多元函数微分学知识点梳理

第九章多元函数微分学

内容复习

—、基本概念

1、 知道：多元函数的一些基本概念(n 维空间，n 元函数，二重极限，连续等)；理解：偏 导数；全微分.

2、 重要定理

(1) 二元函数中，可导、连续、可微三者的关系

偏导数连续 可微？ * 亠

函数连续

(2) (二元函数)极值的必要、充分条件

二、基本计算

(一)偏导数的计算

1、偏导数值的计算(计算 f x (x 0,y 0))

pl ("先代后求法 f x (x o ，y o )=——f(x,y °) x x

dx

(2)

先求后代法(f x&o ’y 。)= f x (x,y)xx o )

y y o (3)定义法(f x (x 0, y 0) = lim 竺__―

f (xo,yo))(分段函数在分段点处的 X 0 x 偏导数)

2、偏导函数的计算(计算

f x (x, y)) (1) 简单的多元初等函数一一将其他自变量固定，转化为一元函数求导

(2) 复杂的多元初等函数一一多元

复合函数求导的链式法则

(画树形图，写求导公式) (3) 隐函数求导

求方程F(x, y, z) 0确定的隐函数z f (x, y)的一阶导数 —,—

x y

(x, y, z 地位平等)

F z x(或y)求导(x, y, z 地位不平等)

注：若求隐函数的二阶导数，在一阶导数的基础上，用直接法求。

3、高阶导数的计算

注意记号表示，以及求导顺序

(二) 全微分的计算

1、叠加原理

公式法：—旦，二

x F z y 直接法：方程两边同时对

z f(x, y) , dz — dx —dy --------------------- d x,dy勿丢

x y

2、一阶全微分形式不变性

dz — dx —Z dy 对x, y是自变量或是中间变量均成立。

x y

三、偏导数的应用

优化方面--- 多元函数的极值和最值

1、无条件极值一一利用必要条件求驻点，利用充分条件判断是否为极值点

2、条件极值---- Lagrange乘数法

min(ma;) z f (x, y)

求

s.t. (x,y) 0

L(x, y, ) f (x, y) (x, y)(有几个约束条件，引进相应个数Lagrange乘子)

3、最值一一比较区域内部驻点处函数值与区域边界上最值的大小，从而确定最值