工程电磁场第二章静电场二精品文档8页

第2章 静电场(二)

2.1 静电场的唯一性定理及其应用

静电场中的待求量：电场强度E ，静电力F 。

静电场求解方法：

(1) 直接由电场强度公式计算；

(2) 求解泊松方程(或拉普拉斯方程)→电位→电场强度E 。

唯一性定理的重要意义：确定静电场解的唯一性。

2.1.1 唯一性定理

静电场中，满足给定边界条件的电位微分方程(泊松方程或拉普拉斯方程)的解是唯一的。

2.1.2 导体边界时，边界条件的分类

(1) 自然边界条件：有限值参考点=∞

→ϕr r lim

(相当于指定电位参考点的值)

(2) 边界衔接条件：σϕεϕεϕϕ=∂∂-∂∂=n

n 221121 (该条件主要用于求解区域内部)

(3) 导体表面边界条件

(a) 给定各导体表面的电位值。(第一类边界条件)

(b) 导体表面为等位面，给定各导体表面的电荷量。

该条件相当于给定了第二类边界条件。在求解过程中，可通过积分运算确定任意常数。

S

n ∂∂-=ϕεσ，(注：n 的正方向由介质导向导体内部) (c) 给定某些导体表面的电位值及其它每一导体表面的电荷量。

相当于给定了第三类边界条件。

思考？

为什么条件(a),或(c)可唯一确定电位函数，而条件(b)确定的电位函数相关任一常数？ 答：边值问题的求解所需的边界条件有：自然边界条件、衔接条件和区域边界条件。条件(a)，(c)中，同时给定了边界条件和自然边界条件，与条件(2)结合，可唯一地确定场解；而条件(c)没有指定自然边界条件(电位参考点的值)，因而，其解相差一个任意常数。

2.1.3 静电场唯一性定理的意义

唯一性定理为静电场问题的多种解法(试探解、数值解、解析解等)提供了思路及理论根据

2.1.4 等位面法

1 等位面法：静电场中，若沿场的等位面的任一侧，填充导电媒质，则等位面另侧的电场保持不变。

2 等位面法成立的理论解释：

等位面内填充导电媒质后，边界条件沿发生变化：

(1)边界k 的等位性不变；

(2)边界k 内的总电荷量不变。(相当于给定了第二类边界条件)

3 等位面法在解释静电屏蔽现象中的应用

现象一、接地的封闭导体壳内的电荷不影响壳外的电场。

解释：边界上电位值不变(给定的第一类边界条件不变)。

现象二、封闭导体无论是否接地，则壳内电场不受壳外电场的影向。

解释：(注意边界正方向的取向)

边界S 2为等位面；

边界S 2上的总电荷量不变。

2.2 平行双电轴法

1 问题的提出：

以求无限长双圆柱平输电线周围的电场分布为例。

导体表面的面电荷密度未知，不可能由电场计算公式计算；电场分布不具有对称性，不能用高斯定理求解,用求解泊松方程法，不能给出解析解。本节从静电场的唯一性定理出发，采用其它求解方法(电轴法)。

2. 两根细导线产生的电场

设 电轴上单位长度的电荷量为τ，电位参考点为Q 。

电场分布为平面场，根据叠加原理，

说明：式中Q 表示电位参考点。ρ表示由电荷到P 点的矢径。

以y 轴为参考点, C=0, 则

*确定等位线方程：

22222)()(K y b x y b x =+-++ 等位线方程为圆： 222222)1

2()11(-=+-+-K bK y b K K x 圆心的坐标： ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-+=0,)11(22b K K h 圆的半径为：122-=K bK a 当K 取不同数值时,就得到一族偏心圆。

a 、h 、

b 三者之间的关系满足:

应该注意到: 线电荷所在的两个点,对每一个等位圆的圆心来说,互为反演。即

-- a 为等位线的半径；2b 两电轴间的距离；h 为等位圆圆心到坐标原点的距离。 附：

〖反演〗

没C 为一定圆，O 为圆心，r 为半径，对于平面上任一点M ，有一点M ’与它对应，使得满足下列两个条件：

(1)O 、M 、M ’共线；

(2)OM ·OM ’=r 2；

则点M ’称为点M 关于定圆C 的反演点，C 称为反演圆，O 称为反演中心，r 称为反演半径。

M 和M

M ’的对应称为关于定圆C 的反演。 *确定电力线方程： 根据 ϕ-∇=E 及E 得E 线方程为 4

)2(12212b y x +=-+ 说明：电力线方程表明， E 线为圆，其圆心位于y 轴上。K 1的不同取值确定不同的电力线。

3 电轴法的基本思想

由三个思考题，引出电轴法的解题思想。

(1)若在任一等位面上放一无厚度的金属圆柱壳，是否会影响电场分布？

(2)、感应电荷是否均匀分布？

(3)、若在金属圆柱管内填充金属，重答上问。

得出电轴法的思想：

电轴法：用置于电轴上的等效线电荷，来代替圆柱导体面上分布电荷,从而求得电场的方法，称为电轴法。

电轴法解题的过程：

(1)根据圆柱导体的半径a 和两导体间的距离2h 求出等效电轴的位置b ；(2)设电轴上电荷线密度等于圆柱导体上单位长度的电荷量；(3)由电场计算公式 22220120)()(ln 2ln 2y

b x y b x P +-++==πετρρπετϕ(0电位参考点位于y 轴) 4 例题

例1．试求图示两带电长直平行圆柱导体传输线的电场及电位分布。

解：(1)建立体系，取0电位参考点

(2)确定电轴的位置，22a h b -=

(3)计算电场和电位分布：

例2 已知两根不同半径,相互平行,轴线距离为d 的带电长直圆柱导体。试决定电轴位置。

解：2

1212222221212,,h h b h h d a h b a h b 确定⎪⎩

⎪⎨⎧+=-=-= 例3 试确定图示偏心电缆的电轴位置

解：

例4 已知一对半径为a ,相距为d 的长直圆柱导体传输

线之间电压为U 0 ，试求圆柱导体间电位的分布。

解：

1 确定电轴的位置

2 设电轴上电荷密度为±τ，任一点的电位为：

注意：式中的ρ2，ρ1分别为负电轴和正电轴到观

察点P 的距离。

3 :0τϕϕ解出由B A U -=

4 场中任一点的电位为：