2-2 收敛数列的性质与收敛判定

2010年8月
南京航空航天大学 理学院数学系
16
例4 证 明 数 列 x n ( 1) 证
设 lim x n a ,
n
n1
是 发 散 的.
对于
1 2
由定义,
1 2
,
则 N , 使得当 n N 时 , 有 x n a 即当 n N 时 , x n ( a
即有 a 1 x n a 1 .
记 M max{ x 1 , , x N , a 1 , a 1 },
则对一切自然数
n , 皆有 x n M , 故 x n 有界 .
注意：有界性是数列收敛的必要条件. 推论
2010年8月
无界数列必定发散.
南京航空航天大学 理学院数学系 4
而 x n 无休止地反复取
成立 ,
1 2
,a
1 2
),
区间长度为1.
1 , 1 两个数 ,
不可能同时位于长度为1的区间内.
事实上 , { x n }是有界的 , 但却发散 .
2010年8月 南京航空航天大学 理学院数学系 17
用子数列刻画数列不收敛于a
数 列 an 不 收 敛 于 a
存 在 an 的 子 列 an
收敛数列的性质
1.唯一性
2.有界性
3.保号性
4.保不等式性
5.迫敛性（夹逼性）
6.四则运算法则
7.子数列的收敛性
2010年8月 南京航空航天大学 理学院数学系 1
1、唯一性
定理 证 每个收敛的数列只有一个极限.
n n
设 lim x n a , 又 lim x n b ,
由定义,
a n 的展开式中共有 n 1 项，每一项为正数。
2010年8月 南京航空航天大学 理学院数学系 26
a n1
1 1 11 1 ... 2! n1 1 1 2 k 1 1 1 ... 1 k! n 1 n1 n1 1 1 2 n1 1 1 ... 1 n! n 1 n1 n1 1 2 n 1 1 ... 1 ( n 1 )! n 1 n1 n1 1
1 1 1 n
n n
2

n n 1
2
,
又 lim
n
n n
2
lim
n
1,
lim
n n 1
2
n
lim
1 1 1 n
2
n
1,
由夹逼性得
1 n n
2
lim (
n
1 n 1
2

1 n 2
2

) 1.
10
2010年8月
南京航空航天大学 理学院数学系
3、保号性
若 lim a a 0 ，则对任何 a ' ( 0 , a ) , 存在数N，使得当n>N时，有
n n
an a '
意义：收敛数列极限的符号决定了该数 列中绝大部分项的符号
2010年8月 南京航空航天大学 理学院数学系 5
4.保不等式性
定理 设{ x n }, { y n } 皆收敛，若
数列 x n 2 . 无界
n
数 轴 上 对 应 于 有 界 数 列 的 点xn 都 落 在 闭 区 间
[ M , M ]上 .
2010年8月 南京航空航天大学 理学院数学系 3
定理 证
收敛的数列必定有界.
设 lim x n a ,
n
由定义,
取 1,
则 N , 使得当 n N 时恒有 x n a 1 ,
n ( n 1 )...( n k 1 ) 1 1 C k! n n
k n
k
k
1 1 2 k 1 1 1 ... 1 k! n n n
2010年8月 南京航空航天大学 理学院数学系 25
xn yn
n

lim x n
n

a b
( b 0 )。
lim y n
n
2010年8月
南京航空航天大学 理学院数学系
11
例3 求
lim
a0n
m k
a1n
m 1 k 1
am bk
n
b 0 n b1 n
a0
0 , b0 0 , m 和 k为 非 负 整 数
南京航空航天大学 理学院数学系
项 ， 显 然 ， nk k .
14
2010年8月
定理
收敛数列的任一子数列也收敛．且极限相同．
设数列
证

x 是数列
nk
x n 的任一子数列．
lim x n a ,
n

0 , N 0 , 使 n N 时 , 恒有
xn a .
上式仅当 a b 时才能成立
2010年8月
.
故收敛数列极限唯一.
2
南京航空航天大学 理学院数学系
2、有界性
定义: 对数列 x n , 若存在正数 M , 使得一切自 然数 n , 恒有 x n M 成立, 则称数列 x n 有界, 否则, 称为无界.
例如, 数列 x n
n n1 ; 有界
6.极限的四则运算
定理 设 lim x n a , lim y n b , 则 n n （1） lim ( x n y n ) lim x n lim y n a b , n n n （这里 , 为常数）。
（2）lim ( x n y n ) lim x n lim y n ab 。 n n n （3） lim
取 K N,
则当 k K 时 ,
x nk a .
nk nk nK N .

k
lim x n k a .
证毕．
15
2010年8月
南京航空航天大学 理学院数学系
推论 若数列存在两个子数列分别收敛于不 同的极限，则这个数列必发散。
注
该推论是证明数列必发散的很好的工具。

lim
a0n
m k
a1 n
m 1 k 1
am bk
nHale Waihona Puke Baidu
b 0 n b1 n
a0 b , k m, 0 0, k m , , k m,
12
2010年8月
南京航空航天大学 理学院数学系
练习

1 求 lim n
n
n
那末数列 x n 的极限存在, 且 lim x n a .
本性质既给出了判别数列收敛的方法；又提 供了一个计算数列极限的方法。
2010年8月
南京航空航天大学 理学院数学系
8
注意:
{ n n } 的极限。 例1 求数列
解： 记 a n 则有：
1 a n 1 hn 1 2 n1
0 , N 1 , N 2 .使得 当 n N 1时恒有 x n a ;
当 n N 2 时恒有 x n b ; 取 N max
N 1 , N 2 ,
则当 n N 时有 a b ( x n b ) ( x n a )
x n b x n a 2.
按照数列极限的定义证明。 按照奇、偶子列的收敛性证明。 利用夹逼准则证明。

最简单的思想是利用数列本身的性质 证明数列极限的存在性
2010年8月 南京航空航天大学 理学院数学系 20
数列极限存在的判别准则
1.
单调有界准则
2.
3. 4.
2010年8月
数列极限的归并原理 Weierstrass定理
几何解释:
x1
2010年8月
x 2 x 3x n x n 1
A
M
x
22
南京航空航天大学 理学院数学系
几点说明：
• 通常该准则变通为：
1） 单调递增有上界的数列存在极限。 2） 单调递减有下界的数列存在极限。 • 本定理只是证明了存在性。 • 本定理只对一类特殊的数列可以判别存在性。 • 此定理的条件为充分非必要条件。
这些项在原数列
的一个数列称为原数列
例如， x 1 , x 2 , , x i , x n ,
x n1 , x n 2 , , x n k ,
在 注意： 子 数 列 x n 而 xn 在 原 数 列
k k
中 ， 一 般 项
xn 是 第 k 项 ，
k
x n 中 却 是 第 nk
k
以 及
k
0
0， 满 足
an a 0
2010年8月
南京航空航天大学 理学院数学系
18
数列极限的两大问题
数列极限的存在性；
（此问题为最关键的问题） 数列极限值的大小； （存在性成立后， 才想办法计算极限）
2010年8月
南京航空航天大学 理学院数学系
19
几种证明极限存在的方法：
1 1 an 1 1 1 ... 2! n 1 1 2 k 1 1 1 ... 1 k! n n n 1 1 2 n1 1 1 ... 1 n! n n n
a n1 1 1 n1
n
n1
1 1 k 1 ( n 1) ... C n 1 ... n1 n1 n1 1
k n
1 1 1 k 1 a n 1 1 n ... C n ... n n n n
柯西(Cauchy)收敛原理
南京航空航天大学 理学院数学系 21
一、单调有界准则
如果数列 x n 满足条件
x 1 x 2 x n x n 1 , 单调增加 x 1 x 2 x n x n 1 , 单调减少
单调数列
定理 1 单调有界数列必收敛。
a
n
n
a 1
，其中 a 1 。

2 求 lim n ( n 1 n ) 。 n
2010年8月
南京航空航天大学 理学院数学系
13
7、子数列的收敛性
定义：在数列
xn中 任 意 抽 取 无 限 多 项 并 保 持 xn中 的 先 后 次 序 ， 这 样 得 到 xn 的 子 数 列 （ 或 子 列 ） ．
lim x n lim y n .
n n
2010年8月
南京航空航天大学 理学院数学系
7
5.极限的夹逼性
如果数列 x n , y n 及 z n 满足下列条件:
(1) yn x n z n ( 2) lim yn a ,
n
( n 1,2,3) lim z n a ,
n
n 1 h n ， 这里 h 0 ( n 1 ) ， n
左右两边的极限均为1， 故由夹逼性本例得证。
2010年8月 南京航空航天大学 理学院数学系 9
例2 求 lim (
n
1 n 1
2

1 n 2
2

1
1 n n
2
).
解

n n n
2

n
1 n 1
2

a n ( 1)
2010年8月
n
1 n
, n 1 , 2 ,....
23
南京航空航天大学 理学院数学系
例1 设
an 1
1 2


1 3

...
1 n

, n 1 , 2 ,...
其中 2 ，证明 { a n } 收敛。
证明： { a n } 递增显然，下面证明有上界，事实上：
an 1 1 2 1
2

1 3
2
...
1 n
2
1
12

1 23
...
1 ( n 1) n
2
2010年8月
1 n
, n 1 , 2 ,....
南京航空航天大学 理学院数学系 24
例2 证明 lim ( 1
n
1 n
) 存在。
k n1
n
证明：
lim x n lim y n ,
n n
则， N,当n N时， x n y n 。
2010年8月
南京航空航天大学 理学院数学系
6
推论
若 lim y n b 0 , 则， N,当n N时， n
| y n | |b| 2 0.
推论
若 N, 使 x n y n 对n N成立， 则