2015年高考理科数学试题汇编(含答案)：数列 大题

（重庆）22．（本小题满分12分，（1）小问4分，（2）小问8分）

在数列{}n a 中，()2

1113,0n n n n a a a a a n N λμ+++=++=∈

（1）若0,2,λμ==-求数列{}n a 的通项公式； （2）若()0001,2,1,k N k k λμ+=

∈≥=-证明：01

0011

223121

k a k k ++<<+++ 【答案】（1）132n n a -=⋅；（2）证明见解析

.

试题分析：(1)由02λμ==-，,有212,(n N )n n n a a a ++=∈

若存在某个0n N +∈，使得0n 0a =，则由上述递推公式易得0n 10a +=，重复上述过程可得

10a =，此与13a =矛盾，所以对任意N n +∈,0n a ≠.

从而12n n a a +=()N n +∈，即{}n a 是一个公比q 2=的等比数列. 故11132n n n a a q --== . (2)由0

1

1k λμ=

=-，，数列{}n a 的递推关系式变为 21101

0,n n n n a a a a k +++

-=变形为2101n n n a a a k +⎛⎫+= ⎪⎝

⎭()N n +∈.

由上式及13a =，归纳可得

12130n n a a a a +=>>>>>>

因为22

220010000

11111

1

11n n n n n n n a a k k a a k k k a a a k k +-+=

=

=-+

++

+，所以对01,2n k =

求和得()

()

00011211k k k a a a a a a ++=+-+

+-

01000010200000011111

111111112231313131

k a k k k k a k a k a k k k k k ⎛⎫=-⋅+⋅+++ ⎪

⎪+++⎝⎭⎛⎫>+⋅+++=+ ⎪

++++⎝⎭

另一方面，由上已证的不等式知001212k k a a a a +>>

>>>得

0011000010201111

1

111k k a a k k k k a k a k a +⎛⎫

=-⋅+⋅++

+ ⎪ ⎪+++⎝⎭

00000111

1

1

222121

2121k k k k k ⎛⎫<+

⋅+++

=+

⎪++++⎝⎭ 综上：01001

12231

21

k a k k ++

<<+

++

考点：等比数列的通项公式，数列的递推公式，不等式的证明，放缩法.

（江苏）20.（本小题满分16分）

设1234,,,a a a a 是各项为正数且公差为d (0)d ≠的等差数列 （1）证明：31242,2,2,2a

a

a

a

依次成等比数列；

（2）是否存在1,a d ，使得2341234,,,a a a a 依次成等比数列，并说明理由； （3）是否存在1,a d 及正整数,n k ，使得k

n k n k

n n

a a a a 342321,,,+++依次成等比数列，并说明

理由.

【答案】（1）详见解析（2）不存在（3）不存在

（2）令1a d a +=，则1a ，2a ，3a ，4a 分别为a d -，a ，a d +，2a d +（a d >，

2a d >-，0d ≠）．

假设存在1a ，d ，使得1a ，2

2a ，3

3a ，4

4a 依次构成等比数列，

则()()34a a d a d =-+，且()()64

22a d a a d +=+． 令d t a =

，则()()3111t t =-+，且()()64

112t t +=+（112

t -<<，0t ≠）， 化简得32220t t +-=（*），且21t t =+．将21t t =+代入（*）式，

()()21212313410t t t t t t t t +++-=+=++=+=，则1

4

t =-

． 显然1

4

t =-

不是上面方程得解，矛盾，所以假设不成立， 因此不存在1a ，d ，使得1a ，2

2a ，3

3a ，4

4a 依次构成等比数列． （3）假设存在1a ，d 及正整数n ，k ，使得1n

a ，2n k

a +，23

n k

a +，34

n k

a +依次构成等比数

列， 则()

()

()

221112n k

n k n a a d a d +++=+，且()()

()

()

32211132n k

n k

n k a d a d a d +++++=+．

分别在两个等式的两边同除以()

21n k a +及()

221

n k a +，并令1d t a =

（1

3

t >-，0t ≠）， 则()

()

()

22121n k

n k t t +++=+，且()()()

()

32211312n k n k

n k t t t +++++=+．

将上述两个等式两边取对数，得()()()()2ln 122ln 1n k t n k t ++=++， 且()()()()()()ln 13ln 1322ln 12n k t n k t n k t +++++=++． 化简得()()()()2ln 12ln 12ln 1ln 12k t t n t t +-+=+-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 且()()()()3ln 13ln 13ln 1ln 13k t t n t t +-+=+-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦．

再将这两式相除，化简得()()()()()()ln 13ln 123ln 12ln 14ln 13ln 1t t t t t t +++++=++（**）．

令()()()()()()()4ln 13ln 1ln 13ln 123ln 12ln 1g t t t t t t t =++-++-++，

则()()()()()()()()()()

222

213ln 13312ln 1231ln 111213t t t t t t g t t t t ⎡⎤

++-+++++⎣

⎦'=+++．