弹性力学概念

-------------------- 时磊5说------ ----- -------- 力学：研究弹性体由于受外力，边界约束或温度改变等作用而发生的应力、形变和位移。

弹性力学的研究对象：为一般及复杂形状的构件、实体结构、板、壳等。（是各种弹性体，包括杆件，平面体、空间体、板和壳体等。弹性力学研究的对象比较广泛，可以适用于土木、水利、机械等工程中各种结构的分析。）

弹性力学的任务在边界条件下，从平衡微分方程、几何方程和物理方程求解应力、应变和位移等未知函数

研究方法已知条件：1物体的几何形状，即边界面方程2物体的材料参数3所受外力的情况

4所受的约束情况。求解的未知函数：应力、应变和位移。解法：在弹性体区域内，根据微分体上力的平衡条件建立平衡微分方程；根据微分线段上应变和位移的几何条件，建立几何方程；根据应力和应变之间的物理条件建立物理方程弹性体边界上，根据面力条件，建立

应力边界条件；根据约束条件建立位移边界条件然后在边界条件下，求解弹性体区域内

的微分方程，得出应力、形变和位移弹性力学的基本假设（即满足什么样条件的物体是我们在弹性力学中要研究的）

（1）均匀性假设即物体是由同一种材料所组成的，在物体内任何部分的材料性质都是相同

的。（用处：物体的弹性参数，如弹性模量E,不会随位置坐标的变化而变化）（2）连续性假设即物体的内部被连续的介质所充满，没有任何孔隙存在。（用处：弹性体的所用物理量

均可用连续的函数去表示）（3）完全弹性假设即当我们撤掉作用于物体的外力后，物体可以恢复到原状，没有任何的残余变形；应力（激励）与应变（响应）之间呈正比关系。（用处：

可以使用线性虎克定律来表示应力与应变的关系）（4）各向同性假设即物体内任意一点处，

在各个方向都表现出相同的材料性质。（用处：物体的弹性参数可以取为常数）（5）小变形假设即在外力的作用下，物体所产生的位移和形变都是微小的。（用处：可以在某些方程的

推导中略去位移和形变的高阶微量。即简化几何方程，简化平衡微分方程）

上述这些假定，确定了弹性力学的研究范畴：研究理想弹性体的小变形状态

外力是其他物体作用于研究对象的力（分为体力和面力）

体力是作用于物体体积内的外力（如重力和惯性力）面力是作用于物体表面上的外力（如

液体压力和接触力）

内力假想将物体截开，则截面两边有互相作用的力，称为内力

切应力互等定理作用于两个互相垂直面上，并且垂直于该两面交线的切应力是互等的（大小等正负号相同）

形变就是物体形状的改变。在弹性力学中，通过任一点作3个沿正坐标方向的微分线段，并以这些微分线段的应变来表示该点的形变

所谓位移就是位置的移动应力单位截面积上的内力

成为平面应力问题条件1等厚度薄板2面力只作用于板边，其方向平行与中面（xOy面），且沿厚度（z 向）不变3体力作用于体积内，其方向平行于中面，且沿厚度不变4约束只作用于板边，其方向平行于中面，且沿厚度不变

归纳起来讲，所谓平面应力的问题，就是只有平面应力分量存在，且仅为x，y的函数的弹

性力学问题

成为平面应变问题条件1常截面长住体2面力作用于柱面上，其方向平行于横截面，且沿长度方向不变3

体力作用于体积内，其方向平行于横截面，且沿长度方向不变4约束作用于

-------------------- 时磊5说------ -- ---- ------- 柱面上，其方向平行于横截面，且沿长度方向不变

归纳起来讲，所谓平面应变问题，就是只有平面应变分量存在，且仅为x, y的函数问题平衡微分方程表示区域内任一点（x, y）的微分体的平衡条件

平衡问题中一点应力状态1求斜面应力分量（Px，Py）2由斜面应力分量求斜面上的正应力和切应力3求一点的主应力及应力方向4求一点的

最大和最小的正应力和切应力

几弹性何方程表示任一点的微分线段上，形变分量与位移分量之间的关系式

形变与位移的关系1如果物体的位移确定，则形变完全确定2当物体的形变分量确定时，位移分量不完全确定

边界条件表示在边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。可分为：位移边界条件、

应力边界条件和混合边界条件

位移边界条件实质上是变形连续条件在约束边界上的表达式

应力分量和正的面力分量的正负号规定不同在正坐标面上，应力分量与面力分量同号；在

负坐标面上，应力分量与面力分量异号

应力边界条件两种表达方式：1在边界点取出一个微分体，考虑其平衡条件2在同一边界上，应力分量应等于对应的面力分量（数值相同，方向一致）

圣维南原理如果把物体的一小部分边界上的面力，变化为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对于同一点的主矩也相同）那么近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受的

影响可以不计特别注意圣维南原理只能应用于一小部分边界上（又称局部边界、小边界

和次要边界）

圣维南原理推广如果物体一小部分边界上的面力是一个平衡力系（主矢量及主矩都等于零），

那么这个面力就只会使近处产生显著的应力而远处的应力可以不计

应力边界条件上应用圣维南原理就是在小边界上将精确的应力边界条件式，代之为静力等

效的主矢量和主矩的条件

形变协调条件的物理意义1形变协调条件是连续体中位移连续性的必然结果2形变协调条件

是形变对应的位移存在且连续的必要条件

应力求解考虑的条件1体力为常量2全部边界上均为应力边界条件3弹性体为单连体

应力分量和剪切力必然与弹性常数无关，由此可得应力解法与模型材料无关；平面应力与

平面应变问题可互换；

求应力分量=平衡微分方程=非齐次特解+齐次通解

按应力函数求解，①应当满足的条件是1相容方程式2应力边界条件式。其中假设全部为应力边界条件3对于多连体，还须满足位移的单值条件

逆解法步骤1先找出满足相容方程的解答2由①得出应力分量3在给定的边界形状下，根据应力边界条件，由应力反推出相应的面力

半逆解法步骤1假设应力分量的函数形式2推求应力函数的形式3由相容方程求解应力函数

4由应力函数求应力分量5考察边界条件

几何方程表示微分线段上形变和位移之间的几何关系式

空间问题物理方程两种形式1应变用应力表示用于按应力求解方法2应力用应变表示，用于