1初中数学《几何辅助线秘籍》中点模型的构造1(倍长中线法;构造中位线法)
中考数学必考几何模型：中点四大模型
中点四大模型模型1 倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形②图①图构造全等倍长类中线倍长中线DCBAFF ACABCDCA模型分析如图①，AD 是△ABC 的中线，延长AD 至点E 使DE ＝AD ，易证：△ADC ≌△EDB （SAS ）． 如图②，D 是BC 中点，延长FD 至点E 使DE ＝FD ，易证：△FDB ≌△EDC （SAS ）当遇见中线或者中点的时候，可以尝试倍长中线或类中线，构造全等三角形，目的是对已知条件中的线段进行转移．模型实例如图，已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，连接BE 并延长交AC 于点F ，AF ＝EF ，求证：AC ＝BE ．FECA1．如图，在△ABC 中，AB ＝12，AC ＝20，求BC 边上中线AD 的范围．BA解：延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，在△ADC与△EDB中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DEADBDEADCCDBD，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴EB＝AC＝20，根据三角形的三边关系定理：20－12＜AE＜20＋12，∴4＜AD＜16，故AD的取值范围为4＜AD＜16．2．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DM⊥DN，如果BM2＋CN2＝DM2＋DN2．求证：AD2＝41(AB2＋AC2)．NMD CA证明：如图，过点B作AC的平行线交ND的延长线于E，连ME．∵BD ＝DC ， ∴ED ＝DN ．在△BED 与△CND 中，∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DN ED CDN BDE DC BD ∴△BED ≌△CND （SAS ）． ∴BE ＝NC ． ∵∠MDN ＝90°，∴MD 为EN 的中垂线． ∴EM ＝MN ．∴BM 2＋BE 2＝BM 2＋NC 2＝MD 2＋DN 2＝MN 2＝EM 2， ∴△BEM 为直角三角形，∠MBE ＝90°． ∴∠ABC ＋∠ACB ＝∠ABC ＋∠EBC ＝90°． ∴∠BAC ＝90°． ∴AD 2＝(21BC )2＝41（AB 2＋AC 2）．模型2 已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用“三线合一”．ABCDDCBA模型分析等腰三角形中有底边中点时，常作底边的中线，利用等腰三角形“三线合一”的性质得到角相等，为解题创造更多的条件，当看见等腰三角形的时候，就应想到： “边等、角等、三线合一”． 模型实例如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，M 为BC 的中点，MN ⊥AC 于点N ，求MN 的长度．NM CB A解答： 连接AM ．∵AB ＝AC ＝5，BC ＝6，点M 为BC 中点， ∴AM ⊥BC ，BM ＝CM ＝21BC ＝3． ∵AB ＝5， ∴AM ＝4352222=-=-BM AB ．∵MN ⊥AC ，∴S △ANC ＝21MC ·AM ＝21AC ·MN ． 即：21×3×4＝21×5×MN ．∴MN ＝512跟踪练习1．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 的中点，AE ⊥DE ，AF ⊥DF ，且AE ＝AF ，求证：∠EDB ＝∠FDC ．F证明：连结AD ，∵AB ＝AC ，D 是BC 的中点， ∴AD ⊥BC ，∠ADB ＝∠ADC ＝90° 在Rt △AED 与Rt △AFD 中，⎩⎨⎧==ADAD AFAB ， ∴Rt △AED ≌Rt △AFD ．（HL ） ∴∠ADE ＝∠ADF ， ∵∠ADB ＋∠ADC ＝90°， ∴∠EDB ＝∠FDC ．2．已知Rt △ABC 中，AC ＝BC ，∠C ＝90°，D 为AB 边的中点，∠EDF ＝90°，∠EDF 绕D 点旋转，它的两边分别交AC 、CB （或它们的延长线）于E 、F ．（1）当∠EDF 绕D 点旋转到DF ⊥AC 于E 时（如图①），求证：S △DEF ＋S △CEF ＝21S △ABC ； （2）当∠EDF 绕D 点旋转到DE 和AC 不垂直时，在图②和图③这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立， S △DEF 、S △CEF 、S △ABC 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需要证明．③图②图①图ABDEFACDDCA解：（1）连接CD ；如图2所示： ∵AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，D 为AB 中点， ∴∠B ＝45°，∠DCE ＝21∠ACB ＝45°，CD ⊥AB ，CD ＝21AB ＝BD ， ∴∠DCE ＝∠B ，∠CDB ＝90°，∵∠EDF ＝90°，∴∠1＝∠2，在△CDE 和△BDF 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠B DCB BD CD 21， ∴△CDE ≌△BDF （ASA ），∴S △DEF ＋S △CEF ＝S △ADE ＋S △BDF ＝21S △ABC ； （2）不成立；S △DEF −S △C EF ＝21S △ABC ；理由如下：连接CD ，如图3所示：同（1）得：△DEC ≌△DBF ，∠DCE ＝∠DBF ＝135° ∴S △DEF ＝S 五边形DBFEC ， ＝S △CFE ＋S △DBC ，＝S △CFE ＋21S △ABC ， ∴S △DEF －S △CFE ＝21S △ABC ．∴S △DEF 、S △CEF 、S △ABC 的关系是：S △DEF －S △CEF ＝21S △ABC ． 21ABCDE模型3 已知三角形一边的中点，可考虑中位线定理构造中位线取另一边中点EDDA模型分析在三角形中，如果有中点，可构造三角形的中位线，利用三角形中位线的性质定理：DE ∥BC ，且DE ＝21BC 来解题．中位线定理中既有线段之间的位置关系又有数量关系，该模型可以解决角问题，线段之间的倍半、相等及平行问题．模型实例如图，在四边形ABCD 中，AB ＝CD ，E 、F 分别是BC 、AD 的中点，连接EF 并延长，分别与BA 、CD 的延长线交于点M ，N ．求证：∠BME ＝∠CNE ．NM FEDCBA解答如图，连接BD ，取BD 的中点H ，连接HE 、HF ． ∵E 、F 分别是BC 、AD 的中点， ∴FH ＝21AB ，FH ∥AB ，HE ＝21DC ，HE ∥NC ． 又∵AB ＝CD ，∴HE ＝HF ．∴∠HFE ＝∠HEF ． ∵FH ∥MB ，HE ∥NC ，∴∠BME ＝∠HFE ，∠CNE ＝∠FEH ． ∴∠BME ＝∠CNE ．练习：1.（1）如图1，BD ，CE 分别是△ABC 的外角平分线，过点A 作AD ⊥BD ，AE ⊥CE ，垂足分别为D ，E ，连接DE ，求证：DE ∥BC ，DE =12（AB +BC +AC ）；（2）如图2，BD ，CE 分别是△ABC 的内角平分线，其他条件不变，上述结论是否成立？ （3）如图3，BD 是△ABC 的内角平分线，CE 是△ABC 的外角平分线，其他条件不变，DE 与BC 还平行吗？它与△ABC 三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对其中一种情况进行证明.E D CBA图1G FEDCBA图2FED CBA图31.解答（1）如图①，分别延长AE ，AD 交BC 于H ，K . 在△BAD 和△BKD 中，ABD DBK BD BDBDA BDK ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△BAD ≌ △BKD （ASA ） ∴AD =KD ，AB =KB .同理可证，AE =HE ，AC =HC . ∴DE =12HK .又∵HK =BK +BC +CH =AB +BC +AC . ∴DE =12（AB +AC +BC ）.（2）猜想结果：图②结论为DE =12（AB +AC -BC ） 证明：分别延长AE ，AD 交BC 于H ，K . 在△BAD 和△BKD 中ABD DBK BD BDBDA BDK ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△BAD ≌△BKD （ASA ） ∴AD =KD ，AB =KB同理可证，AE =HE ，AC =HC . ∴DE =12HK . 又∵HK =BK +CH -BC =AB +AC -BC∴DE =12（AB +AC -BC ）GABCDEKHF 图2（3）图③的结论为DE =12（BC +AC -AB ） 证明：分别延长AE ，AD 交BC 或延长线于H ，K . 在△BAD 和△BKD 中，ABD DBK BD BDBDA BDK ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△BAD ≌△BKD （ASA ） ∴AD =KD ，AB =KB .同理可证，AE =HE ，AC =HC . ∴DE =12KH . 又∵HK =BH -BK =BC +CH -BK =BC +AC -AB∴DE =12（BC +AC -AB ）.ABCD EKHF图32.问题一：如图①，在四边形ABCD 中，AB 与CD 相交于点O ，AB =CD ，E ，F 分别是BC ，AD 的中点，连接EF ，分别交DC ，AB 于点M ，N ，判断△OMN 的形状，请直接写出结论.问题二：如图②，在△ABC 中，AC >AB ，D 点在AC 上，AB =CD ，E ，F 分别是BC ，AD 的中点，连接EF 并延长，与BA 的延长线交于点G ，若∠EFC =60°，连接GD ，判断△AGD 的形状并证明.图1NMO F E DC BAE图2G ABCDF2.证明（1）等腰三角形（提示：取AC 中点H ，连接FH ，EH ，如图①）（2）△AGD 是直角三角形如图②，连接BD ，取BD 的中点H ，连接HF ，HE . ∵F 是AD 的中点， ∴HF ∥AB ，HF =12AB . ∴∠1=∠3.同理，HE ∥CD ，HE =12CD ， ∴∠2=∠EFC ， ∴AB =CD ， ∴HF =HE . ∴∠1=∠2.∵∠EFC =60°，∴∠3=∠EFC =∠AFG =60°. ∴△AGF 是等边三角形. ∴AF =FG . ∴GF =FD .∴∠FGD =∠FDG =30°.∴∠AGD =90°，即△AGD 是直角三角形.图2321G A BCDF H模型4 已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线DCBA模型分析在直角三角形中，当遇见斜边中点时，经常会作斜边上的中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即CD =12AB ，来证明线段间的数量关系，而且可以得到两个等腰三角形：△ACD 和△BCD ，该模型经常会与中位线定理一起综合应用. 模型实例如图，在△ABC 中，BE ，CF 分别为AC ，AB 上的高，D 为BC 的中点，DM ⊥ EF 于点M ，求证：FM =EM .M FEDCBA证明连接DE ，DF .BE ，CF 分别为边AC ，AB 上的高，D 为BC 的中点，DF =12BC ，DE =12BC .DF =DE ，即△DEF 是等腰三角形. DM ⊥EF ，点M 是EF 的中点，即FM =EM .ABCDEFM练习：1.如图，在△ABC 中，∠B =2∠C ，AD ⊥BC 于D ，M 为BC 的中点，AB =10，求DM 的长度.1.解答取AB 中点N ，连接DN ，MN .在Rt △ADB 中，N 是斜边AB 上的中点， ∴DN =12AB =BN =5.∴∠NDB =∠B .在△ABC 中，M ，N 分别是BC ，AB 的中点， ∴MN ∥AC∴∠NMB =∠C ，又∵∠NDB 是△NDM 的外角， ∴∠NDB =∠NMD +∠DNM .即∠B =∠NMD +∠DNM =∠C +∠DNM . 又∵∠B =2∠C ，∴∠DNM =∠C =∠NMD . ∴DM =DN . ∴DM =5.N MD CBA2.已知，△ABD 和△ACE 都是直角三角形，且∠ABD =∠ACE =90°，连接DE ，M 为DE 的中点，连接MB ，MC ，求证：MB =MC .MEDCBA2.证明延长BM 交CE 于G ，∵△ABD 和△ACE 都是直角三角形， ∴CE ∥BD .∴∠BDM =∠GEM .又∵M 是DE 中点，即DM =EM ， 且∠BMD =∠GME ， ∴△BMD ≌△GME . ∴BM =MG .∴M 是BG 的中点，∴在Rt △CBG 中，BM =CM .3.问题1：如图①，三角形ABC 中，点D 是AB 边的中点，AE ⊥ BC ，BF ⊥AC ，垂足分别为点E ，F .AE 、BF 交于点M ，连接DE ，DF ，若DE =kDF ，则k 的值为 . 问题2：如图②，三角形ABC 中，CB =CA ，点D 是AB 边的中点，点M 在三角形ABC 内部，且∠MAC =∠MBC ，过点M 分别作ME ⊥BC ，MF ⊥ AC ，垂足分别为点E ，F ，连接DE ，DF ，求证：DE =DF .问题3：如图③，若将上面问题2中的条件“CB =CA ”变为“CB ≠CA ”，其他 条件不变，试探究DE 与DF 之间的数量关系，并证明你的结论.图1MF DCBA图2ABCDE FM图3ABCDF M3.解答∵（1）AE ⊥BC ，BF ⊥AC ，∴△AEB 和△AFB 都是直角三角形， ∵D 是AB 的中点， ∴DE =12AB ，DF =12AB .∴DE =DF . ∵DE =KDF ， ∴k =1. （2）∵CB =CA ， ∴∠CBA =∠CAB . ∵∠MAC =∠MBC ，∴∠CBA -∠MBC =∠CAB -∠MAC ，即∠ABM =∠BAM . ∴AM =BM .∵ME ⊥BC ，MF ⊥AC ， ∴∠MEB =∠MF A =90°. 又∵∠MBE =∠MAF ，∴△MEB ≌△MF A （AAS ） ∴BE =AF .∵D 是AB 的中点，即BD =AD ， 又∵∠DBE =∠DAF ，∴△DBE ≌△DAF （SAS ） ∴DE =DF .（3）DE =DF .图1M F E DCB A如图，作AM的中点G，BM的中点H，连DG，FG，DH，EH. ∵点D是边AB的中点，∴DG∥BM，DG=12 BM.同理可得：DH∥AM，DH=12AM.∵ME⊥BC于E，H是BM的中点.∴在Rt△BEM中，HE=12BM=BH.∴∠HBE=∠HEB.∴∠MHE=2∠HBE.又∵DG=12BM，HE=12BM，∴DG=HE.同理可得：DH=FG. ∠MGF=2∠MAC.∵DG∥BM，DH∥GM，∴四边形DHMG是平行四边形.∴∠DGM=∠DHM.∵∠MGF=2∠MAC，∠MHE=2∠MBC，∠MBC=∠MAC，∴∠MGF=∠MHE.∴∠DGM+∠MGF=∠DHM+∠MHE.∴∠DGF=∠DHE.在△DHE与△FGD中DG HEDGF DHEDH FG=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DHE≌△FGD（SAS）∴DE=DF.图2AB CDEFM。
中考数学中点四大模型专题知识解读
中点四大模型专题知识解读【专题说明】线段中点是几何部分一个非常重要的概念，和后面学习的中线，中位线等概念有着密切的联系.在几何证明题中也屡次出现.那么，如果在题中遇到中点你会想到什么？等腰三角形三线合一；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；还是中位线定理？今天我们重点探究“倍长中线”法以及平行线间夹中点时延长中线交平行等的应用。
【方法技巧】模型1 ：倍长中线法如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线.当题中出现中线时，我们经常根据需要将AD延长，使延长部分和中线相等，这种方法叫做“倍长中线”.如下图：此时，易证△ACD≌EDB，进而得到AC=BE且AC//BE.模型2：平行线夹中点如图，AB//CD，点E是BC的中点.可延长DE交AB于点F.模型3：中位线如图，在△ABC中，点D是AB边的中点.可作另一边AC的中点，构造三角形中位线.如下图所示：由中位线的性质可得，DE//BC且DE=1/2BC.模型4：连接直角顶点，构造斜中定理【典例分析】【模型1 倍长中线法】【典例1】【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是．A．SSS B．SAS C．AAS D．HL（2）求得AD的取值范围是．A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．【问题解决】（3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC ＝BF．【变式1-1】（1）在△ABC中，AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．（2）受到（1）启发，请你证明下面的问题：如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．求证：BE+CF＞EF.【变式1-2】如图，在△ABC中，已知：点D是BC中点，连接AD并延长到点E，连接BE．（1）请你添加一个条件使△ACD≌△EBD，并给出证明．（2）若AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．【变式1-3】阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．求证：AB＝CD．分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证明AB＝CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．现给出如下三种添加辅助线的方法，请任意选择其中两种对原题进行证明．（1）延长DE到F，使得EF＝DE；（2）作CG⊥DE于G，BF⊥DE于F交DE的延长线于F；（3）过点C作CF∥AB交DE的延长线于F．【模型2 平行线夹中点】【典例2】如图，已知AB＝12，AB⊥BC，垂足为点B，AB⊥AD，垂足为点A，AD＝5，BC ＝10，点E是CD的中点，求AE的长．【变式2-1】如图，AB∥CD，∠BCD＝90°，AB＝1，BC＝4，CD＝3，取AD的中点E，连结BE，则BE＝．【变式2-2】如图，公园有一条“Z”字形道路AB﹣BC﹣CD，其中AB∥CD，在E、M、F 处各有一个小石凳，且BE＝CF，M为BC的中点，连接EM、MF，请问石凳M到石凳E、F的距离ME、MF是否相等？说出你推断的理由．【变式2-3】如图：已知AB∥CD，BC⊥CD，且CD＝2AB＝12，BC＝8，E是AD的中点，①请你用直尺（无刻度）作出一条线段与BE相等；并证明之；②求BE的长．【模型3 中位线】【典例3】如图，△ABC中，AD平分∠BAC，E是BC中点，AD⊥BD，AC＝7，AB＝4，则DE的值为（）A．1B．2C．D．【变式3-1】如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，CA的中点，若△DEF的周长为10，则△ABC的周长为．【变式3-2】如图，等边△ABC的边长是4，D，E分别为AB，AC的中点，延长BC至点F，使，连接CD和EF．（1）求证：CD＝EF；（2）四边形DEFC的面积为．【变式3-3】如图，在平行四边形ABCD中，点E在BC的延长线上，CE＝DE＝2BC．CD 的中点为F，DE的中点为G，连接AF，FG．（1）求证：四边形AFGD为菱形；（2）连接AG，若BC＝2，，求AG的长．【模型4 连接直角顶点，构造斜中定】【典例4】用三种方法证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．已知：如图，∠BCA ＝90°，AD＝DB．求证：CD＝AB．【变式4-1】直角三角形斜边上的中线长为10，则该斜边长为（）A．5B．10C．15D．20【变式4-2】如图，点E是△ABC内一点，∠AEB＝90°，D是边AB的中点，延长线段DE 交边BC于点F，点F是边BC的中点．若AB＝6，EF＝1，则线段AC的长为（）A．7B．C．8D．9【变式4-3】用两种方法证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．已知：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线．求证：CD＝AB．证法1：如图2，在∠ACB的内部作∠BCE＝∠B，CE与AB相交于点E．∵∠BCE＝∠B，∴．∵∠BCE+∠ACE＝90°，∴∠B+∠ACE＝90°．又∵，∴∠ACE＝∠A．∴EA＝EC．∴EA＝EB＝EC，即CE是斜边AB上的中线，且CE＝AB．又∵CD是斜边AB上的中线，即CD与CE重合，∴CD＝AB．请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2．专题02 中点四大模型在三角形中应用（知识解读）【专题说明】线段中点是几何部分一个非常重要的概念，和后面学习的中线，中位线等概念有着密切的联系.在几何证明题中也屡次出现.那么，如果在题中遇到中点你会想到什么？等腰三角形三线合一；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；还是中位线定理？今天我们重点探究“倍长中线”法以及平行线间夹中点时延长中线交平行的应用。
中点模型
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（3）AG⊥DG，DG=AG×tan(α/2) 证明：延长DG与BC交于H，连接AH、AD，
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∵四边形CDEF是菱形， ∴DE=DC，DE∥CF， ∴∠GBH=∠GED，∠GHB=∠GDE， ∵G是BE的中点，∴BG=EG， ∴△BGH≌△EGD（AAS）， ∴BH=ED，HG=DG， ∴BH=DC， ∵AB=AC，∠BAC=∠DCF=α， ∴∠ABC=90°﹣α/2，∠ACD=90°﹣α/2， ∴∠ABC=∠ACD， ∴△ABH≌△ACD（SAS）， ∴∠BAH=∠CAD，AH=AD， ∴∠BAC=∠HAD=α； ∴AG⊥HD，∠HAG=∠DAG=α/2， ∴tan∠DAG=tan(α/2)， ∴DG=AGtan（α/2）．
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模型三 如图，在△ABC中，点D是AB边的中点.可作另一边AC 的中点，构造三角形中位线.如下图所示：由中位线的性 质可得，DE//BC且DE=1/2BC.
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模型四：连接直角顶点，构造斜中定理
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模型运用
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例1、如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB，点E 是BC边的中点.连接AE，DE.求∠AED的度数.
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小试身手 如图1，在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EF⊥AB交BD于点F，取FD的 中点G，连接EG、CG.易证：EG=CG且EG⊥CG. （1）将△BEF绕点B逆时针旋转90°，如图2所示，则线段EG和CG有怎样的 数量和位置关系？请直接写出你的猜想. （2）将△BEF绕点B逆时针旋转180°，如图3所示，则线段EG和CG又有怎样 的数量和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明. （3）将△BEF绕点B旋转一个任意角度α，如图4所示，则线段EG和CG有怎样 的数量和位置关系？请直接写出结论.
初中数学—中点辅助线做法(自编)
中考数学专题之中点辅助线做法在河南省中考中，与中点辅助线做法相关的题目考察是较多.经常出在填空题，四边形证明和类比探究。
且分值占比较重，是初中阶段必须攻克的问题之一。
中考中，对于中点辅助线做法考察常有四种：①倍长中线（类倍长）②三线合一③斜边中线④中位线对于不同题目，需要根据题干特点选择适合的辅助线做法。
有中线，做倍长，这是在全等三角形中常遇到的；等腰三角形中经常遇到三线合一的性质；直角三角形中如果出现斜边中点，常连接斜边中线，从而产生等腰三角形和一半特征；多中点问题构造中位线，一般在四边形和类比探究证明中出现，需要结合逆相似或轨迹解决问题。
在九年级学习圆的知识之后，看到弦的中点，考虑的是垂径定理，其实可算作等腰三角形三线合一的性质，所以不再单独介绍。
接下来，我们来逐个说明这四种辅助线做法。
1.倍长中线—利用中点构造全等2.特殊三角形的中点（三线合一与斜边中线）3.多中点类型（中位线）文档讲解视频已在本小店上传，请及时查看。
E DCBAEDC BADCB ADCBAEDC B AGFEDCBA典型例题1.如图，在△ABC 中，AB=9，AC =6，D 为边BC 的中点，求AD 的取值范围.2.如图，在△ABC 中，D 是BC 边的中点，E 是AD 上一点，BE =AC ，BE 的延长线交AC 于点F ，求证：∠AEF =∠EAF ．3.如图已知△ABC ，AD 是BC 边上的中线，分别以AB 边、AC 边为直角边各向形外作等腰直角三角形，求证EF =2AD .DCBAF EDCBA FEDCBA4.如图，△ABC 中，BD =DC =AC ，E 是DC 的中点，求证，AD 平分∠BAE.5.如图，在直角梯形ABCD 中，E 为AB 边的中点，若AD =2，BC =4，∠DEC =90°，则CD 的长为_______.6.已知△ABC ，AB =AC ，E 、F 分别为AB 和AC 延长线上的点，且BE =CF ，EF 交BC 于G ．求证：EG =GF ．EDCB AED CBAE F GCBA7.如图，在ABC ∆中，AD 是高线，CE 是中线，CD CE = DF CE ⊥于点F ，求证：F 是CE 的中点.8.如图，在平行四边形ABCD 中，BC =2AB ，CE AB ⊥于点E ，F 为AD 的中点，若54AEF ∠=︒，则B ∠为多少度？9.如图，M 是ABC ∆的边BC 的中点，AN 平分BAC ∠，BN AN ⊥于点N ，若AB =10，BC =15，MN =3，则ABC ∆的周长为多少？FEDCBAFE DCBA NMCBA10.已知ABC ∆中，2B C ∠=∠，M 是BC 的中点，AD BC ⊥于D ，求证：12DM AB =11.如图，AB ∥CD ，E ，F 分别为AC ，BD 的中点，若AB =5，CD =3，则EF 多长？12.如图，在四边形ABCD 中，AD =BC ，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，AD ，BC 的延长线分别与EF 的延长线交于点H ，点G ，求证：AHE BGE ∠=∠.CBFE D CB AGH FEDCB A13.如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，且AC =BD ，求证：OM =ON .14.如图，在ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 上的点，且BD =CE ，M ，N 分别是BE ，CD 的中点，过MN 的直线交AB 于点P ，交AC 于点Q ，求证：AP =AQ .NMF EDCBANMQ PED C BA15.如图以ABC ∆的AB ，AC 边为斜边向外做Rt ABD ∆和Rt ACE ∆，其中ADB ∠和AEC ∠为直角，并且满足ABD ACE ∠=∠，点M 是BC 的中点，连接DM ，ME .求证：DM ME =.【河南中考】16．如图1，在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，AB AC =，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD AE =，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点． （1）观察猜想图1中，线段PM 与PN 的数量关系是 ，位置关系是 ； （2）探究证明把ADE ∆绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断PMN ∆的形状，并说明理由；（3）拓展延伸把ADE ∆绕点A 在平面内自由旋转，若4AD =，10AB =，请直接写出PMN ∆面积的最大值．MEDCBA。
【中考几何模型压轴题】专题19《中点模型》
中考几何压轴题（几何模型30讲）最新讲义专题19《中点模型》破解策略1．倍长中线在△ABC中．M为BC边的中点．M E CBAE MCABD图1 图2（1）如图1，连结AM并延长至点F，使得ME＝AM．连结CE．则△ABM≌△ECM．（2）如图2，点D在AB边上，连结DM并延长至点E．使得MF＝DM．连结CE，则△BDM ≌△CEM，遇到线段的中点问题，常借助倍长中线的方法还原中心对称图形，利用“8”字形全等将题中条件集中，达到解题的目的，这种方法是最常用的也是最重要的方法．2．构造中位线在△ABC中．D为AB边的中点，AB D EC C FABD图1 图2（1）如图1，取AC边的中点E，连结DE．则DE∥BC，且DF＝12B C．（2）如图2．延长BC至点F．使得CF＝B C．连结CD，AF．则DC∥AF，且DC＝12 AE．三角形的中位线从位置关系和数量关系两方面将将图形中分散的线段关系集中起来．通常需要再找一个中点来构造中位线，或者倍长某线段构造中位线，3．等腰三角形“三线合一”如图，在△ABC中，若AB＝A C．通常取底边BC的中点D．则AD⊥BC，且AD平分∠BA C．事实上，在△ABC中：①AB＝AC；②AD平分∠BAC；③BD＝CD，④AD⊥B C．对于以上四条语句，任意选择两个作为条件，就可以推出另两条结论，即“知二得二”．AB DC4.直角三角形斜边中线如图，在△ABC看，∠ABC＝900，取AC的中点D，连结BD，则有BD＝AD＝CD＝12 AC．反过来，在△ABC中，点D在AC边上，若BD＝AD＝CD＝12AC，则有∠ABC＝900例题讲解例1 如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，过点E作AB的垂线，过点F 作CD的垂线，两垂线交于点G，连结AG、BG、CG且∠AGD＝∠BGC，若AD、BC所在直线互相垂直，求ADEF的值解由题意可得△AGB和△DGC为共顶点等顶角的两个等腰三角形，所以△AGD≌△BGC，△AGD∽△EGF．方法一：如图1，连结CE并延长到H，使EH＝EC，连EH、AH，则AH∥BC，AH＝BC，而AD＝BC，AD⊥BC所以AD＝AH，AD⊥AH，连结DH，则△ADH为等腰直角三角形，又因为E、F分别为CH、CD的中点，所以=212AD ADEFDH=方法二：如图2，连结BD并取中点H，连结EH，FH．则EH＝12AD，且EH∥AD，FH＝12BC，而AD＝BC，AD⊥BC，所以△EHF为等腰直角三角形，所以2=2AD EHEF EF=例2如图，在△ABC中，BC＝22，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于E，F、G分别是BC、DE的中点，若ED＝10，求FG的长．解：连结EF、DF，由题意可得EF、DF分别为RT△BEC，RT△BDC斜边的中线，所以DF＝EF ＝12BC＝11，而G为DE的中点，所以DG＝EG＝5，FG⊥DE，所以RT△FGD中，FG22DF DG-＝6例3 已知：在RT△ACB和RT△AEF中，∠ACB＝∠AEF＝900，若P是BF的中点，连结PC、PE（1）如图1，若点E、F分别落在边AB、AC上，请直接写出此时PC与PE的数量关系．（2）如图2，把图1中的△AEF绕着点A顺时针旋转，当点E落在边CA的延长线上时，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．（3）如图3，若点F落在边AB上，则上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．解（1）易得PC＝PE＝12BF，即PC与PE相等．（2）结论成立．理由如下：如图4，延长CP交EF的延长线于点D，则BC∥FD，易证△BPC≌△FPD，所以PC＝PD，而∠CED＝900，所以PE＝12CD＝PC（3）结论仍成立，理由如下：如图5，过点F作FD∥BC，交CP的延长线于点D，易得PD＝PC，FD＝BC所以AE EF EF AC BC FD==而∠AFE＝∠PBC＝∠PFD，所以∠EAC＝1800－2∠AFE＝∠EFD，如图，连结CE，ED，则△EAC∽△EFD，所以∠AEC＝∠FED，∠CED＝∠AEF＝900，所以PE＝12CD＝PC例4已知：△ABC是等腰三角形，∠BAC＝900，DE⊥CE，DE＝CE＝12AC，连结AE，M是AE的中点（1）如图1，若D在△ABC的内部，连结BD，N是BD的中点，连结MN，NE，求证：MN⊥AE （2）如图2，将图1中的△CDE绕点C逆时针旋转，使∠BCD＝300，连结BD，N是BD的中点，连结MN，求MN AC解：（1）如图3，延长EN至点F，使得NF＝NE，连结FB，易证△DEN≌△BFN，从而可得BF∥DE，BF＝DE，延长FB，CE交于点G，则∠G＝900，从而A、B、G、C四点共圆所以∠ABF＝∠ACE，连结AF，所以△ABF≌△ACE（SAS），所以AF＝AE，AF⊥AE，而MN∥AF所以MN＝12AE，MN⊥AE（2）如图4，同（1）可得，MN＝12AE，MN⊥AE，由题意可得AC＝2CE，作EH⊥AC于H，则∠ECH＝600，所以CH＝12EC＝14AC，EH＝3AC，从而AE＝227AH EH AC+=，所以7MNAC=进阶训练1．如图，△ABD和△ACE都是直角三角形，其中∠ABD ＝∠ACE＝90°，且点C在AB上，连结DE，M为DE的中点，连结BM，CM，求证：BM＝CM．MCDEAB【答案】略【提示】延长CM，DB交于点F，则∠CBF＝90°，△CME≌△FMD，从而BM＝12CF＝CM．MCDEB2．我们把两条中线互相垂直的三角形称为”中垂三角形”．如图1，AF，BE是△ABC的中线，且AF⊥BE于点P，像△ABC这样的三角形均称为“中垂三角形”，设BC＝a，AC＝b，AB＝c．（1）猜想a 2，b2，c2三者之间的关系，并加以证明；（2）如图2，在平行四边形ABCD中，E，F，G分别是AD，BC，CD上的中点．BE⊥EG，AD＝5AB＝3．求AF的长．图1A图2A【答案】（1） a 2＋b 2＝5c 2，证明略；（2） AF ＝4．【提示】（1）如图，连结EF ，由中位线定理可得PE PB ＝PF PA ＝EF BA ＝12．在Rt △APB ，Rt △APE 和Rt △BPF 中，利用勾股定理即可得到a 2＋b 2＝5c 2；（2） 如图，取AB 的中点H ，连结FH ，AC ，由中位线定理可得FH ∥AC ∥EG ，从而FH ⊥BE ，易证△APE ≌△FPB ，所以AP ＝FP ，所以△ABF 是“中垂三角形”从而利用（1）中结论求得AF 的长．DEBA3．巳知：△ABC 和△ADE 是等腰直角三角形，∠ACB ＝∠ADE ＝90°，F 为BE 的中点．连结DF ，CF ．图3图2图1EE（1）如图，当点D 在AB 上，点E 在AC 上时，请直接写出此时线段DF ，CF 的数量关系和位置关系（不用证明）；（2）如图2．在（1）的条件下将△ADE 绕点A 顺时针旋转45°．请你判断此时（1）中的结论是否仍然成立，并证明你的判断；（3）如图3．在（1）的条件下将△ADE 绕点A 顺时针旋转角α，请你判断此时（1）中的结论是否仍然成立，井证明你的判断．【答案】（1）DF ＝CF ，DF ⊥CF ；（2）成立；（3）成立．【提示】（2）延长DF 交BC 于点G ，则△DEF ≌△GBF ，从而得DF ＝GF ，CD ＝CG ，即得证．E（3）延长CF 至点G ，使得FG ＝CF ，连结EG ，则GE ＝CB ＝CA ，GE ⊥AC ，可得∠CAD ＝∠GE D ．连结DG ，CD ，从而△ADC ≌△EDG （SAS ）．即得证．E4．巳知：P 是平行四边形ABCD 对角线AC 所在直线上的一个动点（不与点A 、C 重合）．分别过点A 、C 向直线BP 作垂线，垂足分别为E ，F ，O 为AC 的中点，如图1．将直线BP 绕点B 逆时针旋转，当∠OFE ＝ 30°时，如图2所示，请你猜想线段CF ，AE ，OE 之间有怎样的数量关系，并给予证明．图1图2【答案】图1中OE ＝CF －AE ；图2中OE ＝CF ＋AE ．【提示】如图1，延长EO 交FC 于点G ，易证OE ＝OG ，AE ＝CG ，从而Rt △GFE 中，OF ＝OG ＝OE ．而∠OFE ＝30°，所以OE ＝CF －AE ．图1如图2，同理可得OE＝CF＋AE．图2。
初中数学必背几何模型
一、中点模型1．倍长中线条件：AD 为△ABC 的中线辅助线：延长AD 到点E ，使得AD =DE结论：△ADC ≌△EDB ，AC ∥BE2．连中点构造中位线条件：点D 、E 为AB 、AC 的中点辅助线：连接DE 结论：12DE BC DE BC =，∥3．倍长一边构造中位线条件：点D 为AB 的中点辅助线：延长AC 到点E ，使得AC =CE ，连接BE 结论：12DC BE DC BE =，∥4．构造三线合一条件：AB =AC辅助线：取BC 的中点D ，连接AD结论：AD ⊥BC ，∠BAD =∠CADB5．构造斜边中线条件：∠ABC =90°辅助线：取AC 的中点D ，连接BD 结论：12BD AC AD CD ===二、角平分线模型6．往角两边作垂线条件：AD 平分∠BAC辅助线：过点D 作AB 、AC 的垂线，垂足分别为E 、F结论：△ADE ≌△ADF7．在角的两边截取等长线段条件：AD 平分∠BAC辅助线：在AB 、AC 上取点E 、F ，满足AE =AF ，连接DE 、DF 结论：△ADE ≌△ADF8．过角平分线上一点作垂线条件：AD 平分∠BAC辅助线：过点D 作EF ⊥AD ，交AB 、AC 于点E 、FD CBB CCC结论：△ADE ≌△ADF三、双角平分线模型9．内内模型条件：BD 、CD 平分∠ABC 、∠ACB 结论：1902D A ∠=︒+∠10．内外模型条件：BD 、CD 平分∠ABC 、∠ACE 结论：12D A ∠=∠11．外外模型条件：BD 、CD 平分∠CBE 、∠BCF 结论：1902D A ∠=︒-∠四、平行线模型12．猪蹄模型CA BCC ED条件：AB ∥CD辅助线：过点E 作EF ∥AB结论：∠B +∠D =∠BED13．铅笔头模型条件：AB ∥CD辅助线：过点E 作EF ∥AB结论：∠B +∠D +∠BED =360°14．鸟头模型条件：AB ∥CD辅助线：过点E 作EF ∥AB结论：∠D +∠BED =∠B15．平行线+角平分线模型条件：AB ∥CD ，CE 平分∠ACD结论：AC =AE五、等积模型16．等底等高条件：AD ∥BCFAFBC结论：ABC DBC S S =，ADB ADC S S =17．等高模型条件：B 、C 、D 共线结论：::ABD ADC S S BD CD =18．等底模型条件：AE 、DE 为△ABC 、△DBC 边BC 上的高结论：::ABC DBC S S AE DE =六、对称半角模型19．对称半角模型-含45°角的三角形条件：∠BAC =45°，AD ⊥BC辅助线：作点D 关于AB 的对称点E ，关于AC 的对称点F ， 连接AE 、AF 、BE 、CF 、EF结论：△AEF 是等腰直角三角形20．对称半角模型-含30°角的三角形B CB C DED条件：∠BAC =30°，AD ⊥BC辅助线：作点D 关于AB 的对称点E ，关于AC 的对称点F ， 连接AE 、AF 、BE 、CF 、EF结论：△AEF 是等边三角形七、旋转半角模型21．旋转半角模型-等腰直角三角形条件：AB =AC ，∠BAC =90°，∠MAN =45°辅助线：将△ABM 绕点A 逆时针旋转90°，得到△ACM ＇ 结论：ANM ANM '≌，222BM CN MN +=22．旋转半角模型-等边三角形条件：△ABC 是等边三角形，BD =CD ，∠BDC =120°， ∠MDN =60°辅助线：将△BDM 绕点D 顺时针旋转120°，得到△DCM ＇ 结论：NDM NDM '≌，BM CN MN +=23．旋转半角模型-正方形条件：正方形ABCD ，∠MAN =45°，FEAM'M CAB辅助线：将△ABM 绕点A 逆时针旋转90°，得到△ADM ＇ 结论：NAM NAM '≌，BM DN MN +=八、自旋转模型24．自旋转模型-等边三角形条件：△ABC 是等边三角形，点P 为其内任意一点辅助线：将△BAP 绕点B 顺时针旋转60°，得到△BCP ＇ 结论：△BPP ＇是等边三角形25．自旋转模型-等腰直角三角形条件：△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，点P 为△ABC 内任 意一点辅助线：将△BAP 绕点A 逆时针旋转90°，得到△ACP ＇ 结论：△APP ＇是等腰直角三角形26．自旋转模型-等腰三角形条件：△ABC 中，AB =AC ，点P 为△ABC 内任意一点，∠BAC =α 辅助线：将△BAP 绕点A 逆时针旋转α，得到△ACP ＇ 结论：△APP ＇是等腰三角形M'DNCBAB九、手拉手模型29．手拉手模型-等边三角形条件：△ABC和△CDE都是等边三角形结论：△ACE≌△BCD27．手拉手模型-等腰直角三角形条件：△ABC和△CDE都是等腰直角三角形结论：△ACE≌△BCD，AE⊥BDEE28．手拉手模型-等腰三角形条件：△ABC 和△CDE 都是等腰三角形，CA =CB ， CD =CE ，且∠ACB =∠DCE结论：△ACE ≌△BCD30．手拉手模型-正方形条件：四边形ABCD 和AEFH 都是正方形结论：△ABE ≌△ADH ，BE ⊥DH十、最短路程模型31．直线同侧两线段之和最小（将军饮马）条件：点A 、B 在直线l 同侧，点P 为l 上一点辅助线：作点A 关于直线l 的对称点A ＇，连接A ＇B 结论：点P 为A ＇B 和l 交点时，AP +BP 最小C32．直线异侧两线段之差最小条件：点A 、B 在直线l 异侧，点P 为l 上一点辅助线：作线段AB 的垂直平分线m结论：点P 为m 和l 交点时，|AP -BP |最小33．直线同侧两线段之差最小条件：点A 、B 在直线l 同侧，点P 为l 上一点辅助线：作线段AB 的垂直平分线m结论：点P 为m 和l 交点时，|AP -BP |最小34．过桥模型（将军饮马）条件：A 、B 为定点，l 1∥l 2，MN 为定长线段且MN ⊥l 1 辅助线：将点A 向上平移MN 的长度得到A ＇，连接A ＇B 结论：点N 为A ＇B 与l 1交点时，AM +MN +BN 最小35．四边形周长最小（将军饮马）条件：A 、B 为定点，M 、N 为角两边上的动点辅助线：作点A 、B 关于角两边的对称点A ＇、B ＇，连接 lAlAll 1l 2A＇B＇结论：M、N为A＇B＇与角两边交点时，四边形ABMN的周长最小B'36．三角形周长最小（将军饮马）条件：A为定点，B、C为角两边上的动点辅助线：作点A关于角两边的对称点A＇、A＂，连接A＇A＂结论：B、C为A＇A＂与角两边交点时，△ABC的周长最小37．旋转类最短路程模型条件：线段OA=a，OB=b（a＞b），OB绕点O在平面内旋转结论：点B与点N重合时，AB最小；点B与点M重合时，AB最大十一、基本相似模型38．A字型条件：BC∥DE结论：△ABC∽△ADE条件：∠ABC =∠ADE结论：△ABC ∽△ADE39．8字型条件：AB ∥CD结论：△AOB ∽△DOC条件：∠BAO =∠DCO结论：△AOB ∽△COD40．母子型条件：△ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB结论：△ABC ∽△ACD ∽△CBD41．一线三等角模型条件：∠B =∠D =∠ACE结论：△ABC ∽△CDECBCC A42．手拉手相似模型条件：△ABC ∽△ADE结论：△ACE ∽△ABD十二、对角互补模型43．对角互补模型-90°全等型条件：∠AOB =∠DCE =90°，OC 平分∠AOB辅助线：过点C 作CM ⊥AO ，CN ⊥BO ，垂足分别为M 、N 结论：△CDM ≌△CEN ，CD =CE ，OD +OEOC ，212OECD S OC 四边形CB ACE AB D CDD44．对角互补模型-120°全等型条件：∠AOB =120°，∠DCE =60°，OC 平分∠AOB辅助线：过点C 作CM ⊥AO ，CN ⊥BO ，垂足分别为M 、N 结论：△CDM ≌△CEN ，CD =CE ，OD +OE =OC ，24OECD S =四边形45．对角互补模型-任意角全等型条件：∠AOB =2α，∠DCE =180°-2α，OC 平分∠AOB辅助线：过点C 作CM ⊥AO ，CN ⊥BO ，垂足分别为M 、N 结论：△CDM ≌△CEN ，CD =CE ，2cos OD OE OC α+=⋅， 2sin cos OEC OCD S S OC αα+=⋅46．邻边相等的对角互补模型条件：四边形ABCD 中，AB =AD ，∠ABC +∠ADC =180°D BAN E OB辅助线：延长CD 到E ，使得DE =BC ，连接AE结论：△ABC ≌△ADE ，CA 平分∠BCD十三、隐圆模型47．动点定长模型条件：AB =AC =AP ，点P 为动点结论：点B 、C 、P 三点共圆，点A 为圆心，AB 为半径48．直角圆周角模型条件：点C 为动点，∠ACB =90°结论：点A 、B 、C 三点共圆，线段AB 的中点为圆心，线段 AB 为直径49．定弦定长模型条件：点P 为动点，固定线段AB 所对的动角∠APB 为定值 结论：点A 、B 、P 三点共圆，线段AB 和BP 的中垂线的交点 为圆心BA50．四点共圆模型①条件：点A 、C 为动点，∠BAD +∠BCD =180°结论：点A 、B 、C 、D 四点共圆，线段AB 和BC 的中垂线的 交点为圆心当∠BAD =∠BCD =90°，BD 为直径51．四点共圆模型②条件：线段AB 为固定长度，点D 为动点，∠C =∠D结论：点A 、B 、C 、D 四点共圆，线段AB 和BC 的中垂线的 交点为圆心CCA当∠C=∠D=90°，AB为直径。
倍长中线模型,构造全等证明线段或角之间的关系
倍长中线模型，全等三角形搭桥，难题分析讲解三角形是初中数学里最基本的几何图形，而其边上，又是很常见的条件。
当涉及三角形问题时，常采用延长中线一倍的办法，即倍长中线法，实现角和线段的转化，以此来作辅助线解题。
好处是通过此法构造全等三角形继而得到平行，也可以证明三角形全等，可将分散的条件集中在一个三角形内解题，常常出奇制胜，化腐朽为神奇。
且看模型，和模型产生的基本结论.倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS证全等（其中有对顶角相等）例1：△ABC 中，AB=5，AC=3，求中线AD 的取值范围。
分析：延长AD 至E ，使ED=AD ，连接BE ，见模型1，可证△ABD 与△ECD 全等，把AB 边转移到EC 上了，再看△AEC ，用第三边大于两边之差小于两边之和可解。
【归纳总结】1. 三角形的三边关系是求线段范围的常用方法．2. 出现中线时，常考虑倍长中线构造全等三角形，实现线段的转化．例 2：已知在△ABC 中，AD 是 BC 边上的中线， E 是AD 上的一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF延长ED 至G ，使GD=ED ，利用SAS 可证△BED与△CGD 全等，把BE 转移到GC 上，∠G=∠1，由已知BE=AC ，得到GC=AC ，由等腰三角形性质可知∠G=∠3，通过∠G 传递，得到∠2=∠3，得证AF=EF例3：已知：如图，在△ABC 中，AB ≠AC ，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作DF//BA 交AE 于点F ，DE=AC ，求证：AE 平分∠BAC证明：如图，延长FE 到G ，使EG=EF ，连接CG ．在△DEF 和△CEG 中，∵ ，∴△DEF ≌△CEG ． ∴DF=GC ，∠DFE=∠G ．∵DF ∥AB ，∴∠DFE=∠BAE ．∵DF=AC ，∴GC=AC ．∴∠G=∠CAE ．∴∠BAE=∠CAE ．即AE 平分∠BAC⎪⎩⎪⎨⎧==FG FE CEG ＝∠DEF ∠EC ED例4：如图；在△ABC中，AB=AC，延长AB到D，使得BD=AB，取AB的中点E，连结CD和CE，求证：CD=2CE证明：延长CE至F，使EF＝CE，则CF＝2CE易证△ACE≌△BFE，∴AC＝BF＝AB＝BD，∠ABF＝∠BAC∴∠DBC＝∠ACB+∠BAC＝∠ABC+∠ABF＝∠FBC∴△BCF≌△BCD（SAS）∴CD＝CF＝2CE【融会贯通】1、在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F。
图形研究专题中 点模型(一)知中点一倍长中线(作平行)(29-32)
图形研究专题中 点模型(一)知中点一倍长中线(作平行)(29-32)[方法技巧]将中点处的线段倍长,根据SAS 构造全等三角形,这就是“倍长中线法”.倍长中线法具有构造全等三角形、平行线、平移线段等作用,能将题中已知的、未知的条件集中在同一对三角形中来处理问题.基本模型:如图,若OA=OC,0B=OD,则△AOB ≌△COD(SAS)1.如图,在△ABC 中,D 是BC 边的中点.(1)求证:AB+ AC>2AD;(2)若AB=5,AC=7,直接写出AD 的取值范围为2.如图,CE 是△ACD 的中线,点B 在AD 的延长线上,BD=AC,∠ACD=∠ADC,求证:CE=21BC.3.如图,四边形BEFC 中,D 为BC 的中点,∠EDF=90° ,求证:BE+ FC> EF.4.如图,AB=AE,AB ⊥AE,AD= AC,AD ⊥AC,点M 为BC 的中点,求证:DE=2AM. ;图形研究专题中点模型(二) 知中点---作垂线【方法技巧】过线段的两端点向中点处的线段作垂线,根据AAS或ASA构造全等三角形.基本模型:如图,若OA=OB, BC⊥CD,AD⊥CD,则△AOD≌△BOC(AAS).1，如图.△ABC中,D为BC的中点.（1)在图中作出CM⊥AD,BN⊥AD,垂足分别为点M,点N;(2)求证:DM= DN; (3)若AD=3,求AM+AN的值.2，如图,已知A(-2,1),C(0,2),且C为线段AB的中点,求点B的坐标.3如图,CD为△ABC的角平分线,E,F分别在CD,BD上,且DA= DF,EF=AC.求证:EF// BC.4如图,BC⊥CE, BC= CE,AC⊥CD,AC=CD,DE交AC的延长线于点M,M是DE的中点.(1)求证:AB⊥AC;(2)若AB=8,求CM的长.图形研究专题中点模型(三) 证中点[方法技巧]证线段的中点，常过线段的端点构造一组平行线,或过线段的两端点向过中点的线段作垂线,根据AAS或ASA构造全等三角形.证题关键往往是证明-组对应边相等.一、作平行,证中点1. [2019改编题]如图,在△ABC中,∠ABC=∠ACB,D,E分别是AC和AC的延长线上的点,连接BD，BE,若AB= CE,∠DBC=∠EBC.求证:D是AC的中点.2. [2019改编题]如图,AB⊥AE,AB=AE,ACLAD,AC=AD,AH⊥DE于点H,延长AH交BC于点M.求证:M是BC的中点.二、.作垂直,证中点3. [2019原创题]如图,AB⊥AC,AB=AC,D是AB上一点,CE.⊥CD,CE=CD,连接BE交AC于点F,求证:F是BE的中点.4. [2019原创题]如图,A,B,C三点共线,D,C,E三点共线,∠A=∠DBC,EF. LAC于点F,AE= BD.(1)求证:C是DE的中点;(2)求证:AB= 2CF.方法技巧专题线段和差的处理方法[方法技巧]1.通过用图中相等的线段来代换另--条线段,将线段的和差问题转化为证两线段相等的问题.通过全等得到等线段,直接代换,将分散的几条线段转化到--直线上解决问题.2.在处理线段和差问题时,常考虑截长补短.截长法是在较长线段上截取一段等于某一短线段,再证剩下的那一段等于另一短线段即可.补短法一般有两种方式:--种是将某短线段延08长,使延长的一部分等于另-短线段.另一种是将某短线段直接延长至等于较长的线段.一，等线段代换1，如图,CD为△ABC的中线,M,N分别为直线CD.上的点，且BM//AN.()求证:AN= BM;(2)求证:CM+CN= 2CD.2如图，在△ABC中,AD⊥BC于点D,且AD平分∠BAC,CE⊥AB于点E,交AD于点F.(1)求证:BD=CD;(2)若AF= BC,求证:AC- CE= EF.二截长补短3，[经典题]如图,在△ABC中,∠CAB=∠CBA=45°,CA=CB,点E为BC的中点,CN⊥AE交AB于点N.(1)求证:∠1=∠2;(2)求证:AE=CN+ EN. (用两种方法证明)数学(八年级上册)p247.如图，在△ABC中,∠B-∠C= 50°,BD= CF,BE CD.求∠EDF的度数9. (2018南京改)如图，AB1CD.且AB=CD. E,F是AD上两点,CE LAD,BFLAD.CE=AF若CE=4，BF=3,EF=2,则AD的长为10.如图,已知A(0,4),B(2,0),点C为坐标平面内一点(不与B重合)，若△AOC与△ABO全等，则点C的坐标为11.如图,△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,且ECLAC,EC=AD.求证:AEL BD.12.[经典题]在△ABC和△CDE中,CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=a,AE与BD交于点F.(1)如图1,当a=9°时,求证:①△ACE≌△BCD,②AE⊥BD;(2)如图2,当a=60°时,求∠AFB的度数:(3)如图3,直接写出∠AFD的度数为(用含a的式子表示):。
初中数学中点模型的构造及应用(总6页)
初中数学中点模型的构造及应用-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除中点模型的构造及应用一、遇到以下情况考虑中点模型：任意三角形或四边形中点或与中点有关的线段出现两个或三个中点考虑三角形中线定理已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线已知等边、等腰三角形底边中点，可以考虑与顶角连接用“三线合一”有些题目不直接给出中点，我们可以挖掘其中隐含中点，比如等腰三角形、等边三角形、直角三角形、平行四边形、圆中圆心是直径中点等可以出现中点的图形通常考虑用中点模型三角形中线的交点称为重心，它把中线分的线段比为2:1二、中点模型辅助线构造方法分类（一）倍长中线法（构造全等三角形，八字全等）当已知条件中出现中线时，常常将此中线倍长构造全等三角形解决问题。
如图，在∆ABC中，D为BC中点，延长AD到E使AD=DE，连接BE，则有：∆ADC≌∆EDB。
作用：转移线段和角。
（二）倍长类中线法（与中点有关线段，构造全等三角形，八字全等）当已知条件中出现类中线时，常常将此类中线倍长构造全等三角形解决问题。
如图，在∆ABC中，D为BC中点，延长ED到F使ED=DF，连接CF，则有：∆BED≌∆CFD。
作用：转移线段和角。
（三）直角三角形斜边中线法当已知条件中同时出现直角三角形和中点时，常构造直角三角形斜边中线，然后再利用直角三角形斜边的中线性质解决问题。
如下图，在Rt ∆ABC 中，ACB 90∠=︒，D 为AB 中点，则有：12CD AD BD AB === （四）等腰三角形三线合一当出现等腰三角形时，常隐含有底边中点，将其与顶角连接，可构成三线合一。
在∆ABC?中:（1）AC=BC?；（2）CD 平分ACB ∠；（3）AD=BD?，（4）CD AB ⊥ “知二得二”：比如由（2）（3）可得出（1）（4）.也就是说，以上四条语句，任意选择两个作为条件，就可以推出剩下两条。
2023年中考数学微专题复习课件2 中点模型
20
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，∴∠DCE＝∠CEB.
∵EC平分∠DEB，∴∠DEC＝∠CEB，
∴∠DCE＝∠DEC，∴DE＝DC.如图，连接DF.
∵DE＝DC，F为CE的中点，
∴DF⊥EC，∴∠DFC＝90°.
在Rt△CBE中，F为CE的中点，
∴BF＝CF＝EF＝ EC，∴∠ABF＝∠CEB.
构造中位线.
如图，在Rt△ABC中，
∠C＝90°，D是AB的中
点，则连接CD；过D点
作DE∥BC，交AC于点
E，则DE是△ABC的中位
线
图示
结论
1
①CD＝ AB＝AD＝
2
BD；
②∠DAC＝∠DCA，
∠DCB＝∠DBC；
1
④DE＝ BC；
2
⑤△ADE∽△ABC
7
类型
倍长
中
线
作法
图示
结论
①△ABD≌△ECD；
如图，在△ABC中，
②根据三角形
AD为BC边上的中线，
三边关系得到：
则延长AD到点E，使
1
AD＜ （AB＋AC）
2
得ED＝AD，连接CE
8
类型
作法
图示
结论
如图，在△ABC中，D是BC
的中点，点E是AB上一点，
倍长 则作法一：延长ED到点F，
类
△BDE≌△CDF
使得DF＝DE，连接CF；
中线 作法二：过点C作
↓
易得△AME≌△PMB
↓
BP＝AE＝2，∠ABP＝120°
↓
BD＝2BP，∠PBD＝60°
巧妙构造辅助线 解决与中点有关的问题
㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１２６数学学习与研究㊀２０２１ ３０巧妙构造辅助线解决与中点有关的问题巧妙构造辅助线㊀解决与中点有关的问题Һ车㊀帅㊀（中山纪念中学，广东㊀中山㊀５２８４００）㊀㊀ʌ摘要ɔ初三数学中考复习面临时间紧㊁知识点多等问题，所以帮助学生建立知识体系是事半功倍的复习方法．添加适当的辅助线解决几何问题一直是教学的重点和难点，本文就遇到中点常作辅助线的方法做一下总结．ʌ关键词ɔ中线倍长；中位线；三线合一；垂径定理方法一：倍长中线，构造全等三角形基本图形㊀所谓倍长中线，就是把中线或过中点的线段延长一倍，构造全等三角形，从而转移边角关系．如图１，Ｄ为ＢＣ中点，延长ＡＤ到Ｅ，使得ＡＤ＝ＤＥ，连接ＥＣ，可得到әＡＢＤɸәＥＣＤ⇒ＥＣ＝ＡＢ，øＥ＝øＢＡＥ，øＢ＝øＥＣＤ⇒ＡＢʊＥＣ．图１例１㊀如图２，әＡＢＣ中，Ｄ为ＢＣ中点，ＡＢ＝５，ＡＤ＝６，ＡＣ＝１３，求证：ＡＢʅＡＤ．分析㊀点Ｄ是ＢＣ的中点，想到中线倍长法构造全等三角形转移边角关系，利用勾股定理逆定理证明ＡＢʅＡＤ．证明㊀延长ＡＤ到Ｅ，使得ＤＥ＝ＡＤ＝６．㊀图２ȵＤ是ＢＣ中点，ʑＢＤ＝ＤＣ．ȵøＡＤＣ＝øＢＤＥ，ʑәＡＤＣɸәＥＤＢ（ＳＡＳ），ʑＢＥ＝ＡＣ＝１３．ȵＡＢ＝５，ＡＥ＝１２，ʑøＥＡＢ＝９０ʎ，ʑＡＢʅＡＤ．例２㊀如图３，ＢＤ平分øＡＢＣ交ＡＣ于Ｄ，点Ｅ为ＣＤ上一点，且ＡＤ＝ＤＥ，ＥＦʊＢＣ交ＢＤ于Ｆ，求证：ＡＢ＝ＥＦ．分析㊀由ＡＤ＝ＤＥ，想到延长ＢＤ到Ｋ，使得ＢＤ＝ＤＫ，构造әＡＤＢɸәＥＤＫ，由平行线性质㊁角平分线性质㊁等量代换，得øＤＦＥ＝øＫ，最后由等角对等边证得ＥＦ＝ＡＢ．证明㊀延长ＢＤ到Ｋ，使得ＢＤ＝ＤＫ，连接ＫＥ．ȵＡＤ＝ＤＥ，øＡＤＢ＝øＫＤＥ，ＢＤ＝ＤＫ，图３ʑәＡＤＢɸәＥＤＫ（ＳＡＳ），ʑＡＢ＝ＫＥ，øＡＢＤ＝øＫ．ȵＢＤ平分øＡＢＣ，ʑøＡＢＤ＝øＤＢＣ．ȵＥＦʊＢＣ，ʑøＤＦＥ＝øＤＢＣ，ʑøＤＦＥ＝øＫ，ʑＥＦ＝ＥＫ，ʑＥＦ＝ＡＢ．注意，当遇到平行线和中点时，一般不选择中线倍长的方法，因为会涉及证明三点共线，此时可以选择延长线段，构造八字形．如图４，已知ＡＢʊＣＤ，Ｅ为ＢＣ中点，延长ＡＥ交ＣＤ于点Ｐ，则әＡＢＥɸәＰＣＥ⇒ＡＥ＝ＥＰ．图４例３㊀已知：梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤʊＢＣ，Ｅ是ＡＢ的中点，ＤＥʅＣＥ，求证：ＡＤ＋ＢＣ＝ＤＣ．分析㊀ 平行线＋中点 考虑构造八字形，通过证әＡＥＦɸәＢＥＣ，得到相等线段，利用中垂线性质证得结论．证明㊀延长ＣＥ交ＤＡ的延长线于点Ｆ，连接ＡＦ．㊀图５ȵＡＤʊＢＣ，ʑøＦ＝øＥＣＢ．ȵＥ是ＡＢ的中点，ʑＡＥ＝ＢＥ．ȵøＡＥＦ＝øＣＥＢ，ʑәＡＥＦɸәＢＥＣ，ʑＡＦ＝ＢＣ，ＥＦ＝ＥＣ．ȵＤＥʅＣＥ，ʑＤＥ是ＣＦ的中垂线，ʑＤＦ＝ＤＣ，ʑＤＣ＝ＤＦ＝ＡＤ＋ＡＦ＝ＡＤ＋ＢＣ．有时题中有中点但没有平行线，这时要作平行构造八字形，如图６，过Ｃ作ＣＤʊＡＢ，延长ＡＥ交ＣＤ于点Ｐ，则әＡＢＥɸәＰＣＥ⇒ＡＥ＝ＥＰ．图６例４㊀如图７，已知әＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，Ｄ，Ｅ分别是ＡＢ，ＢＣ上的点，连接ＤＥ并延长与ＡＣ的延长线交于点Ｆ，若ＤＥ＝ＥＦ，求证：ＢＤ＝ＣＦ．分析㊀Ｅ是ＤＦ的中点，想到通过作平行线构造八字形⇒әＤＥＫɸәＦＥＣ⇒ＣＦ＝ＤＫ，再利用等角对等边得到ＢＤ＝ＤＫ，通过等量代换得到ＢＤ＝ＣＦ．㊀图７证明㊀过点Ｄ作ＤＫʊＡＣ交ＢＣ于点Ｋ．ȵＤＫʊＡＣ，ʑøＦ＝øＫＤＥ，øＡＣＢ＝øＤＫＢ．ȵＤＥ＝ＥＦ，øＤＥＫ＝øＦＥＣ，ʑәＤＥＫɸәＦＥＣ，ʑＣＦ＝ＤＫ．ȵＡＢ＝ＡＣ，ʑøＡＢＣ＝øＡＣＢ．ʑøＡＢＣ＝øＤＫＢ，ʑＤＢ＝ＤＫ＝ＣＦ．方法二：知一中点，找另一中点构造三角形中位线基本图形㊀如图８，在әＡＢＣ中，Ｄ为ＡＢ中点，可找另一边ＡＣ的中点构造三角形中位线，利用三角形的中位线平行且等于第三边的一半去解决线段相等及平行等问题．图８例５㊀如图９，在әＡＢＣ中，ＡＤ为ＢＣ边上的中线．已知ＡＣ＝５，ＡＤ＝４，求ＡＢ的取值范围．分析㊀已知Ｄ是ＢＣ中点，可找ＡＣ的中点Ｅ构造三角形中位线，利用三角形三边关系求出ＤＥ的取值范围，再利用三角形中位线等于第三边的一半求出ＡＢ的取值范围．㊀图９解㊀取ＡＣ中点Ｅ，连接ＤＥ．ȵＥ是ＡＣ中点，ʑＡＥ＝１２ＡＣ＝５２．ʑ３２＜ＤＥ＜１３２．ȵＤ是ＢＣ中点，. All Rights Reserved.㊀㊀㊀解题技巧与方法１２７㊀数学学习与研究㊀２０２１ ３０ʑＤＥ是әＡＢＣ的中位线．ʑＡＢ＝２ＤＥ，ʑ３＜ＡＢ＜１３．方法三：中点遇等腰三角形，莫忘 三线合一基本图形㊀如图１０，当等腰三角形ＡＢＣ中有底边中点Ｄ时，常连底边中线，利用等腰三角形底边中线㊁顶角平分线㊁底边高重合去解决垂直㊁角相等等问题．图１０例６㊀如图１１，在әＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ＝１０，ＢＣ＝１２，Ｅ为ＢＣ边上的中点，若ＥＦʅＡＣ于点Ｆ，求ＥＦ的长．分析㊀ 等腰＋中点 考虑三线合一，所以连接ＡＥ得到ＲｔәＡＥＣ，进而用等面积法求直角三角形斜边上的高．㊀图１１解㊀连接ＡＥ．ȵＡＢ＝ＡＣ，Ｅ为ＢＣ中点，ʑＡＥʅＢＣ，ＣＥ＝１２ＢＣ＝６．由勾股定理，得ＡＥ＝８．ȵＥＦʅＡＣ，由等面积法，得ＡＥ㊃ＣＥ＝ＡＣ㊃ＥＦ，ʑ６ˑ８＝１０ＥＦ，ʑＥＦ＝２４５．方法四：中点遇直角三角形，考虑直角三角形斜边中线等于斜边一半基本图形㊀如图１２，当Ｄ是ＲｔәＡＢＣ的斜边中点时，连接ＡＤ⇒ＡＤ＝１２ＢＣ⇒ＡＤ＝ＣＤ＝ＢＤ⇒әＡＢＤ和әＡＤＣ是等腰三角形．图１２例７㊀如图１３，在әＡＢＣ中，øＡＣＢ＝９０ʎ，Ｍ是ＡＢ的中点，Ｅ，Ｆ分别是ＡＣ，ＢＣ延长线上的点，且ＣＥ＝ＣＦ＝１２ＡＢ，求øＥＭＦ的度数．分析㊀由Ｍ是直角三角形斜边上的中点，想到连接ＣＭ，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半⇒ＣＭ＝１２ＡＢ，因为ＣＥ＝ＣＦ＝１２ＡＢ⇒әＣＥＭ和әＣＦＭ是等腰三角形⇒øＦ＝øＦＭＣ和øＥ＝øＥＭＣ，进而利用外角可求得øＥＭＦ㊀图１３的度数．解㊀连接ＣＭ．ȵøＡＣＢ＝９０ʎ，Ｍ是ＡＢ中点，ʑＣＭ＝１２ＡＢ．ȵＣＥ＝ＣＦ＝１２ＡＢ，ʑＣＭ＝ＣＦ＝ＣＥ．ʑøＥ＝øＣＭＥ，øＦ＝øＣＭＦ．ȵøＡＣＭ＝øＦ＋øＣＭＦ，øＭＣＢ＝øＥ＋øＣＭＥ，ʑøＦＭＥ＝øＣＭＦ＋øＣＭＥ＝１２øＡＣＢ＝４５ʎ．方法五：遇到中点，过中点作平行线，得到相似三角形基本图形㊀如图１４，Ｄ是ＡＢ中点，过Ｄ作ＤＥʊＢＣ交ＡＣ于点Ｅ⇒әＡＤＥʐәＡＢＣ⇒ＡＤＡＢ＝ＡＥＡＣ，根据Ｄ是ＡＢ中点⇒ＡＥＡＣ＝ＡＤＡＢ＝１２⇒Ｅ是ＡＣ中点⇒ＤＥ是әＡＢＣ的中位线．方法五和方法二可以互相推得，在应用时可以选择最合适的添加辅助线的方法．图１４例８㊀如图１５，已知ＡＤ，ＢＥ分别是әＡＢＣ的中线和角平分线，ＡＤʅＢＥ，垂足为点Ｆ，ＡＤ＝ＢＥ＝４，求ＡＣ的长．分析㊀过ＢＣ中点Ｄ作ＤＫʊＡＣ，可巧妙地构造一组相似三角形әＢＤＫ，әＢＣＥ和一组全等三角形әＡＢＦ，әＤＢＦ，运用相似三角形㊁全等三角形的性质，可得到ＡＣ与ＡＥ的数量关系以及ＤＦ，ＫＦ的长，运用勾股定理求出ＤＫ，进而求出ＡＣ的长．㊀图１５解㊀过点Ｄ作ＤＫʊＡＣ，交ＢＥ于点Ｋ．ȵＡＤʅＢＥ，ʑøＡＦＢ＝øＤＦＢ＝９０ʎ．ȵＢＥ平分øＡＢＣ，ʑøＡＢＥ＝øＤＢＥ．ȵＢＦ＝ＢＦ，ʑәＡＢＦɸәＤＢＦ．ʑＡＦ＝ＤＦ．ȵＤＫʊＡＣ，ʑøＡＥＫ＝øＤＫＥ，øＫＤＦ＝øＥＡＦ，ʑәＤＫＦɸәＡＥＦ，ʑＫＦ＝ＦＥ，ＤＫ＝ＡＥ．ȵＤＫʊＡＣ，Ｄ是ＢＣ的中点，ʑＫ是ＢＥ的中点，ʑＤＫ是әＢＣＥ的中位线，ʑＣＥ＝２ＤＫ，ʑＡＣ＝３ＤＫ．ȵＢＥ＝ＡＤ＝４，ʑＤＦ＝２，ＫＦ＝１．由勾股定理，得ＤＫ＝５，ʑＡＣ＝３５．方法六：圆中遇到弦㊁弧中点，考虑垂径定理及其推论㊁圆心角定理㊁圆周角定理基本图形㊀如图１６，当点Ｆ为弦ＡＢ的中点时，连接ＯＦ并延长交圆于点Ｃ，Ｄ，则直径ＣＤ平分弦ＡＢ所对应的优弧和劣弧，且垂直于ＡＢ．如图１７，当点Ｂ是ＣＤ(的中点时，可知ＣＢ＝ＢＤ，øＣＯＢ＝øＢＯＤ，øＣＡＢ＝øＢＡＤ．图１６㊀㊀㊀图１７例９㊀如图１８，已知Ｆ，Ｇ分别是弦ＡＢ，ＣＤ的中点，ＡＢ＝ＣＤ，求证：øＡＦＧ＝øＣＧＦ．分析㊀连接弦心距ＯＦ，ＯＧ，得到øＯＦＡ＝øＯＧＣ＝９０ʎ，由ＯＦ＝ＯＧ，得到øＯＦＧ＝øＯＧＦ，最后用等式的基本性质推出答案．证明㊀连接弦心距ＯＦ，ＯＧ．㊀图１８ȵＡＦ＝ＢＦ，ＤＧ＝ＣＧ，ʑＯＦʅＡＢ，ＯＧʅＣＤ．ʑøＯＦＡ＝øＯＧＣ＝９０ʎ．由勾股定理，得ＯＦ＝ＯＧ，ʑøＯＦＧ＝øＯＧＦ．ʑøＯＦＡ－øＯＦＧ＝øＯＧＣ－øＯＧＦ，ʑøＡＦＧ＝øＣＧＦ．以上是对遇到中点常作辅助线方法的一个总结，这几种辅助线添加方法不是相互独立的，有些是可以相互推导的，所以，做题过程中究竟添加何种辅助线，或是添加几条辅助线更合适，要因题而异，灵活应对．有些题可能添加辅助线的方式不止一种，究竟添加哪一种更合适，需要大家对这几种辅助线添加方法的实质理解清晰㊁透彻．. All Rights Reserved.。
初中数学几何模型之 倍长中线模型
数学模型-倍长中线模型模型分析：倍长中线主要用于证明全等三角形，其主要是在全等三角形的判定过程中，给出中线，通过延长辅助线的方法证明三角形全等及其他，达到解题的目的．其主要的图形特征和证明方法如下图：已知：在三角形ABC 中，O 为BC 边中点，辅助线：延长AO 到点D 使AO=DO ，结论：△AOB ≌△DOC证明：延长AO 到点D 使AO=DO ，由中点可知，OB=OC ，在△AOB 和△DOC 中OA ODAOB DOC OB OC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AOB ≌△DOC同理下图中仍能得到△AOB ≌△DOC规律总结：由倍长中线法证明三角形全等的过程一般均是用SAS 的方法，这是由于作出延长线后出现的对顶角决定的．补充：关于倍长中线的其他模型①向中线做垂直，易证△BEO ≌△CDO步骤：延长AO 到点D ，过点B ，C 分别向AD 作垂线，垂足为E ，D ，易证△BEO ≌△CDO(AAS)②过中线做任意三角形证明全等，易证△BDO ≌△CEO步骤：AC 上任意选取一点E ，连接EO 并延长到点D ，使EO=DO ，连接BD ， 易证△BDO ≌△CEO(SAS)实例精练：1. 如图，在平行四边形ABCD 中，28CD AD ==，E 为AD 上一点，F 为DC 的中点，则下列结论中正确的是（ ）A. 4BF =B. 2ABC ABF ∠>∠C. ED BC EB +=D. 2DEBC EFB S S =四边形【答案】D【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可以得到228CD AD BC ===，且F 为DC 的中点，所以4CF BC ==,由此可判断A 选项；再结合平行线的性质可以得到CFB FBA ∠=∠，由此可判断B 选项；同时延长EF 和BC 交于点P ，,,DF CF DFE PFC D FCP =∠=∠∠=∠ 可以证得DFE CFP ≅，所以ED BC CP BC BP +=+= 由此可以判断C 选项；由于DFE CFP ≅，所以BEP DEBC S S =四边形，由此可以判断D 选项； 【详解】四边形ABCD 是平行四边形∴ 228CD AD BC ===∴ 4CF BC ==由于条件不足，所以无法证明4BF =,故A 选项错误；4CF BC ==∴ CFB FBC ∠=∠DC AB ∥∴ CFB FBC FBA ∠=∠=∠∴ 2ABC ABF ∠=∠故B 选项错误；同时延长EF 和BC 交于点PAD BP∴ D FCP ∠=∠∴ 在DFE △和CFP 中：()DF CF DFE PFC D FCP ASA ⎧=⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩∴ DFE CFP ≅∴ ED BC CP BC BP +=+=由于条件不足，并不能证明BP BE =，故C 选项错误；DFE CFP ≅∴ BEP DEBC S S =四边形F 为DC 的中点∴ 2BEP BEF DEBC S S S ==四边形故D 选项正确；故选：D.【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，以及全等三角形的判定，根据题意作出相应的辅助线是求解本题的关键.2. 如图，901,2,AB CD BCD AB BC CD E ∠=︒===，，为AD 上的中点，则BE ＝______．【解析】 【分析】延长BE 交CD 于点F ，证ABE DFE ≌，则BE=EF=12BF ，故再在直角三角形BCF 中运用勾股定理求出BF 长即可.【详解】解：延长BE 交CD 于点F∵AB 平行CD ，则∠A=∠EDC ，∠ABE=∠DFE ，又E 为AD 上的中点，∴BE=EF,所以ABE DFE ≌. ∴1,12BE EF BF AB DF ==== ∴1CF =在直角三角形BCF 中，∴12BE BF ==. 【点睛】本题的关键是作辅助线，构造三角形全等，找到线段的关系，然后运用勾股定理求解.3. 如图，ABC ∆中，D 为BC 的中点，E 是AD 上一点，连接BE 并延长交AC 于F ，BE AC =，且9BF =，6CF =，那么AF 的长度为__．【答案】32； 【解析】【分析】延长AD 至G 使AD DG =，连接BG ，得出ACD GBD ∆≅∆ 得出AC BG BE ==，所以得出AEF ∆是等腰三角形，根据已知线段长度建立等量关系计算．【详解】如图：延长AD 至G 使AD DG =，连接BG在ACD ∆和GBD ∆中：CD BD ADC BDG AD DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ACD GBD ∆≅∆∴,CAD G AC BG ∠=∠=∵BE AC =∴BE BG =∴G BEG ∠=∠∵BEG AEF ∠=∠∴AEF EAF ∠=∠∴EF AF =∴AF CF BF EF +=-即69AF EF +=- ∴32AF = 【点睛】倍长中线是常见的辅助线、全等中相关的角的代换是解决本题的关键． 4. 如图，平行四边形ABCD 中，CE AD ⊥于E ，点F 为边AB 中点，12AD CD =，40CEF ∠=︒，则AFE ∠=_________【答案】30【解析】【分析】延长EF 、CB 交于点G ，连接FC ，先依据全等的判定和性质得到FE FG =，依据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到FC FE FG ==，依据平行四边形的对边相等及等量代换得到BF BC =，依据三角形等边对等角得到50FCG G ∠=∠=︒、50BFC FCG ∠=∠=︒，依据三角形内角和得到GFC ∠，通过作差即得所求.【详解】解：延长EF 、CB 交于点G ，连接FC ，∵平行四边形ABCD 中，∴//AD BC ，AB CD =,AD BC =,∴A GBF ∠=∠，AFE BFG ∠=∠，90GCE CED ∠==︒又∵点F 为边AB 中点，得12A FB A BF ==, ∴AFE △≌BFG (ASA)，0509C G EF ∠∠-==︒︒，∴FE FG =，∴FC FE FG ==，∴50FCG G ∠=∠=︒,∴18080GFC FCG G ∠=︒-∠-∠=︒, ∵12BF AB =,12AD CD = AB CD =,AD BC =, ∴BF BC =,∴50BFC FCG ∠=∠=︒,∴30BFG GFC BFC ∠=∠-∠=︒,∴30BFG AFE ∠∠==︒,故答案为：30.【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等的判定和性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、三角形等边对等角、三角形内角和，解题的关键是构造直角三角形.5. 已知：如图所示，AD平分BAC，M是BC的中点，MF//AD，分别交CA延长线，AB于F、E．求证：BE=CF．【答案】见解析.【解析】【分析】过B作BN∥AC交EM延长线于N点，易证△BMN≌△CMF，可得CF＝BN，然后由MF//AD，AD平分∠BAC可得∠F＝∠DAC=∠BAD＝∠BEM，∠BEM ＝∠N，所以BE＝BN＝CF.【详解】证明：过B作BN∥AC交EM延长线于N点，∵BN∥AC，BM＝CM，∴∠BMN＝∠CMF，∠N＝∠F，∴△BMN≌△CMF，∴CF＝BN，又∵MF//AD，AD平分∠BAC，∴∠F＝∠DAC=∠BAD＝∠BEM，∴∠BEM＝∠N，∴BE＝BN＝CF.【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，全等三角形的判定和性质等知识，作辅助线构造出等腰三角形是解题的关键，也是本题的难点．6. 如图所示，在ABC ∆中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，EF AD ∥交CA 的延长线于点F ，交AB 于点G ，若BG CF =，求证：AD 为BAC ∠的平分线.【答案】见解析【解析】【分析】延长FE ，截取EH =EG ，连接CH ，可证∴BEG ≌△CEH ，即可求得∠F =∠FGA ，即可求得∠CAD =∠BAD ，即可解题．【详解】证明：延长FE ，截取EH =EG ，连接CH ，∵E 是BC 中点，∴BE =CE ，∴∠BEG =∠CEH ，在∴BEG 和∴CEH 中，BE CE BEG CEH GE EH ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△BEG ≌△CEH （SAS ），∴∠BGE =∠H ，∴∠BGE =∠FGA =∠H ，∴BG =CH ，∵CF =BG ，∴CH =CF ，∴∠F =∠H =∠FGA ，∵EF ∥AD ，∴∠F =∠CAD ，∠BAD =∠FGA ，∴∠CAD =∠BAD ，∴AD 平分∠BAC ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证∴BEG ≌△CEH 是解题的关键．7. 已知：如图所示，在ABC ∆中，AD 为中线，BF 交,AD AC 分别于,E F ，如果BE AC =，求证：AF EF = ．【答案】详见解析【解析】【分析】根据点D 是BC 的中点，延长AD 到点G ，得到BDE CDG ∆∆≌，利用全等三角形的对应角相等，对应边相等进行等量代换，得到△AEF 中的两个角相等，然后用等角对等边证明AE 等于EF ．【详解】证明：延长ED 至G ，使DG DE =，连结GC ，∵在ABC ∆中，AD 为中线，∴BD=CD ，在△ADC 和△GDB 中，BD CD BDE CDG DE DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴BDE CDG ∆∆≌，BE CG ∴=，BED CGD ∠=∠，BE AC =，AC GC ∴=，AGC CAG ∴∠=．又BED AEF ∠=∠，∴AEF EAF ∠=∠，∴AF EF =.【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过作辅助线构建全等三角形．8. 如图所示，AD 为ABC ∆的角平分线，,E F 分别在,BD AD 上，DC DE =，若EF AB ∥．求证：EF AC =．【答案】详见解析【解析】【分析】延长FD 至G ，使DG DF =，连结CG ，可证DEF DCG ∆∆≌，则EF=CG ，利用全等三角形和角平分线以及平行线的性质可得GAC AGC ∠=∠ ，根据等角对等边得AC=CG ，即可得出结论.【详解】证明：延长FD 至G ，使DG DF =，连结CG ，∵DC=DE ，∠EDF=∠CDG ，DG DF =∴DEF DCG ∆∆≌，EF CG ∴=，EFG CGD ∠=∠EF AB ∥，EFG BAD ∴∠=∠，又BAD CAD ∠=∠，GAC AGC ∴∠=∠，AC GC ∴=，EF AC ∴=.【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，关键是证△EDF 与△CDG 全等． 9. 如图所示，在ABC ∆中，AD 为中线，90,2BAD AB AD ∠==，求DAC ∠的度数．【答案】45°【解析】【分析】延长AD 至E ，使DE AD =，连结CE ，则ADB EDC ∆∆≌，根据全等三角形的性质得EC=AB ，90E BAD ∠=∠=︒，由AB=2AD 可得EC=AE ，可得△AEC 是等腰直角三角形，即可得∠DAC 的度数．【详解】解：延长AD 至E ，使DE AD =，连结CE ，∵BD=CD ，∠ADB=∠EDC∴ADB EDC ∆∆≌，∴EC=AB ，90E BAD ∠=∠=︒，∵AB=2AD ，DE AD =∴AB=AE=EC∴△AEC 是等腰直角三角形，∴∠DAC=45°.故答案为45°.【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质 等腰直角三角形的性质，解题的关键是作辅助线构建全等三角形和等腰直角三角形.10. 已知：如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，D 为AB 的中点，E 、F 分别在AC 、BC 上，且ED FD ⊥于D .求证：222AE BF EF +=.【答案】详见解析【解析】【分析】通过倍长线段DE ，将AE 、BF 、EF 转化到BGF ∆中，再证BGF ∆为直角三角形.=，连结BG、FG，【详解】延长ED至G，使DG DE∠=∠，=，ADE BDGAD BD∴∆≅∆，ADE BDG∴=，A DBG∠=∠，AE BG∴，AC BG∴∠=︒，FBGC FBG180∴∠+∠=︒，90222∴+=，BG BF GF=，又ED FD⊥，ED GD∴=，EF GF222∴+=.AE BF EF【点睛】本题考查了全等三角形判定与性质，勾股定理，正确添加辅助线，熟练掌握相关知识是解题的关键.11. 阅读下面材料：数学课上，老师给出了如下问题：如图，AD为△ABC中线，点E在AC上，BE交AD于点F，AE＝EF．求证：AC ＝BF．经过讨论，同学们得到以下两种思路：以进一步证得∠G＝∠F AE＝∠AFE＝∠BFG，从而证明结论．思路二如图∴，添加辅助线后并利用AE＝EF可证得∠G＝∠BFG＝∠AFE＝∠F AE，再依据AAS可以进一步证得△ADC≌△GDB，从而证明结论．（1）∴思路一的辅助线的作法是：；∴思路二的辅助线的作法是：．（2）请你给出一种不同于以上两种思路的证明方法（要求：只写出辅助线的作法，并画出相应的图形，不需要写出证明过程）．【答案】（1）∴延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG；∴作BG＝BF交AD的延长线于点G；（2）详见解析【解析】【分析】（1）∴依据SAS可证得△ADC≌△GDB，再利用AE＝EF可以进一步证得∠G＝∠F AE＝∠AFE＝∠BFG，从而证明结论．∴作BG＝BF交AD的延长线于点G．利用AE＝EF可证得∠G＝∠BFG＝∠AFE＝∠F AE，再依据AAS可以进一步证得△ADC≌△GDB，从而证明结论．（2）作BG∥AC交AD的延长线于G，证明△ADC≌△GDB（AAS），得出AC＝BG，证出∠G＝∠BFG，得出BG＝BF，即可得出结论．【详解】解：（1）∴延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG，如图∴，理由如下：∵AD为△ABC中线，∴BD＝CD，在△ADC和△GDB中，=AD DGADC GD CD BDB ⎧=∠⎪∠⎪⎨⎩＝，∴△ADC≌△GDB（SAS），∴AC＝BG，∵AE＝EF，∴∠CAD＝∠EF A，∵∠BFG＝∠G，∠G＝∠CAD，∴∠G＝∠BFG，∴BG＝BF，∴AC＝BF．故答案为：延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG；∴作BG＝BF交AD的延长线于点G，如图∴．理由如下：∵BG＝BF，∴∠G＝∠BFG，∵AE＝EF，∴∠EAF＝∠EF A，∵∠EF A＝∠BFG，∴∠G＝∠EAF，在△ADC和△GDB中，CAD GADC GCD BDDB ⎧⎪⎨⎪=⎩∠∠∠∠＝＝，∴△ADC≌△GDB（AAS），∴AC＝BG，∴AC＝BF；故答案为：作BG＝BF交AD的延长线于点G；（2）作BG∥AC交AD的延长线于G，如图∴所示：则∠G＝∠CAD，∵AD为△ABC中线，∴BD＝CD，在△ADC和△GDB中，CAD GADC GCD BDDB ⎧⎪⎨⎪=⎩∠∠∠∠＝＝，∴△ADC≌△GDB（AAS），∴AC＝BG，∵AE＝EF，∴∠CAD＝∠EF A，∵∠BFG＝∠EF A，∠G＝∠CAD，∴∠G＝∠BFG，∴BG＝BF，∴AC＝BF．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、其中一般证明两个三角形全等共有四个定理：AAS、ASA、SAS、SSS，需要同学们灵活运用，解题的关键是学会做辅助线解决问题．12. 阅读∴1）阅读理解：如图①，在△ABC中，若AB=10∴AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE=AD，再连接BE（或将△ACD 绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB∴AC∴2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断．中线AD的取值范围是________∴∴2）问题解决：如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D∴DE交AB于点E∴DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF∴EF∴∴3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°∴CB=CD∴∠BCD=140°，以C为顶点作一个70°角，角的两边分别交AB∴AD于E∴F两点，连接EF，探索线段BE∴DF∴EF之间的数量关系，并加以证明．【答案】∴1∴2∴AD∴8∴∴2）证明见解析；（3∴BE+DF=EF；理由见解析.【解析】（1）延长AD至E，使DE=AD，由SAS证明∴ACD∴∴EBD，得出BE=AC=6，【分析】在∴ABE中，由三角形的三边关系求出AE的取值范围，即可得出AD的取值范围；（2）延长FD至点M，使DM=DF，连接BM、EM，同（1）得∴BMD∴∴CFD，得出BM=CF，由线段垂直平分线的性质得出EM=EF，在∴BME中，由三角形的三边关系得出BE+BM＞EM即可得出结论；（3）延长AB至点N，使BN=DF，连接CN，证出∴NBC=∴D，由SAS证明∴NBC∴∴FDC，得出CN=CF，∴NCB=∴FCD，证出∴ECN=70°=∴ECF，再由SAS 证明∴NCE∴∴FCE，得出EN=EF，即可得出结论．【详解】（1）解：延长AD至E，使DE=AD，连接BE，如图∴所示：∴AD是BC边上的中线，∴BD=CD，在∴BDE和∴CDA中，BD=CD，∴BDE=∴CDA，DE=AD，∴∴BDE∴∴CDA（SAS），∴BE=AC=6，在∴ABE中，由三角形的三边关系得：AB﹣BE＜AE＜AB+BE，∴10﹣6＜AE＜10+6，即4＜AE＜16，∴2＜AD＜8；故答案为2＜AD＜8；（2）证明：延长FD至点M，使DM=DF，连接BM、EM，如图∴所示：同（1）得：∴BMD∴∴CFD（SAS），∴BM=CF，∴DE∴DF，DM=DF，∴EM=EF，在∴BME中，由三角形的三边关系得：BE+BM＞EM，∴BE+CF＞EF；（3）解：BE+DF=EF；理由如下：延长AB至点N，使BN=DF，连接CN，如图3所示：∴∴ABC+∴D=180°，∴NBC+∴ABC=180°，∴∴NBC=∴D，在∴NBC和∴FDC中，BN=DF，∴NBC =∴D，BC=DC，∴∴NBC∴∴FDC（SAS），∴CN=CF，∴NCB=∴FCD，∴∴BCD=140°，∴ECF=70°，∴∴BCE+∴FCD=70°，∴∴ECN=70°=∴ECF，在∴NCE和∴FCE中，CN=CF，∴ECN=∴ECF，CE=CE，∴∴NCE∴∴FCE（SAS），∴EN=EF，∴BE+BN=EN，∴BE+DF=EF．考点：全等三角形的判定和性质；三角形的三边关系定理.13. 如图，在∴ABC中，AB=AC，D为线段BC的延长线上一点，且DB=DA，BE∴AD于点E，取BE的中点F，连接AF．(1)若，求BE的长；(2)在（1）的条件下，如果∴D=45°，求∴ABD的面积．(3)若∴BAC=∴DAF，求证：2AF=AD；【答案】（1）（2）9；（3）见详解【解析】【分析】（1）在Rt △AEB 中，利用勾股定理即可解决问题；（2）由∠D ＝45°可证得BE ＝DE ，再利用三角的面积公式计算即可；（3）如图，延长AF 至M 点，使AF ＝MF ，连接BM ，首先证明△AEF ≌△MFB ，再证明△ABM ≌△ACD 即可．【详解】（1）解：∵AB ＝AC ，AC∴AB∵BE ⊥AD ，AE，∴在Rt △AEB中，BE ===；（2）解：∵BE ⊥AD ，∠D ＝45°，∴∠EBD ＝∠D ＝45°，∴BE ＝DE＝∴AD ＝AE+DE=∴11922ABD S AD BE =⋅=⨯=； （3）证明：如图，延长AF 至M 点，使AF ＝MF ，连接BM ，∵点F 为BE 的中点，∴EF ＝BF ，在△AEF 和△MBF 中，AF FM AFE BFM EF BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AEF ≌△MBF （SAS ），∴∠F AE ＝∠FMB ，∴AE ∥MB ，∴∠EAB +∠ABM ＝180°，∴∠ABM ＝180°﹣∠BAD ，又∵AB ＝AC ，DB ＝DA ，∴∠ABC ＝∠ACB ＝∠BAD ，∴∠ACD ＝180°﹣∠ACB ，∴∠ABM ＝∠ACD ．又∵∠BAC ＝∠DAF ，∴∠BAC ﹣∠MAC ＝∠DAF ﹣∠MAC ，∴∠1＝∠2．在△ABM 和△ACD 中，12AB ACABM ACD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ABM ≌△ACD （ASA ），∴AM ＝AD ，又∴AM ＝AF +MF ＝2AF ，∴2AF ＝AD ．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是中线延长一倍，作出正确的辅助线构造全等三角形，属于常考题型．14. 阅读材料，解答下列问题．如图1，已知△ABC 中，AD 为中线．延长AD 至点E ，使 DE =AD ．在△ADC 和△EDB 中，AD =DE ，∠ADC =∠EDB ，BD =CD ，所以，△ACD ≌△EBD ，进一步可得到AC =BE ，AC //BE 等结论．在已知三角形的中线时，我们经常用“倍长中线”的辅助线来构造全等三角形，并进一步解决一些相关的计算或证明题．解决问题：如图2，在△ABC 中，AD 是三角形的中线，点F 为AD 上一点，且BF =AC ，连结并延长BF 交AC 于点E ，求证：AE =EF ．【答案】详见解析【解析】【分析】延长AD 到M ，使DM=AD ，连接BM ，根据SAS 推出△BDM ≌△CDA ，根据全等三角形的性质得出BM=AC ，∠CAD=∠M ，根据BF=AC 可得BF=BM ，推出∠BFM=∠M ，求出∠AFE=∠EAF 即可．【详解】如图，延长AD 至点M ，使得MD AD =，并连结BM ，∵AD 是三角形的中线，∴BD CD =，在MDB △和ADC △中，,,,BD CD BDM CDA DM DA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴MDB ADC △≌△，∴AC MB =，BMD CAD ∠=∠，∵BF AC =，∴BF BM =，∴BMD BFD ∠=∠，∵BFD EFA ∠=∠，BMD CAD ∠=∠，∴EFA EAF ∠=∠，即AE EF =．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的运用性质进行推理的能力，关键是能根据“倍长中线”法作出辅助线来构造全等三角形．。
倍长中线法
几何模型02——倍长中线法当线段出现一个中点时，特别是三角形中，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 倍长中线法：△ABC 中AD 是BC 边中线方式1： 延长AD 到E ， 使DE=AD ，连接BE例1.已知：如图，AD 是△ABC 的中线，求证：AB +AC ＞2AD ．证明：延长AD 到M ，使DM ＝AD ，连接BM ，CM ，∵AD 是△ABC 的中线，∴BD ＝DC ，∵AD ＝DM ，∴四边形ABMC 是平行四边形，∴BM ＝AC ，在△ABM 中，AB +BM ＞AM ，即AB +AC ＞2AD ．例2.已知，如图△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，则中线AD 的取值范围是 ． 解：延长AD 到点E ，使AD ＝ED ，连接CE ，∵AD 是△ABC 的中线，∴BD ＝CD ，在△ABD 和△ECD 中∴△ABD ≌△ECD （SAS ），∴AB ＝EC ，在△AEC 中，AC +EC ＞AE ， 且EC ﹣AC ＜AE ，即AB +AC ＞2AD ，AB ﹣AC ＜2AD ，∴2＜2AD ＜8，∴1＜AD ＜4，故答案为：1＜AD ＜4．E D A B C练习1.如图，在△ABC中，AC＝5，中线AD＝7，则AB边的取值范围是．例3.如图，△ABC中，∠A＝90°，D为斜边BC的中点，E、F分别为AB、AC上的点，且DE⊥DF．若BE＝3，CF＝4，试求EF的长．解：延长FD至点G，使得DG＝DF，连接BG，EG，∵在△CDF和△BDG中，，∴△CDF≌△BDG（SAS），∴BG＝CF＝4，∠C＝∠DBG，∵∠C+∠ABC＝90°，∴∠DBG+∠ABC＝90°，即∠ABG＝90°，∵DE⊥FG，DF＝DG，∴EF＝EG＝＝5．练习2.如图，已知AD为△ABC的中线，DE平分∠ADB交AB于点E，DF平分∠ADC交AC于点F．求证：BE+CF＞EF．练习3.如图，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G，F分别为AD，BC边上的点，若AG＝1，BF＝2，∠GEF＝90°，求GF的长．练习4.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，AE＝BE，点F是CD 的中点，且AF⊥AB，若AD＝2.7，AF＝4，AB＝6．求CE的长．例4.如图，在△ABC中，AB＝AC，E是AB中点，延长AB到D，使BD＝BA，延长CE至F，使得EF＝CE．求证：CD＝2CE．证明：方法一：如右图1，取AC的中点H，连接BH，∵BD＝BA，∴BH是△ACD的中位线，∴CD＝2BH，又∵E是AB的中点，AB＝AC，∴AE＝AH＝AB，在△ABH和△ACE中，，∴△ABH≌△ACE（SAS），∴CE＝BH，∴CD＝2CE．方法二：∵点E为AB的中点，∴BE＝AE，在△BEF和△AEC中，，∴△BEF≌△AEC（SAS），∴BF＝AC，∠EBF＝∠A，∵AB＝AC＝BD，∴∠ACB＝∠ABC，BF＝BD，∵∠CBD＝∠A+∠ACB，∠CBF＝∠ABC+∠EBF，∴∠CBD＝∠CBF，在△CBD和△CBF中，，∴△CBD≌△CBF（SAS），∴CD＝CF，∵CF＝CE+EF，CE＝EF，∴CF＝2CE，∴CD＝2CE．练习5.已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，延长AB到D，使BD＝AB，E为AB的中点．求证：CD＝2CE练习6.已知CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C＝∠BAE．练习7.如图，已知D是△ABC的边BC上的一点，CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，AE是△ABD的中线．求证：AD是∠EAC的平分线．例5.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E为BC的中点，过点E作EF∥AD 交AB于点G，交CA的延长线于点F．求证：BG＝CF．证明：作CM∥AB交FE的延长线于M．∵BG∥CM，∴∠B＝∠MCE，∵E是BC中点，∴BE＝EC，在△BEG和△CEM中，，∴△BEG≌△CEM，∴BG＝CM，∵AD∥EF，∴∠1＝∠FGA，∠2＝∠F，∵∠1＝∠2，∴∠F＝∠FGA，∵AB∥CM，∴∠FGA＝∠M，∴∠F＝∠M，∴CF＝CM，∴BG＝CF．练习8.已知：如图，△ABC（AB≠AC）中，D、E在BC上，且DE＝EC，过D 作DF∥BA交AE于点F，DF＝AC．求证：AE平分∠BAC．例6.已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向外作等腰直角三角形，如图，求证：EF＝2AD．证明：延长AD至点G，使得AD＝DG，连接BG，CG，∵AD＝DG，BD＝CD，∴四边形ABGC是平行四边形，∴AC＝AF＝BG，AB＝AE＝CG，∠BAC+∠ABG＝180°，∵∠EAF+∠BAC＝180°，∴∠EAF＝∠ABG，在△EAF和△BAG中，，∴△EAF≌△BAG（SAS），∴EF＝AG，∵AG＝2AD，∴EF＝2AD．练习9.如图，两个正方形ABDE和ACGF，点P为BC中点，连接P A交EF于点Q，试探究AP与EF的数量和位置关系，并证明你的结论．方式2：间接倍长作CF ⊥AD 于F ， 延长MD 到N ，作BE ⊥AD 的延长线于E 使DN=MD ， 连接BE 连接CN例7.如图，△ABC 中，AB ＝AC ，点D 在AB 上，点E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF ＝EF ，求证：BD ＝CE ．证明：如图，过点D 作DG ∥AE ，交BC 于点G ；则△DGF ≌△ECF ，∴DG ＝CE ；∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠ACB ；∵DG ∥AE ，∴∠DGB ＝∠ACB ，∴∠DBG ＝∠DGB ，∴DG ＝BD ，∴BD ＝CE ．练习9.如图，△ABC 中，点D 在AB 上，E 是AC 延长线上一点，BD ＝CE ，DE 交BC 于点F ，DF ＝EF ，DP ∥AE 交BC 于点P ，求证：AB ＝AC ．F E D C B A N D C B A M课后练习1、如图1已知：AD为△ABC的中线，易证AB+AC＞2AD．（1）如图2，在△ABC中，AC＝5，AB＝13，D为BC的中点，DA⊥AC．求△ABC的面积．（2）问题2：如图3，在△ABC中，AD是三角形的中线．点F在中线AD上，且BF＝AC，连接并延长BF交AC于点E．求证AE＝EF．2.已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE＝∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F，试探究线段AB与AF，CF之间的数量关系，并说明理由．3.如图，∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，求证：（1）AE平分∠DAB；（2）AB+CD＝AD．4.在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EF⊥AB交BD于点F，取FD的中点G，连接EG、CG，如图（1），易证EG＝CG且EG⊥CG．（1）将△BEF绕点B逆时针旋转90°，如图（2），证明：EG＝CG且EG⊥CG．（2）如图（3）将△BEF绕点B逆时针旋转180°，证明：EG＝CG且EG⊥CG．5.如图，△ABC中，AB＝4，AC＝7，M是BC的中点，AD平分∠BAC，过M作FM∥AD交AC于F，求FC的长．6.如图所示，∠BAC＝∠DAE＝90°，M是BE的中点，AB＝AC，AD＝AE，求证：AM⊥CD．7.已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F．求证：∠DEN＝∠F．。
初中数学常见辅助线的做法
初中数学常见辅助线的做法一、中点模型的构造1.已知任意三角形一边上的中点，可以考虑：(1)倍长中线或类中线(与中点有关的线段)构造全等三角形.如图1、图2所示.(2)三角形中位线定理.2.已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线.3.已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用“三线合一二4.有些题目的中点不直接给出，此时需要我们挖掘题目中的隐含中点，例如：直角三角形中斜边中点, 等腰三角形底边上的中点，当没有这些条件的时候，可以用辅助线添加.二、角平分线模型的构造与角平分线有关的常用辅助线作法,即角平分线的四大基本模型.已知。
是4MON平分线上一点，(1)若以_L 0M于点4 ,如图1,可以过户点作PB1ON于点&则与二以.可记为“图中有角平分线, 可向两边作垂线”.(2)若点4是射线0M上任意一点，如图2,可以在ON上截取(用=0/1 ,连接/7人构造△()*?三△ /%.可记为“图中有角平分线，可以将图对折看，对称以后关系现二⑶若翼妆舔踹嚼鼠3耳以黠部交0N于点从周造A4 0H基尊健三角形/是底边4加勺中点.可记为“角平分线加垂线，三线合一试试看二(4)若过P点作PQ//0N交0M于点0,如图4,可以构造△P0Q是等腰三角形，可记为“角平分线+平行线，等腰三角形必呈现二三、轴对称模型的构造下面给出几种常见考虑要用或作轴对称的基本图形.(1 )线段或角度存在2倍关系的,可考虑对称.(2)有互余、互补关系的图形，可考虑对称.(3)角度和或差存在特殊角度的，可考虑对称.(4)路径最短问题，基本上运用轴对称，将分散的线段集中到两点之间，从而运用两点之间线段最短，来实现最短路径的求解.所以最短路径问题，需考虑轴对称.几何最值问题的儿种题型及解题作图方法如下表所示.四、圆中辅助线构造在平面几何中，解决与圆有关的问题时，常常需要添加适当的辅助线，架起题设和结论间的桥梁,从而使问题化难为易，顺其自然地得到解决，因此, 灵活掌握作辅助线的一般规律和常见方法，对.提高学生分析问题和解决问题的能力是大有帮助的。
初中数学的中点模型地构造及的应用
（一）倍长中线法（构造全等三角形，八字全等） 当已知条件中出现中线时，常常将此中线倍长构造全等三角形解决问题。 如图，在 ABC中，D 为 BC中点，延长 AD 到 E 使 AD=DE，连接 BE，则有：
ADC≌ EDB。作用：转移线段和角。
（二）倍长类中线法（与中点有关线段，构造全等三角形，八字全等） 当已知条件中出现类中线时，常常将此类中线倍长构造全等三角形解决问
（五）中位线法 当已知条件中同时出现两个及以上中点时， 常考虑构造中位线； 或出现一个
中点，要求证明平行线段或线段倍分关系时也常考虑构造中位线。 如图，在 ABC中，D，E分别是 AB、 AC边中点，则有 DE BC ， DE = 1 BC 。 2
三、练习
（一）倍长中线法 1.（ 2014 秋 ?津南区校级期中） 已知：在△ ABC中， AD 是 BC边上的中线， E 是 AD 上一点，且 BE＝ AC，延长 BE交 AC于 F，求证： AF＝ EF．
精彩文案
实用标准文档
5.（ 2017?贵阳 ,24）（1）阅读理解：如图①，在四边形 ABCD中， AB∥DC，E 是 BC的中点，若 AE 是∠ BAD的平分线，试判断 AB，AD，DC之间的等量关系． 解决此问题可以用如下方法： 延长 AE交 DC的延长线于点 F，易证△ AEB≌△ FEC， 得到 AB＝FC，从而把 AB， AD， DC转化在一个三角形中即可判断． AB、AD、DC之间的等量关系为 ____________； （ 2）问题探究：如图②，在四边形 ABCD中， AB∥ DC， AF 与 DC 的延长线交于 点 F，E 是 BC的中点，若 AE 是∠ BAF的平分线，试探究 AB，AF，CF之间的等量 关系，并证明你的结论． （ 3）问题解决：如图③， AB∥CF， AE 与 BC 交于点 E，BE：EC＝ 2：3，点 D 在 线段 AE 上，且∠ EDF＝∠ BAE，试判断 AB、 DF、CF 之间的数量关系，并证明你 的结论．
初中数学几何专题- 辅助线专题(1)-中线倍长问题
A
C
MD
【拓】等腰 Rt△ABC 和等腰 Rt△ADE 有公共的直角顶点 A，分别连接 CD、BE. （1）如图，若 N 为 BE 的中点，求证：2AN＝CD；
A
D
M
C
E
N
B
（2）如图，若 N 为 BE 的中点，点 M 为 AN 和 CD 的交点，求证：AM⊥CD； A
D
M
C
E
N
B
（3）如图，若 AM⊥CD 于点 M，点 N 为 MA 与 BE 的交点，求证：N 为 BE 的中点．
D
A
E
B
P
C
【家庭作业】 1、在△ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，若 AB＝3，AD＝4，则 AC 长的取值范围是______________. 2、已知：如图，AD 是△ABC 的中线，点 E 在 AD 上，BE＝AC，延长 BE 交于 AC 于 F，求证：AF＝EF．
3、如图，在△ABC 中，AB＞AC，E 为 BC 边的中点，AD 为∠BAC 的平分线，过 E 作 AD 的平行线，交 AB 于 F，交 CA 的延长线于 G．求证：BF＝CG．
（2）如图 2，△ABC 为一般三角形时线段 AM 与 ED 的关系是_________．试证明你的结论； （3）如图 3，若以△ABC 的边 AB、AC 为直角边，向内作等腰直角△ABD 和△ACE，其它条件不变，
试探究线段 AM 与 DE 之间的关系，不要求证明你的结论．
D E
ED
A
A
A
C M
B MC 图1
B
D
E
C
【例 2】如图，△ABC 中， AC<AB ， AD 是中线．求证： DAB<DAC ． A
初中数学辅助线添加技巧：中点
初中数学辅助线添加技巧：中点方法总结很多几何题会给出“点×是线段××的中点”这样的条件，那么看到“中点”我们应该想到什么呢？“中点”有哪些作用呢？1．已知任意三角形一边上的中点，可以考虑：（1）倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形，如下图．DEOC BADOCBA（2）三角形中位线定理．2．已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线．3．已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用“三线合一”．4．有些题目的中点不直接给出，此时需要我们挖掘题目中的隐含中点，例如直角三角形中斜边中点，等腰三角形底边上的中点．当没有这些条件的时候，可以用辅助线添加．典例精析例1．在△ABC 中，11,15AB AC ==，则BC 边上的中线AD 的长的取值范围是什么？DCBA解：延长AD 到点E ，使得DE =AD ，连接CE ．EDCBA,,AD ED ADB EDC BD CD =∠=∠=，∴△ABD ≌△ECD ∴CE =BA ．在△ACE 中，AC CE AE AC CE -<<+，即15111511AE -<<+ ∴426AE << ∵12AD AE =∴213AD <<例2． 如图，已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，延长BE 交AC 于F ，AF EF =，求证：AC BE =．F EDCBA证明：证法一：如图，延长AD 到点G ，使DG =AD ，连接BG ．GF EDCBA∵,,.DB DC BDG CDA AD GD =∠=∠= ∴△ADC ≌△GDB 又∵AF EF =， ∴EAF AEF ∠=∠， ∵AEF BED ∠=∠ ∴G BED ∠=∠， ∴BE BG =， ∴BE AC =，证法二：如图，延长ED 到点G ，使得DG =DE ，连接CG ．GF EDCBA∵点D 是BC 中点， ∴BD CD = ∵BDE CDG ∠=∠∴△BDE ≌△CDG ∴,G BED BE CG ∠=∠= ∵AF EF =∴FAE AEF BEG ∠=∠=∠ ∴G DAC ∠=∠，即G EAF ∠=∠ ∴AC GC = ∴.AC BE = 举一反三1．如图，已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于F ，AF 与EF 相等吗？为什么？F EDCBA2． 如图，在△ABC 中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，EF AD ∥交CA 的延长线于点F ，交EF 于点G ，若BG CF =，求证：AD 为ABC ∆的角平分线．GF EDCBA例3． 在Rt △ABC 中，90A ∠=︒，点D 为BC 的中点，点E 、F 分别为AB 、AC 上的点，且ED FD ⊥．以线段BE 、EF 、FC 为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？FEDCBA答：以线段BE 、EF 、FC 为边能构成一个直角三角形． 证明：如图，延长FD 到点G ，使得GD =FD ，连接EG 、BG ．GFEDCBA∵,,CD BD CDF BDC FD GD =∠=∠= ∴△CDF ≌△BDG∴,CF BG FCD GBD =∠=∠ ∴ACBG ．∵90BAC ∠=︒ ∴90EBG ∠=︒ ∵,GD FD ED DF =⊥ ∴EF EG =∵在Rt △EBG 中，222BE BG EG +=，∴故以线段BE 、EF 、FC 为边能构成一个直角三角形． 举一反三1．已知AM 为△ABC 的中线，AMB ∠，AMC ∠的平分线分别交AB 于E 、交AC 于F ．求证：BE CF EF +>．F EDCBA2．如图所示，在△ABC 中，D 是BC 的中点，DM 垂直于DN ，如果2222BM CN DM DN +=+，求证()22214AD AB AC =+． EFDCBA点拨：例1——例3是利用倍长中线或倍长类中线的方法，将想要求证的线段或角，用全等化到另一个图形中，从而得到所求．例4． 如右下图，在△ABC 中，BE 、CF 分别为边AC 、AB 的高，D 为BC 的中点，DM ⊥EF 于M ．求证：FM =EM ．M E FDCBA证明：如图，连接DF 、DE ．M E FDCBA∵BE 、CF 分别为边AC 、AB 上的高， ∴90BEC BFC ∠=∠=︒． 在Rt △BFC 和Rt △BEC 中， ∵D 是BC 边中点， ∴11,22DE BC DF BC ==，∴DE DF =． 又∵DM ⊥EF ，∴DM 是EF 的垂直平分线． ∴.EM FM =例5． 如图所示，已知△ABD 和△ACE 都是直角三角形，且90ABD ACE ︒∠=∠=，连接DE ，设M 为DE 的中点．求证：MB MC =．E证明：延长BM 交CE 于点N ，E∵90ABD ACE ∠=∠=︒， ∴DBCE ，∴.MDB MEN ∠=∠∵,MD ME BMD NME =∠=∠， ∴△MBD ≌△MNE ．∴MB MN =，即M 是BN 的中点． ∵90BCN ∠=︒， ∴MC MB =．点拨：例4、例5是利用直角三角形斜边中线的性质来证明线段相等，特别是例5隐藏中点的发现．例6．（1）已知，如图四边形ABCD 中，AD BC =，E 、F 分别是BC 和AD 的中点，连接EF 并延长，分别与BA 、CD 的延长线分别交于M 、N 两点． 求证：BME CNE ∠=∠．（2）已知，如图四边形ADBC 中，AB 与CD 相交于点O ，AB CD =，E 、F 分别是BC 、AD 的中点，连接EF ，分别交DC 、AB 于点M 、N ，判断△OMN 的形状，请直接写出结论．（3）已知，△ABC 中，AC AB >，D 点在AC 上，AB CD =，EF 分别是BC 、AD 的中点，连接EF 并延长，与BA 的延长线交于点G ，若60EFC ∠=︒，连接GD ，判断△AGD 的形状并证明．(3)(2)(1)ABCDGO F E ABC DNM FE NM EF DCBA证明：（1）连接BD ，取BD 的中点H ，连接HE 、HF ，H NM E F DCBA∵AB CD =，E 、F 分别是BC ，AD 的中点， ∴1,2HE DC HE NC =．∴HE HF =，∴HFE HEF ∠=∠．∵,HF MB HE NC ，∴,BME HFE CNE FEH ∠=∠∠=∠． ∴BME CNE ∠=∠．（2）等腰三角形（提示：取AC 中点H ，连接FH 、EH ）． （3）△AGD 是直角三角形证明：连接BD ，取BD 的中点H ，连接FH 、EH ．321H ABCDGFE∵F 是AD 的中点， ∴1,2HFAB HF AB =． ∴13∠=∠． 同理，1,2HECD HE CD =．∴2EFC ∠=∠． ∵AB CD =， ∴HF HE =． ∴12∠=∠． ∵60EFC ∠=︒，∴360EFC AFG ∠=∠=∠=︒． △AGF 是等边三角形． ∴AF FG =， ∴GF FD =，∴30FGD FDG ∠=∠=︒．∴90AGD ∠=︒，即△AGD 是直角三角形．点拨：例6是利用三角形中位线的性质，将相等的线段缩小一半放在了新的图形中，减半的线段仍相等．例7． 如图，已知△ABC 中，AB =AC ，CE 是AB 边上的中线，延长AB 到点D ，使BD =AB ．求证：CE =2CE ．ABCDE解法一：如图所示，延长CE 到F ，使EF CE =．解法一ABCDFE容易证明EBF EAC ∆∆≌，从而BF AC =，而AC AB BD ==，故BF BD =． 注意到CBD BAC ACB BAC ABC ∠=∠+∠=∠+∠， CBF ABC FBA ABC CAB ∠=∠+∠=∠+∠，故CBF CBD ∠=∠，而BC 公用，故CBF CBD △≌△， 因此2CD CF CE ==．解法二：延长CE 到点F ，使得EF =CE ，连接AF ．解法二ABCDFE容易证明△EAF ≌△EBC ，从而AF =BC ，而AC AB BD ==． 注意到，FAB ABC ACB ∠=∠=∠CBD BAC ACB BAC FAB FAC ∠=∠+∠=∠+∠=∠，故△FAC ≌△CBD ，因此2CD CF CE ==．解法三：延长BC 到点F ，使CF =CB ，如解法三图．解法三AB CDFE由题意可知AC AB BD ==．注意到FAB ABC ACB ∠=∠=∠，CBD BAC ACB BAC CBA FCA ∠=∠+∠=∠+∠=∠， 故△FAC ≌△DCB ，因此CD =AF ,又C 、E 分别为AB 、BF 的中点，故CE 为△ABF 的中位线， 因此CD =AF =2CE ．解法四：如图所示，取CD 的中点F ，连接BF ．C解法四AB DFE因为F 是CD 的中点，B 是AD 的中点， 故BF 是DAC △的中位线，从而1122BF AC AB BE ===， 由BF ∥AC 可得FBC ACB ABC EBC ∠=∠=∠=∠，CB CB =，故BCE BCF △≌△， 从而EC =FC ，2CD CE =．解法五：延长AC 到F ，使得CF =AC ．连接BF 、DF ．C解法五AB DFE∵AF =2AC =2AB =AD ． 易得△ABF ≌△ACD ． ∴BF =CD ． ∵E 是AB 中点，∴CE 是△ABF 的中位线． ∴CD =BF =2CE ．解法六：证明：取AC 的中点F ，连接BF ，C解法六AB DFE∵AB =AC ，点E ，F 分别是AB ，AC 的中点， ∴AE =AF ，∵∠A =∠A ，AB =AC ， ∴△ABF ≌△ACE （SAS ）， ∴BF =CE ，∵BD =AB ，AF =CF ， ∴DC =2BF ， ∴DC =2CE ．点拨：这是一道多解题，思路很宽，利用中点作中线、倍长中线、中位线等辅助线是常用的解题方法．例8．（1）△ABC 中，点D 是AB 边的中点，AE ⊥BC ，BF ⊥AC ，垂足分别为点E 、F ，AE 、BF 交于点M ，连接 DE 、DF ．若DE =kDF ，则k 的值为 ．（2）△ABC 中，CB CA =，点D 是AB 边的中点，点M 在△ABC 内部，且MAC MBC ∠=∠．过点M 分别作ME ⊥BC ，MF ⊥AC ，垂足分别为点E 、F ，连接DE 、DF ，求证：DE DF =．（3）若将（2）中的条件“CB CA =”变为“CB CA ≠”，其它条件不变，试探究DE 、DF 之间的数量关系，并证明你的结论．(3)(2)(1)ABCDE F M A BCDE FMMFEDCBA解：（1）1；（2）证明：∵CB CA =， ∴CBA CBA ∠=∠ ∵MAC MBC ∠=∠∴CBA MAC CBA MBC ∠-∠=∠-∠ 即MAB MBA ∠=∠ ∴MA MB =∵,,ME BC MF AC ⊥⊥垂足分别为E 、F ， ∴90AFM BFM ∠=∠=︒．∵,,AFM BEM MAF MBE MA MB ∠=∠∠=∠=， ∴△AFM ≌△BEM ． ∴AF BE =∵点D 是AB 边的中点， ∴BD AD =∵,,BD AD DBE DAF BE AF =∠=∠=， ∴△BDE ≌△ADF ． ∴DE DF =．（3）证明：分别取AM 、BM 的中点G 、H ，连接DG 、FG 、DH 、EH ，HGA BCD EF M∵点D 、G 、H 分别是AB 、AM 、BM 的中点， ∴,DGBM DHAM ，且11,22DG BM DH AM ==．∴四边形DHMG 是平行四边形． ∴DHM DGM ∠=∠，∵,,ME BC MF AC ⊥⊥垂足分别为E 、F ， ∴90AFM BEM ∠=∠=︒． ∴11,22FG AM AG EH BM BH ====． ∴,,,FG DH DG EH GAF GFA HBE HEB ==∠=∠∠=∠． ∴2,2FGM FAM EHM EBM ∠=∠∠=∠． ∵FAM EBM ∠=∠ ∴FGM EHM ∠=∠．∴DGM FGM DHM EHM ∠+∠=∠+∠即DGF DHE ∠=∠． ∵,,EH DG EHD DGF HD GF =∠=∠=， ∴△EHD ≌△DGF ． ∴DE DF =． 跟踪训练1．在等腰直角三角形ABC 中，90ABC ∠=︒，D 为AC 边上中点，过点D 作DE DF ⊥，交BC 于点F ．若AE =4，FC =3，求EF 长．ABCDEF2．在正方形ABCD 中，F 是AB 中点，连接CF ，作DE CF ⊥交BC 于点E ，交CF 于点M ，求证：AM AD =．ABCDEFM3． 如图所示，90BAC DAE ∠=∠=︒，M 是BE 的中点，AB AC =，AD AE =，求证AM CD ⊥．ABCDEM4． 等腰梯形ABCD 中，AB CD ∥，AC BD =，AC 与BD 交于点O ，60AOB ∠=︒，P 、Q 、R 分别是OA 、BC 、OD 的中点，求证：PQR ∆是正三角形．QP R OABCD5．在△ABC 中，若2B C ∠=∠，AD BC ⊥，E 为BC 边的中点，求证：2AB DE =．BC6．如图，分别以△ABC 的边AB 、AC 为边，向三角形的外侧作正方形ABDE 和正方形ACFG ，点M 为BC 中点．（1）求证：AM EG ⊥,（2）求证：2EG AM =．GAFMEDCB7．在△ABC 的两边AB 、AC 向形外作正方形ABDE 和ACFG ，取BE 、BC 、CG 的中点M 、Q 、N ．判断△MNQ 的形状．QGNAFMEDCB8．如图，在五边形ABCDE 中，90,,ABC AED BAC EAD ∠=∠=︒∠=∠点F 为CD 的中点，求证：BF EF =．AB CDE F中考前瞻如图，在平行四边形ABCD 中，点M 为边AD 的中点，过点C 作AB 的垂线交AB 于点E ，若3EMD MEA ∠=∠．求证：2BC AB =．A BCDE M。
初中数学几何辅助线秘籍-中点模型的构造(16张PPT)
主讲老师：某某某
中点模型的构造
技巧提炼
1.已知任意三角形一边上的中点，可以考虑： （1）倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形 （2）三角形中位线定理 2.已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线 3.已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用“三线合一” 4.有些题目中的中点不直接给出，此时需要我们挖掘题目中的隐含中点， 例如直角三角形中斜边的中点，等腰三角形底边上的中点，当没有这些条 件的时候，可以用辅助线添加。
中点模型的构造
总结
1.已知任意三角形一边上的中点，可以考虑： （1）倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形 （2）三角形中位线定理 2.已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线 3.已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用“三线合一” 4.有些题目中的中点不直接给出，此时需要我们挖掘题目中的隐含中点， 例如直角三角形中斜边的中点，等腰三角形底边上的中点，当没有这些条 件的时候，可以用辅助线添加。
【思路点拨】直角三角形斜边上有中点，通常考虑斜边中线，所以连接DE，DF 构造等腰三角形，在利用等腰三角形三线合一的性质即可。
中点模型的构造
已知：△ABD和△ACE都是直角三角形，且∠ABD=∠ACE=90°， 如图所示，连接DE，设M为DE的中点，连接MB、MC,求证 MB=MC。
【思路点拨】由∠ABD=∠ACE=90°，可得CE∥DB，又M是DE的中点，所以可以 考虑延长BM与CE相交，构造“8”字全等。
【思路点拨】遇到中线，我们可以考虑倍长中线或类中线（与中点有关的线段）， 因为AD是中线，所以加倍延长AD至点G，使DG=DA，连接BG，构造 全等三角形，进行导角；或者加倍延长ED，构造全等三角形，再进行导 角。
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上课时间辅导老师科目
教学重点中点模型的构造（倍长中线法；构造中位线法；构造斜边中线法）教学目标系统有序掌握几何求证思路，掌握何时该用何种方法做辅助线
开场：1.行礼；2.晨读；3.检查作业；4.填写表格
新课导入知识点归纳
1.已知任意三角形（或者其他图形）一边上的中点，可以考虑：倍长中线法（构造全等三角形）；
2.已知任意三角形两边的中点，可以考虑：连接两中点形成中位线；
3.已知直角三角形斜边中点，可以考虑：构造斜边中线；
4.已知等腰三角形底边中点，可以考虑：连接顶点和底边中点利用“三线合一”性质.
新课内容做辅助线思路一：倍长中线法
经典例题1：如图所示，在△ABC中，AB＝20，AC＝12，求BC边上的中线AD的取值范围.
【课堂训练】
1.如图，已知CB、CD分别是钝角△AEC和锐角△ABC的中线，且AC＝AB，给出下列结论：
①AE＝2AC；②CE＝2CD；③∠ACD＝∠BCE；④CB平分∠DCE，则以上结论正确的是（）
A.①②④
B.①③④
C.①②③
D.①②③④
第1题图第2题图
2.如图，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G、F分别为AD，BC边上的点，若AG＝1，BF＝2，∠GEF＝90°，则GF的长为（）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
3.如图，在△ABC中，点D、E为边BC的三等分点，则下列说法正确的有（）
①BD＝DE＝EC；②AB＋AE＞2AD；③AD＋AC＞2AE；④AB＋AC＞AD＋AE。
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
4.如图，在△ABC 中，AB ＞BC ，E 为BC 边的中点，AD 为∠BAC 的平分线，过E 作AD 的平行线，交AB 于F ，交CA 的延长线于G ，求证：BF ＝CG ．
5.如图所示，已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 上的一点，连接BE 并延长交AC 于点F ，AE ＝EF ，求证：AC ＝BF.
6.如图所示，在△ABC 中，分别以AB 、AC 为直角边向外做等腰直角三角形△ABD 和△ACE ，F 为BC 边上中点，FA 的延长线交DE 于点G ，求证：①DE ＝2AF ；②FG ⊥DE ．
F
G
E D B C A
F D
B C A
E G
F
B C A D E
7.如图所示，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，点D 为BC 的中点，点E 、F 分别为AB 、AC 上的点，且ED ⊥FD.以线段BE 、EF 、FC 为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形，或者是钝角三角形？
8.四边形ABCD 是矩形，E 是BC 边上的中点，△ABE 沿着直线AE 翻折，点B 落在点F 处，直线AF 与直线CD 交于点G ，请探究线段AB 、AG 、G C 之间的关系．
9.如图所示，△ABC 中，点D 是BC 的中点，且∠BAD ＝∠DAE ，过点C 作CF//AB ，交AE 的延长线于点F ，求证：AF ＋CF ＝AB.
F
D A B C E
G F E D B C A F
D B C A E
做辅助线思路二：构造中位线法
经典例题2：梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝12，BC ＝16，中位线EF 与对角线分别相交于H 和G ，则GH 的长是________.
【课堂训练】
1.已知，如图，四边形ABCD 中，AB ＝CD ，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，BA 、FE 的延长线相交于点M ，CD 、FE 的延长线相交于点N.求证：∠AME ＝∠DNE.
2.已知，如图，四边形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，且AC ＝BD ，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，EF 分别交AC 、BD 于点M 、N.求证：OM ＝ON.
A B F C D N M E D A B C
O
E F
M N P
3.BD 、CE 分别是的△ABC 外角平分线，过A 作AF ⊥BD ，AG ⊥CE ，垂足分别是F 、G ，易证FG=
2
1
（AB+BC+AC ）。
（1）若BD 、CE 分别是△ABC 的内角平分线，FG 与△ABC 三边有怎样的数量关系？画出图形（图1）并说明理由；
（2）若BD 、CE 分别是△ABC 的内角和外角平分线，FG 与△ABC 三边有怎样的数量关系？画出图形（图2）并说明理由．
4.已知，如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＋BC ＝AB ，M 是CD 的中点试说明：AM ⊥BM 。
B C
M N A D
5.如图所示，在三角形ABC中，AD是∠BAC的角平分线，BD⊥AD于D，点E是边BC的中点，如果AB＝6，AC＝14，则求DE的长.
6.如图所示，在△ABC中，∠A＋∠B＝2∠ACB，BC＝8，D为AB的中点，且CD＝1
97
2
，求
AC的长.
做辅助线思路三：构造斜边中线法
经典例题3：如图，△BCD和△BCE中，∠BDC＝∠BEC＝90°，O为BC的中点，BD、CE交于A，∠BAC＝120°，求证：DE＝OE.
【课堂训练】
1. 如图，△CDE中，∠CDE＝135°，CB⊥DE于B，EA⊥CD于A，求证：CE＝2AB.
2.如图，在△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，点M、N分别是BC、DE的中点，
（1）求证：MN⊥DE；
（2）连结ME、MD，若∠A＝60°，求MN
DE
的值.
3.如图，△ABC 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝90°，点E 、F 分别在AB 、AC 上，且AE ＝EF ，点O 、M 分别为AF 、CE 的中点.求证：（1）OM ＝
1
2
CE ；（2）OB ＝2OM.
4.如图，∠DBC ＝∠BCE ＝90°，M 为DE 的中点，求证：MB ＝MC.
教 学 后 记
学生签名： 家长签名：。