圆的解题技巧总结

圆的解题技巧总结

一、垂径定理的应用

1、某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水

平放置的破裂管道有水部分的截面．

(1)请你补全这个输水管道的圆形截面；

(2)若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm ，水面最深地方的高度为4cm ，求这个圆形截面的半径．

2、如图，PQ=3，以PQ 为直径的圆与一个以5为半径的圆相切于点P ，正方形ABCD

的顶点A 、B 在大 圆上，小圆在正方形的外部且与CD 切于点Q ，则AB=_____

3、如图，已知⊙O 中，直径MN=10，正方形ABCD 的四个顶点分别在

半径OM 、OP 以及⊙O 上，并且∠POM=45°，则AB 的长为多少？

二、与圆有关的多解题、

1．忽视点的可能位置

例 △ABC 是半径为2的圆的内接三角形，若32 BC cm ，则∠A 的度数为______．

2．忽视点与圆的位置关系

例 点P 到⊙0的最短距离为2 cm ，最长距离为6 cm ，则⊙0的半径是______．

3．忽视平行弦与圆心的不同位置关系

例 已知四边形ABCD 是⊙0的内接梯形，AB∥CD，AB=8 cm ，CD=6 cm ，⊙0的半径是5 cm ， 则梯形的面积是______．

4．忽略两圆相切的不同位置关系

例1 点P 在⊙0外，OP=13 cm ，PA 切⊙0于点A ，PA=12 cm ，以P 为圆心作⊙P 与⊙0相切，

则⊙P 的半径是______．

例2 若⊙O 1与⊙02相交，公共弦长为24 cm ，⊙O 1与⊙02的半径分别为13 cm 和15 cm ，

则圆心距0102的长为______．

三、巧证切线

1．圆心到直线的距离等于半径

当题中没有明确直线与圆是否相交时，可先过圆心作直线的垂线，然后证明圆

心到直线的距离等于半径．

例 如图，P 是∠AOB 的角平分线OC 上一点，PD⊥OA 于点D ，以点P 为圆

心，PD 为半径画⊙P，试说明OB 是⊙P 的切线．

2．证明直线经过圆的半径的外端，并且垂直于这条半径

当已知直线与圆有交点时，连结交点和圆心（即半径），然后证明这条半径与直线垂直

即可．

例 已知AB 为⊙O 的直径，直线BC 与⊙0相切于点B ，过A 作AD∥OC 交⊙0于点D ，

连结CD.(1)求证：CD 是⊙0的切线；(2)若AD=2，直径AB=6，求线段BC 的长．

四、用结论解题

1、已知：如图，⊙O 为Rt△ABC 的内切圆，D 、E 、F 分别为AB 、AC 、BC 边上

的切点，求证：BD AD s ABC ⋅=∆．

该结论可叙述为：“直角三角形的面积等于其内切圆与斜边相切的切点分斜边所成两条线段的乘积．”

2、 ⊙0为Rt△ABC 的内切圆，切点D 分斜边AB 为两段，其中AD ＝10，BD ＝3，

求AC 和BC 的长．

3、 如图，△ABC 中∠A 与∠B 互余，且它们的角平分线相交于点0，又OE⊥AC，

OF⊥BC，垂足分别为E 、F ，AC=10，BC ＝13．求AE ·BF 的值．

五、点击圆锥的侧面展开图

圆锥的侧面展开图是扇形，而扇形的半径是圆锥的母线，弧长是圆锥的底面周长．

1、 若一个圆锥的母线长是它的底面半径长的3倍，则它的侧面展开图的

圆心角是( )A ．180° B ．90° C ．120° D ．135°

2、 圆锥的侧面展开图是一个半圆面，则这个圆锥的母线长与底面半径长的 比是( )A.2:1 B.2π:1 C ．2：1 D ．3：1

3、如图，小红要制作一个高4 cm ，底面直径是6 cm 的圆锥形小漏斗，若

不计接缝，不计损耗，则她所需纸板的面积是( )

A ．15πcm 2

B ．6π13cm 2

C ．12π⋅13cm 2

D ．30 cm 2

4、 下图是小芳学习时使用的圆锥形台灯罩的示意图，则围成这个灯罩的铁皮的面积为______cm 2． （不考虑接缝等因素，计算结果用π表示）

5、 如图，有一块四边形形状的铁皮ABCD ，BC= CD,AB= 2AD,∠ABC＝∠ADB= 90°．

(1)求∠C 的度数；

(2)以C 为圆心，CB 为半径作圆弧BD 得一扇形CBD ，剪下该扇形并用它

围成一圆锥的侧面，若已知BC ＝a ，求该圆锥的底面半径；

(3)在剩下的材料中，能否剪下一块整圆做该圆锥的底面？并说明理由．

六、三角形内切圆

三角形的内切圆是与三角形都相切的圆，它的圆心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形三边的距离相等，它与顶点的连线平分内角．应用内心的性质，结合切线的性质、切线长的性质可以解决很多问题

1、 如图，△ABC 中，内切圆⊙I 和边BC 、CA 、AB 分别相切于点D 、E 、F ．

求证：(1)A FDE ∠-︒=∠2190； (2)A BIC o ∠+=∠2

190．

2、 如果△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，它的内切圆⊙I 半径为r ，那么△ABC 的面积为( ).

A ．r c b a )(++

B ．r c b a ）（++2

1 C ．r c b a ）（++31 D ．r c b a ）（++4

1

七、阴影部分面积的求值技巧

1．直接法

当已知图形为熟知的基本图形时，先求出适合该图形的面积计算公式中某些线段、角的大小， 然后直接代入公式进行计算．

例 如图，在矩形ABCD 中，AB=1，AD=3，以BC 的中点E 为圆心 的与AD 相切于点P ，则图中阴影部分的面积为( ) A ．π32 B ．π43 C ．π43 D ．3

π 2．和差法

当图形比较复杂时，我们可以把阴影部分的面积转化为若干个熟悉的图形的面积的和或差来计算． 例 如图，AB 和AC 是⊙0的切线，B 、C 为切点，∠BAC=60°，

⊙0的半径为1，则阴影部分的面积是( )

A ．π323-

B ．33π-

C ．3

32π- D ．π-32 3．割补法

把不规则的图形割补成规则图形，然后求面积．

例 如图，正方形ABCD 的顶点A 是正方形EFGH 的中心，EF=6 cm ，

则图中的阴影部分的面积为______．

4．等积变形法

把所求阴影部分的图形进行适当的等积变形，即可找出与它面积相等的

特殊图形，从而求出阴影部分面积．

例 如图，C 、D 两点是半圆周上的三等分点，圆的半径为R ，求阴影部分的面积．

5．平移法

把图形做适当的平移，然后再计算面积．

例 如图，CD 是半圆0的直径，半圆0的弦AB 与半圆O ' 相切，点O ' 在CD 上，且AB∥CD，

AB ＝4，则阴影部分的面积是（结果保留π）．

6．整体法

例 如图，正方形的边长为a ，分别以对角顶点为圆心，边长为半径画弧，则图中阴影部分的面积( )

A ．224121a a π+-

B ．)4

1(222a a π- C ．22.21a a π+- D ．222

1a a π-