自控理论 4-2极坐标图

G ( jω ) = 1∠ − ωT
Im
0
ω=0 1 Re
ω
二. 开环系统的极坐标图
1.最小相位系统极坐标图的近似绘制: 1.最小相位系统极坐标图的近似绘制 最小相位系统极坐标图的近似绘制:
(1) 将开环传递函数按典型环节分解
K(τ1s + 1)L(τ m s + 1) K l G(s)H(s) = ν = ν ∏Gi (s) s (T1s + 1)L(Tn−ν s + 1) s i =1
(3) 与坐标轴的交点
(a) 曲线与实轴的交点： 曲线与实轴的交点： 令 求得ω代入Re [G(jω)H(jω)] 中，即得与实轴的交点 。
(b 曲线与虚轴的交点： (b) 曲线与虚轴的交点： 令 Re [G(jω)H(jω)] = 0
Im [G(jω)H(jω)] = 0
ω I 求得 代入 m [G(jω)H(jω)] 中，即得与虚轴的交点 ω A 再取几个 点计算 (ω)和ϕ(ω) 即可得 ，
K s(T1s + 1)(T2 s + 1)
G2 (s) =
K(τ1s + 1)(τ 2 s + 1) s(T1s + 1)(T2 s + 1)(T3 s + 1)(T4 s + 1)
ν =1
Im ω=∞ ω= Re G1(jω) ω ω=0 ω=
n− m = 3
Im ω=∞ ω= Re G2(jω) ω ω=0 ω=
o
G ( j∞ ) = 0∠ − 180o
dA ( ω ) = 0,得 令 dω
1 G ( jω n ) = G ( j ) = ∠ − 90 o 2ζ
ω r = ω n 1 − 2ζ 2
A(ω r ) = M r =
1 2ζ 1 − ζ
2
(0<ζ<0.707) 0<ζ<0.707) 0<
曲线） 曲线 振荡环节G(jω)曲线 （Nyquist曲线 曲线 振荡环节
b0 ( jω)m b0 G( jω)H( jω) ω→∞ ≈ = n ( jω) ω→∞ ( jω)n−m ω→∞
b0 = 0∠(n − m)(−900 )
n=m n> m
b0 G ( j∞ ) H ( j∞ ) = 0∠( n − m )( −90 0 )
n=m n>m
G1(s) =
解 此系统 ν=1，n-m=3, G(j 0+)H(j 0+)=∞∠ν(-90) =∞∠(-900) ； )=∞∠ν(-90) =∞∠ G(j∞)H(j∞)=0∠(n-m)(-900)=0∠-2700； (j∞)H(j∞)=0∠ )(- )=0∠
中频段: 中频段: 10(− j)(1 − j0.2ω)(1 − j0.05ω) G( jω)H( jω) = ω[1 + (0.2ω)2 ][1 + (0.05ω)2 ] 2 − 2.5ω − j10(1 − 0.01ω ) = ω[1 + (0.2ω)2 ][1 + (0.05ω)2 ]
Im ω=∞
0 Re
ω=0+
准确给出不稳定环节的相位特性,是能正确绘图的关键！ 准确给出不稳定环节的相位特性 是能正确绘图的关键！ 是能正确绘图的关键
作业: 作业:
4－ 4－ A － 1
4－ 4－ A － 3
K(1 + jωτ1 )L(1 + jωτm ) G( jω)H( jω) = ( jω)ν (1 + jωT1 )L(1 + jωTn−ν )
K K 0 G( j0 )H( j0 ) = lim = ν ∠ν (−90 ) ν + ω→0 ( jω) ω
+ +
K∠0o = ∞∠ν (−90o )
Nyquist 图的大致形状。 图的大致形状。
例 绘制开环系统极坐标图。 绘制开环系统极坐标图。
1000 G(s) = (s + 1)( s + 2)( s + 5)
解 此系统 ν= 0，n - m = 3, ， G(j 0)=100∠0 0 ； ∠ G(j∞)=0∠(n-m)(-900)= 0∠-270 0 ∠ ∠
§4-2 极坐标图
一. 典型环节极坐标图
表4-1
G(s) = 1 4.惯性环节 (jω) 惯性环节G( ω) 惯性环节 0.5s+1 1 A(ω)= ω ϕ(ω) = -tg-10.5ω 2+1 ω 0.25 ω ω 0 0.5 1 2 4 5 8 20
ϕ(ω) Α(ω)
-14.50 -26.60 -450 -63.40 -68.20 -760 -840 0
ϕ (ω
1
n
0
A B
7. 二阶微分环节
2 2 2
G ( s ) = T 2 s 2 + 2ζTs + 1
2 −1
2ζω T G ( jω ) = (1 − ω T ) + ( 2ζω T ) ∠tg 2 2 1−ω T
Im
ω →∞
0
2ζ
s ) = e − Ts
j 1 0
A(ω r ) =
1 2ζ 1 − ζ 2
1 A(ωn ) = 2ζ
ωn
ωr
Im
2 ωn G( s) = 2 2 s + 2ζω n s + ω n
振荡环节 G( jω )
ω
M
r
A:
= ω
r
n
1 − 2ζ 1 1 − ζ
2
B: A ( ω
n
=
1 ) = 2ζ ) = − 90
Re
o
2ζ
2
(0<ζ<1) <
2 ωn 1 G( s) = 2 = 2 2 2 s + 2ζω n s + ω n T s + 2ζTs + 1
2ζTω G ( jω ) = ∠ − arctg 2 2 2 2 2 2 1 − T 2ω 2 (1 − T ω ) + 4ζ T ω 1
G( j0) = 1∠0
1 T
令 Re[G( jω)] = 0 得 ω = 1.2 与虚轴交点： 与虚轴交点： Im[G( jω)] ω=1.2 = −56.8
ω = 17 -8
Im ω=∞ ω=1.2 -j56.8 ω=0 Re 100
【例4-4】绘制系统极坐标图。 绘制系统极坐标图。
10 G( jω)H( jω) = jω(1 + j0.2ω)(1 + j0.05ω)
令 Im[G(jω)H(jω)]=0，求得ω=±10，取ω=10 Im[G(jω (jω)]=0 求得ω=±10， ω=10 并代入 Re[G(jω)H(jω)]= -0.4, Re[G(jω (jω 即曲线与实轴交于（ 即曲线与实轴交于（-0.4, j0）点。 再令 Re[G(jω)H(jω)]=0,求得ω=∞ ,G(j∞)H(j∞)=0 Re[G(jω (jω)]=0 求得ω (j∞)H(j∞)=0 说明曲线与虚轴交于坐标原点。如图4 所示。 说明曲线与虚轴交于坐标原点。如图4-6所示。
=0+ Im
ϕ(ω) = −900 − (1800 − tg−1 ωT)
G( j0+ ) = ∞∠ − 2700 G( j∞) = 0∠ − 1800
ω=∞ Re
0
K(Ts −1) 2) G(s) = s2 ϕ(ω) =(1800 − tg−1 ωT)− 1800 G( j0+ ) = ∞∠00 G( j∞) = 0∠ − 900
10 G( jω)H( jω) = jω(1 + j0.2ω)(1 + j0.05ω)
Im
-1
ω=6
-0.4 ω = 10
ω=∞ Re
ω=5
ω→0
的频率特性Nyquist图 图4-6 例4-4的频率特性 的频率特性 图
2. 非最小相位系统极坐标图的近似绘制: 最小相位系统极坐标图的近似绘制:
K 1) G(s) = s(Ts − 1)
1 0.97 0.89 0.71 0.45 0.37 0.24 0.05
Re[G(jω)] ω 1 j Im[G(jω)] ω 0
5. 一阶微分环节
G ( s ) = Ts + 1
G ( jω ) = 1 + jωT = 1 + (ωT ) 2 ∠tg −1ωT
Im
ω →∞
0
1
ω=0
Re
6.振荡环节 振荡环节G(jω) 振荡环节
ν =0 ν >0
如图4 如图4-4所示
k∠0o G( j0+ )H( j0+ ) = o ∞∠ν (−90 )
ν =0 ν >0
② 高频段
ω →∞
b0 ( jω)m + b1( jω)m−1 + L+ bm G( jω)H( jω) = ( jω)n + a1( jω)n−1 + L+ an
1000 1000(1 − jω)(2 − jω)(5 − jω) G( jω) = = (1 + jω)(2 + jω)(5 + jω) (1 + ω2 )(4 + ω2 )(25 + ω2 )
1000[(10 − 8ω2 ) + jω(ω2 − 17) 中频段： G 中频段： ( jω) = (1 + ω2 )(4 + ω2 )(25 + ω2 ) 令 Im[G( jω)] = 0 得 ω1 = 0, ω2 = 17 与实轴交点： R 与实轴交点： e[G( jω1 )] = 100, Re[G( jω2 )] = −8
Gi(s)为除1/sν、K外的其它典型环节 (s)为除 s 为除1/
K (1 + jωτ 1 )L (1 + jωτ m ) G ( jω ) H ( jω ) = ( jω )ν (1 + jωT1 )L(1 + jωTn−ν )
粗略画三个特殊点
(2) 起点和终点 ① 低频段
(ω → 0 + )