20欧氏几何的公理体系
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第二十讲 欧式几何的公理体系与非欧几何 20.1 欧氏几何的公理体系 20.2 非欧几何简介
初 等 数 学 专 题 研 究
20.1 欧氏几何的公理体系 一、欧氏公理体系中的原始概念 1、不加定义的基本元素：点，直线，平面 2、不加定义的基本关系：“在之上”（同义语为 属于、通过）；“在之间”；“合同”； 二、欧氏公理体系中的结合公理Ⅰ（一共8条） Ⅰ1：过两点恒有一线 Ⅰ2：过两点至多有一线 Ⅰ3：一线上至少含两点；至少有三点不共线。 Ⅰ4：过不共线三点恒有一平面；每个平面至少含一点。 Ⅰ5：过不共线三点至多有一平面。 Ⅰ6：有一线有两点在一个平面上，整条直线都在平面上。 Ⅰ7：两平面有一个公共点，则至少还有另一个公共点。 Ⅰ8：至少有四点不共面。
20.1 欧氏几何的公理体系 四、欧氏公理体系中的合同公理III（五条，合同记作≡）
α O Y X O1 X1
初 等
β
Y1
III5：A,B,C是不共线三点,A1,B1,C1也不共线,若AB =A1B1且 AC = A1C1,并且∠BAC = ∠B1A1C1,那么∠ABC = ∠A1B1C1.
A A1
a A
初 等 数 学 专 题 研 究
这条公理又 叫巴士公理
C
B
四、欧氏公理体系中的合同公理Ⅱ（五条，合同记作≡） III1：A,B是直线a上两点，C是直线b上点，给定b上C的一侧， 那么在b上的这一侧，恒有一点D，使得AB≡CD,因线段端点 未分先后，所以也有AB≡DC.
a A B C D b
20.1 欧氏几何的公理体系 四、欧氏公理体系中的合同公理Ⅱ（五条，合同记作≡） III2：若AB≡CD且EF≡CD，那么AB≡EF（传递性）
初 等 数 学 专 题 研 究
20.2 非欧几何简介 二、罗巴切夫斯基几何 下图就是罗巴切夫斯基平面上的一个罗氏三角形，这个三 角形的三边是三条罗氏直线段（半圆的一部分），很显然， 这个曲边三角形三个顶点处的角（顶点处曲线的切线的夹 角）的和小于180度。
初 等 数 学 专 题 研 究
20.2 非欧几何简介 二、罗巴切夫斯基几何
数 学 专 题 研 究
B
C
B1
C1
20.1 欧氏几何的公理体系 五、欧氏公理体系中的平行公理与连续公理 Ⅳ.平行公理：过给定直线外一点，至多有一条直线与该 直线平行。 Ⅴ.连续公理（两条） Ⅴ1 (阿基米德公理)：如果AB，CD是任意两条线段，那么 以A为端点的射线AB上，必有这样有限个点A1,A2,, An，使得AA1≡A1A2≡≡An-1An≡CD, 并且B在An-1与An之 间。
初 等 数 学 专 题 研 究
20.2 非欧几何简介 一、关于平行公理的公案 在两千多年以前，平行公理叫平行公设，欧几里得对平行 公设的叙述要远比现在复杂得多，从公理体系的纯粹性考 虑，许多研究数学的人们总感觉到它似乎不像一个公理， 更像一个定理，就是说，它似乎可以用其它的公理推导出 来。于是从那时起，证明平行公理就成了研究数学的人要 攻克的堡垒。 在古代，反证法似乎不太为人们所接受，因此，人们证明 平行公理总是从正面的角度入手。 但历经两千年，却无一人获得成功。 直到十九世纪三十年代，年轻的俄罗斯数学家罗巴切夫斯 基在这个问题上获得历史性突破。 他摒弃了前人正面证明平行公理的路径，从平行公理的否命 题入手。
初 等 数 学 专 题 研 究
20.1 欧氏几何的公理体系 三、欧氏公理体系中的顺序公理Ⅱ（四条） Ⅱ1：在同一直线上，B在A、C之间，那么B也在C、A之间。 Ⅱ2：过A、B的直线上至少有一点C，使得B在A、C之间。 Ⅱ3：在同一直线上三点，至多有一点在其余两点之间。 Ⅱ4：A,B,C是不共线三点，直线a在平面ABC上但不过这三 点，如果直线过线段AB的内点，则a也必过AC或BC的内点。
初
黎曼几何是用“在同一平面上，过已知直线外一点的所有直 线都与已知直线相交”来代替原来的平行公理。在这套公理 体系下产生的几何叫做黎曼几何。 在黎曼几何里也没有相似形，只有全等形。三角形的内角 和也不是常数180度，而是一个大于于180度的变数，两个 不全等的三角形，它们的内角和也是不一样的。面积越大 的三角形，它的内角和也越大。
专 题 研 究
这个公理实际上就是数学分析中的闭区间套定理的几 始 希 尔 伯 特 公 理 体 系 公 理 念 原始关系 概 原始元素：点、直线、平面 点在直线上 结合关系 点在平面上 顺序关系： 一点介于两点之间 两线段相等 合同关系 两角相等 概 念 理
初 等 数 学 专 题 研 究
20.2 非欧几何简介 四、分形几何 普通几何学研究的对象，一般都具有整数的维数。比如， 零维的点、一维的线、二维的面、三维的立体、乃至四维 的时空。最近十几年的，产生了新兴的分形几何学，空间 具有不一定是整数的维，而存在一个分数维数，这是几何 学的新突破，引起了数学家和自然科学者的极大关注。 1、分形几何的产生 客观自然界中许多事物，具有自相似的“层次”结构， 在理想情况下，甚至具有无穷层次。适当的放大或缩小 几何尺寸，整个结构并不改变。不少复杂的物理现象， 背后就是反映着这类层次结构的分形几何学。
初 等 数 学 专 题 研 究
结合公理I1—I8 顺序公理Ⅱ1—Ⅱ4 合同公理III1——III5 平行公理Ⅴ Ⅴ 连续公理Ⅴ1—Ⅴ2 Ⅴ Ⅴ
20.2 非欧几何简介 一、关于平行公理的公案 在数学的基础领域，人们希望所有的科学体系都能用数学作为 基础和工具，因此，数学就不能受到可科学体系的具体的对象 所制约，就需要形成一个形式化的体系。这样他就需要一些不 加定义的原始概念和不加证明的原始公理为基础来搭建整个数 学科学的体系。为使整个体系完备齐全，而又不臃肿累赘，那 么在基础的公理体系上就需要满足三个要求或三条原则： 纯粹性：所有的公理彼此之间应该是互不关联的（或彼此 独立的），也就是说，公理之间没有依存关系。 无矛盾性：公理与公理之间应该是相容的。也就是说， 由这些公理不能推导出互相矛盾的结论。 完备性：整个体系的所有结论都可以有这些公理推导出来。 简单说来就是不多（纯粹）、不矛盾、够用（完备）。
初 等 数 学 专 题 研 究
20.2 非欧几何简介 四、分形几何 客观事物有它自己的特征长度，要用恰当的尺度去测量。 用尺来测量万里长城，嫌太短；用尺来测量大肠杆菌，又 嫌太长。从而产生了特征长度。 在二十世纪七十年代，法国数学家曼德尔勃罗特在他的著 作中探讨了英国的海岸线有多长？这个问题这依赖于测量 时所使用的尺度 如果用公里作测量单位，从几米到几十米的一些曲折会被 忽略；改用米来做单位，测得的总长度会增加，但是一些 厘米量级以下的就不能反映出来。 数学家柯克从一个正方形的“岛”出发，始终保持面积不变， 把它的“海岸线”变成无限曲线，其长度也不断增加，并趋 向于无穷大。以后可以看到，分维才是“寇赫岛”海岸线的 确切特征量，即海岸线的分维均介于1到2之间。
等 数 学 专 题 研 究
20.2 非欧几何简介 三、黎曼几何 黎曼几何的类比物——黎曼球 我们将欧氏空间的球面看做是黎曼几何的平面，球面上的 大圆叫做黎曼直线。不过，在黎曼几何里，同一个大圆上 过球心的直径的两个端点（称为对径点）要看做一点。我 们知道球面上的任意两个大圆都是相交的，这正好说明 “在同一个黎曼平面上，过已知黎曼直线外的任意一点的 所有黎曼直线都与已知黎曼直线相交。” 在航海中，用欧氏几何就不如用黎曼几何处理方便。 黎曼三角形就是黎曼平面上三个大圆的三对对径点构成 的球面三角形，它的内角和要大于180度，其大小也和面 积成正比。这种三角形的计算，在原来的欧氏几何里是 要用球面三角来计算的。
初 等 数 学 专 题 研 究
20.2 非欧几何简介 一、关于平行公理的公案 如果平行公理真的可以用其它公理推导出来，那么在证明平 行公理的否命题的过程中，一定会导致矛盾产生。 但是，当他把平行公理的否命题加入到没有平行公理的几 何公理体系中去进行推演，推出了许多与欧氏几何不同的 结论出来，而又没有逻辑上的漏洞。这个现实让他意识到， 应该有有别于欧氏几何的几何体系存在。这就是后来人们 命名为的罗巴切夫斯基几何。但这门体系得到人们的认可 是在他去世12年后的1868年。 1868年，意大利数学家贝特拉米发表了一篇著名论文《非欧 几何解释的尝试》，证明非欧几何可以在欧氏空间的曲面上 实现。这就是说，非欧几何命题可以“翻译”成相应的欧氏 几何命题，如果欧氏几何没有矛盾，非欧几何也就自然没有 矛盾。
初 等 数 学 专 题 研 究
20.2 非欧几何简介 二、罗巴切夫斯基几何 平行公理的否命题独立开来有两个：在同一平面上，过已 知直线外一点，至少有两条直线与该直线平行；另一个是 在同一平面上，过已知直线外一点，与该直线平行的直线 一条也没有。 罗巴切夫斯基选择的否命题是第一个，这样将这个命题作 为公理替代平行公理后就得到一门不同于欧氏几何的几何 学——罗巴切夫斯基几何。 在这种几何里没有相似形，只有全等形。三角形的内角和 不是常数180度，而是一个小于180度的变数，也就是说， 两个不全等的三角形，它们的内角和是不一样的。面积越 大的三角形，它的内角和也越大。 第一个在欧氏平面上找到罗巴切夫斯基几何的类比模型的 是法国数学家庞加莱。
初 等 数 学 专 题 研 究
A C
A1 D
A2
An-1 B
An
20.1 欧氏几何的公理体系 五、欧氏公理体系中的平行公理与连续公理 Ⅴ.连续公理（两条） Ⅴ2 (康托公理)：在一条直线上有一个无穷线段的序列：A1B1， A2B2，，AnBn，，在这个序列中，如果每一条线段的端 点都是前面一条线段的内点，并且对于任意线段PQ，总存在一初 等 条线段AkBk，使AkBk<PQ，那么在这条直线上必有唯一的点C， 数 学 使C点属于这个线段序列的所有的线段。
初 等 数 学 专 题 研 究
20.2 非欧几何简介 二、罗巴切夫斯基几何 庞加莱把用一条欧氏直线分平面为两部分中的半平面看做 是罗氏平面，圆心在这条直线上位于这个半平面上的半圆 看做是罗氏直线，当然原先的那条直线也看做是一条罗氏 直线（因为它可以看成是半径为无穷大的半圆），当半圆 的圆心在这条直线上时，定义为代表半圆的直线与这条直 线平行，那么很显然，对于那条把欧氏平面分成两半的直 线来说，直线外的任何一点，一定有无数条圆心在这条直 线上的半圆通过该点。这就是说，过直线外一点，有无数 条“直线”与给定直线“平行”。
31.16° 64.13° 51.15° 内内内 = 146.43°
初 等 数 学 专 题 研 究
罗巴切夫斯基三角形的内角和
20.2 非欧几何简介 三、黎曼几何 随着欧氏几何平行公理第一否命题与其余公理的无矛盾性得 到证明，罗氏几何诞生，引发了对第二否命题对其他公理相 容性的研究。不同于欧氏几何的第三种几何诞生——黎曼几 何。
A B C D E F 初 等 数 学 专 题 研 究
III3：A1B1和B1C1是直线a1上没有公共内点的线段， A2B2和 B2C2是直线a2上没有公共内点的线段，若A1B1≡A2B2且 B 1C1≡B2C2，那么A1C1≡A2C2（线段的叠加）
a1 A1 B1 C1 A2 B2 C2 a2
III4：给定平面α上的角∠XOY，O1X1是平面β上的直线， 给定β上O1X1的一侧，则在这一侧，必有一条以O1为端点 的射线O1Y1, 使∠X1O1Y1= ∠XOY。
初 等 数 学 专 题 研 究
20.2 非欧几何简介 四、分形几何 法国数学家芒德勃罗这位计算机和数学兼通的人物，对分形 几何产生了重大的推动作用。他在1975、1977和1982年先后 用法文和英文出版了三本书，特别是《分形：形、机遇和维 数》以及《自然界中的分形几何学(Fractal Geometry of Nature)》，开创了新的数学分支：分形几何学。“分 形”(fractal)这个词正是芒德勃罗在1975年造出来的，词根是 拉丁文的fractus，是“破碎”的意思。 2、分形几何的内容 形几何学的基本思想是：客观事物具有自相似的层次结构， 局部与整体在形态、功能、信息、时间、空间等方面具有 统计意义上的相似性，成为自相似性。这种自相似的层次 结构，适当的放大或缩小几何尺寸，整个结构不变。
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20.1 欧氏几何的公理体系 一、欧氏公理体系中的原始概念 1、不加定义的基本元素：点，直线，平面 2、不加定义的基本关系：“在之上”（同义语为 属于、通过）；“在之间”；“合同”； 二、欧氏公理体系中的结合公理Ⅰ（一共8条） Ⅰ1：过两点恒有一线 Ⅰ2：过两点至多有一线 Ⅰ3：一线上至少含两点；至少有三点不共线。 Ⅰ4：过不共线三点恒有一平面；每个平面至少含一点。 Ⅰ5：过不共线三点至多有一平面。 Ⅰ6：有一线有两点在一个平面上，整条直线都在平面上。 Ⅰ7：两平面有一个公共点，则至少还有另一个公共点。 Ⅰ8：至少有四点不共面。
20.1 欧氏几何的公理体系 四、欧氏公理体系中的合同公理III（五条，合同记作≡）
α O Y X O1 X1
初 等
β
Y1
III5：A,B,C是不共线三点,A1,B1,C1也不共线,若AB =A1B1且 AC = A1C1,并且∠BAC = ∠B1A1C1,那么∠ABC = ∠A1B1C1.
A A1
a A
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这条公理又 叫巴士公理
C
B
四、欧氏公理体系中的合同公理Ⅱ（五条，合同记作≡） III1：A,B是直线a上两点，C是直线b上点，给定b上C的一侧， 那么在b上的这一侧，恒有一点D，使得AB≡CD,因线段端点 未分先后，所以也有AB≡DC.
a A B C D b
20.1 欧氏几何的公理体系 四、欧氏公理体系中的合同公理Ⅱ（五条，合同记作≡） III2：若AB≡CD且EF≡CD，那么AB≡EF（传递性）
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20.2 非欧几何简介 二、罗巴切夫斯基几何 下图就是罗巴切夫斯基平面上的一个罗氏三角形，这个三 角形的三边是三条罗氏直线段（半圆的一部分），很显然， 这个曲边三角形三个顶点处的角（顶点处曲线的切线的夹 角）的和小于180度。
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20.2 非欧几何简介 二、罗巴切夫斯基几何
数 学 专 题 研 究
B
C
B1
C1
20.1 欧氏几何的公理体系 五、欧氏公理体系中的平行公理与连续公理 Ⅳ.平行公理：过给定直线外一点，至多有一条直线与该 直线平行。 Ⅴ.连续公理（两条） Ⅴ1 (阿基米德公理)：如果AB，CD是任意两条线段，那么 以A为端点的射线AB上，必有这样有限个点A1,A2,, An，使得AA1≡A1A2≡≡An-1An≡CD, 并且B在An-1与An之 间。
初 等 数 学 专 题 研 究
20.2 非欧几何简介 一、关于平行公理的公案 在两千多年以前，平行公理叫平行公设，欧几里得对平行 公设的叙述要远比现在复杂得多，从公理体系的纯粹性考 虑，许多研究数学的人们总感觉到它似乎不像一个公理， 更像一个定理，就是说，它似乎可以用其它的公理推导出 来。于是从那时起，证明平行公理就成了研究数学的人要 攻克的堡垒。 在古代，反证法似乎不太为人们所接受，因此，人们证明 平行公理总是从正面的角度入手。 但历经两千年，却无一人获得成功。 直到十九世纪三十年代，年轻的俄罗斯数学家罗巴切夫斯 基在这个问题上获得历史性突破。 他摒弃了前人正面证明平行公理的路径，从平行公理的否命 题入手。
初 等 数 学 专 题 研 究
20.1 欧氏几何的公理体系 三、欧氏公理体系中的顺序公理Ⅱ（四条） Ⅱ1：在同一直线上，B在A、C之间，那么B也在C、A之间。 Ⅱ2：过A、B的直线上至少有一点C，使得B在A、C之间。 Ⅱ3：在同一直线上三点，至多有一点在其余两点之间。 Ⅱ4：A,B,C是不共线三点，直线a在平面ABC上但不过这三 点，如果直线过线段AB的内点，则a也必过AC或BC的内点。
初
黎曼几何是用“在同一平面上，过已知直线外一点的所有直 线都与已知直线相交”来代替原来的平行公理。在这套公理 体系下产生的几何叫做黎曼几何。 在黎曼几何里也没有相似形，只有全等形。三角形的内角 和也不是常数180度，而是一个大于于180度的变数，两个 不全等的三角形，它们的内角和也是不一样的。面积越大 的三角形，它的内角和也越大。
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这个公理实际上就是数学分析中的闭区间套定理的几 始 希 尔 伯 特 公 理 体 系 公 理 念 原始关系 概 原始元素：点、直线、平面 点在直线上 结合关系 点在平面上 顺序关系： 一点介于两点之间 两线段相等 合同关系 两角相等 概 念 理
初 等 数 学 专 题 研 究
20.2 非欧几何简介 四、分形几何 普通几何学研究的对象，一般都具有整数的维数。比如， 零维的点、一维的线、二维的面、三维的立体、乃至四维 的时空。最近十几年的，产生了新兴的分形几何学，空间 具有不一定是整数的维，而存在一个分数维数，这是几何 学的新突破，引起了数学家和自然科学者的极大关注。 1、分形几何的产生 客观自然界中许多事物，具有自相似的“层次”结构， 在理想情况下，甚至具有无穷层次。适当的放大或缩小 几何尺寸，整个结构并不改变。不少复杂的物理现象， 背后就是反映着这类层次结构的分形几何学。
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结合公理I1—I8 顺序公理Ⅱ1—Ⅱ4 合同公理III1——III5 平行公理Ⅴ Ⅴ 连续公理Ⅴ1—Ⅴ2 Ⅴ Ⅴ
20.2 非欧几何简介 一、关于平行公理的公案 在数学的基础领域，人们希望所有的科学体系都能用数学作为 基础和工具，因此，数学就不能受到可科学体系的具体的对象 所制约，就需要形成一个形式化的体系。这样他就需要一些不 加定义的原始概念和不加证明的原始公理为基础来搭建整个数 学科学的体系。为使整个体系完备齐全，而又不臃肿累赘，那 么在基础的公理体系上就需要满足三个要求或三条原则： 纯粹性：所有的公理彼此之间应该是互不关联的（或彼此 独立的），也就是说，公理之间没有依存关系。 无矛盾性：公理与公理之间应该是相容的。也就是说， 由这些公理不能推导出互相矛盾的结论。 完备性：整个体系的所有结论都可以有这些公理推导出来。 简单说来就是不多（纯粹）、不矛盾、够用（完备）。
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20.2 非欧几何简介 四、分形几何 客观事物有它自己的特征长度，要用恰当的尺度去测量。 用尺来测量万里长城，嫌太短；用尺来测量大肠杆菌，又 嫌太长。从而产生了特征长度。 在二十世纪七十年代，法国数学家曼德尔勃罗特在他的著 作中探讨了英国的海岸线有多长？这个问题这依赖于测量 时所使用的尺度 如果用公里作测量单位，从几米到几十米的一些曲折会被 忽略；改用米来做单位，测得的总长度会增加，但是一些 厘米量级以下的就不能反映出来。 数学家柯克从一个正方形的“岛”出发，始终保持面积不变， 把它的“海岸线”变成无限曲线，其长度也不断增加，并趋 向于无穷大。以后可以看到，分维才是“寇赫岛”海岸线的 确切特征量，即海岸线的分维均介于1到2之间。
等 数 学 专 题 研 究
20.2 非欧几何简介 三、黎曼几何 黎曼几何的类比物——黎曼球 我们将欧氏空间的球面看做是黎曼几何的平面，球面上的 大圆叫做黎曼直线。不过，在黎曼几何里，同一个大圆上 过球心的直径的两个端点（称为对径点）要看做一点。我 们知道球面上的任意两个大圆都是相交的，这正好说明 “在同一个黎曼平面上，过已知黎曼直线外的任意一点的 所有黎曼直线都与已知黎曼直线相交。” 在航海中，用欧氏几何就不如用黎曼几何处理方便。 黎曼三角形就是黎曼平面上三个大圆的三对对径点构成 的球面三角形，它的内角和要大于180度，其大小也和面 积成正比。这种三角形的计算，在原来的欧氏几何里是 要用球面三角来计算的。
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20.2 非欧几何简介 一、关于平行公理的公案 如果平行公理真的可以用其它公理推导出来，那么在证明平 行公理的否命题的过程中，一定会导致矛盾产生。 但是，当他把平行公理的否命题加入到没有平行公理的几 何公理体系中去进行推演，推出了许多与欧氏几何不同的 结论出来，而又没有逻辑上的漏洞。这个现实让他意识到， 应该有有别于欧氏几何的几何体系存在。这就是后来人们 命名为的罗巴切夫斯基几何。但这门体系得到人们的认可 是在他去世12年后的1868年。 1868年，意大利数学家贝特拉米发表了一篇著名论文《非欧 几何解释的尝试》，证明非欧几何可以在欧氏空间的曲面上 实现。这就是说，非欧几何命题可以“翻译”成相应的欧氏 几何命题，如果欧氏几何没有矛盾，非欧几何也就自然没有 矛盾。
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20.2 非欧几何简介 二、罗巴切夫斯基几何 平行公理的否命题独立开来有两个：在同一平面上，过已 知直线外一点，至少有两条直线与该直线平行；另一个是 在同一平面上，过已知直线外一点，与该直线平行的直线 一条也没有。 罗巴切夫斯基选择的否命题是第一个，这样将这个命题作 为公理替代平行公理后就得到一门不同于欧氏几何的几何 学——罗巴切夫斯基几何。 在这种几何里没有相似形，只有全等形。三角形的内角和 不是常数180度，而是一个小于180度的变数，也就是说， 两个不全等的三角形，它们的内角和是不一样的。面积越 大的三角形，它的内角和也越大。 第一个在欧氏平面上找到罗巴切夫斯基几何的类比模型的 是法国数学家庞加莱。
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A C
A1 D
A2
An-1 B
An
20.1 欧氏几何的公理体系 五、欧氏公理体系中的平行公理与连续公理 Ⅴ.连续公理（两条） Ⅴ2 (康托公理)：在一条直线上有一个无穷线段的序列：A1B1， A2B2，，AnBn，，在这个序列中，如果每一条线段的端 点都是前面一条线段的内点，并且对于任意线段PQ，总存在一初 等 条线段AkBk，使AkBk<PQ，那么在这条直线上必有唯一的点C， 数 学 使C点属于这个线段序列的所有的线段。
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20.2 非欧几何简介 二、罗巴切夫斯基几何 庞加莱把用一条欧氏直线分平面为两部分中的半平面看做 是罗氏平面，圆心在这条直线上位于这个半平面上的半圆 看做是罗氏直线，当然原先的那条直线也看做是一条罗氏 直线（因为它可以看成是半径为无穷大的半圆），当半圆 的圆心在这条直线上时，定义为代表半圆的直线与这条直 线平行，那么很显然，对于那条把欧氏平面分成两半的直 线来说，直线外的任何一点，一定有无数条圆心在这条直 线上的半圆通过该点。这就是说，过直线外一点，有无数 条“直线”与给定直线“平行”。
31.16° 64.13° 51.15° 内内内 = 146.43°
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罗巴切夫斯基三角形的内角和
20.2 非欧几何简介 三、黎曼几何 随着欧氏几何平行公理第一否命题与其余公理的无矛盾性得 到证明，罗氏几何诞生，引发了对第二否命题对其他公理相 容性的研究。不同于欧氏几何的第三种几何诞生——黎曼几 何。
A B C D E F 初 等 数 学 专 题 研 究
III3：A1B1和B1C1是直线a1上没有公共内点的线段， A2B2和 B2C2是直线a2上没有公共内点的线段，若A1B1≡A2B2且 B 1C1≡B2C2，那么A1C1≡A2C2（线段的叠加）
a1 A1 B1 C1 A2 B2 C2 a2
III4：给定平面α上的角∠XOY，O1X1是平面β上的直线， 给定β上O1X1的一侧，则在这一侧，必有一条以O1为端点 的射线O1Y1, 使∠X1O1Y1= ∠XOY。
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20.2 非欧几何简介 四、分形几何 法国数学家芒德勃罗这位计算机和数学兼通的人物，对分形 几何产生了重大的推动作用。他在1975、1977和1982年先后 用法文和英文出版了三本书，特别是《分形：形、机遇和维 数》以及《自然界中的分形几何学(Fractal Geometry of Nature)》，开创了新的数学分支：分形几何学。“分 形”(fractal)这个词正是芒德勃罗在1975年造出来的，词根是 拉丁文的fractus，是“破碎”的意思。 2、分形几何的内容 形几何学的基本思想是：客观事物具有自相似的层次结构， 局部与整体在形态、功能、信息、时间、空间等方面具有 统计意义上的相似性，成为自相似性。这种自相似的层次 结构，适当的放大或缩小几何尺寸，整个结构不变。