弹性力学概念

-------------------- 时磊5说------ ----- -------- 力学：研究弹性体由于受外力，边界约束或温度改变等作用而发生的应力、形变和位移。

弹性力学的研究对象：为一般及复杂形状的构件、实体结构、板、壳等。（是各种弹性体，包括杆件，平面体、空间体、板和壳体等。弹性力学研究的对象比较广泛，可以适用于土木、水利、机械等工程中各种结构的分析。）

弹性力学的任务在边界条件下，从平衡微分方程、几何方程和物理方程求解应力、应变和位移等未知函数

研究方法已知条件：1物体的几何形状，即边界面方程2物体的材料参数3所受外力的情况

4所受的约束情况。求解的未知函数：应力、应变和位移。解法：在弹性体区域内，根据微分体上力的平衡条件建立平衡微分方程；根据微分线段上应变和位移的几何条件，建立几何方程；根据应力和应变之间的物理条件建立物理方程弹性体边界上，根据面力条件，建立

应力边界条件；根据约束条件建立位移边界条件然后在边界条件下，求解弹性体区域内

的微分方程，得出应力、形变和位移弹性力学的基本假设（即满足什么样条件的物体是我们在弹性力学中要研究的）

（1）均匀性假设即物体是由同一种材料所组成的，在物体内任何部分的材料性质都是相同

的。（用处：物体的弹性参数，如弹性模量E,不会随位置坐标的变化而变化）（2）连续性假设即物体的内部被连续的介质所充满，没有任何孔隙存在。（用处：弹性体的所用物理量

均可用连续的函数去表示）（3）完全弹性假设即当我们撤掉作用于物体的外力后，物体可以恢复到原状，没有任何的残余变形；应力（激励）与应变（响应）之间呈正比关系。（用处：

可以使用线性虎克定律来表示应力与应变的关系）（4）各向同性假设即物体内任意一点处，

在各个方向都表现出相同的材料性质。（用处：物体的弹性参数可以取为常数）（5）小变形假设即在外力的作用下，物体所产生的位移和形变都是微小的。（用处：可以在某些方程的

推导中略去位移和形变的高阶微量。即简化几何方程，简化平衡微分方程）

上述这些假定，确定了弹性力学的研究范畴：研究理想弹性体的小变形状态

外力是其他物体作用于研究对象的力（分为体力和面力）

体力是作用于物体体积内的外力（如重力和惯性力）面力是作用于物体表面上的外力（如

液体压力和接触力）

内力假想将物体截开，则截面两边有互相作用的力，称为内力

切应力互等定理作用于两个互相垂直面上，并且垂直于该两面交线的切应力是互等的（大小等正负号相同）

形变就是物体形状的改变。在弹性力学中，通过任一点作3个沿正坐标方向的微分线段，并以这些微分线段的应变来表示该点的形变

所谓位移就是位置的移动应力单位截面积上的内力

成为平面应力问题条件1等厚度薄板2面力只作用于板边，其方向平行与中面（xOy面），且沿厚度（z 向）不变3体力作用于体积内，其方向平行于中面，且沿厚度不变4约束只作用于板边，其方向平行于中面，且沿厚度不变

归纳起来讲，所谓平面应力的问题，就是只有平面应力分量存在，且仅为x，y的函数的弹

性力学问题

成为平面应变问题条件1常截面长住体2面力作用于柱面上，其方向平行于横截面，且沿长度方向不变3

体力作用于体积内，其方向平行于横截面，且沿长度方向不变4约束作用于

-------------------- 时磊5说------ -- ---- ------- 柱面上，其方向平行于横截面，且沿长度方向不变

归纳起来讲，所谓平面应变问题，就是只有平面应变分量存在，且仅为x, y的函数问题平衡微分方程表示区域内任一点（x, y）的微分体的平衡条件

平衡问题中一点应力状态1求斜面应力分量（Px，Py）2由斜面应力分量求斜面上的正应力和切应力3求一点的主应力及应力方向4求一点的

最大和最小的正应力和切应力

几弹性何方程表示任一点的微分线段上，形变分量与位移分量之间的关系式

形变与位移的关系1如果物体的位移确定，则形变完全确定2当物体的形变分量确定时，位移分量不完全确定

边界条件表示在边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。可分为：位移边界条件、

应力边界条件和混合边界条件

位移边界条件实质上是变形连续条件在约束边界上的表达式

应力分量和正的面力分量的正负号规定不同在正坐标面上，应力分量与面力分量同号；在

负坐标面上，应力分量与面力分量异号

应力边界条件两种表达方式：1在边界点取出一个微分体，考虑其平衡条件2在同一边界上，应力分量应等于对应的面力分量（数值相同，方向一致）

圣维南原理如果把物体的一小部分边界上的面力，变化为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对于同一点的主矩也相同）那么近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受的

影响可以不计特别注意圣维南原理只能应用于一小部分边界上（又称局部边界、小边界

和次要边界）

圣维南原理推广如果物体一小部分边界上的面力是一个平衡力系（主矢量及主矩都等于零），

那么这个面力就只会使近处产生显著的应力而远处的应力可以不计

应力边界条件上应用圣维南原理就是在小边界上将精确的应力边界条件式，代之为静力等

效的主矢量和主矩的条件

形变协调条件的物理意义1形变协调条件是连续体中位移连续性的必然结果2形变协调条件

是形变对应的位移存在且连续的必要条件

应力求解考虑的条件1体力为常量2全部边界上均为应力边界条件3弹性体为单连体

应力分量和剪切力必然与弹性常数无关，由此可得应力解法与模型材料无关；平面应力与

平面应变问题可互换；

求应力分量=平衡微分方程=非齐次特解+齐次通解

按应力函数求解，①应当满足的条件是1相容方程式2应力边界条件式。其中假设全部为应力边界条件3对于多连体，还须满足位移的单值条件

逆解法步骤1先找出满足相容方程的解答2由①得出应力分量3在给定的边界形状下，根据应力边界条件，由应力反推出相应的面力

半逆解法步骤1假设应力分量的函数形式2推求应力函数的形式3由相容方程求解应力函数

4由应力函数求应力分量5考察边界条件

几何方程表示微分线段上形变和位移之间的几何关系式

空间问题物理方程两种形式1应变用应力表示用于按应力求解方法2应力用应变表示，用于

按位移求解方法

解的唯一性定理符合线弹性和小变形假定的弹性体，无初应力和初应变的作用，只受到给定的体力，边界上的面力和边界上的约束位移的作用，则弹性体在平衡状态时，其体内的应力、应变的解是唯一的

解的叠加定理在线弹性和小变形假定下，作用于弹性体上几组荷载产生的总效应（应力和变

形），等于每组荷载产生的效应之和，且与加载顺序无关

虚位移原理假定处于平衡状态的弹性体在虚位移过程中，没有温度的改变，也没有速度的改

变，即没有热能和动能的改变，则按照能量守恒定理，形变势能的增加，等于外力势能的减

少，也就等于外力所做的功，即所谓虚功

虚位移1所谓虚位移，是指满足协调条件（位移边界条件和几何方程）的。在平衡状态附近

可能发生的微小位移改变2不仅适用于弹性体，也适用于一般的可变形体3虚位移是位移状态即位移函数的微小改变。虚位移在数学上称为位移的变分，因此虚位移原理式又称为位移

变分方程4注意微分和变分是不同的概念，两者的自变量和因变量是不同的。

虚功方程处于平衡状态的弹性体，当发生虚位移时，外力在虚位移上所做的虚功，等于应力在相应的虚应变上所做的功最小势能原理在给定的外力作用下，在满足位移边界条件的各组位移中间，实际存在的一组位移应使弹性体的总势能成为极值。考虑到二阶变分可以得出对于稳定平衡状态，这个极值是极小值

外力功的互等定理符合线弹性和小变形假定的弹性体，若受到两组不同的外力作用，则第一

组外力在第二组外力引起的位移上所做的功，等于第二组外力在第一组外力引起的位移上所

做的功

三种数值解法变分法、差分法和有限单元法

有限单元法的两种导出方法1结构力学方法：首先将结构离散化，把连续体变换为离散化结构，再应用结构力学方法求解2变分方法：同样将连续体变换为离散化结构，再将连续体中

的变分原理推广应用到离散化结构，从而导出有限单元法

有限单元法特点1具有极大的可解性2具有极大的通用性3只要适当的加密网格，就可以达到工程要求的精度

有限单元法用结构力学方法求解弹性力学问题

有限单元法主要内容1结构离散化一将连续体变换为离散化结构2对离散化结构应用结构力学方法求解a.单元的位移模式b.单元的应变和应力列阵c.单元的节点力列阵d.单元的结点荷载列阵

离散化结构构成将连续体划分为有限多个、有限大小的单元，并使这些单元仅在单元边界上的一些结点处用铰连接起来保证有限单元法收敛性，位移满足条件1位移模式必须能反映单元的刚体位移2位移模式

必须能反映单元的常量应变3位移模式应尽可能反映位移的连续性

移置原则1刚体静力等效原则：使原荷载与移置荷载的主矢量相同，对同一点的主矩也相同

2变形体静力等效：在任意的虚位移上，使原荷载与移置荷载的虚功相等

整体劲度矩阵由单元劲度矩阵的元素集合合成，因此，K也具有对称性。又由于列每一结点

的方程时，只涉及此结点周围的一些结点，所以K矩阵具有高度的稀疏性

提高应力精度，解决应力波动性问题，两种方法1绕结点平均法：把环绕某一结点的各单

元的常量应力加以平均，用来表征该结点出的应力2两相邻单元平均法：把两个相邻单元的常量应力加以平均，用来表征公共边中点处的应力

应力波动性在相邻的两单元中，如果一个单元的应力比真解低，则相邻单元的应力会比真解高

一、概念

1 ?弹性力学，也称弹性理论，是固体力学学科的一个分支。

2?固体力学包括理论力学、材料力学、结构力学、塑性力学、振动理论、断裂力学、复合材料力学。

3基本任务：研究由于受外力、边界约束或温度改变等原因，在弹性体内部所产生的应力、___________

形变和位移及其分布情况等。?

4研究对象是完全弹性体，包括杆件、板和三维弹性体，比材料力学和结构力学的研究范围更为广泛

5?弹性力学基本方法：差分法、变分法、有限元法、实验法

6弹性力学研究问题，在弹性体内严格考虑静力学、几何学和物理学____________ 三方面条件，在边界

上考虑边界条件，求解微分方程得出较精确的解答; .

7?弹性力学中的基本假定：连续性、完全弹性、均匀性、各向同性、小变形假定。

8?几何方程反映的是形变分量与位移分量之间的关系。

9.物理方程反映的是应力分量与形变分量之间的关系。

10.平衡微分方程反映的是应力分量与体力分量之间的关系。

11当物体的位移分量完全确定时，形变分量即完全确定。反之，当形变分量完全确定时，位移分量却不能完全确定。12.边界条件表示在边界上位移与约束、或应力与面力之间的关系式。它可以分为位移边界_____________

条件、应力边界条件和混合边界条件。

13.圣维南原理主要内容：如果把物体表面一小部分边界上作用的外力力系，变换为分布不

同但静力等效的力系（主失量相同，对同一点的主矩也相同），那么只在作用边界近处的应

力有显著的改变，而在距离外力作用点较远处，其影响可以忽略不计。

14.圣维南原理的推广：如果物体一小部分边界上的面力是一个平衡力系（主失量和主矩都

等于零），那么，这个面力就只会使近处产生显著的应力，而远处的应力可以不计。这是因为主失量和主矩都等于零的面力，与无面力状态是静力等效的，只能在近处产生显著的应力。

15?求解平面问题的两种基本方法：位移法、应力法。

16.弹性力学的基本原理：解的唯一性原理、解的叠加原理、圣维南原理。会推导两种平衡微分方程

17.逆解法步骤：（1）先假设一满足相容方程（2-25）的应力函数

（2）由式（2-24），根据应力函数求得应力分量

（1）将应力分量

T y

代入物理方程

E( y）

x）求出应变分量

2(1 )

xy （3）在确定的坐标系下，考察具有确定的几何尺寸和形状的弹性体，根据主要边界上的面力边界条件（2-15）或次要边界上的积分边界条件，分析这

些应力分量对应于边界上什么样的面力，从而得知所选取的应力函数可

以解决什么样的问题。（或者根据已知面力确定应力函数或应力分量表

达式中的待定系数

18?半逆解法步骤：

（1）对于给定的弹性力学问题，根据弹性体的几何形状、受力特征和变形

的特点或已知的一些简单结论，如材料力学得到的初等结论，假设部分

或全部应力分量的函数形式

（2）按式（2-24），由应力推出应力函数f的一般形式（含待定函数项）；

（3）将应力函数f代入相容方程进行校核，进而求得应力函数f的具体表达形式；

（4）将应力函数f代入式（2-24），由应力函数求得应力分量

（5）根据边界条件确定未知函数中的待定系数；考察应力分量是否满足全部应力边界条件。如果都能满足，则所得出的解就是正确解，否则要重新假设应力分量，重复上述过程并进行求

解。

19.“小孔口问题”应符合两个条件：（1）孔口尺寸远小于弹性体的尺寸，这使孔口的存在

所引起的应力扰动只局限于一个小的范围内；（2）孔边距离弹性体边界比较远（约大于 1.5

倍的孔口尺寸），这使孔口与边界之间不发生相互干扰。

20.在小孔口问题中，孔口附近将发生应力集中现象，它具有两个特点：（1）孔附近的应力

高度集中，即孔附近的应力远大于远处的应力，或远大于无孔时的应力。（2）应力集中的局

部性，由于孔口存在而引起的应力扰动范围主要集中在距孔边 1.5倍的孔口尺寸（如圆也直

径）的范围内，在此范围之外，可以忽略不计。

21.FEM （有限元法）分析的主要步骤：

（1）将连续体变化为离散化结构。

（2）对单元体进行分析

a.单元的位移模式

b.单元的应变列阵

c.单元的应力列阵

d.单元的结点力列阵

f.单元的等效结点荷载列阵

（3）整体分析

二、公式

1.已求出应力分量，求位移分量的步骤:

x x

应力分量由极坐标向直角坐标的的转换式

cos

sin

si n2 y .2

sin

cos

si n2 xy

( )cos sin

cos2

4?在将平面应力问题的物理方程变换到平面应变问题的物理方程时，只需将可。

(x l

xy m)

f x (s)

5?平面问题的应力边界条件为

(xy l y

m)s

f y (s)

6.平面问题的位移边界条件为

(U)s u(s), ()s (s)

h/2 h/2 (

x )x l

dy 1

h/2

f x (y)dy 1

h/2 x ' 7?圣维南原理的三个积分式

h/2

(

x )

ydy 1 h/2 -

h/2 f x (y)ydy 1

h/2

(

xy )x

h/2

f y (y)dy 1

h/2

八

u M (2)将应变分量带入几何方程

Ei y

，

3. 应力分量由直角坐标向

2 .2

x cos

Si n

y cos

(

)cos sin

M v u

y ,

-- -----

x y

极坐标的变换式为?

xy Si n2 xy Si n2

cos 2

求出位移分量 2?极坐标中的边界条件是:

弹性力学基本概念和考点

基本概念：（1）面力、体力与应力、应变、位移的概念及正负号规定（2）切应力互等定理：作用在两个互相垂直的面上，并且垂直于改两面交线的切应力是互等的（大小相等，正负号也相同）。（3）弹性力学的基本假定：连续性、完全弹性、均匀性、各向同性和小变形。（4）平面应力与平面应变；设有很薄的等厚度薄板，只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的面力或约束。同时，体力也平行与板面并且不沿厚度方向变化。这时， 0,0,0z zx zy σττ===，由切应力互等，0,0,0z xz yz σττ===，这样只剩下平行于xy 面的三个平面应力分量，即,,x y xy yx σσττ=，所以这种问题称为平面应力问题。设有很长的柱形体，它的横截面不沿长度变化，在柱面上受有平行于横截面且不沿长度变化的面力或约束，同时，体力也平行于横截面且不沿长度变化，由对称性可知，0,0zx zy ττ==，根据切应力互等，0,0xz yz ττ==。由胡克定律， 0,0zx zy γγ==，又由于z 方向的位移w 处处为零，即0z ε=。因此，只剩下平行于xy 面的三个应变分量，即,,x y xy εεγ，所以这种问题习惯上称为平面应变问题。（5）一点的应力状态；过一个点所有平面上应力情况的集合，称为一点的应力状态。（6）圣维南原理；（提边界条件）如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主失相同，主矩也相同），那么，近处的应力分布将有显著的改变，但是远处

所受到的影响可以忽略不计。（7）轴对称；在空间问题中，如果弹性体的几何形状、约束情况，以及所受的外力作用，都是对称于某一轴（通过该轴的任一平面都是对称面），则所有的应力、变形和位移也就对称于这一轴。这种问题称为空间轴对称问题。一、平衡微分方程： (1) 平面问题的平衡微分方程； 00yx x x xy y y f x y f x y τστσ??++=????++=??（记） (2) 平面问题的平衡微分方程（极坐标）； 10210f f ρρ?ρ? ρ?ρ?ρ? ??σ?τσσ?ρρ??ρ ?σ?ττρ???ρρ -+++=+++= 1、平衡方程仅反映物体内部的平衡，当应力分量满足平衡方程，则物体内部是平衡的。 2、平衡方程也反映了应力分量与体力（自重或惯性力）的关系。二、几何方程；（1）平面问题的几何方程； x y xy u x v y v u x y εεγ?= ??=???=+ ??（记）（2）平面问题的几何方程（极坐标）；

弹性理论习题及答案

第三章弹性理论姓名班级学号考试时间：20分钟一、单项选择题 1、点弹性和弧弹性之间（）关系 A、有 B、没有 C、不确定 2、冰棒的需求价格弹性（）药品的需求价格弹性 A、大于 B、小于 C、等于 D、大于或等于 3、供给弹性（）点弹性和弧弹性的区分 A、有 B、没有 C、不确定 4、垂直的需求曲线是（）弹性 A、完全有 B、富有 C、完全无 5、水平的供给曲线是（）弹性 A、完全有 B、富有 C、完全无 6、一种商品价格下降，另外一种商品需求上升，则两种商品之间是（）关系 A、互补品 B、替代品 C、正常品 D、劣品 7、在长期中，供给曲线更（）弹性 A、缺乏 B、富有 C、不确定 D、依商品而定 8、容易被替代的商品，其需求弹性（） A、大 B、小 C、不确定二、多项选择题 1、弹性一般分为（）弹性 A、供给 B、需求 C、价格 D、收入 2、利用价格需求弹性可以区分出（） A、生活必须品 B、奢侈品 C、经济商品 D、免费物品三、简答题 1、影响商品需求价格弹性的因素 2、需求价格弹性的五种情况

答案一．单项选择题 2. A 二．多项选择题三．简答题 1. 影响商品需求价格弹性的因素 (1). 必需品与奢侈品一般地说，奢侈品需求对价格是有弹性的，而必需品则是缺乏弹性的。 (2). 相近替代品的可获得性一般来说，相近替代品越多的商品越富有弹性。替代品多，消费者从这种商品转向购买其他商品较为容易，对商品价格更敏感（如，香烟）。 (3). 商品所划定范畴的大小一般来说，如果某产品存在着很接近的替代品的数量愈多，其需求价格弹性愈大。 (4). 时间的长短计算某种商品价格弹性系数所考虑的时间愈长，其系数会愈大。当某一商品价格上升时，消费者需要一段时间去寻找可以接受的替代品，因此，短期内对该商品的需求量变化不大，而长期内消费者更可能转向其他替代品，因此，该提价商品的需求量变化会更加明显些。 2. 需求价格弹性的五种情况 (1). 当e=0时，需求对价格是完全无弹性的，即需求量与价格无关。则需求曲线为一条垂直于x轴的直线。如，垄断价格；婚丧用品，特效药等接近于完全无弹性。 (2). 当e=1时，需求对价格为单位弹性，即价格变化的百分比与需求量变化的百分比相等。 (3). 当e=∞时，需求对价格是完全有弹性，即需求曲线为一条垂直于P轴的直线。如，银行以某一固定的价格收购黄金；实行保护价的农产品。 (4). 当e>1时，需求对价格富有弹性，即需求变化的幅度大于价格变化的幅度。如，奢侈品。 (5). 当e<1时，需求队价格缺乏弹性，即需求变化的幅度小于价格变化的幅度。如，生活必需品。

(完整word版)徐芝纶弹性力学主要内容及知识点,推荐文档

1.弹性力学是研究弹性体由于受到外力作用、边界约束或温度改变等原因而引起的应力、形变和位移。 2外力分为体积力和面积力。体力是分布在物体体积内的力，重力和惯性力。体积分量，以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。面力是分布在物体表面上的力，面力分量以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。 3内力，即物体本身不同部分之间相互作用的力。 3弹性力学中的基本假定：连续性，完全弹性，均匀性，各向同性，小变形假定。凡是符合连续性、完全弹性、均匀性、各向同性等假定的物体称之为理想弹性体。连续性，假定整个物体的体积被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。完全弹性，指的是物体能完全恢复原形而没有任何剩余形变。均匀性，整个物体时统一材料组成。各向同性，物体的弹性在所有各个方向都相同。 4求解弹性力学问题，即在边界条件上，根据平衡微分方程、几何方程、物理方程求解应力分量、形变分量和位移分量。弹性力学、材料力学、结构力学的研究对象分别是弹性体，杆状构件和杆件系统。解释在物体内同一点，不同截面上的应力是不同的。应力的符号不同：在弹性力学和材料力学中，正应力规定一样，拉为正，压为负。切应力：弹性力学中，正面沿坐标轴正方向为正，沿负方向为负。负面上沿坐标轴负方向为正，沿正方向为负。材料力学中，所在的研究对象上任一点弯矩转向顺时针为正，逆时针为负。 5.形变：所谓形变，就是形状的改变。包括线应变（各各线段每单位长度的伸缩，即单位伸缩和相对伸缩，伸长时为正，收缩时为负）；切应变（各线段直接直角的改变，用弧度表示，以直角变小时为正，变大为负） 6试述弹性力学平面应力问题与平面应变问题的主要特征及区别：平面应力问题：几何形状，等厚度薄板。外力约束，平行于板面且不沿厚度变化。平面应变问题：几何形状，横断面不沿长度变化，均匀分布。外力约束，平行于横截面并不沿长度变化。 7.主应力：设经过P点的某一斜面上的切应力等于0，则该斜面上的正应力称为P点的一个主应力；应力主向：该斜面的法线方向称为该斜面的一个应力主向。 6. 平衡微分方程表示的是弹性体内任一点应力分量与体力分量之间的关系式。在推导平衡微分方程时我们主要用了连续性假定。 7几何方程表示的是形变分量与位移分量之间的关系式。当物体的位移分量完全确定时，形变分量即完全确定，反之，等形变分量完全确定时，位移分量却不能完全确定。在推导几何方程主要用了小变形假定。 8．在平面问题中，为了完全确定位移，就必须有3个适当的刚体约束条件。为什么？既然物体在形变为零时可以有刚体位移，可见，当物体发生一定形变时，由于约束条件的不同，他可能具有不同的刚体位移，因而它的位移并不是完确定的，在平面问题中，常数U0 V0 W的任意性就反应位移的不确定性，而为了安全确定位移，就必须有三个何时得刚体约束来确定这三个常数。 9.物理方程表示的应力分量与应变分量之间的关系式。两种平面问题的物理方程是不一样的，然而如果在平面应力问题的物理方程，降E换为E/1-μ2，将μ换为μ/1-μ，就可以得到平面应变问题的物理方程。推导物理方程时，主要用了完全弹性、各向同性以及均匀性（此处写小变形假定也可以）等假设。 10.边界条件表示在边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。它可以分为应力边界条件、位移边界条件以及混合边界条件。

弹性力学概念说课讲解

弹性力学概念

线性虎克定律来表示应力与应变的关系）（4）各向同性假设即物体内任意一点处，在各个方向都表现出相同的材料性质。（用处：物体的弹性参数可以取为常数）（5）小变形假设即在外力的作用下，物体所产生的位移和形变都是微小的。（用处：可以在某些方程的推导中略去位移和形变的高阶微量。即简化几何方程，简化平衡微分方程）上述这些假定，确定了弹性力学的研究范畴：研究理想弹性体的小变形状态外力是其他物体作用于研究对象的力（分为体力和面力）体力是作用于物体体积内的外力（如重力和惯性力）面力是作用于物体表面上的外力（如液体压力和接触力）内力假想将物体截开，则截面两边有互相作用的力，称为内力切应力互等定理作用于两个互相垂直面上，并且垂直于该两面交线的切应力是互等的（大小等正负号相同）形变就是物体形状的改变。在弹性力学中，通过任一点作3个沿正坐标方向的微分线段，并以这些微分线段的应变来表示该点的形变所谓位移就是位置的移动应力单位截面积上的内力成为平面应力问题条件1等厚度薄板2面力只作用于板边，其方向平行与中面（xOy面），且沿厚度（z向）不变3体力作用于体积内，其方向平行于中面，且沿厚度不变4约束只作用于板边，其方向平行于中面，且沿厚度不变归纳起来讲，所谓平面应力的问题，就是只有平面应力分量存在，且仅为x，y 的函数的弹性力学问题

弹性力学教学大纲

课程编号：05z8514 弹性力学Theory of Elasticity 学分学时：3/48 先修课程: 高等数学；线性代数；理论力学；材料力学一、课程教学目标《弹性力学》是航空、航天结构强度和力学专业的重要专业基础课程，是固体力学的一个分支。主要研究弹性体受外力作用或温度改变等原因而产生的应力、位移和变形。弹性力学的任务是分析各种结构或其构件在弹性阶段的应力和位移，校核它们是否具有所需的强度、刚度和稳定性，并寻求或改进它们的计算方法。本课程的主要研究对象为非杆状结构，如板、壳以及其它实体结构。通过本课程的学习可为进一步学习力学类和相关工程类的后续课程打下坚实的力学基础。二、教学内容及基本要求 1. 绪论（2学时）弹性力学的发展史；研究内容；基本假设；矢量、张量基本知识。 2. 应力理论（4学时）内力和应力；斜面应力公式；应力分量转换公式；主应力、应力不变量；最大剪应力；应力偏量；平衡微分方程。 3. 应变理论（4学时）位移和变形；几何方程；转动张量；主应变和应变不变量；变形协调方程；位移场的单值条件；由应变求位移。 4. 本构关系（2学时）热力学定律与应变能；本构关系；具有弹性对称面的弹性材料的本构关系；各向同性弹性材料的弹性常数；各向同性弹性材料的应变能密度 5. 弹性理论的建立与一般原理（4学时）弹性力学基本方程和边界条件；位移解法和拉梅方程；应力解法与变形协调方程；叠加原理；解的唯一性原理；圣维南原理。 6.柱形杆问题（4学时）圣维南问题；柱形扭转问题的基本解法；反逆法与半逆法，扭转问题解例；薄膜比拟；*柱形杆的一般弯曲。 7.平面问题（12学时）平面问题及其分类；平面问题的基本解法；应力函数的性质；直角坐标解例（矩形梁的纯弯曲、简支梁受均布载荷和任意分布载荷）；极坐标中的平面问题基本方程；轴对称问题（均匀圆筒或圆环、纯弯的曲梁、压力隧洞）；非轴对称问题（小圆孔应力集中、楔体问题）；关于解和解法的讨论。 8. 空间问题（2学时）基本方程及求解方法；空间轴对称和球对称问题的基本方程；半空间体受重力及均布压力；半空间体在边界上受法向集中力；空心球受内压作用问题。 9．能量原理与变分法（6学时）弹性体的变形比能与形变势能；变分法；位移变分方程；位移变分法；位移变分法应用于平面问题；应力变分方程与极小余能原理；应力变分法；应力变分法应用于平面问题；应力变分法应用于扭转问题。 10．复变函数解法或薄板弯曲（4学时）

弹性力学试题及标准答案

弹性力学与有限元分析复习题及其答案一、填空题 1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。 2、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力的正负号规定相适应。 3、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力的正负号规定相适应。 4、物体受外力以后，其内部将发生内力，它的集度称为应力。与物体的形变和材料强度直接有关的，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量，也就是正应力和切应力。应力及其分量的量纲是L -1 MT -2 。 5、弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性。 6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。 7、已知一点处的应力分量100=x σMPa ，50=y σMPa ，5010=xy τ MPa ，则主应力=1σ150MPa ， =2σ0MPa ，=1α6135'ο。 8、已知一点处的应力分量， 200=x σMPa ，0=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应力=1σ512 MPa ， =2σ-312 MPa ，=1α-37°57′。 9、已知一点处的应力分量，2000-=x σMPa ，1000=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应力=1σ1052 MPa ， =2σ-2052 MPa ，=1α-82°32′。 10、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程。 11、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。 12、边界条件表示边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。 13、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。 14、有限单元法首先将连续体变换成为离散化结构，然后再用结构力学位移法进行求解。其具体步骤分为单元分析和整体分析两部分。 15、每个单元的位移一般总是包含着两部分：一部分是由本单元的形变引起的，另一部分是由于其他单元发生了形变而连带引起的。 16、每个单元的应变一般总是包含着两部分：一部分是与该单元中各点的位置坐标有关的，是各点不相同的，即所谓变量应变；另一部分是与位置坐标无关的，是各点相同的，即所谓常量应变。 17、为了能从有限单元法得出正确的解答，位移模式必须能反映单元的刚体位移和常量应变，还应当尽可能反映相邻单元的位移连续性。 18、为了使得单元内部的位移保持连续，必须把位移模式取为坐标的单值连续函数，为了使得相邻单元的位移保持连续，就不仅要使它们在公共结点处具有相同的位移时，也能在整个公共边界上具有相同的位移。 19、在有限单元法中，单元的形函数N i 在i 结点N i =1；在其他结点N i =0及∑N i =1。 20、为了提高有限单元法分析的精度，一般可以采用两种方法：一是将单元的尺寸减小，以便较好地反映位移和应力变化情况；二是采用包含更高次项的位移模式，使位移和应力的精度提高。

弹性力学学习心得

弹性力学学习心得孙敬龙S4 大学时期就学过弹性力学，当时的课本是徐芝纶教授的简明版教程，书的内容很丰富但是只学了前四章，学的也是比较糊涂。研究生一年级又学了一次弹性力学（弹性理论），所有课本是秦飞教授编着的，可能是学过一次的原因吧，第二次学习感觉稍微轻松点了，但是能量原理那一章还是理解不深入。弹性力学是一门较为基础的力学学科，值得我们花大量的时间去深入解读。弹性力学主要研究弹性体在外力作用或温度变化等外界因素下所产生的应力、应变和位移，从而解决结构或机械设计中所提出的强度和刚度问题。在研究对象上，弹性力学同材料力学和结构力学之间有一定的分工。材料力学基本上只研究杆状构件；结构力学主要是在材料力学的基础上研究杆状构件所组成的结构，即所谓杆件系统；而弹性力学研究包括杆状构件在内的各种形状的弹性体。弹性力学是固体力学的重要分支，它研究弹性物体在外力和其它外界因素作用下产生的变形和内力，也称为弹性理论。它是材料力学、结构力学、塑性力学和某些交叉学科的基础，广泛应用于建筑、机械、化工、航天等工程领域。弹性体是变形体的一种，它的特征为：在外力作用下物体变形，当外力不超过某一限度时，除去外力后物体即恢复原状。绝对弹性体是不存在的。物体在外力除去后的残余变形很小时，一般就把它当作弹性体处理。弹性力学的发展大体分为四个时期。人类从很早时就已经知道利用物体的弹性性质了，比如古代弓箭就是利用物体弹性的例子。当时人们还是不自觉的运用弹性原理，而人们有系统、定量地研究弹性力学，是从17

世纪开始的。发展初期的工作是通过实践，探索弹性力学的基本规律。这个时期的主要成就是R.胡克于1678年发表的弹性体的变形与外力成正比的定律，后来被称为胡克定律。第二个时期是理论基础的建立时期。这个时期的主要成就是，从 1822～1828年间，在?柯西发表的一系列论文中明确地提出了应变、应变分量、应力和应力分量概念，建立了弹性力学的几何方程、平衡(运动)微分方程，各向同性和各向异性材料的广义胡克定律，从而为弹性力学奠定了理论基础。弹性力学的发展初期主要是通过实践，尤其是通过实验来探索弹性力学的基本规律。英国的胡克和法国的马略特于1680年分别独立地提出了弹性体的变形和所受外力成正比的定律，后被称为胡克定律。牛顿于1687年确立了力学三定律。同时，数学的发展，使得建立弹性力学数学理论的条件已大体具备，从而推动弹性力学进入第二个时期。在这个阶段除实验外，人们还用最粗糙的、不完备的理论来处理一些简单构件的力学问题。这些理论在后来都被指出有或多或少的缺点，有些甚至是完全错误的。在17世纪末第二个时期开始时，人们主要研究梁的理论。到19世纪20年代法国的纳维和柯西才基本上建立了弹性力学的数学理论。柯西在1822～1828年间发表的一系列论文中，明确地提出了应变、应变分量、应力和应力分量的概念，建立了弹性力学的几何方程、运动(平衡)方程、各向同性以及各向异性材料的广义胡克定律，从而奠定了弹性力学的理论基础，打开了弹性力学向纵深发展的突破口。第三个时期是线性各向同性弹性力学大发展的时期。这一时期的主要标志是弹性力学广泛应用于解决工程问题。同时在理论方面建立了许多重要的定理或原理，并提出了许多有效的计算方法。1855～1858年间法国的圣维南发表

弹性力学概念汇总

1、五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么用途？答：连续性假定：引用这一假定后，物体中的应力、应变和位移等物理量就可以看成是连续的，因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。完全弹性假定：引用这一完全弹性的假定还包含形变与形变引起的正应力成正比的含义，亦即二者成线性的关系，符合胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程。均匀性假定：在该假定下，所研究的物体内部各点的物理性质显然都是相同的。因此，反映这些物理性质的弹性常数（如弹性模量E和泊松比μ等）就不随位置坐标而变化各向同性假定：所谓“各向同性”是指物体的物理性质在各个方向上都是相同的。进一步地说，就是物体的弹性常数也不随方向而变化。小变形假定：我们研究物体受力后的平衡问题时，不用考虑物体尺寸的改变而仍然按照原来的尺寸和形状进行计算。同时，在研究物体的变形和位移时，可以将他们的二次幂或乘积略去不计，使得弹性力学中的微分方程都简化为线性微分方程。在上述假定下，弹性力学问题都化为线性问题，从而可以应用叠加原理。 2、试分析简支梁受均布荷载时，平面截面假设是否成立？解：弹性力学解答和材料力学解答的差别，是由于各自解法不同。简言之，弹性力学的解法，是严格考虑区域内的平衡微分方程，几何方程和物理方程，以及边界上的边界条件而求解的，因而得出的解答是比较精确的。而在材料力学中没有严格考虑上述条件，因而得出的是近似解答。例如，材料力学中引用了平面假设而简化了几何关系，但这个假设对一般的梁是近似的。所以，严格来说，不成立。 3、为什么在主要边界（占边界绝大部分）上必须满足精确的应力边界条件，教材中式（2-15），而在次要边界（占边界很小部分）上可以应用圣维南原理，用三个积分的应力边界条件（即主矢量、主矩的条件）来代替？如果在主要边界上用三个积分的应力边界条件代替教材中式（2-15），将会发生什么问题？解：弹性力学问题属于数学物理方程中的边值问题，而要边界条件完全得到满足，往往遇到很大的困难。这时，圣维南原理可为简化局部边界上的应力边界条件提供很大的方便。将物体一小部分边界上的面力换成分布不同，但静力等效的面力（主矢、主矩均相同），只影响近处的应力分布，对远处的应力影响可以忽略不计。如果在占边界绝大部分的主要边界上用三个应力边界条件来代替精确的边界条件。教材中式（2-15），就会影响大部分区域的应力分布，会使问题的解答具有的近似性。 4、在导出平面问题的三套基本方程时，分别应用了哪些基本假定？这些方程的适用条件是什么？答：1、在导出平面问题的平衡微分方程和几何方程时应用的基本假定是：物体的连续性，小变形和均匀性。在两种平面问题中，平衡微分方程和几何方程都适用。2、在导出平面问题的物理方程时应用的基本假定是：物体的连续性，完全弹性，均匀性，小变形和各向同性，即物体为小变形的理想弹性体。在两种平面问题中的物理方程不一样，如果将平面应力问题的物理方程中的E换为换为，就得到平面应变问题的物理方程。 5、简述材料力学和弹性力学在研究对象、研究方法方面的异同点。在研究对象方面，材料力学基本上只研究杆状构件，也就是长度远大于高度和宽度的构件；而弹性力学除了对杆状构件作进一步的、较精确的分析外，还对非杆状结构，例如板和壳，以及挡土墙、堤坝、地基等实体结构加以研究。在研究方法方面，材料力学研究杆状构件，除了从静力学、几何学、物理学三方面进行分析以外，大都引用了一些关于构件的形变状态或应力分布的假定，这就大简化了数学推演，但是，得出的解答往往是近似的。弹性力学研究杆状构件，一般都不必引用那些假定，因而得出的结果就比较精确，并且可以用来校核材料力学里得出的近似解答。另一份答案：弹力研究方法：在区域V内严格考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，建立平衡微分方程、几何方程和物理方程；在边界s上考虑受力或约束条件，并在边界条件下求解上述方程，得出较精确的解答。在研究内容方面：材料力学研究杆件（如梁、柱和轴）的拉压、弯曲、剪切、扭转和组合变形等问题；结构力学在

弹性力学概念汇总

1、五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么用途答：连续性假定：引用这一假定后，物体中的应力、应变和位移等物理量就可以看成是连续的，因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。完全弹性假定：引用这一完全弹性的假定还包含形变与形变引起的正应力成正比的含义，亦即二者成线性的关系，符合胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程。均匀性假定：在该假定下，所研究的物体内部各点的物理性质显然都是相同的。因此，反映这些物理性质的弹性常数（如弹性模量E和泊松比μ等）就不随位置坐标而变化各向同性假定：所谓“各向同性”是指物体的物理性质在各个方向上都是相同的。进一步地说，就是物体的弹性常数也不随方向而变化。小变形假定：我们研究物体受力后的平衡问题时，不用考虑物体尺寸的改变而仍然按照原来的尺寸和形状进行计算。同时，在研究物体的变形和位移时，可以将他们的二次幂或乘积略去不计，使得弹性力学中的微分方程都简化为线性微分方程。在上述假定下，弹性力学问题都化为线性问题，从而可以应用叠加原理。 2、试分析简支梁受均布荷载时，平面截面假设是否成立解：弹性力学解答和材料力学解答的差别，是由于各自解法不同。简言之，弹性力学的解法，是严格考虑区域内的平衡微分方程，几何方程和物理方程，以及边界上的边界条件而求解的，因而得出的解答是比较精确的。而在材料力学中没有严格考虑上述条件，因而得出的是近似解答。例如，材料力学中引用了平面假设而简化了几何关系，但这个假设对一般的梁是近似的。所以，严格来说，不成立。 3、为什么在主要边界（占边界绝大部分）上必须满足精确的应力边界条件，教材中式（2-15），而在次要边界（占边界很小部分）上可以应用圣维南原理，用三个积分的应力边界条件（即主矢量、主矩的条件）来代替如果在主要边界上用三个积分的应力边界条件代替教材中式（2-15），将会发生什么问题解：弹性力学问题属于数学物理方程中的边值问题，而要边界条件完全得到满足，往往遇到很大的困难。这时，圣维南原理可为简化局部边界上的应力边界条件提供很大的方便。将物体一小部分边界上的面力换成分布不同，但静力等效的面力（主矢、主矩均相同），只影响近处的应力分布，对远处的应力影响可以忽略不计。如果在占边界绝大部分的主要边界上用三个应力边界条件来代替精确的边界条件。教材中式（2-15），就会影响大部分区域的应力分布，

弹性力学答案清晰修改

2-16设有任意形状的等厚度薄板，体力可以不计，在全部边界上(包括孔口边界上)受有均匀压力q 试证q y x -==σσ 及0=xy τ能满足平衡微分方程、相容方程和应力边界条件，也能满足位移单值条件，因而就是正确的解答。证明：（1）将应力分量q y x -==σσ，0=xy τ和0==y x f f 分别代入平衡微分方程、相容方程 ???????=+??+??=+??+??00y x xy y y x y yx x x f f τ στσ （a ） 0)1())((22 22=??+??+-=+??+??）（y f x f y x y x y x μσσ （b ）显然（a ）、（b ）是满足的（2）对于微小的三角板dy dx A ,,都为正值，斜边上的方向余弦),cos(x n l =,),cos(y n m =,将q y x -==σσ，0=xy τ代入平面问题的应力边界条件的表达式 ?? ?? ?=+=+)()() ()(s f l m s f m l y s xy y x s yx x τστσ （c ）则有),cos(),cos(x n q x n x -=σ ),cos(),cos(y n q y n y -=σ 所以q x -=σ，q y -=σ。对于单连体，上述条件就是确定应力的全部条件。（3）对于多连体，应校核位移单值条件是否满足。该题为平面应力的情况，首先，将应力分量q y x -==σσ及0=xy τ代入物理方程，得形

变分量q E x )1(-= με，q E y ) 1(-=με，0=xy γ （d ）然后，将（d ）的变形分量代入几何方程，得 q E x u ) 1(-=??μ，q E y v )1(-=??μ，0=??+??y u x v （e ）前而式的积分得到 )()1(1y f qx E u +-= μ，)() 1(2x f qy E v +-=μ （f ）其中的1f 和2f 分别是y 和x 的待定函数，可以通过几何方程的第三式求出，将式（f ）代入（e ）的第三式得 dx x df dy y df ) ()(21=- 等式左边只是y 的函数，而等式右边只是x 的函数。因此，只可能两边都等于同一个常数ω，于是有 ω-=dy y df )(1，ω=dx x df ) (2，积分以后得01)(u y y f +-=ω，02)(v x x f +=ω 代入（f ）得位移分量 ?? ???++-=+--=v x qy E v u y qx E u ωμωμ)1()1(0 其中ω,,00v u 为表示刚体位移量的常数，须由约束条件求得。从式（g ）可见，位移是坐标的单值连续函数，满足位移单值条件，因而，应力分量是正确的解答。 2-17设有矩形截面的悬臂粱，在自由端受有集中荷载F ，体力可以不计。试根据材料力学公式，写出弯应力x σ和切应力xy τ的表达式，并取挤压应力0=y σ，然后证明，这些表达式满足平衡微分方程和相容方程，再说明，这些表达式是否就表示正确的解答。解〔1〕矩形悬臂梁发生弯曲变形，任意横截面上的弯矩方程为Fx x M -=)(，横截面对z 轴（中性轴)的惯性矩为12 3 h I z =，根据材料力学公式，弯应力

弹性力学概念.

力学：研究弹性体由于受外力，边界约束或温度改变等作用而发生的应力、形变和位移。弹性力学的研究对象：为一般及复杂形状的构件、实体结构、板、壳等。（是各种弹性体，包括杆件，平面体、空间体、板和壳体等。弹性力学研究的对象比较广泛，可以适用于土木、水利、机械等工程中各种结构的分析。）弹性力学的任务在边界条件下，从平衡微分方程、几何方程和物理方程求解应力、应变和位移等未知函数研究方法已知条件：1物体的几何形状，即边界面方程2物体的材料参数3所受外力的情况4所受的约束情况。求解的未知函数：应力、应变和位移。解法：在弹性体区域内，根据微分体上力的平衡条件建立平衡微分方程；根据微分线段上应变和位移的几何条件，建立几何方程；根据应力和应变之间的物理条件建立物理方程弹性体边界上，根据面力条件，建立应力边界条件；根据约束条件建立位移边界条件然后在边界条件下，求解弹性体区域内的微分方程，得出应力、形变和位移弹性力学的基本假设（即满足什么样条件的物体是我们在弹性力学中要研究的）（1）均匀性假设即物体是由同一种材料所组成的，在物体内任何部分的材料性质都是相同的。（用处：物体的弹性参数，如弹性模量E，不会随位置坐标的变化而变化）（2）连续性假设即物体的内部被连续的介质所充满，没有任何孔隙存在。（用处：弹性体的所用物理量均可用连续的函数去表示）（3）完全弹性假设即当我们撤掉作用于物体的外力后，物体可以恢复到原状，没有任何的残余变形；应力（激励）与应变（响应）之间呈正比关系。（用处：可以使用线性虎克定律来表示应力与应变的关系）（4）各向同性假设即物体内任意一点处，在各个方向都表现出相同的材料性质。（用处：物体的弹性参数可以取为常数）（5）小变形假设即在外力的作用下，物体所产生的位移和形变都是微小的。（用处：可以在某些方程的推导中略去位移和形变的高阶微量。即简化几何方程，简化平衡微分方程）上述这些假定，确定了弹性力学的研究范畴：研究理想弹性体的小变形状态外力是其他物体作用于研究对象的力（分为体力和面力）体力是作用于物体体积内的外力（如重力和惯性力）面力是作用于物体表面上的外力（如液体压力和接触力）内力假想将物体截开，则截面两边有互相作用的力，称为内力切应力互等定理作用于两个互相垂直面上，并且垂直于该两面交线的切应力是互等的（大小等正负号相同）形变就是物体形状的改变。在弹性力学中，通过任一点作3个沿正坐标方向的微分线段，并以这些微分线段的应变来表示该点的形变所谓位移就是位置的移动应力单位截面积上的内力成为平面应力问题条件1等厚度薄板2面力只作用于板边，其方向平行与中面（xOy面），且沿厚度（z向）不变3体力作用于体积内，其方向平行于中面，且沿厚度不变4约束只作用于板边，其方向平行于中面，且沿厚度不变归纳起来讲，所谓平面应力的问题，就是只有平面应力分量存在，且仅为x，y的函数的弹性力学问题成为平面应变问题条件1常截面长住体2面力作用于柱面上，其方向平行于横截面，且沿长度方向不变3体力作用于体积内，其方向平行于横截面，且沿长度方向不变4约束作用于

弹性力学的变分原理

第十一章弹性力学的变分原理一.内容介绍由于偏微分方程边值问题的求解在数学上的困难，因此对于弹性力学问题，只能采用半逆解方法得到个别问题解答。一般问题的求解是十分困难的，甚至是不可能的。因此，开发弹性力学的数值或者近似解法就具有极为重要的作用。变分原理就是一种最有成效的近似解法，就其本质而言，是把弹性力学的基本方程的定解问题，转换为求解泛函的极值或者驻值问题，这样就将基本方程由偏微分方程的边值问题转换为线性代数方程组。变分原理不仅是弹性力学近似解法的基础，而且也是数值计算方法，例如有限元方法等的理论基础。本章将系统地介绍最小势能原理和最小余能原理，并且应用变分原理求解弹性力学问题。最后，将介绍有限元方法的基本概念。本章内容要求学习变分法数学基础知识，如果你没有学过上述课程，请学习附录3或者查阅参考资料。二.重点 1. 几何可能的位移和静力可能的应力； 2. 弹性体的虚功原理； 3. 最小势能原理及其应用； 4. 最小余能原理及其应用； 5. 有限元原理的基本概念。知识点静力可能的应力弹性体的功能关系功的互等定理弹性体的总势能虚应力

应变余能函数应力变分方程最小余能原理的近似解法扭转问题最小余能近似解有限元原理与变分原理有限元原理的基本概念有限元整体分析几何可能的位移虚位移虚功原理最小势能原理瑞利-里茨(Rayleigh-Ritz）法伽辽金(Гапёркин）法最小余能原理平面问题最小余能近似解基于最小势能原理的近似计算方法基于最小余能原理的近似计算方法有限元单元分析附录3 变分原理泛函是指某一个量，它的值依赖于其它一个或者几个函数。因此泛函也称为函数的函数。变分法的基本问题是求解泛函的极值。

弹性力学基本概念

弹性力学中的基本假定1连续性假定在物体体积内都被连续介质所充满，没有任何空隙，亦即从宏观角度上认为物体是连续的。因此，所有的物理量均可以用连续函数来表示，从而可以应用数学分析工具2完全弹性假定物体是完全弹性的。这个假定包含两点含义：a.当外力取消时，物体回复到原状，不留任何残余变形，即所谓“完全弹性”b.应力与相应的应变成正比，即所谓“线性弹性”。根据完全弹性假定，物体中的应力与应变之间的物理关系可以用胡克定律来表示3均匀性物体是由同种材料组成的，物体内任何部分的材料性质均相同。这样，物体的弹性常数等不随位置坐标而变化4各向同性物体内任一点各方向的材料性质都相同。这样，弹性常数等也不随方向而变化。凡符合以上四个假定的物体，称为理想弹性体5小变形假定假定物体的位移和应变是微小的。物体在受力后，其位移远小于物体的尺寸，其应变远小于1。用途：a.简化几何方程，使几何方程成为线性方程。b.简化平衡微分方程面力是作用于物体表面上的外力体力是作用于物体体积内的外力应力单位截面积上的内力切应力互等定理作用于两个互相垂直面上，并且垂直于该两面交线的切应力是互等的形变就是物体形状的改变。通过任一点作3个沿正坐标方向的微分线段，并以这些微分线段的应变来表示该点的形变成为平面应力问题条件1等厚度薄板2面力只作用于板边，其方向平行与中面，且沿厚度不变3体力作用于体积内，其方向平行于中面，且沿厚度不变4约束只作用于板边，其方向平行于中面，且沿厚度不变成为平面应变问题条件1常截面长住体2面力作用于柱面上，其方向平行于横截面，且沿长度方向不变3体力作用于体积内，其方向平行于横截面，且沿长度方向不变4约束作用于柱面上，其方向平行于横截面，且沿长度方向不变平衡微分方程表示区域内任一点（x，y）的微分体的平衡条件平衡问题中一点应力状态1求斜面应力分量2由斜面应力分量求斜面上的正应力和切应力3求一点的主应力及应力方向4求一点的最大和最小的正应力和切应力几何方程表示任一点的微分线段上，形变分量与位移分量之间的关系式形变与位移的关系1如果物体的位移确定，则形变完全确定2当物体的形变分量确定时，位移分量不完全确定边界条件表示在边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。可分为：位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件位移边界条件实质上是变形连续条件在约束边界上的表达式应力分量和正的面力分量的正负号规定不同在正坐标面上，应力分量与面力分量同号；在负坐标面上，应力分量与面力分量异号应力边界条件两种表达方式：1在边界点取出一个微分体，考虑其平衡条件2在同一边界上，应力分量应等于对应的面力分量（数值相同，方向一致）圣维南原理如果把物体的一小部分边界上的面力，变化为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对于同一点的主矩也相同）那么近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受的影响可以不计只能应用于一小部分边界上（又称局部边界、小边界和次要边界）圣维南原理推广如果物体一小部分边界上的面力是一个平衡力系（主矢量及主矩都等于零），那么这个面力就只会使近处产生显著的应力而远处的应力可以不计应力边界条件上应用圣维南原理就是在小边界上将精确的应力边界条件式，代之为静力等效的主矢量和主矩的条件形变协调条件的物理意义1形变协调条件是连续体中位移连续性的必然结果2形变协调条件是形变对应的位移存在且连续的必要条件

弹性力学学习心得

弹性力学学习心得孙敬龙S201201024 大学时期就学过弹性力学，当时的课本是徐芝纶教授的简明版教程，书的内容很丰富但是只学了前四章，学的也是比较糊涂。研究生一年级又学了一次弹性力学（弹性理论），所有课本是秦飞教授编著的，可能是学过一次的原因吧，第二次学习感觉稍微轻松点了，但是能量原理那一章还是理解不深入。弹性力学是一门较为基础的力学学科，值得我们花大量的时间去深入解读。弹性力学主要研究弹性体在外力作用或温度变化等外界因素下所产生的应力、应变和位移，从而解决结构或机械设计中所提出的强度和刚度问题。在研究对象上，弹性力学同材料力学和结构力学之间有一定的分工。材料力学基本上只研究杆状构件；结构力学主要是在材料力学的基础上研究杆状构件所组成的结构，即所谓杆件系统；而弹性力学研究包括杆状构件在内的各种形状的弹性体。弹性力学是固体力学的重要分支，它研究弹性物体在外力和其它外界因素作用下产生的变形和内力，也称为弹性理论。它是材料力学、结构力学、塑性力学和某些交叉学科的基础，广泛应用于建筑、机械、化工、航天等工程领域。弹性体是变形体的一种，它的特征为：在外力作用下物体变形，当外力不超过某一限度时，除去外力后物体即恢复原状。绝对弹性体是不存在的。物体在外力除去后的残余变形很小时，一般就把它当作弹性体处理。弹性力学的发展大体分为四个时期。人类从很早时就已经知道利用物体的弹性性质了，比如古代弓箭就是利用物体弹性的例子。当时人们还是不自觉的运用弹性原理，而人们有系统、定量地研究弹性力学，是从17世纪开始的。发展初期的工作是通过实践，探索弹性力学的基本规律。这个时期的主要成就是R.胡克于1678年发表的弹性体的变形与外力成正比的定律，后来被称为胡克定律。第二个时期是理论基础的建立时期。这个时期的主要成就是，从1822～1828年间，在A.L?柯西发表的一系列论文中明确地提出了应变、应变分量、应力和应力分量概念，建立了弹性力学的几何方程、平衡(运动)微分方程，各向同性和各向异性材料的广义胡克定律，从而为弹性力学奠定了理论基础。弹性力学的发展初期主要是通过实践，尤其是通过实验来探索弹性力学的基本规律。英国的胡克和法国的马略特于1680年分别独立地提出了弹性体的变形和所受外力成正比的定律，后被称为胡克定律。牛顿于1687年确立了力学三定律。同时，数学的发展，使得建立弹性力学数学理论的条件已大体具备，从而推动弹性力学进入第二个时期。在这个阶段除实验外，人们还用最粗糙的、不完备的理论来处理一些简单构件的力学问题。这些理论在后来都被指出有或多或少的缺点，有些甚至是完全错误的。在17世纪末第二个时期开始时，人们主要研究梁的理论。到19世纪20年代法国的纳维和柯西才基本上建立了弹性力学的数学理论。柯西在1822～1828年间发表的一系列论文中，明确地提出了应变、应变分量、应力和应力分量的概念，建立了弹性力学的几何方程、运动(平衡)方程、各向同性以及各向异性材料的广义胡克定律，从而奠定了弹性力学的理论基础，打开了弹性力学向纵深发展的突破口。第三个时期是线性各向同性弹性力学大发展的时期。这一时期的主要标志是弹性力学广泛应用于解决工程问题。同时在理论方面建立了许多重要的定理或原理，并提出了许多有效的计算方法。1855～1858年间法国的圣维南发表了关于柱体扭转和弯曲的论文，可以说是第三个时期的开始。在他的论文中，理论结果和实验结果密切吻合，为弹性力学的正确性提供了有力的证据；1881年德国的赫兹解出了两弹性体局部接触时弹性体内的应力分布；1898年德国的基尔施在计算圆孔附近的应力分布时，发现了应力集中。这些成就解释了过去无法解释的实验现象，在提高机械、结构等零件的设计水平方面起了重要作用，使弹性力学得到工程界的重视。在这个时期，弹性力学的一般理论也有很大的发展。一方面建立了各种关于能量的定理(原理)。另一方面发展了许多有效的近似计算、数值计算和其他计算方法，如著名的瑞利——里兹法，为直接求

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