初中数学菱形的判定及性质练习题(附答案)

初中数学菱形的判定及性质练习题 一、单选题 1.如图,正方形ABCD 的边长为4,点E 在对角线BD 上,且22.5BAE ∠=︒,EF AB ⊥,垂足为F ,则EF 的长为( )
A. 1
B. 2
C. 422-
D. 324-
2.如图,点P 是矩形ABCD 的边AD 上的一个动点,矩形的两条边AB 、BC 的长分别为3和4,那么点P 到矩形的两条对角线AC 、BD 的距离之和是( )
A. 125
B. 245
C. 65
D.不确定
3.如图,下列条件之一能使平行四边形ABCD 是菱形的为( )
①AC⊥BD ②∠BAD=90° ③AB=BC ④AC=BD
A.①③
B.②③
C.③④
D.①②③
4.如图,在菱形ABCD 中, 2AB =,60?BAD ∠=,E 是AB 的中点, P 是对角线AC 上的一个动点,则
PE PB +的最小值为( )
A. 1
B.3
C. 2
D.55.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是( )
A.对边相等
B.对角相等
C.对角线互相平分
D.对角线互相垂直
6.如图,四边形ABCD的对角线互相平分,要使它成为矩形,那么需要添加的条件是( )
=
A.AB CD
=
B.AD BC
=
C.AB BC
=
D.AC BD
=；②
7.小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB BC
⊥中选两个作为补充条件，使ABCD为正方形(如
=；④AC BD
ABC
90
∠=︒；③AC BD
图)，现有下列四种选法，你认为其中错误的是( )
A.①②
B.②③
C.①③
D.②④
AC BD相交于点,O H为AD边的中点，菱形ABCD的周长8.如图，在菱形ABCD中，对角线,
为28，则OH的长等于( )
A.3.5
B. 4
C. 7
D. 14
9.下列说法中正确的是( )
A.两条对角线垂直的四边形是菱形
B.对角线垂直且相等的四边形是正方形
C.两条对角线相等的四边形是矩形
D.两条对角线相等的平行四边形是矩形
10.如图,在△ABC中,点D、E、F 分别在BC、AB、CA上,且DE//CA,DF//BA,则下列三种说法:
①如果∠BAC=90°,那么四边形AEDF是矩形;
②如果AD 平分∠BAC,那么四边形AEDF 是菱形;
③如果AD⊥BC 且AB=AC,那么四边形AEDF 是菱形。

其中正确的有( )
A.3个
B.2个
C.1个
D.0个
11.如图,矩形ABCD 中,O 为AC 中点,过点O 的直线分别与AB,CD 交于点E,F,连接BF 交AC 于点M,连接DE,BO.若∠COB=60°,FO=FC,则下列结论:①FB⊥OC,OM=CM;②△EOB≌△CMB;③四边形EBFD 是菱形;④MB:OE=3:2.其中正确结论的个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
12.方程2273?x x -=-化成一般形式后,二次项系数、一次项系数、常数项分别是( )
A.2,-7,-3
B.2,-7,3
C.2,3,-7
D.2,3,7
13.关于x 的一元二次方程(a-5)x 2
-4x-1=0有实数根,则a 满足( )
A.a≥1且a≠5
B.a>1且a≠5
C.a≥1
D.a>1
14.已知2是关于x 的方程2230x mx m -+=的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC 的两条边长，则三角形ABC 的周长为( ) A.10
B.14
C. 10或14
D. 8或10 15.某商品原价100元,连续两次涨价%x 后售价为120元,下面所列方程正确的是( ) A. ()21001%120x -=
B. ()21001%120x +=
C. ()210012%120x +=
D. ()221001120x +=
二、解答题
16.已知:如图,在菱形ABCD 中,对角线AC 、BD 相交于点O,DE//AC,AE//BD.
1.求证:四边形AODE 是矩形;
2.若AB=6,∠BCD=120°,求四边形AODE 的面积.
17.如图，在Rt ABC △中，90,53,30.B BC C ∠==∠=°°点D 从点C 出发沿CA 方向以每秒2个单位长的速度向点A 匀速运动，同时点E 从点A 出发沿AB 方向以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点,D E .
运动的时间是t s(0t >).过点D 作DF BC ⊥于点F ,连接,DE EF .
(1)求证:AE DF =.
(2)四边形AEFD 能够成为菱形吗?如果能，求出相应的t 值;如果不能，请说明理由.
(3)当t 为何值时，DEF △为直角三角形?请说明理由.
18.如图，在边长为10的菱形ABCD 中，对角线16BD =,对角线,AC BD 相交于点G ，点O 是直线BD 上的动点，OE AB ⊥于E ,OF AD ⊥于F
1.求对角线AC 的长及菱形ABCD 的面积.
2.如图①，当点O 在对角线BD 上运动时，OE OF +的值是否发生变化？请说明理由.
3.如图②，当点O 在对角线的延长线上时，OE OF +的值是否发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请探究,OE OF 之间的数量关系
19.如图,在Rt ABC △中, 90ABC ∠=︒,先把ABC △绕点B 顺时针旋转90︒后得DBE △,再把ABC △沿射线AB 平移至FEG △,DE 、FG 相交于点H .
1.判断线段DE 、FG 的位置关系,并说明理由;
2.连接CG ,求证:四边形CBEG 是正方形.
20.已知:如图，在四边形ABCD 中，//,,AD BC AD CD E =是对角线BD 上一点，且EA EC =.
(1)求证:四边形ABCD 是菱形;
(2)如果BE BC =，且:2:3CBE BCE ∠∠=，求证:四边形ABCD 是正方形.
21.已知:平行四边形ABCD 的两边,AB AD 的长关于x 的方程21024
m x mx -+
-=的两个实数根. (1)m 为何值时,四边形ABCD 是菱形?求出这时菱形的边长;
(2)若AB 的长为2,那么ABCD 的周长是多少?
22.在等腰ABC ∆中,三边分别为a 、b 、c ,其中5a =,若关于x 的方程()2260x b x b +++-=有两个相等的实数根,求ABC ∆的周长.
23.已知关于x 的一元二次方程240x x m -+=.
(1)若方程有实数根，求实数m 的取值范围;
(2)若方程的两实数根分别为12,x x ，且满足12522x x +=，求实数m 的值.
24.已知关于二的方程220x mx m ++-=.
(1)若此方程的一个根为1，求m 的值;
(2)求证:不论m 取何实数，此方程都有两个不相等的实数根.
三、计算题
25.解方程:
26.解方程:x 2-1=2(x+1).
27.解方程: ()()()221331;2340x x x x +=++-=
28.解下列方程
1. ()2
150x --=;
2. 2 42x x -=.
四、填空题
29.如图,在矩形ABCD 中,对角线AC,BD 交于点O,已知∠AOD=120°,AB=2.5,则AC 的长为
__________。

30.如图,菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O,且AC=8,BD=6,过点O 作OH 丄AB,垂足为H,则点O 到边AB 的距离为__________.
31.如图,E 是正方形ABCD 边BC 延长线上一点,CE=AC,AE 交CD 于F,则∠AFC 的度数为
__________。

32.如图,在ABC ∆中,点D 是BC 的中点,点E 、F 分别在线段AD 及其延长线上,且DE DF =,给出下列条件:①BE EC ⊥;②//BF CE ;③AB AC =.从中选择一个条件使四边形BECF 是菱形,你认为这个条件是__________.(填序号)
33.已知一元二次方程2
32=0x x --的两个实数根分别为12x x ，，则12(1)(1)x x --的值是 .
参考答案 1.答案：C
解析：由已知,得ADE ∆是等腰三角形, BEF ∆是等腰直角三角形,所以4DE AD ==,424BE =-,设EF x =,则()2
22424x =-,解得422x =- (舍负),故选
C.
2.答案：A
解析：连结OP .
∵4AD =,3CD =
∴22345AC =+=
又∵矩形的对角线相等且互相平分
∴ 2.5AO OD cm ==
∴()11112.5 2.5 2.5342222APO POD S S PE PF PE PF ∆∆+=
⨯+⨯=⨯+=⨯⨯ ∴125
PE PF += 故选A.
考点:1.矩形的性质;2.相似三角形的判定与性质;3.压轴题;4.动点型.
3.答案：A
解析：∵四边形ABCD 是平行四边形,
①若AC⊥BD,则可得其为菱形,故①选项正确,
②中∠BAD=90°,得到一矩形,不是菱形,所以②错误,
③中一组邻边相等,也可得到一菱形,所以③成立,
④中并不能得到其为矩形,菱形或正方形等,所以④不成立,
故A 选项中①③都正确,B 中②不成立,C 中④错误,而D 中多一个选项②也不对,则能使▱ABCD 是菱形的有①或③.故选A.
考点:
1.菱形的判定;
2.平行四边形的性质. 4.答案：B
解析：连接BD ,由菱形的对角线互相垂直平分,可得B 、D 关于AC 对称,连接DE ,与AC 交于点P ,连接PB ,则PD PB =,∴PE PB PE PD DE +=+=,即DE 就是
PE PB +的最小值,∵60?BAD ∠=,AD AB =,∴ABD ∆是等边三角形,∵AE BE =,∴DE AB ⊥,在
Rt ADE ∆中, 2222213DE AD AE =-=-=,故选B.
考点:
菱形的性质
5.答案：D
解析：
∵菱形具有的性质:对边相等,对角相等,对角线互相平分,对角线互相垂直;
平行四边形具有的性质:对边相等,对角相等,对角线互相平分;
∴菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是:对角线互相垂直.
故选D.
考点:
1、菱形的性质;
2、平行四边形的性质.
6.答案：D
解析：因为四边形ABCD 的对角线互相平分，所以四边形ABCD 是平行四边形，又对角线相等的平行四边形是矩形，因此需要添加的条件是AC BD =，故选：D ．
考点：
1．平行四边形的判定；2．矩形的判定．
7.答案：B
解析：根据正方形的判断方法可知，满足条件①②或①③或②④或③④时，四边形ABCD 是正方形，故选B.
8.答案：A
解析：∵菱形ABCD 的周长为28,
2847,,AB OB OD ∴=÷== H 为AD 边中点,
OE ∴是ABD △的中位线,
117 3.5.22
OE AB ∴==⨯=故选A. 9.答案：D
解析：
A 、两条对角线垂直且平分的四边形是菱形;
B 、对角线垂直、平分且相等的四边形是正方形;
C 、两条对角线相等的平行四边形是矩形.
考点:
1、矩形;
2、菱形;
3、正方形的判定定理
10.答案：A
解析：
∵DE//CA,DF//BA,
∴四边形AEDF 是平行四边形;
∵∠BAC=90°,
∴四边形AEDF 是矩形;
∵AD 平分∠BAC,
∴∠EAD=∠FAD,
∴∠FAD=∠ADF,
∴AF=DF,
∴四边形AEDF 是菱形;
∵AD⊥BC 且AB=AC,
∴AD 平分∠BAC,
∴四边形AEDF 是菱形;
故①②③正确.
故选A.
考点:
1、矩形的判定;
2、菱形的判定.
11.答案：C
解析：连接BD,
∵四边形ABCD 是矩形,
∴AC=BD,AC、BD 互相平分,
∵O 为AC 中点,
∴BD 也过O 点,
∴OB=OC,
∵∠COB=60°,OB=OC,
∴△OBC 是等边三角形,
∴OB=BC=OC,∠OBC=60°,
在△OBF 与△CBF 中 FO FC BF BF OB BC ===⎧⎪⎨⎪⎩
∴△OBF≌△CBF(SSS),
∴△OBF 与△CBF 关于直线BF 对称,
∴FB⊥OC,OM=CM;
∴①正确,
∵∠OBC=60°,
∴∠ABO=30°,
∵△OBF≌△CBF,
∴∠OBM=∠CBM=30°,
∴∠ABO=∠OBF,
∵AB∥CD,
∴∠OCF=∠OAE,
∵OA=OC,易证△AOE≌△COF,
∴OE=OF,∴OB⊥EF,∴四边形EBFD 是菱形,∴③正确,
∵△EOB≌△FOB≌△FCB,∴△EOB≌△CMB 错误.∴②错误, ∵∠OMB=∠BOF=90°,∠OBF=30°,∴3
MB =,3OF =, ∵OE=OF,∴MB:OE=3:2,∴④正确;
故选C.
考点:
1、菱形的判定与性质;
2、全等三角形的判定与性质;
3、矩形的性质.
12.答案：C
解析：方程2273?x x -=-化成一般形式后为: 22370x x +-=
∴ 二次项系数、一次项系数、常数项分别是: 2,3,7-
故选C
13.答案：A
解析：因为关于x 的一元二次方程有实根，所以△=b2-4ac=16+4(a-5)≥0，解之得a≥1，∵a -5≠0，∴a≠5，∴实数a 的取值范围是a≥1且a≠5．
故选A ．
考点：
1．根的判别式；2．一元二次方程的定义．
14.答案：B
解析：将2x =代入方程2230x mx m -+=，得4430m m -+=,解得4m =.将4m =代入原方程，得28120x x -+=，解得122,6x x ==,662+>,∴等腰三角形ABC 的三边长可以是2,6,6，此时三角形ABC 的周长为26614++=;226+<,∴等腰三角形ABC 的三边长不可以是2,2,6.故选B.
15.答案：B
解析：依题意得两次涨价后售价为()21001%x +
∴方程为: ()21001%120x +=.
故选B.
16.答案：1.∵四边形ABCD 是菱形
∴AC⊥BD,即∠AOD=90°
∵DE//AC,AE//BD
∴四边形AODE 是平行四边形
∵∠AOD=90°
∴□AODE 是矩形
2.∵四边形ABCD 是菱形 ∴12
AO OC AC ==,BO=OD,AB=BC, AB∥CD ∴∠ABC+∠BCD=180°
∵∠BCD=120°
∴∠ABC=60°
∴△ABC 是等边三角形
∴AC=AB=6
∴OA=3
根据Rt△ABO 的勾股定理可得BO = 即DO =
∴3S AO DO =⨯=⨯=
解析：1.根据两组对边分别平行得出平行四边形,根据菱形的性质得出矩形;
2.根据菱形得出△ABC 为正三角形,得出OB 和AO 的长度,然后计算面积. 考点:
1、矩形的判定;
2、菱形的性质.
17.答案：(1)证明:在DFC △中，90,30,2,DFC C DC t ∠=︒∠=︒= .DF t ∴=
又,.AE t AE DF =∴=
(2)解:能.
,,//.AB BC DF BC AE DF ⊥⊥∴
又由(1)知，AE DF =,
∴四边形AEFD 为平行四边形.
在Rt ABC △中.设AB x =,则由30C ∠=°，得2AC x =,
由勾股定理，得222AB BC AC +=.即2224x x +=
解得:5x = (负值舍去)，
5.210.AB AC AB ∴=∴==
10 2.AD AC DC t ∴=-=-
由已知得点D 从点C 运动到点A 的时间为1025÷= (s)，点E 从点A 运动到点B 的时间为515÷= (s).
若使AEFD 为菱形，则需AE AD =,即102,t t =-解得103
t =，符合题意. 故当103t =
时，四边形AEFD 为菱形. (3)解:①当90EDF ∠=°时，四边形EBFD 为矩形.
在Rt AED △中，30ADE C ∠=∠=°.
2,AD AE ∴=即1022t t -=，解得52
t =，符合题意. ②当90DEF ∠=°时，由(2)知//EF AD ，
90.ADE DEF ∴∠=∠=°
9060,30.A C AED ∠=-∠=∴∠=°°°
2AE AD ∴=，即2(102)t t =-，解得4t =，符合题意.
③当90EDF ∠=°时，DEF △不存在.
综上所述，当t 的值为
52
或4时，DEF △为直角三角形. 解析： 18.答案：解：（1)在菱形ABCD 中，AC CG =，
AC BD ⊥，1116822
BG BD ==⨯=
由勾股定理得6AG ===,
∴22612AC AG ==⨯=.
菱形ABCD 的面积=1112169622
AC BD =⨯⨯= (2)不发生变化,理由如下：如图①， 连接AO ，则AB ABD O AOD S S S =+△△△
∴111222BD AG AB OE AD OF =+ 即
1111661010222OE OF ⨯⨯=⨯+⨯ 解得9.6OE OF +=，是定值，不变
(3)发生变化.如图②，连接AO ，则AB ABD O AOD S S S =-△△△
∴111222
BD AG AB OE AD OF =- 即
1111661010222OE OF ⨯⨯=⨯-⨯ 解得9.6OE OF -=，是定值，不变
∴+OE OF 的值发生变化，OE OF ，之间的数量关系为9.6OE OF -=
解析：
19.答案：1. DE FG ⊥,理由如下:
由题意得A EDB GFE ∠=∠=∠,90ABC DBE ∠=∠=,
∴90BDE BED ∠+∠=,∴90GFE BED ∠+∠=,
∴90FHE ∠=︒,即DE FG ⊥.
2.证明:由平移的性质得//CB GE ,CB GE =,
∴四边形CBEG 是平行四边形.
∵90ABC GEF ∠=∠=,∴四边形CBEG 是矩形.
∵BC BE =,∴四边形CBEG 是正方形.
解析：
20.答案：证明:(1)在ADE △与CDE △中，
,,,AD CD DE DE ADE CDE EA EC =⎧⎪=∴≅⎨⎪=⎩
△△
.ADE CDE ∴∠=∠
//,.AD BC ADE CBD ∴∠=∠
,.AD CD BC AD =∴=
∴四边形ABCD 为平行四边形.
又AD CD =
∴四边形ABCD 是菱形. (2)
,.BE BC BCE BEC =∴∠=∠ :2:3,CBE BCE ∠∠=
218045233
CBE ∴∠=⨯=++°° ∵四边形ABCD 是菱形，
45,90ABE ABC ∴∠=∴∠=°°
∴四边形ABCD 是正方形.
解析：
21.答案：(1)
四边形ABCD 是菱形，AB AD ∴=. 又,AB AD 的长是关于x 的方程21024
m x mx -+-=的两个实数根，221()(1)02()44
m m m -=∴-=--=∆， 1.m ∴=∴当m 为1时，四边形ABCD 是菱形.当1m =时，原方程为2104x x -+
=， 即21
()02x -=，解得1212
x x ==.
∴菱形ABCD 的边长为12. (2)把2x =代入方程得142024m m -+
-=，解得52m =. 将52
m =代入方程得25102x x -+=， ∴方程的另一根1122AD =÷=
. ABCD ∴的周长是12(2)52
⨯+=. 解析：
22.答案：∵关于x 的方程()2
260x b x b +++-=有两个相等的实数根, ∴()()22460b b ∆=+--=,即2 820? 0b b +-=;
解得2b =,10b =- (舍去);
①当a 为底, b 为腰时,则225+<,构不成三角形,此种情况不成立;
②当b 为底, a 为腰时,则52552-<<+,能够构成三角形;
此时ABC ∆的周长为: 55212++=;
故ABC ∆的周长是12.
解析：
23.答案：1.∵方程有实数根,
∴1640m ∆=-≥.
∴m 的取值范围是4m ≤.
2.由题意, 124x x +=,12522x x += ,
解得12x =-,26x =.2612m =-⨯=-,符合,
故m 的值是-12
解析：
24.答案：(1)解:根据题意，将1x =代入方程220x mx m ++-=，
得120m m ++-=，解得12m =
. (2) 证明：22241(2)48(2)40m m m m m ∆=-⨯⨯-=-+=-+>
∴不论m 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.
解析：
25.答案：此题考查一元二次方程的解法,有配方法,因式分解法,十字相乘法,求根公式法; 解:此题中
,所以此方程的解是:,即解
是:
解析：
26.答案：x1=-1,x2=3 解析：
27.答案：()() ()
()
()()
2
2
12
2
12
1331
30
30
0,3 2340
110
1,4
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
+=+
-=
-=
==
+-=
-+=
==-
解析：
28.答案：1.
1
2.
2±
解析：
29.答案：5
解析：
∵∠AOD=120°∴∠AOB=60°∵ABCD为矩形∴OA=OB∴△AOB为等边三角形
∴AO=2.5则AC=2AO=5.
考点:
矩形的性质
30.答案：2.4
解析：首先利用菱形的性质得出AO=4,BO=3,∠AOB=90°,进而利用勾股定理得出AB的长,再利用三角形面积公式求出HO的长.
∵菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,且AC=8,BD=6,∴AO=4,BO=3,∠AOB=90°,
∴在Rt△AOB中,
5 AB=,
∵OH⊥AB,
∴HO×AB=AO×BO,
∴
35
2.4
4
AO BO
HO
AB
⨯⨯
===.
故答案为:2.4.
考点:
菱形的性质.
31.答案：112. 5°
解析：
根据正方形的性质可得∠ACB=45°,AC=CE,则说明∠E=∠CAE,根据三角形外角的性质可得:∠E+∠CAE=∠ACB,求出∠E-22.5°,最后根据∠AFC=∠E+∠DCE进行求解
考点:
1、三角形外角的性质;
2、等腰三角形的性质;
3、正方形的性质
32.答案：③
解析：由题意得:BD=CD,ED=FD,
∴四边形EBFC 是平行四边形,
①BE⊥EC,根据这个条件只能得出四边形EBFC 是矩形,
②BF∥CE,根据EBFC 是平行四边形已可以得出BF∥CE,因此不能根据此条件得出菱形, ③AB=AC,
∵AB AC DB DC AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩
,
∴△ADB≌△ADC,
∴∠BAD=∠CAD
∴△AEB≌△AEC(SAS),
∴BE=CE,
∴四边形BECF 是菱形.
考点:
菱形的判定.
33.答案：4-
解析：由根与系数的关系，得121232x x x x +==-，，所以
121212(1)(1)()12314x x x x x x --=-++=--+=-。