八年级数学尖子生培优竞赛专题辅导专题05 中点的联想
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专题05 中点的联想
专题解读】 当遇到中点，一般先看中点的位置，底边上（构造“三线合一”），斜边上（构造“斜边上的中线等于斜边的一半”），两条平行线间（构造“X ”型全等）.再看中点的数量，构造中位线解决.
思维索引
例1 如图，在四边形ABCD 中，90BAD BCD ∠=∠=,BC =12,CD =AC =16,M 、N 分别是对角线BD 、AC 的中点. （1）求证：MN ⊥AC ； （2）求MN 的长.
例2 矩形ABCD 与CEFG 如图1放置，点B 、C 、E 共线，连接AF ，取AF 的中点H ，连接GH .若BC =EF =2, CD =CE =1,则GH =___________.
图 1
C E D
F
G H
A
B
F
B
G C
E D
A
图 2
例3 如图2，矩形ABCD 中，AB =14,AD =8,点E 是CD 的中点，DG 平分ADC ∠交AB 于点G .过点A 作AF ⊥DG 于点F ，连接EF ，则EF 的长为____________.
例4 （1）如图3，在四边形ABCD 中，对角线AC ⊥BD 且AC =6,BD =8,E 、F 分别是边AB 、CD 的中点，则EF =____________.
（2）如下图，在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AC =BD ,E 、F 分别是四边形ABCD 边AD 、BC 的中点，EF 分别交AC 、BD 于G 、H . 求证：OGH OHG ∠=∠.
图 3
D
F
C
B
E A
C F
B
H
G
O
A
E
D
素养提升
1.如图，在△ABC 中，90,60ACB ABC ∠=∠=,BD 平分ABC ∠，点P 是BD 的中点，若AD =6,则CP 的长为（ ）
A . 3
B .3.5
C . 4
D .4.5
2.如图，在Rt △ABC 中，90BAC ∠=,D 、E 分别是AB 、BC 的中点，F 在CA 延长线上，FDA B ∠=∠， AC =3,AB =4,则四边形AEDF 的周长为（ ）
A .8
B .9
C . 10
D .11
（ 第 1 题 ）
A
P
D C
B
D
B
E
C
A
F
（第 2 题 ）
3.如图，△ABC 中，AB =AC ,以AC 为斜边作Rt △ADC ，使90,30ADC CAD CAB ∠=∠=∠=,E 、F 分别是BC 、AC 的中点，则EDF ∠等于（ ）
A .40
B . 45
C . 50
D . 55
A
F
D
C
E B ( 第 3 题 ）
（ 第 4 题 ）
B
N
F
E
M
C
D A
4.如图，在四边形ABCD 中，AB //CD ,90C ∠=，AB=8,AD =CD =5,点M 、N 分别为BC 、AB 上的动点（含端点），E 、F 分别为DM 、MN 的中点，则EF 长度的最小值为（ ）
A . 3
B .2.5
C . 2
D .1
5.如图，BD 、CE 分别是ABC ∠和ACB ∠的角平分线，AG ⊥BD ,AF ⊥CE ,若BF =2,ED =3,GC =4,则△ABC 的周长为____________.
C
D
G F
E A
B （ 第 5 题 ）
( 第 6 题 ）
C
F E
O
G A
D
B
6.如图，点O 是△ABC 所在平面内一动点，连接OB 、OC ，并把AB 、OB 、OC 、CA 的中点D 、E 、F 、G 顺次连接起来，若四边形DEFG 为正方形，则点O 所在的位置满足的条件是________.
7.如图，在△ABC 中，2C B ∠=∠，点D 是BC 上一点，AD =5,且AD ⊥AB ，AC =6.5,则AB 的长为_____. 8.如图，在四边形ABCD 中，AB //CD ，E 为BC 边的中点，BAE EAF ∠=∠,AF 与DC 的延长线相交于点F .若AB =5,AF =3,则CF =_____________.
D C
A
B
（ 第 7 题 ）
( 第 8 题 ）
E
F C
D
A
B
9.如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，将线段AC 绕点A 逆时针旋转一定角度到AE ，连接 CE ，点F 为CE 的中点，连接OF . （1）求证：OF ＝OB ；
（2）若OF ⊥BD ，且AC 平分∠BAE ，求∠BAE .
E
F
O
A
D
C
B
10.（1）如图1，将矩形ABCD 绕着点B 顺时针旋转90°至EBGF 的位置，连接AC ，EG ，取AC ，EG 的中点M ，N ，连接MN ，若AB ＝2，BC ＝1，则MN ＝_________.
F
图1
图2
图3
（2）如图2，等腰△ABC 中，BC ＝10，点D 为BC 上任一点，分别过点D 作AB ，AC 的平行线交AB ，AC 于E ，F ，连接EF ，取EF 的中点M ，则D 从B 运动到C 的过程中，点M 运动的路径长为_________. （3）如图3，线段AB ＝8，点C 为AB 上一动点，分别以AC ，BC 为边向上方作等边△ACD ，△BCE ，连接DE ，取DE 的中点M ，则C 从A 运动到B 的过程中，点M 的运动路径长为_________.