求三角函数值域的方法

求三角函数值域专题

【要点回顾】

1. 涉及正、余弦函数以及())(tan ,sin cos sin 22a b b a b a =++=

+ϕϕθθθ，都能够考虑用三角函数的有界性处理。

2. x x x b x a y 22cos cos sin sin ++=型降次、整理)2sin(22ϕ++=

x B A y ，再利

用三角函数的有界性。

3. 形如=y c x b x a y ++=sin sin 2或c x b x a y ++=sin cos 2的函数求最值时通过适

当变形，再配方来处理。

4. 形如x x x x cos sin ,cos sin ±可考虑用换元法，令,cos sin x x t +=则2

1cos sin 2-=t x x ，化三角问题为代数问题。 5. 形如d x b c x a y ++=cos sin 型函数的最值（万能公式212sin t

t x +=，221cos 1t x t -=+） 6. 形如x a x y +

=型函数的最值 【例题选讲】

1、（1）5)123sin(2+-

-=πx y 的值域是_________，x x y cos sin =22(ππ≤≤-x ）的值域是_________

（2）.函数x x y cos 3sin +=在区间[0,]2

π

上的最小值为 ． 2、（1）函数)(2cos 21cos )(R x x x x f ∈-=的最大值等于_________． （2）当20π

<

π-=<<的最小值． 4、求函数sin cos sin cos y x x x x =⋅++的最大值

5、

已知函数2π()2sin 24f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，． （I ）求()f x 的最大值和最小值；

（II ）若不等式()2f x m -<在ππ42

x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上恒成立，求实数m 的取值范围 6、已知1sin sin 3x y +=

，求2sin cos y x -的最大值与最小值 【实战训练】

1．函数))(6

cos()3sin(2R x x x y ∈+--=π

π的最小值等于___________． 2．已知函数()3sin f x x =，3()sin()2g x x π=-，直线m x =和它们分别交于M ，N ，则=max MN _________．

3．当04x π

<<时，函数22cos ()cos sin sin x f x x x x =-的最小值是_____ _______． 4．函数sin cos 2

x y x =+的最大值为_______，最小值为________. 5.已知(0,)θπ∈

，函数213sin y θθ=

+的最大值是_______. 6．已知函数()2cos (sin cos )1f x x x x x =-+∈R ，．

（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；

（Ⅱ）求函数()f x 在区间π3π84

⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最小值和最大值． 7．若函数)4sin(sin )2sin(22cos 1)(2ππ+++-+=x a x x x

x f 的最大值为32+，试确定常数a

的值.

8．已知函数2()2sin sin 2f x x x =+．

（1）若[0,2]x π∈．求使()f x 为正值的x 的集合；

（2）若关于x 的方程2[()]()0f x f x a ++=在[0,

]4π内有实根，求实数a 的取值范围. 9．已知函数f(x)=3sin(2x －π6)+2sin 2(x －π12) (x ∈R)

(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期 ; (2)求使函数f(x)取得最大值的x 的集合.