圆的简单几何性质(教案)
椭圆的简单几何性质教学目标：1. 理解椭圆的定义及其基本性质。
2. 掌握椭圆的长轴、短轴、焦距等几何参数的计算方法。
3. 能够运用椭圆的性质解决相关几何问题。
教学重点：1. 椭圆的定义及其基本性质。
2. 椭圆几何参数的计算方法。
教学难点：1. 椭圆性质的应用。
教学准备：1. 教学课件或黑板。
2. 尺子、圆规等绘图工具。
教学过程：一、导入1. 引导学生回顾圆的性质，提出问题：“如果将圆的半径缩小，圆的形状会发生什么变化？”2. 学生讨论并得出结论：圆的形状会变成椭圆。
二、新课讲解1. 引入椭圆的定义：椭圆是平面上到两个固定点（焦点）距离之和为常数的点的轨迹。
2. 讲解椭圆的基本性质：a) 椭圆的两个焦点对称，且位于椭圆的长轴上。
b) 椭圆的长轴是连接两个焦点的线段，短轴是垂直于长轴的线段。
c) 椭圆的半长轴a和半短轴b是椭圆的几何参数，焦距2c与a、b之间的关系为c^2=a^2-b^2。
3. 演示如何用尺子和圆规绘制椭圆，并引导学生动手实践。
三、案例分析1. 给出一个椭圆，让学生计算其长轴、短轴和焦距。
2. 学生分组讨论并解答，教师巡回指导。
四、课堂练习1. 布置课堂练习题，让学生运用椭圆的性质解决问题。
2. 学生独立完成练习题，教师批改并给予反馈。
五、总结与拓展1. 总结本节课所学的椭圆的基本性质和几何参数的计算方法。
2. 提出拓展问题：“椭圆在实际应用中有什么意义？”，引导学生思考和探索。
教学反思：本节课通过导入、新课讲解、案例分析、课堂练习和总结与拓展等环节，使学生掌握了椭圆的基本性质和几何参数的计算方法。
在教学过程中，注意引导学生主动参与、动手实践，提高学生的学习兴趣和积极性。
通过课堂练习和拓展问题，培养学生的思维能力和解决问题的能力。
但在教学过程中，也要注意对学生的个别辅导，确保每个学生都能跟上教学进度。
六、椭圆的离心率1. 引入离心率的定义：椭圆的离心率e是焦距c与半长轴a之比，即e=c/a。
《椭圆的简单几何性质》教学设计
《椭圆的简单几何性质》教学设计椭圆的简单几何性质《椭圆的简单几何性质》教学一. 教材分析1. 教材的地位和作用本节课是普通高中课程标准实验教科书数学选修1-1第二章2.1.2第1课时：椭圆的简单几何性质。
在此之前，学生已经掌握了椭圆的定义及其标准方程，这只是单纯地通过曲线建立方程的探究。
而这节课是结合椭圆图形发现几何性质,再利用椭圆的方程探讨椭圆的几何性质,是数与形的完美结合，让学生在了解如何用曲线的方程研究曲线的性质的基础上，充分认识到“由数到形，由形到数”的转化，体会了数与形的辨证统一，也从中体验了学数学的乐趣，受到了数学文化熏陶，为后继研究解析几何中其它曲线的几何性质奠定了重要基础。
2. 教材的内容安排和处理本课为“椭圆的简单几何性质”这部分内容的第一课时，主要介绍椭圆的简单几何性质及其初步运用，在解析几何中，利用曲线的方程讨论曲线的几何性质对学生来说是第一次，因此可根据学生实际情况及认知特点，改变了教材中原有研究顺序，引导学生先从观察课前预习所作的具体图形入手，按照通过图形先发现性质，在利用方程去说明性质的研究思路，循序渐近进行探究。
在教学中不仅要注重对椭圆几何性质的理解和运用，而且更应重视对学生进行这种研究方法的思想渗透，通过教师合理的情境创设，师生的共同讨论研究，学生的亲身实践体验，使学生真正意义上理解在解析几何中，怎样用代数方法研究曲线的性质，巩固数形结合思想的应用，达到切实地用数学分析解决问题的能力。
3. 重点、难点：教学重点：掌握椭圆的简单几何性质,并能初步运用其探索方法研究问题,体会数形结合思想方法在数学中的应用教学难点；利用曲线方程研究曲线几何性质的基本方法和离心率定义的给出过程。
二. 学生的学情心理分析我的任教班是普班,大多数学生的数学基础较为薄弱, 独立分析问题，解决问题的能力不是很强,但是他们的思维活跃，参与意识强烈,又具备了高一学习阶段的知识基础，因此依据以上特点,在教学设计方面，我打算借助多媒体手段，创设问题情境，结合图形启发引导，组织学生合作探究等形式，都符合我班学生的认知特点，为他们创设了一个自然和谐的课堂氛围。
椭圆的简单几何性质(教案)
椭圆的简单几何性质教学目标：1. 理解椭圆的定义及其基本几何性质。
2. 学会运用椭圆的性质解决相关问题。
3. 培养学生的观察能力、推理能力和解决问题的能力。
教学内容：1. 椭圆的定义2. 椭圆的焦点3. 椭圆的长轴和短轴4. 椭圆的离心率5. 椭圆的面积教学准备：1. 教学课件或黑板2. 椭圆模型或图片3. 直尺、圆规等绘图工具教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入椭圆的概念，展示椭圆模型或图片，让学生观察并描述椭圆的特点。
2. 引导学生思考：椭圆与其他几何图形（如圆、矩形等）有什么不同？二、椭圆的定义（10分钟）1. 给出椭圆的定义：椭圆是平面上到两个定点（焦点）距离之和等于常数的点的集合。
2. 解释椭圆的焦点概念，说明焦点的作用。
3. 引导学生通过实际操作，绘制一个椭圆，并标记出焦点。
三、椭圆的焦点（10分钟）1. 介绍椭圆的焦点与椭圆的离心率的关系。
2. 引导学生通过实际操作，观察焦点的位置与椭圆的形状之间的关系。
3. 解释椭圆的离心率的定义及其几何意义。
四、椭圆的长轴和短轴（10分钟）1. 介绍椭圆的长轴和短轴的概念。
2. 引导学生通过实际操作，测量和记录椭圆的长轴和短轴的长度。
3. 解释长轴和短轴与椭圆的形状之间的关系。
五、椭圆的面积（10分钟）1. 介绍椭圆的面积的计算公式。
2. 引导学生通过实际操作，计算一个给定椭圆的面积。
3. 解释椭圆面积与长轴和短轴之间的关系。
教学评价：1. 通过课堂讲解和实际操作，学生能够理解椭圆的定义及其基本几何性质。
2. 通过解决问题和完成作业，学生能够运用椭圆的性质解决相关问题。
3. 通过课堂讨论和提问，学生能够展示对椭圆的理解和应用能力。
六、椭圆的离心率（10分钟）1. 回顾椭圆的离心率的定义和计算方法。
2. 引导学生通过实际操作，观察离心率与椭圆的形状之间的关系。
3. 解释离心率在几何中的应用，如椭圆的焦点和直线的交点等。
七、椭圆的参数方程（10分钟）1. 介绍椭圆的参数方程及其意义。
椭圆的简单几何性质教学教案
椭圆的简单几何性质教学教案一、教学目标1. 知识与技能：使学生掌握椭圆的定义，理解椭圆的基本几何性质，如焦点、半长轴、半短轴等概念；2. 过程与方法：通过观察、分析、归纳等方法，让学生发现并证明椭圆的几何性质；3. 情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，提高学生分析问题、解决问题的能力。
二、教学内容1. 椭圆的定义：椭圆是平面上到两个定点（焦点）距离之和为定值的点的轨迹。
2. 椭圆的基本几何性质：a. 焦点：椭圆的焦点距离为2c，其中c为半焦距，c^2=a^2-b^2；b. 半长轴：椭圆的半长轴为a，表示椭圆的长轴的一半；c. 半短轴：椭圆的半短轴为b，表示椭圆的短轴的一半；d. 椭圆的面积：S=πab。
三、教学重点与难点1. 教学重点：椭圆的定义及其基本几何性质；2. 教学难点：椭圆的焦点、半长轴、半短轴等概念的理解与应用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生通过观察、分析、归纳等方法发现椭圆的几何性质；2. 利用数形结合法，让学生直观地理解椭圆的定义及其几何性质；3. 运用实例讲解法，让学生掌握椭圆在实际问题中的应用。
五、教学过程1. 导入新课：通过介绍椭圆的起源和发展，激发学生的学习兴趣；2. 讲解椭圆的定义：结合图形，解释椭圆的定义，让学生理解椭圆的概念；3. 探索椭圆的基本几何性质：引导学生观察椭圆的图形，发现焦点、半长轴、半短轴等性质；4. 证明椭圆的几何性质：引导学生运用数学方法证明椭圆的基本几何性质；5. 应用实例：让学生运用椭圆的性质解决实际问题，巩固所学知识。
本教案为椭圆的简单几何性质教学教案的第一部分，后续章节将陆续呈现。
希望能对您的教学有所帮助！六、教学练习1. 基本概念练习：a. 定义椭圆的焦点；b. 解释椭圆的半长轴和半短轴；c. 计算椭圆的面积。
2. 应用题练习：a. 已知椭圆的半长轴为5cm，半短轴为3cm，求椭圆的焦点距离；b. 已知椭圆的面积为36πcm²，半长轴为6cm，求椭圆的半短轴；c. 一个椭圆的焦点在x轴上，半长轴为4cm，半短轴为3cm，求椭圆的标准方程。
高中数学选修1,1《椭圆》教案
高中数学选修1,1《椭圆》教案高中数学选修1-1《椭圆》教案【一】一、教材分析(一)教材的地位和作用本节是继直线和圆的方程之后，用坐标法研究曲线和方程的又一次实际演练。
椭圆的学习可以为后面研究双曲线、抛物线提供基本模式和理论基础。
因此这节课有承前启后的作用，是本章和本节的重点内容之一。
(二)教学重点、难点1.教学重点：椭圆的定义及其标准方程2.教学难点：椭圆标准方程的推导(三)三维目标1.知识与技能：掌握椭圆的定义和标准方程，明确焦点、焦距的概念，理解椭圆标准方程的推导。
2.过程与方法：通过引导学生亲自动手尝试画图、发现椭圆的形成过程进而归纳出椭圆的定义，培养学生观察、辨析、类比、归纳问题的能力。
3.情感、态度、价值观：通过主动探究、合作学习，相互交流，对知识的归纳总结，让学生感受探索的乐趣与成功的喜悦，增强学生学习的信心。
二、教学方法和手段采用启发式教学，在课堂教学中坚持以教师为主导，学生为主体，思维训练为主线，能力培养为主攻的原则。
“授人以鱼，不如授人以渔。
”要求学生动手实验，自主探究，合作交流，抽象出椭圆定义，并用坐标法探究椭圆的标准方程，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程。
三、教学程序1.创设情境，认识椭圆：通过实验探究，认识椭圆，引出本节课的教学内容，激发了学生的求知欲。
2.画椭圆：通过画图给学生一个动手操作，合作学习的机会，从而调动学生的学习兴趣。
3.教师演示：通过多媒体演示，再加上数据的变化，使学生更能理性地理解椭圆的形成过程。
4.椭圆定义：注意定义中的三个条件，使学生更好地把握定义。
5.推导方程：教师引导学生化简，突破难点，得到焦点在x轴上的椭圆的标准方程，利用学生手中的图形得到焦点在y轴上的椭圆的标准方程，并且对椭圆的标准方程进行了再认识。
6.例题讲解：通过例题规范学生的解题过程。
7.巩固练习：以多种题型巩固本节课的教学内容。
8.归纳小结：通过小结，使学生对所学的知识有一个完整的体系，突出重点，抓住关键，培养学生的概括能力。
椭圆的简单几何性质教案
椭圆的简单几何性质教案教学目标：1. 理解椭圆的定义及基本性质；2. 掌握椭圆的长轴、短轴、焦距等基本概念；3. 学会运用椭圆的性质解决实际问题。
教学重点：1. 椭圆的定义及基本性质；2. 椭圆的长轴、短轴、焦距等基本概念。
教学难点：1. 椭圆性质的应用。
教学准备：1. 教师准备PPT、黑板、粉笔等教学工具；2. 学生准备笔记本、文具等学习用品。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾圆的性质，复习相关概念；2. 提问：圆的性质在椭圆上是否适用？引出椭圆的定义及性质。
二、新课讲解（15分钟）1. 讲解椭圆的定义：椭圆是平面上到两个定点（焦点）距离之和为定值的点的轨迹；2. 介绍椭圆的基本性质：椭圆的长轴、短轴、焦距等；3. 举例说明椭圆性质的应用，如：椭圆的离心率、焦距与半长轴、半短轴的关系等。
三、课堂练习（10分钟）1. 布置练习题，让学生运用椭圆性质解决问题；2. 引导学生互相讨论，共同解答；3. 教师巡回指导，解答学生疑问。
四、课堂小结（5分钟）1. 回顾本节课所学内容，总结椭圆的定义及基本性质；2. 强调椭圆性质在实际问题中的应用。
五、作业布置（5分钟）1. 布置课后作业，巩固所学知识；2. 提醒学生做好作业，为下一节课做好准备。
教学反思：本节课通过讲解椭圆的定义及基本性质，让学生掌握椭圆的长轴、短轴、焦距等概念，并学会运用椭圆性质解决实际问题。
在教学过程中，注意引导学生回顾旧知识，为新知识的学习打下基础；通过课堂练习，让学生巩固所学知识，提高解题能力。
六、案例分析：椭圆在现实世界中的应用（15分钟）1. 教师通过展示实际案例，如行星运动、卫星轨道等，让学生了解椭圆在现实世界中的应用；2. 引导学生分析案例中椭圆的性质，如离心率、长轴、短轴等；3. 让学生探讨椭圆在这些案例中的作用和意义。
七、拓展知识：椭圆的衍生形状（15分钟）1. 介绍椭圆的衍生形状，如双曲线、抛物线等；2. 分析这些形状与椭圆的关系，让学生了解它们之间的联系和区别；3. 举例说明这些形状在实际问题中的应用。
北师大版高中数学选修1-1椭圆的简单几何性质教案
圆的简单几何性质（第一课时）（一）教学目标掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率这四个几何性质，掌握标准方程中、以及、的几何意义，、、、之间的相互关系，明确怎样用代数的方法研究曲线的几何性质．（二）教学过程【复习引入】由学生口述，教师板书：问题1．椭圆的标准方程是怎样的？问题2．在直角坐标系内，关于轴、轴、原点对称的点的坐标之间有什么关系？【探索研究】1．椭圆的几何性质根据曲线的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形，是解析几何的基本问题之一．根据曲线的条件列出方程．如果说是解析几何的手段，那么根据曲线的方程研究曲线的性质、画图、就可以说是解析几何的目的．下面我们根据椭圆的标准方程来研究椭圆的几何性质．（1）范围引导学生从标准方程，得出不等式，，即，．这说明椭圆的直线和直线所围成的矩形里（如图），注意结合图形讲解，并指出描点画图时，就不能取范围以外的点．（2）对称性先让学生阅读教材中椭圆的几何性质2．设问：为什么“把换成，或把换，或把、同时换成、时，方程解不变．则图形关于轴、轴或原点对称”呢？事实上，在曲线方程里，如果把换成，而方程不变，那么当点在曲线上时，点关于轴的对称点也在曲线上，所以曲线关于轴对称．类似地可以证明其他两个命题．同时应向学生指出：如果曲线具有关于轴对称，关于轴对称和关于原点对称中的任意两种，那么它一定具有另一种对称．最后强调：轴、轴是椭圆的对称轴．原点是椭圆的对称中心即椭圆中心．进而说明椭圆的中心是焦点连线的中点，对称轴是焦点的连线及其中垂线与坐标系无关．因而是曲线的固有性质．（3）顶点引导学生从椭圆的标准方程分析它与轴、轴的交点，只须令得，点、是椭圆与轴的两个交点；令得，点、是椭圆与轴的两个交点．应该强调：椭圆有四个顶点、、、．同时还需指出：（1°）线段和分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于和；（2°）、的几何意义：是椭圆长半轴的长，是椭圆短半轴的长．（3°）椭圆的顶点即是椭圆与对称轴的交点，一般二次曲线的顶点即是曲线与其对称轴的交点．这时教师可作如下小结：由椭圆的范围，对称性和顶点，再进行描点画图，只须描出较少的点，就可以得到较正确的图形．（4）离心率由于离心率的概念比较抽象，教师可直接给出离心率的定义：椭圆的焦距与长轴长的比，叫做椭圆的离心率．先分析离心率的取值范围：∵，∴．再结合图表分析离心率的大小对椭圆形状的影响：（1）当趋近于1时，趋近于，从而越小，因此椭圆越扁平：（2）当趋近于0时，趋近于0，从而趋近于，因此椭圆越接近于圆．【例题分析】例1 求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它的图形．分析：只要化为椭圆的标准方程即可求解．解：把已知方程化成标准方程是这里，，∴．因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是和，离心率，两个焦点分别是和，椭圆的四个顶点是、、、．（前一部分请一位学生板演，教师予以纠正，后一部分教师讲解，以引起学生重视．）步骤如下：①列表：将已知方程变形为，根据，在的范围内算出几个点的坐标．②描点作图：先描点画出椭圆在第一象限内的图形，再利用椭圆的对称性就可以画出整个椭圆（如图）．例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程（1）经过点，；（2）长轴长等于20，离心率等于．解：由椭圆的几何性质可知，、分别是椭圆长轴和短轴的一个端点，于是得，．又因为长轴在轴上，所以所求椭圆的标准方程为．（2）由已知得，∴，∴．由于椭圆的焦点可能在轴上，也可能在轴上，所以所求椭圆的标准方程为或．（三）随堂练习（四）总结提炼，，轴、，<, /SUB>，（五）布置作业（六）板书设计一）教学目标进一步掌握椭圆的几何性质，掌握椭圆的第二定义，能应用椭圆的第二定义解决椭圆的有关问题，明确椭圆的第一定义与椭圆的第二定义是等价的，可以互相推出．（二）教学过程【复习引入】前一节学习了椭圆的几何性质，哪一位同学回答：问题1．椭圆有哪些几何性质？问题2．什么叫做椭圆的离心率？以上两个问题学生的回答应该不会有大的问题．教师可进一步提出问题：离心率的几何意义是什么呢？让我们先来看一个问题．点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数（），求点的轨迹．【探索研究】椭圆的第二定义．（按求轨迹方程的步骤，学生回答，教师板演．）解：设是点直线的距离，根据题意，如图所求轨迹就是集合由此得．将上式两边平方，并化简得设，就可化成这是椭圆的标准方程，所以点的轨迹是长轴长为，短轴长为的椭圆．由此可知，当点与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数时，这个点的轨迹是椭圆，一般称为椭圆的第二定义，定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数是椭圆的离心率．对于椭圆，相应于焦点的准线方程是．根据椭圆的对称性，相应于焦点的准线方程是，所以椭圆有两条准线．可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线距离的比，这就是离心率的几何意义．至此教师可列出下表，由学生归纳．、、、、【例题分析】例1 求椭圆的长轴与短轴的长、焦点坐标、顶点坐标、离心率和准线方程．可请一位学生演板，教师纠正，答案为，，焦点，顶点，，，准线方程．例2 已知椭圆上一点到其左、右焦点距离的比为1：3，求点到两条准线的距离．可在学生练习后请一位学生回答．解答如下：由椭圆标准方程可知，，∴，．由于，．∴，．设到左准线与右准线的距离分别为与，根据椭圆的第二定义，有∴，．即到左准线的距离为，到右准线的距离为．例3 已知椭圆内有一点，是椭圆的右焦点，在椭圆上有一点，使的值最小，求的坐标．（如图）分析：若设，求出，再计算最小值是很繁的．由于是椭圆上一点到焦点的距离，由此联想到椭圆的第二定义，它与到相应准线的距离有关．故有如下解法．解：设在右准线上的射影为．由椭圆方程可知，，．根据椭圆的第二定义，有即．∴．显然，当、、三点共线时，有最小值．过作准线的垂线．由方程组解得．即的坐标为．（四）总结提炼1．列出椭圆的几何意义．（投影展示上表）．2．通过椭圆的第二定义，可进一步了解椭圆的离心率的几何意义，它反映椭圆的圆扁程度，决定着椭圆的形状．两准线间的距离为是不变量．（五）布置作业（六）板书设计椭圆的简单几何性质（第三课时）（一）教学目标1．能利用椭圆中的基本量 、 、 、熟练地求椭圆的标准方程．2．掌握椭圆的参数方程，会用参数方程解一些简单的问题．（二）教学过程【复习引入】由一位学生回答，教师板书列表或用投影仪给出．问题1．椭圆有哪些几何性质？问题2．确定椭圆的标准方程需要几个条件？通过对椭圆标准方程的讨论，研究了椭圆的几何性质，必须掌握标准方程中 、 和 、的几何意义以及、、、之间的相互关系，这样就可以由椭圆的几何性质确定它的标准方程．【例题分析】例1 求中心在原点，过点，一条准线方程为的椭圆方程．分析：根据准线方程可知椭圆的焦点在轴上，由于思路不同有两种不同的解法，可让学生练习后，教师再归纳小结，解法如下：解法一：设椭圆方程为．∵点在椭圆上∴即①又∵一条准线方程是∴②将①、②代入，得整理得解得或．分别代入①得或．故所求椭圆方程为或．解法二：设椭圆的右焦点为，点到椭圆右准线的距离为，由椭圆的第二定义得，即．①又由准线方程为．②将②代入①，整理得解得或．代入②及得或故所求椭圆的方程为或．例2 如图，以原点心圆心，分别以、为半径作两个圆，点是大圆半径与小圆的交点，过点作，垂足为，过点作，垂足为，求当半径绕点旋转时点的轨迹的参数方程．解：设点的坐标为，是以为始边，为终边的正角．取为参数，那么即这就是所求点的轨迹的参数方程．消去参数后得到，由此可知，点的轨迹是椭圆．点评：这道题还给出了椭圆的一种画法，按照这种方法，在已知椭圆的长、短轴长的情况下，给出离心角的一个值，就可以画出椭圆上的一个对应点，利用几何画板画椭圆都用此法．例3 已知椭圆，（，，为参数）上的点，求：（1）、的取值范围；（2）的取值范围．解：（1）∵，，∴，．∴，为所求范围．（2）∴．（其中为第一象限角，且）．而．∴，即这所求．例4 把参数方程（为参数）．写成普通方程，并求出离心率．解：由参数方程得平方相加得为所求普通方程．∵，，∴．∴椭圆的离心率．（三）随堂练习1．焦点在轴上的椭圆上一点到两准线间的距离之和为36，到两焦点的距离分别为9和15的椭圆的标准方程为______________．2．参数方程（为参数）表示的曲线的焦点坐标是______________．3．椭圆（为参数）的离心率为_________________．答案：1．2．，3．（四）总结提炼1．求曲线方程的基本程序是若已知条件涉及到焦点，准线方程式时，往往利用定义求解较简便．2．椭圆的参数方程（为参数）中，表明、分别是椭圆的长轴、短轴长，且焦点在轴上，参数的几何意义是椭圆的离心角，利用椭圆的参数方程求的最值较方便．（五）布置作业1．已知椭圆中心在原点，一个焦点是，点在椭圆上，则点到与相应准线的距离为（）A．B．C．D．2．椭圆的左焦点为，，是两个顶点，如果到直线的距离等于，那么椭圆的离心率等于（）A． B．C．D．4．椭圆（为参数）的两准线间距离为_______________．5．已知椭圆的一条准线方程是，且过点，求椭圆的标准方程．6．求椭圆的内接矩形面积的最大值．答案：1．A 2．C 3．D 4．5．7．设是椭圆上的任一点，则（为参数）内接矩形面积∴．（六）板书设计椭圆的简单几何性质（第四课时）（一）教学目标1．能推导并掌握椭圆的焦半径公式，能利用焦半径公式解决有关与焦点距离有关的问题．2．能利用椭圆的有关知识解决实际应用问题．3．能综合利用椭圆的有关知识，解决最值问题及参数的取值范围问题．（二）教学过程【复习引入】1．利用投影仪显示椭圆的定义，标准方程及其几何性质（见第二课时）．2．求椭圆上到焦点距离的最大值与最小值．【探索研究】为研究上述问题，可先解决例1，教师出示问题．例1 求证：椭圆上任一点与焦点所连两条线段的长分别为．分析：由距离公式和椭圆定义可以有两种证法，先由一位学生演板，教师最后予以补充．证法一：设椭圆的左、右焦点分别为．，则∵，∴．∴．又，∴故得证．证法二：设到左右准线的距离分别为，，由椭圆的第二定义有，又，∴．又，∴．故得证．说明：、叫做椭圆的焦半径．利用焦半径公式在椭圆的有关计算、证明中，能大大简化相应的计算．至此可解决开始提出的问题．∵，，∴，．∴．即椭圆上焦点的距离最大值为，最小值为，最大值与最小值点即是椭圆长轴上的顶点．例2 如图，我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地心（地球中心）为一个焦点的椭圆．已知它们近地点（离地面最近的点）距地面439，远地点（离地面最）距地面2384，并且、、在同一条直线上，地球半径约6371，求卫星运行的轨道方程（精确到1）．分析：这是一个介绍椭圆在航天领域应用的例子，关键是理解近地点和远地点与椭圆的关系．由于数字大，计算较繁，可教师讲解．解：如图，建立直角坐标系，使点、、在轴上，为椭圆的右焦点（记为左焦点）．因为椭圆的焦点在轴上，所以设它的方程为则解得∴．因此，卫星的轨道方程是．点评：由例1可知椭圆上到焦点的距离的最大和最小的点，恰是椭圆长轴的两个端点，因而可知所有卫星的近地点、远地点、及轨道的焦点都在同一直线上．例3 已知点在圆上移动，点在椭圆上移动，求的最大值．分析：要求的最大值，只要考虑圆心到椭圆上的点的距离，而椭圆上的点是有范围的．可在教师指导下学生完成，解答如下：设椭圆上一点，又，于是．而∴当时，有最大值5．故的最大值为6．点评：椭圆中的最值问题常转化为二次函数在闭区间上的最值问题．例4 已知椭圆与轴的正半轴交于点，是原点．若椭圆上存在一点，使，求椭圆离心率的取值范围．分析：依题意点的横坐标，找到与、的关系式．教师讲解为好．解：设的坐标为，由，有于是下面方程组的解为的坐标消去整理得．解得或．即为椭圆的右顶点∴即．即，而，故．（三）随堂练习1．如图在中，，，则以为焦点，、分别是长、短轴端点的椭圆方程是______________．2．设椭圆上动点到定点的距离最小值为1，求的值．答案：1．2．（四）总结提炼椭圆的焦半径是椭圆的基础问题，在解题中有其独特的作用，椭圆的范围在解决椭圆的元素的范围及与其有关的最大值（最小值）问题时是很有效的方法．（五）布置作业1．椭圆短半轴的长为1，离心率的最大值是，则长半轴长的取值范围是___________．2．若椭圆两焦点为，，在椭圆上，且的最大面积是12，则椭圆方程是_______________．3．已知是椭圆的一个焦点，是过其中心的一条弦，记，则面积的最大值是（）A．B．C．D．4．已知是椭圆上的任意一点，以过的一条焦半径为直径作圆，以椭圆长轴为直径作圆，则圆与圆的位置关系是（）A．内切B．内含C．相交D．相离5．设是椭圆上的任一点，求点到椭圆两焦点、距离之积的最大值与最大值，并求取得最大值与最小值时点的坐标．6．设椭圆的中心是坐标原点，长轴在轴上，离心率，已知点到这个椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆方程，并求椭圆上到点的距离等于的点的坐标．答案：1．2．3．D 4．A5．设则，∵∴当即或时，最大，最大值为．当即或时，最小，最小值为．6．设所求椭圆方程是依题意可得，其中如果，则当时，有最大值，即．由此得，与矛盾．因此必有成立，于是当时，有最大值，即．由此得，，故所求椭圆方程为．由代入椭圆方程得点和到点的距离都是．注：本题也可设椭圆的参数方程是，其中，，利用三角函数求解．（六）板书设计。
椭圆的简单几何性质教学教案
椭圆的简单几何性质教学教案第一章：椭圆的定义与标准方程1.1 椭圆的定义引入椭圆的概念，通过实际物体（如地球、月球绕太阳的运动）来让学生理解椭圆的形状。
解释椭圆是由一个固定点（焦点）和到该点距离之和等于常数的点的集合所形成的图形。
1.2 椭圆的标准方程推导椭圆的标准方程，即x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴。
解释方程中a和b的含义，以及它们与椭圆的性质之间的关系。
第二章：椭圆的长轴、短轴和焦距2.1 椭圆的长轴定义椭圆的长轴，即通过椭圆中心并且平行于x轴的轴。
解释长轴的长度是2a，与椭圆的半长轴a的关系。
2.2 椭圆的短轴定义椭圆的短轴，即通过椭圆中心并且垂直于x轴的轴。
解释短轴的长度是2b，与椭圆的半短轴b的关系。
2.3 椭圆的焦距定义椭圆的焦距，即焦点之间的距离。
解释焦距与椭圆的长轴和短轴的关系，即焦距等于2c，其中c是焦点到椭圆中心的距离。
第三章：椭圆的面积3.1 椭圆的面积公式推导椭圆的面积公式，即A = πab，其中a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴。
解释面积公式中π的作用和意义。
3.2 椭圆的面积性质解释椭圆的面积与长轴和短轴的关系，即面积与长轴和短轴的乘积成正比。
举例说明椭圆面积的计算方法，并进行实际计算练习。
第四章：椭圆的离心率4.1 椭圆的离心率定义定义椭圆的离心率e，即焦距与长轴之间的比值，e = c/a。
解释离心率的作用和意义，以及它与椭圆的形状之间的关系。
4.2 椭圆的离心率性质解释离心率与椭圆的长轴和短轴的关系，即离心率越小，椭圆越接近于圆形。
举例说明椭圆离心率的计算方法，并进行实际计算练习。
第五章：椭圆的焦点和直线的交点5.1 椭圆的焦点定义椭圆的焦点，即椭圆上到焦点距离之和等于常数的点。
解释焦点的性质，以及它们与椭圆的中心和长轴之间的关系。
5.2 椭圆与直线的交点解释椭圆与直线的位置关系，以及交点的性质。
举例说明椭圆与直线交点的计算方法，并进行实际计算练习。
椭圆的简单几何性质教案
一、教案基本信息椭圆的简单几何性质教案课时安排：1课时教学目标：1. 让学生掌握椭圆的定义及基本性质。
2. 培养学生运用几何知识分析问题、解决问题的能力。
3. 引导学生发现椭圆在实际生活中的应用，培养学生的学习兴趣。
教学内容：1. 椭圆的定义2. 椭圆的基本性质3. 椭圆的标准方程4. 椭圆的焦点与离心率5. 椭圆的参数方程二、教学过程1. 导入：利用多媒体展示一些生活中的椭圆形状的物体，如地球、月球、鸡蛋等，引导学生发现椭圆在生活中的广泛存在。
2. 知识讲解：1. 讲解椭圆的定义：椭圆是平面上到两个定点（焦点）距离之和为定值的点的轨迹。
2. 讲解椭圆的基本性质：（1）椭圆的两个焦点在椭圆的长轴上，且长轴长度为2a。
（2）椭圆的短轴长度为2b。
（3）椭圆的离心率e=c/a，其中c为焦距，a为半长轴，b为半短轴。
（4）椭圆的面积S=πab。
3. 讲解椭圆的标准方程：椭圆的标准方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1。
4. 讲解椭圆的参数方程：椭圆的参数方程为x=acosθ，y=bsinθ。
3. 案例分析：给出一个实际问题，如求解椭圆上一点到两焦点的距离之和。
引导学生运用椭圆的性质解决问题。
4. 课堂练习：布置一些有关椭圆性质的练习题，让学生课后巩固所学知识。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调椭圆的基本性质及应用。
三、课后作业1. 复习椭圆的定义及基本性质。
2. 练习椭圆的标准方程和参数方程的转化。
3. 寻找生活中的椭圆形状物体，了解椭圆在实际中的应用。
四、教学反思本节课结束后，教师应认真反思教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略，以提高学生对椭圆知识的理解和运用能力。
五、教学评价通过课堂讲解、练习和课后作业，评价学生对椭圆定义、基本性质、标准方程和参数方程的掌握程度，以及运用椭圆知识解决实际问题的能力。
六、教学活动设计1. 互动提问：在上一节课中，我们学习了椭圆的定义及基本性质，谁能简要回顾一下椭圆的定义是什么？2. 小组讨论：请同学们分成小组，讨论如何运用椭圆的性质解决实际问题。
椭圆的简单几何性质(教案)精选全文
可编辑修改精选全文完整版椭圆的简单几何性质单县教研室 周启杰一、教学目标知识与技能：掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率这四个几何性质，掌握标准方程中 以及 的几何意义， 之 间的相互关系。
过程与方法：用代数的方法研究曲线的几何性质．情感、态度、价值观：通过用代数的方法研究曲线的几何性质，让学生充分认识 、 体会数与形的联系与统一，认识椭圆的美学价值和应用价值 。
二、教学重点椭圆的简单几何性质：椭圆的范围、对称性、顶点、离心率。
三、教学难点利用椭圆的方程研究椭圆的几何性质.四、教学过程【课前自主复习】中椭圆的有关知识； 2.复习必修2第二章第11页---12页上头的内容，及必修2第三章的有关知识:与直线 平行的直线方程可写为两平行直线 间的距离为 。
【课内探究】1、出示学习目标：椭圆的几何性质学习方法：利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质。
2. 直观感知：观察椭圆的形状，你能 从图上看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆哪些点比较特殊？3．椭圆的几何性质下面我们根据椭圆的标准方程来研究椭圆的几何性质．（1）范围对观察结果，引导学生从标准方程 ，得出不等式 ， ，即，．yxo++=0Ax By C 11:++=0l Ax By C 22:++=0l Ax By C（引导学生由等式向不定式转化，克服难点） 这说明椭圆位于直线 和直线b y ±= 所围成的矩形框里．(2）对称性可以看出，椭圆关于 轴对称，关于 轴对称，关于原点对称。
在中，以代 ， 以代，或以代 ，同时以 代，方程解不变．说明椭圆上的任一点关于 轴的对称点，关于 轴的对称点，关于原点的对称点也在椭圆上，故椭圆关于 轴对称。
同理关于 轴对称，关于原点对称。
轴、 轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心。
椭圆的对称中心叫做椭 圆的中心． （3）顶点引导学生从椭圆的标准方程 分析它与 轴、轴的交点，只须令得，说明()()b B b B ,0,,021- 是椭圆与轴的两个交点。
2.1.2椭圆的简单性质 教案(高中数学选修1-1北师大版)
1．2椭圆的简单性质●三维目标1．知识与技能：掌握椭圆的简单几何性质，并能利用它们解决简单的问题．2．过程与方法：进一步体会数形结合的思想，掌握利用方程研究曲线性质的基本方法．3．情感、态度与价值观：感受解析法研究问题的思想，感知椭圆曲线的对称美，培养学生的学习兴趣．●重点难点重点：椭圆的简单性质．难点：性质的应用．教学时要抓知识选择的切入点，从学生原有的认识水平和所需知识特点入手，引导学生从椭圆标准方程、定义，不断地观察分析总结椭圆的简单性质．通过例题与练习进一步深化其性质的应用．●教学建议本节内容安排在椭圆及其标准方程之后，是对椭圆的进一步认识和完善，教学时先引导学生分析得出如下结论：变量x，y的取值范围 曲线的范围；方程的对称性 曲线的对称性；x＝0或y＝0时方程的解 曲线的顶点；待证数a，b，c 曲线的几何形状．引导学生观察、分析、归纳认识椭圆的简单性质．●教学流程创设问题情境，提出问题 通过回答问题，认识、理解椭圆的简单性质通过例1及互动探究，使学生掌握由椭圆标准方程求其简单性质 通过例2及变式训练，使学生掌握椭圆性质的简单应用 完成例3及变式训练，使学生掌握椭圆离心率的求法 归纳整理，进行课堂小结，从整体认识所学知识完成当堂双基达标，巩固所学知识中国第一颗探月卫星——“嫦娥一号”发射后，首先进入一个椭圆形地球同步轨道，在第16小时时它的轨迹是：近地点200 km ，远地点5 100 km 的椭圆，地球半径约为6 371 km.此时椭圆的长轴长是多少？此时椭圆的离心率为多少？ 【提示】 ⎩⎨⎧a －c ＝6 371＋200，a ＋c ＝6 371＋5 100，∴2a ＝18 042 km ，a ＝9 021，c ＝2 450，∴e ＝ca ＝0.271 6. 1.当椭圆的离心率越接近于1，则椭圆越扁；当椭圆的离心率越接近于0，则椭圆越接近于圆．求椭圆x16＋y9＝1的长轴长、短轴长和离心率、焦点和顶点的坐标，并画出椭圆的草图．【思路探究】由方程求a，b――→根据c2＝a2－b2求c―→求2a，2b，e的值及焦点、顶点坐标――→根据顶点对称性画草图【自主解答】 由方程x 216＋y 29＝1，知a 2＝16，b 2＝9， ∴a ＝4，b ＝3，c ＝a 2－b 2＝16－9＝7.∴长轴长2a ＝8，短轴长2b ＝6，离心率e ＝c a ＝74，焦点F 1(－7，0)，F 2(7，0)，顶点A 1(－4，0)，A 2(4，0)，B 1(0，－3)，B 2(0，3)，画出四个顶点，结合对称性，可画出椭圆的草图，如图所示．1. 本题中长轴长(2a )和长半轴长(a )，短轴长(2b )和短半轴长(b )易混淆．2. 已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式的先化成标准形式，再确定焦点的位置，焦点位置不确定的要分类讨论．本例中，若椭圆方程改为x 216＋k ＋y 29＋k ＝1，则椭圆的焦点坐标是否发生变化？【解】 ∵16＋k >9＋k ，∴椭圆的焦点仍在x 轴上并且a 2＝16＋k ，b 2＝9＋k ，∴c 2＝(16＋k )－(9＋k )＝7，∴焦点坐标仍为(－7，0)，(7，0)． 即椭圆的焦点坐标不变．(1)椭圆过(3，0)，离心率e ＝63；(2)已知椭圆的对称轴是坐标轴，O 为坐标原点，F 是一个焦点，A 是一个顶点，若椭圆的长轴长是6且cos ∠OF A ＝23.。
椭圆的简单几何性质教学教案
椭圆的简单几何性质教学教案第一章：椭圆的定义与基本性质1.1 椭圆的定义引入椭圆的概念，通过实际例子让学生感受椭圆的形状，如地球、月球绕太阳的运动轨迹等。
引导学生思考椭圆与圆的区别和联系，明确椭圆是平面上到两个固定点距离之和为常数的点的轨迹。
1.2 椭圆的基本性质引导学生探究椭圆的长轴、短轴、焦距等基本几何参数，并了解它们之间的关系。
引导学生通过画图或利用几何软件验证椭圆的离心率与焦距的关系。
第二章：椭圆的弧长与面积2.1 椭圆的弧长引导学生利用椭圆的参数方程或积分方法计算椭圆上任意弧长的公式。
通过实际例子，让学生了解椭圆弧长公式的应用，如计算椭圆上的某个角度对应的弧长。
2.2 椭圆的面积引导学生利用椭圆的参数方程或积分方法计算椭圆的面积公式。
通过实际例子，让学生了解椭圆面积公式的应用，如计算给定长轴和短轴的椭圆的面积。
第三章：椭圆的焦点与离心率3.1 椭圆的焦点引导学生利用椭圆的定义和基本性质，确定椭圆的焦点位置和数量。
通过实际例子，让学生了解焦点与椭圆的离心率之间的关系。
3.2 椭圆的离心率引导学生利用椭圆的离心率公式，计算给定长轴和短轴的椭圆的离心率。
通过实际例子，让学生了解离心率对椭圆形状的影响，如离心率越大，椭圆越扁平。
第四章：椭圆的直角坐标方程4.1 椭圆的标准方程引导学生利用椭圆的参数方程和基本性质，推导出椭圆的标准方程。
通过实际例子，让学生了解椭圆标准方程的应用，如给定长轴和短轴，求椭圆的方程。
4.2 椭圆的参数方程引导学生利用椭圆的标准方程，推导出椭圆的参数方程。
通过实际例子，让学生了解椭圆参数方程的应用，如求椭圆上任意一点的坐标。
第五章：椭圆的简单几何性质的应用5.1 椭圆的切线与法线引导学生利用椭圆的性质和几何知识，判断给定点是否在椭圆上，并求出相应的切线和法线方程。
通过实际例子，让学生了解切线和法线在解决椭圆问题中的作用。
5.2 椭圆的焦点弦引导学生利用椭圆的性质和几何知识，求解给定两点的焦点弦方程。
椭圆的简单几何性质教案
椭圆的简单几何性质教案教案：椭圆的简单几何性质一、教学目标：1.了解椭圆的定义和基本性质；2.掌握椭圆的离心率与长短轴长度的关系；3.能够判定给定的图形是否为椭圆。
二、教学内容：1.椭圆的定义；2.椭圆的焦点、离心率与长短轴之间的关系；3.如何判定给定的图形是否为椭圆。
三、教学过程：Step 1：导入新知引入椭圆的概念：椭圆是平面上到两个固定点F1和F2的距离之和等于常数2a，且到两个点F1和F2的距离之差的绝对值等于常数2b的点的轨迹。
图示：绘制一个椭圆的图形，并标出其中心O、两个焦点F1、F2、长轴2a和短轴2b。
Step 2：椭圆的性质性质1：椭圆的任意一点到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度，即PF1+PF2=2a。
图示：绘制一个椭圆，任意选取一点P，并测量该点到两个焦点的距离PF1和PF2，证明PF1+PF2=2a。
性质2：椭圆的离心率e与椭圆的长短轴长度之比的平方等于1，即e^2=1-(b^2/a^2)。
图示：绘制一个椭圆，其中心O、两个焦点F1、F2和两个顶点A、B。
测量焦距CP和长轴2a的长度，以及短轴2b的长度，计算离心率e，并验证e^2=1-(b^2/a^2)。
Step 3：判定椭圆的图形给定一组数据，由学生判断该图形是否为椭圆。
示例：数据为横坐标x和纵坐标y的点集合。
图示：将一组数据绘制成一个坐标系，并将数据的散点连线，观察图形是否为椭圆。
Step 4：练习与巩固为学生提供一系列的练习题，巩固椭圆的性质和判定方法。
四、教学资源：1.教学PPT；2.椭圆的示意图；3.测量工具（尺子、量角器）；4.练习题集合。
五、教学评价：1.在教学过程中，引导学生积极参与讨论、思考，并及时给予帮助和指导；2.在练习环节中，及时纠正学生的错误，鼓励他们在做错的题目上找到错误原因并进行改正。
六、教学延伸：1.椭圆的方程：利用椭圆的性质，可以推导出椭圆的标准方程和一般方程；2.椭圆的焦点性质：椭圆的焦点位置与长短轴之间的关系。
人教课标版高中数学选修1-1《椭圆的简单几何性质(第1课时)》教案-新版
2.1.2椭圆的简单几何性质（第1课时）一、教学目标 核心素养发展直观想象、 逻辑推理 、数据分析素养 学习目标（1）掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质. （2）明确椭圆中,,,a b c e 的几何意义，以及,,,a b c e 之间的相互关系. （3）能利用椭圆的几何性质解决椭圆的简单问题. 学习重点利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质 学习难点椭圆离心率的概念的理解及椭圆的几何性质的综合应用 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务 任务1预习教材3739P P - ，思考椭圆上的点,x y 的的取值范围？ 椭圆具有怎样的对称性？与数轴的交点是什么？ 任务2完成41P 的练习5，思考椭圆的扁平程度与那些量有关？ 2．预习自测1. 椭圆22259225x y +=的长轴长、短轴长、离心率依次是（ ） A ．5，3，0.8 B ．10，6，0.8 C ．5，3，0.6D ．10，6，0.6．答案：B解析：椭圆的几何性质2. 椭圆2266x y +=的长轴的端点坐标是（ ） A ．（－1，0）、（1，0）B ．（－6，0）、（6，0）C ．(6,0)-、(6,0)D ．(0,6)-、(0,6)． 答案：D解析：椭圆的几何性质 （二）课堂设计 1.知识回顾（1）椭圆的定义：平面内点M 到两定点12,F F 的距离和为常数，即122MF MF a +=,当122a F F >时，点M 的轨迹是椭圆（2）椭圆的标准方程：焦点在x 轴上的椭圆标准方程为__()222210x y a b a b +=>>__焦点在y 轴上的椭圆标准方程为__()222210y x a b a b+=>>__其中a ，b ，c 的关系为____ 222a b c =+_____.（3）(),P x y 关于原点对称的点()1,P x y --，(),P x y 关于x 轴对称的点()2,P x y -，(),P x y 关于y 轴对称的点()3,P x y - 2．问题探究问题探究一 椭圆的几何性质●活动一 设椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b +=>>，研究椭圆的范围就是研究椭圆上点的横、纵坐标的取值范围．（1）从形的角度看：椭圆位于直线x a =±和y b =±所围成的矩形框里．（2）从数的角度看：利用方程研究，易知222210y x b a =-≥，故221x a ≤，即a x a -≤≤；222210x y a b=-≥故221y b ≤，即b y b -≤≤． ●活动二 （1）从形的角度看：观察椭圆的图形可以发现，椭圆是中心对称图形，也是轴对称图形．（2）从数的角度看：在椭圆方程22221(0)x y a b a b +=>>中以,x y --分别代替,x y ，方程不变，∴椭圆22221(0)x y a b a b +=>>既关于x 轴对称，又关于y 轴对称，从而关于坐标原点对称，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心． ●活动三如图， 椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与它的对称轴共有四个交点，即12,A A 和12,B B ，这四个点叫做椭圆的顶点，线段12,A A 叫做椭圆的长轴，它的长等于2a ；线段12,B B 叫做椭圆的短轴，它的长等于2b.显然，椭圆的两个焦点在它的长轴_上． ●活动四椭圆的焦距与长轴长的比ca叫做椭圆的长轴．用e 表示，即c e a =.(1)离心率的范围：01e <<(2)椭圆离心率的意义：椭圆离心率的变化刻画了椭圆的扁平程度． 当e 越接近于1时，c 越接近于a ，从而22b a c =-越小，因此椭圆越扁 当e 越接近于0时，c 越接近于0，从而22b a c =-越接近于a,因此椭圆越接近于圆；当且仅当a b =时，0c =，这时两个焦点重合，图象变为圆222x y a +=． ★▲问题探究二 椭圆中,,,a b c e 的几何意义，以及,,,a b c e 之间的相互关系 例1.求椭圆222525x y +=的长轴和短轴的长、焦点和顶点坐标． 【知识点：椭圆的几何性质】详解：把原方程化成标准方程：22125y x +=．这里5,1a b ==，所以25126c =-=．因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是210a =和22b =，两个焦点分别是12(0,26),(0,26)F F -，椭圆的四个顶点是1212(0,5),(0,5),(1,0),(1,0)A A B B --． 点拔：解决这类问题关键是将所给方程正确地化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a ，b ，c 之间的关系求椭圆的几何性质．例2.求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)椭圆过点 ()3,0，离心率63e =； (2)在x 轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8. 【知识点：椭圆的几何性质，椭圆的标准方程】 详解： (1)若焦点在x 轴上，则3a =， ∵63c e a ==，2226,963c b a c ∴=∴=-=-=， ∴椭圆的方程为22193x y += 若焦点在y 轴上，则3b =，∵22296113c b e a a a ==-=-=解得 227a =.∴椭圆的方程为221279y x +=综上可知椭圆方程为22193x y +=或221279y x +=. (2)设椭圆的方程为22221(0)x y a b a b +=>>．如图所示，12A FA ∆为等腰直角三角形，OF 为斜边12A A 的中线(高)，且12,2OF c A A b ==2224,32c b a b c ∴==∴=+=，故所求椭圆的方程为2213216x y +=. 点拔：利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，需要解决定位问题和定量问题.定位问题是由顶点、焦点可确定焦点在哪个坐标轴上，不能确定的要分情况讨论.定量问题可由长轴长、离心率、顶点坐标、焦点坐标来确定.利用离心率确定a ，b ，c 时，常用22=1c b e a a=-.例3.已知椭圆的对称轴是坐标轴，O 是坐标原点，F 是一个焦点，A 是一个顶点，若椭圆的长轴长是6，且2cos 3OFA ∠=，求椭圆的方程． 【知识点：椭圆的几何性质，椭圆的标准方程】 详解：∵椭圆的长轴长是6、且2c os 3O FA ∠=，∴点A 不是长轴的端点（是短轴的端点）．∴2, 3.33c OF c AF a ===∴=2222,325c b ∴==-=．∴椭圆的方程是：22195x y +=或22159x y +=． 点拔：△OFA 是椭圆的特征三角形，它的两直角边长分别为b 、c ，斜边的长为a ，∠OFA 的余弦值是椭圆的离心率．问题探究三 利用椭圆的几何性质解决椭圆的简单问题 ●活动一 求椭圆的离心率例4.12,F F 为椭圆的两个焦点，过2F 的直线交椭圆于,P Q 两点，11PF PQ PF PQ ⊥=且，求椭圆的离心率． 【知识点：椭圆的几何性质，椭圆的定义】解析 由题目可获取以下主要信息：①已知椭圆上两点与焦点连线的几何关系．②求椭圆的离心率．解答本题的关键是把已知条件化为,,a b c 之间的关系．详解： 如图所示，设m PF =1，则1,2PQ m FQm ==.由椭圆定义得a QF QF PF PF 22121=+=+. 所以a Q F PQ PF 411=++.即()a m 422=+.所以()a m 224-=.又()a m a PF 22222-=-=.在12Rt PF F ∆中， 2212221F F PF PF =+.即()()222224224222c aa =-+-.所以()222962321,62c e a=-=-=-.点拔：求椭圆的离心率e 的值，即求ca的值，解答这类题目的主要思路是将已知条件转化为,,a b c 之间的关系．如特征三角形中边边关系、椭圆的定义、222c a b =-等关系都与离心率有直接联系，同时，,,a b c 之间是平方关系，所以，在求e 值时，也常先考查它的平方值． ●活动二 椭圆中的最值问题例5.设P 为椭圆22221x y a b+=上任意一点，1F 为它的一个焦点，求1PF 的最大值和最小值．【知识点：椭圆的几何性质，椭圆的定义】详解：设2F 为椭圆的另一焦点，则由椭圆定义得：a PF PF 221=+，122PF PF c -≤Q ，1222c PF PF c ∴-≤-≤，122222a c PF a c ∴-≤≤+，即c a PF c a +≤≤-1，1PF ∴的最大值为c a +，最小值为c a -.点拔：椭圆上到某一焦点的最远点与最近点分别是长轴的两个端点，应掌握这一性质．例6.若AB 为过椭圆22221x y a b+=中心的弦，Fc （，0)为椭圆的右焦点，则AFB ∆ 的面积最大值是多少？【知识点：椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系】 详解：设A 、B 两点的坐标分别为0000(,),(,)x y x y --，则：AFB OFB OFA S S S ∆∆∆=+001122c y c y =⋅⋅+⋅⋅-00122c y c y =⋅⋅=⋅．因为点A 、B 在椭圆22221x y a b+=上，所以点A 00(,)x y 的纵坐标0y 的最大值是0y b =．所以AFB S ∆的最大值为bc ．点拔：此题关键的地方是写出过椭圆中心的弦与椭圆交点的坐标，然后表示出相应面积． 3.课堂总结 【知识梳理】依据椭圆的几何性质填写下表： 标准方程22221(0)x y a b a b +=>> 22221(0)y x a b a b +=>> 图形性质 焦点 12(,0),(,0)F c F c - 12(0,),(0,)F c F c -焦距 ()2212||2F F c c a b ==-()2212||2F F c c a b ==-范围 ,x a y b ≤≤,x b y a ≤≤对称性 关于x 轴 ,y 轴 ,坐标原点对称顶点 (,0),(0,)a b ±±(0,),(,0)a b ±±轴长轴长2a ，短轴长2b【重难点突破】(1)根据曲线的方程，研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形，是解析几何的基本问题之一．本节就是根据椭圆的标准方程来研究它的几何性质．其性质可分为两类：一类是与坐标系无关的本身固有性质，如长短轴长、焦距、离心率；一类是与坐标系有关的性质，如顶点、焦点．(2)通过对椭圆的范围、对称性、特殊点(顶点、焦点、中心)、对称轴及其他特性的讨论从整体上把握曲线的形状、大小和位置，进而掌握椭圆的性质，学习过程中应注意，图形与方程对照、方程与性质对照，通过数形结合的方式探究掌握椭圆的几何性质．(3)根据椭圆几何性质解决实际问题时，关键是将实际问题转化为数学问题，建立数学模型，用代数知识解决几何问题，体现了数形结合思想、函数与方程及等价转化的思想方法． （4）如图所示在2Rt BF O V 中，a c O BF =∠2cos ，记ace =则10<<e ，e 越大，O BF 2∠越小，椭圆越扁；e 越小，O BF 2∠越大，椭圆越圆． 4.随堂检测1．已知点(,)m n 在椭圆228324x y +=，则24m +的取值范围是（ ）A ．423,423⎡⎤-+⎣⎦B ．43,43⎡⎤-+⎣⎦C ．422,422⎡⎤-+⎣⎦D ．42,42⎡⎤-+⎣⎦答案：A离心率()22101c b e e a a==-<<解析：【知识点：椭圆的几何性质】2．椭圆的短轴的一个端点到一个焦点的距离为5，焦点到椭圆中心的距离为3，则椭圆的标准方程是（ ）A ．221169x y +=或221916x y += B ．221259x y +=或221259y x += C ．2212516x y +=或2212516y x +=D ．无法确定 答案：C解析：【知识点：椭圆的标准方程，椭圆的几何性质】3.设椭圆的两个焦点分别为F 1、F 2，过F 1作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为( ) A.22B.212- C ．22- D.12- 答案：D解析：【知识点：椭圆的几何性质】设椭圆方程为()012222>>=+b a by a x 如图，∵)0,(1c F -，∴()P y c P ,-代入椭圆方程得12222=+b y a c P ，∴222a b y P =，∴2121F F a b PF ==，即c ab 22=， 又∵222c a b -=，∴c ac a 222=-，∴0122=-+e e ，又10<<e ，∴12-=e . （三）课后作业 基础型 自在突破1．已知点(,1)A a 在椭圆22142x y +=的内部，则a 的取值范围是（ ） A. 22a -<< B. 22a a <->或 C ．22a -<< D ．11a -<< 答案： A解析：【知识点：椭圆的几何性质】2.若焦点在轴上的椭圆2212x y m+=的离心率为12，则m =（ ） A. 3B.32C ．83D ．23答案：B解析：【知识点：椭圆的几何性质】3． 椭圆221x my +=的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为( ) A. 14B.12C ．2D ．4 答案： A解析：【知识点：椭圆的几何性质】4. 已知椭圆的长轴长8，离心率为32，则椭圆的标准方程为（）Ａ．221 43x y+=B．221163x y+=或221163y x+=C．221 164x y+=D．221164x y+=或221164y x+=答案：D解析：【知识点：椭圆的标准方程，椭圆的几何性质】5．椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则此椭圆的离心率是______．答案：1 2解析：【知识点：椭圆的几何性质】6．椭圆的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，与离它较近的长轴端点的距离为105-，则此椭圆的方程为________________________.答案：222211 105510x y x y+=+=或解析：【知识点：椭圆的标准方程，椭圆的几何性质】能力型师生共研7．椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个正方形的四个顶点，则椭圆离心率为()A. 22B.3 2C.5 3D.63答案：A解析：【知识点：椭圆的几何性质】8.已知22221(0)x y a b a b +=>>的两个定点为()(),0,0,A a B b ，且左焦点为,F FAB ∆是以B 为直角三角形，则椭圆的离心率为（ ）A. 312- B. 512- C. 1+54D.3+14答案：B解析：【知识点：椭圆的几何性质】9. 以椭圆两焦点F 1、F 2所连线段为直径的圆，恰好过短轴两端点，则此椭圆的离心率e 等于__________ 答案：22解析：【知识点：椭圆的几何性质】 10. 求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）与椭圆369422=+y x 有相同的焦距，且离心率为55． （2）长轴长是短轴长的2倍，且经过点()4,2-P ． 答案：见解析解析：【知识点：椭圆的标准方程，椭圆的几何性质】（1）∵椭圆369422=+y x 的标准方程为：14922=+y x ， ∴5492=-=c ，∴该椭圆的焦距522=c ，5=c ．又∵55==a c e ，∴5=a ，252=a ．∴20525222=-=-=c ab ． ∴所求椭圆的方程为：1202522=+y x 或1202522=+x y ． （2）设椭圆的标准方程为12222=+b y a x 或()012222>>=+b a bx a y ，由已知得b a 2=，且椭圆过点()4,2-， ∴1164422=+b b 或1441622=+bb ， 解得172=b ，682=a 或82=b ，322=a ，∴所求的椭圆方程为1176822=+y x 或183222=+x y ． 探究型 多维突破11.已知A 、B 为椭圆C:2211y x m m+=+的长轴的两个端点,P 是椭圆C 上的动点,且APB ∠的最大值是23π,则实数m 的值等于( )A.312+B.312-C.12D.32-答案： C解析：【知识点：椭圆的几何性质】由椭圆性质知,当点P 位于短轴的端点时APB ,∠取得最大值, 则tan 1132m m m+π=⇒=.12. 设P 是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上的一点，F 1，F 2是椭圆的左、右焦点，且∠F 1PF 2＝60°，求椭圆的离心率的取值范围． 答案：见解析解析：【知识点：椭圆的定义，椭圆的几何性质】 解法一：如下图点P 是椭圆上的点，F 1，F 2是椭圆的焦点，由椭圆定义得a PF PF 221=+，① 在△F 1PF 2中，由余弦定理得21260cos 212212221=-+=︒PF PF F F PF PF . 即21222214PF PF c PF PF =-+. 由①得221222142a PF PF PF PF =++， 所以22134b PF PF =⋅②. 由①和②根据基本不等式，得221212⎪⎪⎭⎫⎝⎛+≤⋅PF PF PF PF . 即2234a b ≤，又222c a b -=，故()22234a c a ≤-，解得21≥=a c e . 又1<e ，所以该椭圆的离心率e 的范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,21.解法二：由解法一得出a PF PF 221=+①，22134b PF PF =⋅②. 由①②可知1PF ，2PF 是方程034222=+-b ax x 的两根．则有0344422≥⨯-=∆b a ，即()2222443c a b a -=≥，所以224a c ≥.所以21≥=a c e ，又1<e ，所以该椭圆离心率e 的范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,21.解法三：设点()y x P ,，则ex a PF +=1，ex a PF -=2. 在△F 1PF 2中由余弦定理，得21260cos 212212221=-+=︒PF PF F F PF PF . 化简得222234ea c x -=，又因为a x a <<-. 2222340a e a c <-≤，即1314022<-≤ee ，解得121<≤e ，所以离心率的范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,21. 解法四：设椭圆交y 轴于B 1，B 2两点，则当点P 位于B 1或B 2处时，点P 对两焦点的张角最大，故︒≥∠60211F B F ，则︒≥∠3021F OB . 在Rt △OB 1F 2中2130sin sin 21=︒≥=∠a c F OB ，所以离心率e 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,21. [点评] 本题根据椭圆定义及性质从不同角度应用了四种方法求椭圆离心率的范围，法一应用了基本不等式，法二构造一元二次方程，应用了方程思路，可谓奇思妙解，法三通过焦半径公式搭建起应用x 范围的桥梁，法四应用了极端思想使问题迅速得解，由此可见，在椭圆中建立不等关系的途径或方法还是比较多的，平时解题时需要根据已知条件灵活选择方法，达到快速而又准确地解答题目的目的． 四、自助餐1. 已知点（3，2）在椭圆22221x y a b+=上，则（ ）．A ．点（－3，－2）不在椭圆上B ．点（3，－2）不在椭圆上C ．点（－3，2）在椭圆上D ．无法判断点（－3，－2）、（3，－2）、（－3，2）是否在椭圆上答案：C解析：【知识点：椭圆的几何性质】2.椭圆的焦点在x 轴上，长、短半轴之和为10，焦距为45，则椭圆的标准方程A.221 3616x y+=B.221 1636x y+=C.221 64x y+=D.221 64y x+=答案：A解析：【知识点：椭圆的标准方程，椭圆的几何性质】3．椭圆221259x y+=上点P到右焦点的距离（）．A．最大值为5，最小值为4B．最大值为10，最小值为8C．最大值为10，最小值为6D．最大值为9，最小值为1答案：D解析：【知识点：椭圆的几何性质】点评：若椭圆上的点P到焦点的距离最小，则P点是椭圆的长轴离焦点近的端点，若椭圆上的点P到焦点的距离最大，则P点是椭圆的长轴离焦点远的端点4.中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是（）．A．221 8172x y+=B．221 819x y+=C．221 8145x y+=D．221 8136x y+=解析：【知识点：椭圆的标准方程，几何性质】5．椭圆22194x y k+=+的离心率为45，则k 的值为( )A ．－21B ．21C ．－1925或21D.1925或21 答案：C解析：【知识点：椭圆的几何性质】6.P 点在椭圆22143x y +=上运动，点Q 、R 分别在圆22(1)1x y ++=与22(1)1x y -+=上运动，则PQ PR +的最大值是（ ） A ．4 B ．6C ．27D ．523+ 答案：B解析：【知识点：椭圆的几何性质，圆的性质】7. 已知P 是以12,F F 为焦点的椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上的一点，若121210,tan 2PF PF PF F ⋅=∠=u u u r u u u u r ，则此椭圆的离心率为________．解析：【知识点：椭圆的几何性质】 答案：538.已知1F ，2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ⋅=的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是_____________．答案：⎪⎪⎭⎫⎝⎛22,0 解析：【知识点：椭圆的几何性质】9．椭圆22221(0)x y a b a b +=>> 的离心率为512e -=，A 是左顶点，F 是右焦点，B 是短轴的一个端点，则ABF ∠等于_____________． 答案：90︒解析：【知识点：椭圆的几何性质】10．如图所示，12,F F 分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M 的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的23，求椭圆的离心率．答案：见解析解析：【知识点：椭圆的几何性质】设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a 、b 、c ，可得焦点为()0,1c F -、()0,2c F ，点M 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛b c 32,，∵Rt △MF 1F 2中，221MF F F ⊥， ∴2122221MF MF F F =+，即2122944MF b c =+， 根据椭圆的定义得a MF MF 221=+， 可得()222213222⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=b a MF a MF ，∴222944322b c b a +=⎪⎭⎫ ⎝⎛-，整理得ab a c 384422-=，可得()ab c a 2322=-，所以ab b 232=，解得a b 32=， ∴a b a c 3522=-=，因此可得35==a c e ，即该椭圆的离心率等于35． 11. 动点M 到一个定点()0,c F 的距离和它到一条定直线c a x l 2:=的距离比是常数()10<<=e ace ，求动点M 的轨迹方程． 答案：见解析解析：【知识点：椭圆的定义】 设()y x M ,，由题意得()ac ca x y c x =-+-222， ()()22222222c a a y a x c a-=+-，令222b c a =-，方程化为22221(0)x y a b a b +=>>∴所求动点的轨迹方程为22221(0)x y a b a b+=>> .12. P 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>> 上异于长轴端点的任一点，1F 、2F 是椭圆的两个焦点，若12PF F α∠=，21PF F β∠=，求证：椭圆的离心率sin()sin sin e αβαβ+=+．答案：见解析解析：【知识点：椭圆的定义，标准方程，椭圆的几何性质】 证明：在△12PF F 中，由正弦定理，得：1212sin sin sin[180()]PF PF F F βααβ==-+．由等比定理得1212sin sin sin()PF PF F F βααβ+=++，即：22sin sin sin()a cβααβ=++．∴sin()sin sin c e a αβαβ+==+．。
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(选修1-1)《椭圆的简单性质》教案《椭圆的简单性质》教案教学目的：1．熟练掌握椭圆的范围，对称性，顶点等简单几何性质。
2．掌握标准方程中,,a b c的几何意义，以及,,,a b c e的相互关系。
3．理解、掌握坐标法中根据曲线的方程研究曲线的几何性质的一般方法。
教学重点：椭圆的几何性质教学难点：如何贯彻数形结合思想，运用曲线方程研究几何性质授课类型：新授课。
课时安排：1课时。
教具：多媒体、实物投影仪。
内容分析：根据曲线的方程，研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形，是解析几何的基本问题之一，根据曲线的条件列出方程，如果说是解析几何的手段，那么根据曲线的方程研究它的性质、画图就是解析几何的目的。
怎样用代数的方法来研究曲线原性质呢？本节内容为系统地按照方程来研究曲线的几何性质提供了一个范例，因此，本节内容在解析几何中占有非常重要的地位。
通过本节的学习，使学生掌握应从哪些方面来讨论一般曲线的几何性质，从而对曲线的方程和方程的曲线彼此之间的相辅相成的辩证关系，对解析几何的基本思想有更深的了解。
通过对椭圆几种画法的学习，能深化对椭圆定义的认识，提高画图能力；通过几何性质的简单的应用，了解到如何应用几何性质去解决实际问题，提高学生用数学知识解决实际问题的能力。
本节内容的重点是椭圆的几何性质――范围、对称性、顶点、离心率、准线方程；根据方程研究曲线的几何性质的思路与方法；椭圆的几种画法。
难点是椭圆的离心率、准线方程及椭圆的第二定义的理解，关键是掌握椭圆的标准方程与椭圆图形的对应关系，理解关掌握两种椭圆的定义的等价性。
根据教学大纲的安排，本节内容分4个课时进行教学，本节内容的课时分配作如下设计：第一课时，椭圆的范围、对称性、顶点坐标、离心率、椭圆的画法；第二课时，椭圆的第二定义、椭圆的准线方程；第三课时，焦半径公式与椭圆的标准方程；第四课时，椭圆的参数方程及应用。
教学过程：一、复习引入：1．椭圆定义：在平面内，到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间的距离）的动点的轨迹。
2．标准方程：22221x y a b +=，22221y x a b+= （0>>b a ）3．问题：（1）椭圆曲线的几何意义是什么？（2）“范围”是方程中变量的取值范围，是曲线所在的位置的范围，椭圆的标准方程中的y x ,取值范围是什么？其图形位置是怎样的？（3）标准形式的方程所表示的椭圆，其对称性是怎样的？（4）椭圆的顶点是怎样的点？椭圆的长轴与短轴是怎样定义的？长轴长、短轴长各是多少？c b a ,,的几何意义各是什么？（5）椭圆的离心率是怎样定义的？用什么来表示？它的范围如何？在这个范围内，它的变化对椭圆有什么影响？（6）画椭圆草图的方法是怎样的？ 二、讲解新课：由椭圆方程12222=+by a x (0>>b a ) 研究椭圆的性质.(利用方程研究,说明结论与由图形观察一致)(1)范围:从标准方程得出122≤a x ,122≤by ,即有QB 2B 1A 2A 1P F 2F 1P ′P ″xOya x a ≤≤-,b y b ≤≤-，可知椭圆落在b y a x ±=±=,组成的矩形中．(2)对称性:把方程中的x 换成x -方程不变，图象关于y 轴对称．y 换成y -方程不变，图象关于x 轴对称．把y x ,同时换成y x --,方程也不变，图象关于原点对称．如果曲线具有关于x 轴对称，关于y 轴对称和关于原点对称中的任意两种，则它一定具有第三种对称原点叫椭圆的对称中心，简称中心．x 轴、y 轴叫椭圆的对称轴．从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，对称的截距(3)顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点在椭圆12222=+b y a x 的方程里，令0=y 得a x ±=，因此椭圆和x 轴有两个交点)0,(),0,(2a A a A -，它们是椭圆12222=+by a x 的顶点令0=x ，得b y ±=，因此椭圆和y 轴有两个交),0(),,0(2b B b B -，它们也是椭圆12222=+by a x 的顶点 因此椭圆共有四个顶点： )0,(),0,(2a A a A -，),0(),,0(2b B b B - 加两焦点)0,(),0,(21c F c F -共有六个特殊点.21A A 叫椭圆的长轴，21B B 叫椭圆的短轴．长分别为b a 2,2b a ,分别为椭圆的长半轴长和短半轴长.椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点.至此我们从椭圆的方程中直接可以看出它的范围, 对称性, 顶点．因而只需少量描点就可以较正确的作图了．(4)离心率:发现长轴相等，短轴不同，扁圆程度不同这种扁平性质由什么来决定呢？ 概念：椭圆焦距与长轴长之比 定义式：a c e =⇒2)(1abe -= 范围：10<<e 。
考察椭圆形状与e 的关系：B 2A 2A 1xOy0,0→→c e ，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在0=e 时的特例。
,,1a c e →→椭圆变扁，直至成为极限位置线段21F F ，此时也可认为圆为椭圆在1=e 时的特例。
三、讲解范例：例1 求椭圆400251622=+y x 的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它的图形。
解：把已知方程化成标准方程1452222=+y x所以，345,4,522=-===c b a ，因此，椭圆的长轴的长和短轴的长分别为82,102==b a ，离心率53==a c e ，两个焦点分别为)0,3(),0,3(21F F -，椭圆的四个顶点是)0,5(),0,5(2A A -，4,0(),4,0(2B B -将已知方程变形为22554x y -±=，根据22554x y -=，在50≤≤x 的范围内算出几个点的坐标),(y x ：例2 在同一坐标系中画出下列椭圆的简图：（1）1162522=+y x （2）192522=+y x答：简图如下：例3 分别在两个坐标系中，画出以下椭圆的简图：（1）14922=+y x （2）1364922=+y x答：简图如下：四、课堂练习：1．已知椭圆的一个焦点将长轴分为3:2两段，求其离心率解：由题意，)(:)(c a c a -+=3:2,即2311=-+e e ,解得 5-=e 2．如图，求椭圆12222=+by a x ,(0>>b a )内接正方形ABCD 的面积解 由椭圆和正方形的中心对称性知，正方形BFOE 的面积是所求正方形面积的1/4,且B 点横纵坐标相等，故设B （t t ,),代入椭圆方程求得22222b a ba t +=,即正方形ABCD 2222ba + 五、小结 ：这节课学习了用方程讨论曲线几何性质的思想方法；学习了椭圆的几何性第二课时教学目的：1. 掌握椭圆范围、对称性、顶点、离心率、准线方程等几何性质； 2．理解椭圆第二定义与第一定义的等价性；3．掌握根据曲线方程来研究曲线性质的基本思路与方法；培养学生观察能力，概括能力；提高学生画图能力；提高学生分析问题与解决问题的能力 教学重点：椭圆的第二定义、椭圆的准线方程 教学难点：椭圆第二定义授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：一、复习引入：1．椭圆定义：在平面内，到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间的距离）的2．标准方程：12222=+b y a x ，12222=+b x a y （0>>b a ）3．椭圆的性质：由椭圆方程12222=+by a x (0>>b a )(1)范围:a x a ≤≤-,b y b ≤≤-，椭圆落在b y a x ±=±=,组成的矩形中．(2)对称性:图象关于y 轴对称．图象关于x 轴对称．图象关于原点对称原点叫椭圆的对称中心，简称中心．x 轴、y 轴叫椭圆的对称轴．从椭圆的方程中直接（3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点椭圆和x 轴有两个交点)0,(),0,(2a A a A -，它们是椭圆12222=+by a x 的顶点 椭圆和y 轴有两个交),0(),,0(2b B b B -，它们也是椭圆12222=+by a x 的顶点 因此椭圆共有四个顶点：)0,(),0,(2a A a A -，),0(),,0(2b B b B -加两焦点)0,(),0,(21c F c F -共有六个特殊点.21A A 叫椭圆的长轴，21B B 叫椭圆的短轴．长分别为b a 2,2b a ,分别为椭圆的长半轴长和短半轴长.椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点(4)离心率: 椭圆焦距与长轴长之比a c e =⇒e =0<<e 椭圆形状与e 的关系：0,0→→c e ，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在0=e 时的特例。
,,1a c e →→椭圆变扁，直至成为极限位置线段21F F ，此时也可认为圆为椭圆在1=e 时的特例。
4. 回顾一下焦点在x 轴上的椭圆的标准方程的推导过程：如果对椭圆标准方程推导过程中的关键环节进行适当变形，我们会有新的发现：22)(y c x +-＋22)(y c x ++＝a 2 ⑴⇒)()(222x ca a c x a c a y c x -=-=+-，即acca x y c x =-+-222)( ⑵ 同时还有acca x y c x =--++)()(222 (3) 观察上述三式的结构，说出它们各自的几何意义,从而引出椭圆的第二定义二、讲解新课：1．椭圆的第二定义:一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个)1,0(内常数e ，那么这个点的轨迹叫做椭圆 其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e 就是离心率2．椭圆的准线方程对于12222=+b y a x ，相对于左焦点)0,(1c F -对应着左准线c a x l 21:-=；相对于右焦点)0,(2c F 对应着右准线c x l 22:=对于12222=+bx a y ，相对于下焦点),0(1c F -对应着下准线ca y l 21:-=；相对于上焦点),0(2c F 对应着上准线c y l 22:=准线的位置关系：ca a x 2<≤焦点到准线的距离cb c c a c c a p 2222=-=-=（焦参数） 其上任意点),(y x P 到准线的距离：（分情况讨论）点评：（1）从上面的探索与分析可知，椭圆的第二定义与第一定义是等价的，它是椭（2三、讲解范例：例1 求下列椭圆的准线方程：（1）4422=+y x (2)1811622=+y x 解：⑴方程4422=+y x 可化为 1422=+y x ，是焦点在x 轴上且1,2==b a ，3=c 的椭所以此椭圆的准线方程为 33434=±=x ⑵方程1811622=+y x 是焦点在y 轴上且4,9==b a ，65=c 的椭圆 所以此椭圆的准线方程为 6565816581=±=y例2 椭圆13610022=+y x 上有一点P ，它到椭圆的左准线距离为10，求点P 到椭圆的右焦点的距离解：椭圆13610022=+y x 的离心率为54=e ，根据椭圆的第二定义得，点P 到椭圆的左焦点距离为 10=e再根据椭圆的第一定义得，点P 到椭圆的右焦点的距离为20－8＝12 四、课堂练习：1．求下列椭圆的焦点坐标与准线方程（1）13610022=+y x （2）8222=+y x 答案：⑴焦点坐标)0,8(),0,8(21F F -；准线方程28100=±=x ⑵焦点坐标)2,0(),2,0(21F F -；准线方程28±=±=x 2．已知椭圆的两条准线方程为9±=y ，离心率为31，求此椭圆的标准方程答案：9822=+y x 五、小结 ：本节课学习了椭圆的第二定义，椭圆两种定义是等价的；椭圆的两种类型的上面)()(222x ca a c y a x -=+-（2）即ex a x ca a c y a x -=-=+-)()(222同样（3）也可以这样处理，这是椭圆的焦半径公式六、课后记：本课时背景材料是课本例4，学生解答例4并不困难，但对例4中直线的 本设计通使学生明白两种定利用引导学生去发现定义的教学，调动学生的积极性，加强第三课时教学目的：1. 能推导，掌握椭圆的焦半径公式，并能利用焦半径公式解决有关与焦点距离有关的问题；2．能利用椭圆的有关知识解决实际问题，及综合问题； 3．体会数学形式的简洁美,增强爱国主义观念。